《解析》山东省淄博市桓台二中2015-2016学年高二下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年山东省淄博市桓台二中高二（下）3月月考数学试
卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．曲线y=x3在原点处的切线（）
A．不存在
B．有1条，其方程为y=0
C．有1条，其方程为x=0
D．有2条，它们的方程分别为y=0，x=0
2．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A．B．C．D．1
3．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，1）
4．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）
5．函数y=xe x的最小值是（）
A．﹣1 B．﹣e C． D．不存在
6．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）
A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）
C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定
7．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣a）f′（x）≥0，则必有（）
A．f（x）≥f（a）B．f（x）≤f（a）C．f（x）＞f（a）D．f（x）＜f（a）8．函数f（x）=mx3﹣x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]
9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（）A．3 B．4 C．6 D．5
10．已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则等于（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．
12．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是．
13．已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=．
14．若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为．
15．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f'（x）的
f x
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中正确命题的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．分别求下列函数的导数：
（1）y=e x•cos x；
（2）y=x（x2++）
（3）y=ln．
17．已知曲线，
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（3）求斜率为4的曲线的切线方程．
18．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
19．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x ﹣2y﹣2=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．
20．已知f（x）=ax2﹣（a+2）x+ln x．
（1）a=1时，求y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上最小值为﹣2，求实数a的范围．
21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单
位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为
5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
2015-2016学年山东省淄博市桓台二中高二（下）3月月考
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．曲线y=x3在原点处的切线（）
A．不存在
B．有1条，其方程为y=0
C．有1条，其方程为x=0
D．有2条，它们的方程分别为y=0，x=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求出函数的导函数，再求出函数在x=0处的导数即斜率，即可求出切线方程．【解答】解：∵f'（x）=（x3）'=3x2，
∴在点x=0处的切线的斜率k=f′（0）=0，且f（0）=0，
∴切线的方程为y=0．
∴曲线y=x3在原点处的切线有1条，其方程为y=0．
故选B．
2．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A．B．C．D．1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．
【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x
∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2
∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0
令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=
故选A
3．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，1）
【考点】函数的单调性及单调区间．
【分析】求出函数的导数，令导数小于0，注意函数的定义域，解不等式即可得到单调减区间．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2lnx（x＞0）的导数为
f′（x）=2x﹣，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．
即有单调减区间为（0，1）．
故选A．
4．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．
【解答】解：f′（x）=k﹣，
∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，
∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．
∴，
而y=在区间（1，+∞）上单调递减，
∴k≥1．
∴k的取值范围是[1，+∞）．
故选：D．
5．函数y=xe x的最小值是（）
A．﹣1 B．﹣e C． D．不存在
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．
【解答】解：求导函数，可得y′=e x+xe x，令y′=0可得x=﹣1
令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1
∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增
∴x=﹣1时，函数y=xe x取得最小值，最小值是
故选C．
6．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）
A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）
C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．
【解答】解：∵，
f′（x）=﹣=
∴当x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，
又∵a＜b＜1，
∴f（a）＞f（b）
故选C．
7．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣a）f′（x）≥0，则必有（）
A．f（x）≥f（a）B．f（x）≤f（a）C．f（x）＞f（a）D．f（x）＜f（a）
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】根据已知题意，解（x﹣a）f′（x）≥0；然后根据f'（x）的符号判断f（x）的单调性，继而确定最小值，得到f（x）与f（a）的关系．
【解答】解：根据题意，对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣a）f′（x）≥0
当x≥a时，x﹣a≥0
∴此时f'（x）≥0
即，当x≥a时，f（x）为增函数．
当x＜a时，x﹣a＜0
∴此时f'（x）＜0
即，当x＜a时，f（x）为减函数．
综上，x=a时，f（x）取最小值f（a）
∴f（x）≥f（a）
故选A
8．函数f（x）=mx3﹣x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】求导数得到f′（x）=3mx2﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数便可得出3mx2﹣1≤0恒成立，这样即可得出m的取值范围．
【解答】解：f′（x）=3mx2﹣1；
∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；
∴f′（x）≤0在（﹣∞，+∞）上恒成立；
即3mx2﹣1≤0在（﹣∞，+∞）上恒成立；
①m=0时，﹣1≤0恒成立；
②m≠0时，△=0+12m≤0，且m＜0；
∴m＜0；
综上得，m的取值范围是（﹣∞，0]．
故选C．
9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（）A．3 B．4 C．6 D．5
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即h=，要使用
=πr2+2πrh=πr2++，利用基本不等式可求用料最省即求全面积的最小值，而S
全面积
料最小时的r．
【解答】解：设圆柱的高为h，半径为r，则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，
∴h=，
=πr2+2πrh=πr2+2πr•=πr2+=πr2++≥
∴S
全面积
=27π，
当且仅当πr2=即r=3时取等号，
当半径为3时，S最小即用料最省，
故选：A．
10．已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则等于（）
A．B．C．D．
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系．
【分析】先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x1，x2，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可
【解答】解：由图可知，f（x）=0的三个根为0，1，2
∴f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0
解得b=﹣3，c=2
又由图可知，x1，x2为函数f（x）的两个极值点
∴f′（x）=3x2﹣6x+2=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1x2=
∴=（x1+x2）2﹣2x1x2=4﹣=
故选C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程x﹣y ﹣4=0．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，得到f′（2），再求得f（2）的值，代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，得f′（x）=3x2﹣8x+5，
∴f′（2）=1，
又f（2）=﹣2．
∴曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y+2=1（x﹣2），
即x﹣y﹣4=0．
故答案为：x﹣y﹣4=0．
12．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】依题意，可求得f′（x）=，由f′（x）＜0即可求得函数f（x）=x2﹣
2lnx的单调减区间．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x﹣==，
令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1．
∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．
故答案为（0，1）．
13．已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=32．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f（x）的单调性，列出在区间[﹣3，3]上f（x）的单调性、导函数f'（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．
【解答】解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，
故答案为：32
14．若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为（﹣ln2，2）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．
【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，
∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，
令﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，
∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．
故答案为：（﹣ln2，2）．
15．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f'（x）的
f x
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中正确命题的序号是①②．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】由导函数的图象得到原函数的单调区间，由此判断命题①②，由定义域和值域的关系判断命题③，结合极小值f（2）的大小判断当1＜a＜2时函数y=f（x）﹣a的零点情况．【解答】由导函数的图象可知：当x∈（﹣1，0），（2，4）时，f′（x）＞0，
函数f（x）增区间为（﹣1，0），（2，4）；
当x∈（0，2），（4，5）时，f′（x）＜0，
函数f（x）减区间为（0，2），（4，5）．
由此可知函数f（x）的极大值点为0，4，命题①正确；
∵函数在x=0，2处有意义，∴函数f（x）在[0，2]上是减函数，命题②正确；
当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，命题③不正确；
2是函数的极小值点，若f（2）＞1，则函数y=f（x）﹣a不一定有4个零点，命题④不正确．∴正确命题的序号是①②．
故答案为：①②．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．分别求下列函数的导数：
（1）y=e x•cos x；
（2）y=x（x2++）
（3）y=ln．
【考点】导数的运算．
【分析】根据导数的运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）y′=（e x）′cos x+e x（cos x）′=e x cos x﹣e x sin x．…
（2）∵y=x3+1+，∴y′=3x2﹣．…
（3）y=ln=ln（1+x2），
∴y′=•（1+x2）′=••2x=．
…
17．已知曲线，
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（3）求斜率为4的曲线的切线方程．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；
（3）设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．
【解答】解：（1）∵P（2，4）在曲线上，且y'=x2
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y'|x=2=4；
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y﹣4=4（x﹣2），即4x﹣y﹣4=0．
（2）设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，），
则切线的斜率，
∴切线方程为y﹣（）=x02（x﹣x0），
即
∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x02﹣，即x03﹣3x02+4=0，
∴x03+x02﹣4x02+4=0，
∴（x0+1）（x0﹣2）2=0
解得x0=﹣1或x0=2
故所求的切线方程为4x﹣y﹣4=0或x﹣y+2=0．
（3）设切点为（x0，y0）
则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2．切点为（2，4），（﹣2，﹣）
∴切线方程为y﹣4=4（x﹣2）和y+=4（x+2）
即4x﹣y﹣4=0和12x﹣3y+20=0．
18．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，
因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0
（2）由，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．
19．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x ﹣2y﹣2=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求导数得f′（x）=+b，由导数几何意义得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处
的切线斜率为k=f′（1）=，且f（1）=，联立求得a=1，b=﹣，从而确定f（x）的解析
式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于lnx﹣+＜0，参变分离为k＜﹣xlnx，利用导数求右侧函数的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=+b．
∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为，且曲线y=f（x）过点（1，﹣），
∴即解得a=1，b=﹣．
所以f（x）=lnx﹣x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当x＞1时，f（x）+＜0恒成立即lnx﹣+＜0，等价于k＜﹣xlnx．
令g（x）=﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．
令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=1﹣．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=．
因此，当x＞1时，k＜﹣xlnx恒成立，则k≤．
∴k的取值范围是（﹣∞，]．
20．已知f（x）=ax2﹣（a+2）x+ln x．
（1）a=1时，求y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上最小值为﹣2，求实数a的范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（2）先求导，再分类讨论，判断在[1，e]上的单调性，根据f（x）在区间[1，e]上最小值为﹣2，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+ln x，
f′（x）=2x﹣3+．
因为f′（1）=0，f（1）=﹣2，
所以曲线y=f（x）在点（1，﹣2）处的切线方程是y=﹣2．
（2）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+ln x的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=2ax﹣（a+2）+
=，
令f′（x）=
==0，所以x=或x=．
当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；
当1＜＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值f （）＜f（1）=﹣2，不合题意；
当≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，此时f（x）在[1，e]上的最小值f（e）＜f（1）=
﹣2，不合题意．
综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．
21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单
位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为
5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；
（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．
【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）
x f x f′x
所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
2016年10月17日。