内蒙古包头市高三数学适应性考试试题(二)理

内蒙古包头市2017届高三数学适应性考试试题（二）理
一、选择题：（每题只有一个正确答案，每题5分,共60分。

）
1. 若i 是虚数单位，复数i
i
z +=
2的虚部为（ ） A. 51- B.5
2
- C.51 D.52
2. 已知全集{}2,1,0,2-=U ，集合{}
02|2
=-+=x x x A ，则=A C U （ ）
A. {}1,2- Ｂ．{}1,0,2- Ｃ．{}2,0 Ｄ．{}1,0
3正方形ABCD 中，Ｅ为DC 的中点，若μλ+=，则μλ+的值为（ ） Ａ．
21 Ｂ．2
1
- Ｃ．１ Ｄ．－１ 4函数2
2x y x
-=的图象大致是（ ）
5.已知n x
x )1
(2
+的展开式的各项系数和为32，则展开式中4
x 项的系数为（ )
A. 5
B. 40
C. 20
D. 10
6.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体中,面积最大的侧面积为( ) A.
22 B.25 C.2
6 D.3
7已知函数x x x f 2
2sin cos )(-=,下列说法错误的是( ) A.)(x f 的最小正周期为π B. 直线2
π
=
x 是)(x f 图象的一条对称轴
C. )(x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛-
4,4ππ上单调递增 D. |)(x f |的值域是
8. 阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是( ) A.计算数列{}12
-n 的第5项
B.计算数列{}12-n
的前5项和. C.计算数列{
}
12-n
的第6项 D.计算数列{}1
2
-n 的前6项和
9.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S , 若843,,a a a 成等比数列,则( )
A. 0,041>>dS d a
B. 0,041<<dS d a
C. 0,041<>dS d a
D. 0,041><dS d a
10.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布(
)
2
3,0N ,从中随机取一件,其长 度误差落在(3,6)内的概率为( )
A. 0.2718
B.0.0456
C. 0.3174
D. 0.1359 附:若随机变量ξ服从正态分布),(2
σμN ,则6826.0)(=+<<-σμξσμp 9544.0)22(=+<<-σμξσμp
11.过双曲线)0,0(1:22221>>=-b a b
y a x C 的左焦点1F 作曲线2
222:a y x c =+的切线,切 点
为M, 延长M F 1交曲线)0(2:2
3>=p px y C 于点N,其中31,C C 有一个共同的焦点,若
MN MF =1,则曲线1C 的离心率为( )
A. 5
B.15-
C.15+
D.
2
1
5+ 12.已知定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数为)('
x f 满足)('
x f <)(x f 且)2(+x f 为偶函数,1)4(=f ,则不等式x
e x
f <)(的解集为( )
A. ()+∞,0
B. ()+∞-,2
C. ()+∞,1
D. ()+∞,4 二．填空题（每题5分，共20分）
13.已知m l ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,则下列问题中真命题的序号 是_______
① 若ββαα//,//,,m l m l ⊂⊂则βα// ② 若m l l =⋂⊂βαβα,//,则m l // ③ 若βαα//,//l 则β//l ④ 若βαα//,//,m l l ⊥则β⊥m
14.若实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x ，则y x z +=||2的最大植为_________________
15.已知A ，B ，C 三人中，一个是油漆工，一个是木工，一个是泥瓦工，但不知A ， B ，C 三人具体谁是什么工种，三人合作一件工程，由于其中的某一个人而做糟了， 为了弄清楚责任，分别询问三人，得到的回答如下： A 说：“C 做坏了，B 做好了”；B 说：“我做坏了，C 做好了”； C 说：“我做坏了，A 做好了”。

现在又了解到，油漆工从来不说假话，泥瓦工从来不说真话，而木工说的话总是 时真时假,则该负责任的是_________________
16.若函数)(x f y =在定义域内给定区间[]b a ,上存在0x )(0b x a <<满足
a
b a f b f x f --=
)()()(0，则称函数)(x f y =是[]b a ,上的“平均值函数”，0x 是它的一
个均值点，例如：||)(x x f =是[]2,2-上“平均值函数”，0是它的一个均值点，若 函数1)(2
--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是
____________
三、解答题
17．设向量)s i n ,(c o s ),2cos ,2(sin ϕϕωω==n x x m （其中
0,2
><
ωπ
ϕ）。

函数
n m x f ∙=)(的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为)1,6
(π
P ，在原
点右侧与x 轴的第一个交点为)0,12
5(π
Q 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，若1)(-=C f ，2
3
-
=∙， 且 32=+b a ，求边c ．
18．某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温（℃）与该奶茶店的这种饮料销量（杯），得到如下数据：
（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出两组，求抽出的两组数据恰好是相邻2天数据的概率
（Ⅱ）请根据所给的五组数据，求出y 关于x 的回归方程a x b y
ˆˆˆ+=； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中所给的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温是
7℃，请预测该奶茶店的这种饮料的销量.
参考公式：.ˆˆ,)()
)((ˆ1
2
21
1
2
1
x b y a x n x
y x n y
x x x
y y x x
b
n
i i
n
i i
i n
i i
i n
i i
-=--=
---=∑∑∑∑====
19.已知在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2=AB ，41=AA .
（Ⅰ）求证：C A BD 1⊥；
（Ⅱ）求二面角A -C A 1-1D 的余弦值；
（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在一点P ，使得平面⊥11CD A 平面PBD ？ 若存在，求出
1
PC CP
的值；若不存在，请说明理由.
20．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1:22
22=+b
y a x C )0(>>b a 的左焦点为F ，离心率
为
2
2
，过点F 且垂直于长轴的弦长为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设点B A ,分别是椭圆的左、右顶点，若过点)0,2(-P 的直线与椭圆相交于不同 的两点N M ,.（1）求证：BFN AFM ∠=∠（2）求△MNF 面积的最大值
21．已知函数x x x f ln )1()(+=，)1()(-=x a x g )(R a ∈ （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若)()(x g x f ≥对任意的[)+∞∈,1x 恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）求证：)
1(2ln 3ln 2ln +>⋅n n n n ),2(*
N n n ∈≥.
22.在 坐标系中，曲线C ：θρcos 2a = )0(>a ，l ：2
3
)3
cos(=
-π
θρ；C 与l 有且 只有一个公共点. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若O 为极点，B A ,为曲线C 上两点，且3
π
=∠AOB ，求OB OA +的最大值.
23.已知函数1)(-=x x f
（Ⅰ）解不等式：8)4()2(≥++x f x f ； （Ⅱ）若1<a ，1<b ，0≠a ，求证 ：)()(a
b
f a ab f >.
高三年级第二次适应性考试
理科数学答案
一、选择题：（每小题5分）
二、填空题（每空5分）
13．②④ 14、11 15、C 16、（0，2） 三、解答题
17．（本题满分10分）
（Ⅰ）由)2sin(sin 2cos cos 2sin )(ϕωϕωϕω+=⋅+⋅=∙=x x x x f ，由题意得到
6
1254π
π-=T π4=⇒T ，1=∴ω。

)(x f y =上，)(6
21)6
2sin(Z k k ∈+
=⇒=+⨯
∴π
πϕϕπ。

由2
π
ϕ<
，得6
π
ϕ=。

即)6
2sin()(π
+
=x x f 。

） (6分)
（（Ⅱ）)(3
21)62sin(,1)(Z k k C C C f ∈+=
⇒-=+
∴-=ππ
π。

32,0ππ=∴<<C C 。

32
3
cos 23=⇒-=∴-=∙ab C ab CB CA 。

所以9cos 22)(cos 22
2
2
2
=--+=-+=C ab ab b a C ab b a c 即3=c 。

） （12分）
18(本题满分12分） （Ⅰ）5
242
5==
C P ， ） （3分） （（Ⅱ）25,10==y x 。

利用公式得4ˆˆ;1.2ˆ=-==x b y a b。

41.2ˆ+=∴x y x y 的线性回归方程为关于。

） （10分） （（Ⅲ）7.18471.2ˆ,7=+⨯==y
x 时当， 所以，该奶茶店的这种饮料的销量大约为19杯。

） （12分）
19(本题满分12分)
（Ⅰ）证明：由四棱柱1111D C B A ABCD -为正四棱柱，
所以为正方形且四边形平面ABCD ABCD AA ,1⊥。

1ABCD BD AA BD ⊥∴⊂，平面 ，
且A AC AA =⋂1，11ACC A BD 平面⊥∴，而111ACC A C A 平面⊂，
C A B
D 1⊥∴。

） （2分）
（（Ⅱ）以z y x DD DC DA ,,,,1为轴建立空间直角坐标系，
)4,0,0(),4,2,0(),4,2,2(),4,0,2(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(),0,0,0(111!D C B A C B A D
)4,0,0(),0,0,2(111==∴D A D ，
设平面11CD A 的法向量),,(111z y x =，则⎩⎨
⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0420
20
0111111z y x D A D n 令11=z ，得)1,2,0(=；由（Ⅰ）知，平面C AA 1的一个法向量为)0,2,2(=。

5
102
254,cos =
⋅>=
<∴ 即二面角A -C A 1-1D 的余弦值为5
10-。

） （7分） （（Ⅲ）存在
设),2,0(2z P 为线段1CC 上一点，且1PC λ= （0≥λ）得λ
λ
+=
142z )14,
2,0(λ
λ
+∴P 。

设平面PBD 的法向量),(333z y x = )14,2,0(λλ+= )0,2,2(=DB ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++
⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙∴0
220142003333y x z y DB m λ
λ 令13=y ，则λλ21,133+-
=-=z x 。

即)21,1,1(λ
λ
+--= 而平面⊥11CD A 平面PBD ， 则有0=∙，即3
1
0212=⇒=+-λλλ
所以当
3
1
1=PC CP 时， 平面⊥11CD A 平面PBD 。

） （12分）
20. .(本题满分12分)
（Ⅰ）22==a c e ，
222
=a
b ，222
c b a +=；2=∴a ，1=b 。

12
:22
=+∴y x C ） （3分）
（（Ⅱ）(1)证明：
当MN 的斜率为0时，显然BFN AFM ∠=∠，成立；
当MN 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x N y x M ，2:-=my x MN
024)2(21
2
2222
=+-+⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-==+my y m my x y x ，由20)2(816222>⇒>+-=∆m m m ， 且24221+=
+m m y y ，2
2
22
1+=m y y
则0)
1)(1()
(2111121212122112211=--+-=-+-=+++=
+my my y y y my my y my y x y x y K K NF MF 即BFN AFM ∠=∠。

综上：命题成立。

） （8分） （（2）
4
2
2
422
4
)2()2(2216
8212122222221≤
-+
-=+--=+-⨯=-⋅=-=∆∆∆m m m m m m y y PF S S S PMF
PNF MNF 当且仅当2
4222-=
-m m 即62=m ，满足22
>m 时，等号成立。

所以△MNF 面积的最大值为4
2。

（12分） 21.(本题满分12分)
（Ⅰ）x x x f ln )1()(+= )0(>x ，11
ln )(++='∴x
x x f )0(>x . 令11ln )(++
=x x x ϕ )0(>x 21
)(x
x x -='ϕ )0(>x , )(x ϕ∴在)1,0(单调递减；在),1(+∞单调递增。

即2)1()(min ==ϕϕx
0)(>'∴x f ，即)(x f 的单调递增区间为),0(+∞，无单调递减区间。

） （3分）
（（Ⅱ）设a ax x x x g x f x h +-+=-=ln )1()()()( )1(≥x
a x a x
x x h -=-++
=')(11
ln )(ϕ ， 而)(x ϕ在),1(+∞单调递增，2)1()(=≥∴ϕϕx 。

若2≤a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在),1(+∞单调递增。

0)1()(=≥∴h x h 满足题意； 若2>a 时，设a x
x x h x t -++='=11
ln )()( )1(≥x 则21
)(x
x x t -=
' )1(≥x ， 0)(≥'∴x t 即)(x t 在),1(+∞单调递增，而02)1(<-=a t 。

所以，存在),1(0+∞∈x 使0)(0=x t ；
当01x x <<时，0)(<x t ，即0)(<'x h ，而0)1(=h 。

所以，不满足题意，舍。

综上：[)+∞∈,2a ） （8分） （（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当2=a 时，)1(2ln )1(-≥+x x x )1(≥x 当1=x 时取等号
1
)
1(2ln +-≥
∴x x x 令n x = ),2(*
N n n ∈≥， 得1
)
1(2ln +->
n n n 1
)
1(2ln ,,5324ln ,4223ln ,3122ln +->
⨯>⨯>⨯>
∴n n n 。

)
1(2)1(543)1(3212ln 3ln 2ln 1+=+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯>⋅∴-n n n n n n
n 。

所以，命题成立。

（12分）
22.（Ⅰ）由已知：在直角坐标系中：2
2
2
2
2
)(02:a y a x ax y x C =+-⇒=-+ )0(>a ；
033:=-+y x l 。

以为C 与l 只有一个公共点，所以l 与C 相切。

即
a a =-2
3 则1=a 。

） （4分）
（（Ⅱ）设),(1θρA ，则)3
,(2π
θρ+
B 。

)6
cos(32sin 3cos 3)3
cos(2cos 221π
θθθπ
θθρρ+
=-=+
+=+=+∴OB OA
所以，当6
π
θ-
=时，32)(max =+OB OA 。

） （10分）
23.（（Ⅰ）312)4()2(++-=++x x x f x f
∴当3-<x 时，得823≥--x ，解得3
10
-
≤x ； 当2
1
3≤≤-x 时，得84≥+-x ，无解； 当2
1
>
x 时，得823≥+x ，解得2≥x 。

综上：[)+∞⋃⎥⎦
⎤
⎝
⎛-
∞-∈,2310,x 为所求。

） （5分） （（Ⅱ）要证明
)()(a b
f a ab f >成立，即证明)()(a b f a ab f >成立，
即证明11->-a
b
a
ab 成立， 即证明a b ab ->-1成立。

1,1<<b a 0)1)(1(12222>--=---∴b a a b ab b a ab ->-∴1成立。

故)()(a
b f a ab f >。

（10分）。