【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.1 不等关系与不等式配套名师课件 新人教B版必修5

【答案】 C
3．已知 x<1，则 x2＋2 与 3x 的大小关系为________． 【解析】 x2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而 x<1，∴x－2<0， x－1<0，∴x2＋2－3x>0，∴x2＋2>3x. 【答案】 x2＋2>3x
4．用不等式表示下列不等关系． (1)今天的天气预报说：明天早晨最低温度为 7 ℃，白天 最高温度为 13 ℃. (2)△ABC 的任意两边之和大于第三边．
bd
【自主解答】 证明：(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴－ac<－bc.∵f<e， ∴f－ac<e－bc. (2)∵bc－ad≥0， ∴ad≤bc，∵bd>0， ∴ab≤dc， ∴ab＋1≤dc＋1， ∴a＋b b≤c＋d d.
用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已 知条件，利用相应的不等式性质证明；要注意观察一个不等 式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数；一个 不等式是不是某两个同向不等式相加得到的；一个不等式是 不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等．
作差法比较两数(式)的大小
已知 x>1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小． 【思路探究】 (1)本题可以用作差法比较吗？(2)作差后 要作怎样的变化，推得什么样的结果？
【自主解答】 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)[(x－12)2＋34]．
4．性质 4 a>b，c>0⇒ ac>bc . a>b，c<0⇒ ac<bc . (1)推论 1 a>b>0，c>d>0⇒ ac>bd . (2)推论 1 的推广 a>b>0，c>d>0，…，m>n>0⇒ac·…·m>bd·…·n. (3)推论 2 a>b>0⇒ an<bn (n∈N＋，n>1)．
nn (4)推论 3 a>b>0⇒ a> b (n∈N＋，n>1)．
用不等式(组)表示不等关系
《铁路旅行常识》规定： “一、随同成人旅行身高 1.2～1.5 米的儿童，享受半价 客票(以下称儿童票)，超过 1.5 米时，应买全价票．每一成人 旅客可免费带一名身高不足 1.2 米的儿童，超过一名时，超 过的人数应买儿童票． ……
3．情感态度与价值观 (1)通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常 生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行 观察归纳； (2)通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的 思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量．
●重点难点 重点：用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系， 并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；
【解】 (1)设明日气温为 t，则 7≤t≤13(单位：℃)．
(2)设△ABC 的三边为 a，b，c，则aa＋ ＋bc>>bc . b＋c>a
课时作业（十六）
的大小．
设 a>0，b>0，且 a≠b，比较 aabb 与 abba
【思路探究】 用作商法比较，利用不等式的性质进行 变形，然后确定大小．
【错因分析】 同向不等式不能相减，也不能直接相除．
【防范措施】 利用几个不等式的范围来确定某代数式 的范围是一类常见的综合问题，解题时要紧扣不等式的基本 性质，不能直接将几个已知不等式相加(减或相乘除)．
【正解】 ∵15<b<36， ∴－36<－b<－15. ∴12－36<a－b<60－15， 即－24<a－b<45， 由 15<b<36，知316<1b<115. 又 12<a<60， ∴1326<ab<6105，即13<ab<4. 综上，－24<a－b<45，13<ab<4.
题中的不等关系．(难点)
不等式与不等关系
【问题导思】 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不 少于 2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%.你能用不等式表 示对脂肪和蛋白质含量的规定吗？ 【提示】 能．f≥2.5%，p≥2.3%.
我们用数学符号 “≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤” 连 接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些
3．作差法比较大小的关键步骤是变形，变形时常采 用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行.
1．(2013·长沙高二检测)设 b<a，d<c，则下列不等式中
一定成立的是( )
A．a－c>b－d
B．ac>bd
C．a＋c>b＋d
D．a＋d>b＋c
【解析】 ∵b<a，d<c，∴b＋d<a＋c.
【答案】 C
不Байду номын сангаас号 的式子，叫做不等式.
比较两实数的大小
【问题导思】 想一想，怎样比较两个实数的大小？ 【提示】 用作差法．
1．数轴上的任意两点中，右边 点对应的实数比 左边 点 对应的实数大．
2．对于任意两个实数 a 和 b，在 a＝b，a>b，a<b 三种 关系中有且仅有一种关系成立．
3．a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔ a＝b ； a－b<0⇔ a<b .
∵x>1，∴x－1>0. 又(x－12)2＋34>0， ∴(x－1)[(x－12)2＋34]>0. ∴x3－1>2x2－2x.
1．本题采用的是作差法比较大小，一般地，涉及两个代 数式比较大小，常用作差法．
2．作差法比较两个数(式)的大小可以归纳为“三步一结 论”，即作差→变形→定号→结论．其中变形为关键，定号 为目的．在变形中，一般变形得越彻底，越有利于下一步的 判断．在定号中，若为几个因式积，需对每个因式均先定号， 若符号不确定时，需进行讨论．
难点：用不等式或不等式组准确地表示不等关系，用不 等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.
●教学建议 根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的 教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程， 观察对比、概括归纳，再通过具体问题的提出和解决，来激 发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生 充分地参与到学习活动中来．
1．性质 1(对称性) a>b⇔ b<a . 2．性质 2(传递性) a>b，b>c⇒ a>c . 3．性质 3 a>b⇔ a＋c>b＋c . (1)推论 1(移项法则) a＋b>c⇔ a>c－b . (2)推论 2 a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d . (3)推论 2 的推广 a>b，c>d，…，m>n⇒a＋c＋…＋m>b＋d＋…＋n.
【自主解答】 aaabbbba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b， 当 a>b>0 时，ab>1，a－b>0，∴(ab)a－b>1， 当 b>a>0 时，0<ab<1，a－b<0，∴(ab)a－b>1， ∴(ab)a－b>1，即aaabbbba>1， 又∵aabb>0，abba>0，∴aabb>abba.
2．如果 a>b，那么下列不等式一定成立的是( )
A．c－a>c－b
B．－2a>－2b
C．a＋c>b＋c
D．a2>b2
【解析】 A 中，(c－a)－(c－b)＝b－a<0，∴A 错误； B 中，－2a－(－2b)＝2(b－a)<0，∴B 错误； C 中，(a＋c)－(b＋c)＝a－b>0，∴C 正确； D 中，取 a＝0，b＝－3，显然 0<9，∴D 错误．
将例题中“x>1”改为“x∈R”，试比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小．
【解】 (x3－1)－(2x2－2x) ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34>0， ∴当 x>1 时，(x－1)(x2－x＋1)>0， 即 x3－1>2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x<1 时， (x－1)(x2－x＋1)<0， 即 x3－1<2x2－2x.
1．用不等式表示不等关系时，要注意体会关键词的含义， 如本例中的“在……之间”、“不足”、“不超过”等，对 于实际问题中不要漏掉隐含条件．
2．文字语言与数学符号语言之间的转换． 将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时，问题中 关键性的文字语言与对应的数学符号语言之间的正确转换， 关系到是否能正确地用不等式表示出不等关系．
不等式的性质
【问题导思】 1．若 a>b，b>c，则 a>c，对吗？为什么？ 【提示】 正确．∵a>b，b>c，∴a－b>0，b－c>0， ∴(a－b)＋(b－c)>0，即 a－c>0，∴a>c.
2．若 a>b，c>0，则 ac 与 bc 有何大小关系？为什么？若 c<0 呢？
【提示】 ac>bc.∵a>b，c>0，∴a－b>0， (a－b)c>0，∴ac－bc>0，∴ac>bc. 若 c<0，则有 ac<bc.
不等式的基本性质及应用
(1)已知 a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc； (2)若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d. 【思路探究】 (1)不等式 f－ac<e－bc 是由已知条件怎 样变换产生的？每一步变换都涉及到不等式的什么性质？ (2)不等式a＋b b≤c＋d d能否变换为ab＋1≤dc＋1？怎样由已 知条件导出a≤c？
3．1 不等关系与不等式
3．1.1 不等关系与不等式 3．1.2 不等式的性质
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式 组表示不等关系；
(2)能用不等式或不等式组解决简单的实际问题； (3)了解不等式的基本性质． 2．过程与方法 (1)通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理 能力． (2)设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极 性．
身高不 足1.2米
物体长、宽、 高之和不超 过160厘米
【思路探究】 (1)你能找出题目中说明不等关系的词语 吗？(2)你能理解它们的含义并用不等式表示出来吗？
【 自 主 解 答 】 身 高 在 1.2 ～ 1.5 米 之 间 可 表 示 为 1.2≤h≤1.5，
身高超过 1.5 米可表示为 h>1.5， 身高不足 1.2 米可表示为 0<h<1.2， 物体长、宽、高之和不超过 160 厘米可表示为 P≤160. 【答案】 1.2≤h≤1.5；h>1.5；0<h<1.2；P≤160
3．常见的文字语言与数学符号的转换
大于
小于
大于 等于
小于 等于
至多
至少
不少 于
不多 于
> < ≥ ≤ ≤≥ ≥ ≤
用不等式表示下列关系： (1)x 为非负数； (2)x 为实数，而且大于 1 不大于 6； (3)x 与 y 的平方和不小于 2，而且不大于 10. 【解】 (1)x≥0. (2)x∈R 且 1<x≤6. (3)2≤x2＋y2≤10.
1．使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前 提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
2．用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤 (1)审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未 知量； (2)找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系 (即满足什么条件，同时注意隐含条件)； (3)列不等式(组)．建立已知量和未知量之间的关系式．
学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、 探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地 位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能 力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精 神．
●教学流程
演示结束
1.了解不等式的性质．(重点) 课标解读 2.能用不等式(组)表示实际问
十、旅客免费携带品的体积和重量是：每件物品的外部
尺寸长、宽、高之和不超过 160 厘米，杆状物品不超过 200
厘米，重量不超过 20 千克……”
设身高为 h(米)，物品外部尺寸长、宽、高之和为 P(厘米)，
请用不等式表示下表中的不等关系.
文字 表述
符号 表示
身高在1.2～ 1.5米之间
身高超 过1.5米
已知 a>b>0，c<d<0，e<0. 求证：a－e c>b－e d. 【证明】 ∵c<d<0，∴－c>－d>0， 又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0， 即 a－c>b－d>0， ∴0<a－1 c<b－1 d，
又∵e<0，∴a－e c>b－e d.
错用不等式的性质致误 已知 12<a<60,15<b<36，求 a－b 及ab的取值范 围． 【错解】 ∵12<a<60,15<b<36， ∴12－15<a－b<60－36，1125<ab<6306， ∴－3<a－b<24，45<ab<53.