1.1.4导数的几何意义

如何求函数y=f(x)的导数 如何求函数 的导数? 的导数
(1)求函数的增量∆y = f ( x + ∆x) − f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ; ∆x ∆x
∆y (3)求极限，得导函数 y ′ = f ′( x ) = lim . ∆x → 0 ∆ x
c(mg / ml)
1.1 1.0
0.9
0.8
0.7
0.6 0.5 0.4 0.3
0.2
0.1
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 t
(min)
图 . −
解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是 药物浓度 f (t )在此时刻的导数.从图象上看, 它表示
数学上常用简单的对象刻画复杂的对象 .例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数π . 这里, 我们用曲线上某点处的切线 近似代替 这 点 附近的曲线 , 这是微积分中重要的思想方法 − − − − − − 以直代曲.
例 如图 . − , 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函 数 h (t ) =− . t + . t+ 的 图象 . 根 据图象 , 请描 述、比较曲线 h(t )在t , t , t 附近的变化情况 .
我们发现 ,当点 Pn 趋近于点 P时, 割线 PPn 趋近于确 定的位置 , 这个确定位置的直线 PT 称为过点 P的 切线 (tan gent line ).值得关注的问题是 , 割线 PPn的 斜率与切线 PT的斜率 k有什么关系呢 ? 此处切线定义与以前学过的
f ( xn ) − f ( x ) 容易知道, 割线PPn的斜率是 k n = . xn − x 当点Pn无限趋近于点P时, k n无限趋近于切线PT 的斜率.因此, 函数 f ( x )在x = x 处的导数就是切 线PT的斜率k .即 f ( x + ∆x ) − f ( x ) k = lim = f ' ( x ). ∆x → ∆x
切线定义有什么不同 ?
继续观察图 . − (或动画演示 ), 可以发现 , 在点 P附近 , PP 比PP 更贴近曲线 f ( x ), PP 比 PP 更贴近曲线 f ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 过点 P的切线 PT 最贴近点 P附近的曲线 f ( x ).因此 , 在点 P 附近 , 曲线 f ( x ) 就可以用过点 P的切线 PT近似代替 .
h
l l
l ( )当t = t 时,曲线h(t )在t 图 . − 处的切线l 的斜率h`(t ) < .所以, 在t = t 附近曲线下 降, 即函数h(t )在t = t 附近单调递减. ( )当t = t 时,曲线h(t )在t 处的切线l 的斜率h`(t ) < . 所以, 在t = t 附近曲线下降, 即函数h(t )在t = t 附近也
课堂小结: 课堂小结
弄清“函数f(x)在点 0处的导数”、“导函数”、 在点x 导函数” 一、弄清“函数 在点 处的导数” 导数” 之间的区别与联系。 “导数” 之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 ）函数在一点处的导数， 变量与自变量的改变量之比的极限， 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 常数，不是变数。 而言的, （2）函数的导数，是指某一区间内任意点 而言的 ）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f(x)的导函数 f ′(x)。 就是函数 的导函数
y = f (x )
P1 T
y
y = f (x )
P2
T
(n =
)
P
O
x
O
x
沿着曲线 P( x , f ( x f ( x )趋近于点
y
(1)
y = f (x )
(2)
y
y = f (x )
))
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
O
P3
T
T
P4 P
x O x
(3)
(4 )
图 . −动画演示Fra bibliotek线变化趋势 .
h
l
l
O
t0
t1
t2
t
l
图 . −
解 我们用曲线h( x )在t , t , t 处的切线, 刻画曲 线h(t )在上述三个时刻附近的变化情况.
利用曲线在动点的切线 , 刻画曲线在动点附近 的变化情况 .
( )当t = t 时,曲线h(t )在
t 处的切线 l 平行于x 轴. 所以, 在t = t 附近曲线比 较平坦, 几乎没有升降.
曲线 f (t )在此点处的切线的斜率. 如图 . − , 画出曲线上某点处的切 线, 利用网格 估计这条切线的斜率, 可以得到此刻药物浓度 瞬 时变化率的近似值. 作t = . 处的切线, 它的斜率约为 − . , 所以
f '( .
)≈ −
. .
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值, 验证 一下, 这些值是否正确.
) 在点x （3）函数 ）函数f(x)在点 0处的导数 f ′( x0就是导函数 f ′(x) 在点 处的函数值， 在x=x0处的函数值，即 f ′( x0 ) = f ′( x) |x= x 这也是 。 求函数在点x 处的导数的方法之一。 求函数在点 0处的导数的方法之一。
0
例 如图 . − , 它 表示人体血管中药 物浓度 c = f (t ) (单 位 : mg / ml ) 随时间 t (单位 : min )变化的 函数图象.根据图象 , 估计 t = . , . , . . . min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 (精确到 . ).
. .
导数的几何意义
我们知道 , 导数 f ( x0 )表示函数 f ( x )
'
么, 导数 f ' ( x0 )的几何意义是什么呢 ?
数 f ( x ) 在 x = x0 附近的变化情况 . 那
在 x = x0 处的瞬时变化率 , 反映了函
y
观 察 如图 . − ,当点 Pn ( xn , f ( xn )) , , ,
x
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到 当x=x0 在 处求导数的过程可以看到,当 由函数 是一个确定的数.那么 那么,当 变化时 便是x的 变化时,便是 时,f’(x0) 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是 的 ’ 一个函数,我们叫它为 我们叫它为f(x)的导函数 即: 的导函数.即 一个函数 我们叫它为 的导函数
药物浓度的瞬时变化率 f (t ) .
'
t
.
.
. − .
. − .
O
t0
t1
t2
t
单调递减. 从图 . − 可见, 直线l 的倾斜程度小于直线l 的倾斜 程度, 这说明曲线h(t )在t 附近比在t 附近下降得缓慢.
思考：如何求过曲线上一点的切线方程？ 思考：如何求过曲线上一点的切线方程？
y 求曲线y=f(x)=x2+1在点 在点P(1,2)处的切线方程 Q 处的切线方程. 例3:求曲线 求曲线 在点 处的切线方程 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 解 : k = lim 2 ∆x→0 ∆x y = x +1 ∆y (1 + ∆x)2 + 1 − (1 + 1) = lim ∆x→0 ∆x 2 P 2∆x + (∆x) M = lim = 2. ∆x ∆x→0 ∆x 1 ϕ 因此,切线方程为 切线方程为y-2=2(x-1), 因此 切线方程为 即y=2x. -1 O 1 小结：求过曲线上某点处的切线方程的基本步骤: 小结：求过曲线上某点处的切线方程的基本步骤 先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用 先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 然后利用 点斜式求切线方程. 点斜式求切线方程
f ′( x) = y′ = lim ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 也简称导数
函 数 y = f ( x ) 在 点 x 0 处 的 导 数 f ′( x 0 ) 等 于 函 数 f ( x )的 导 (函 ) 数 f ′ ( x ) 在 点 x 0 处 的 函数值.