高二数学上学期期中试题含解析

卜人入州八九几市潮王学校师范大学附属二零二零—二零二壹高二数学上学期期中试题〔含解析〕
一、选择题〔本大题一一共8小题〕
1.p：“∀x∈〔-∞，0〕，3x≥4x〞的否认￢p为〔〕
A.,
B.,
C. D.
2.在等比数列{a n}中，a3=2，a5=8，那么a4=〔〕
A.4
B.5
C.
D.
3.假设a＞b＞c且a+b+c=0，那么以下不等式中正确的选项是〔〕
A. B. C. D.
4.设0＜x＜1，那么a=，b=1+x，c=中最大的一个是〔〕
A.a
B.b
C.c
D.不能确定
5.在等比数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，假设数列{a n+1}也是等比数列，那么S n
等于〔〕
A.2n
B.3n
C.
D.
6.假设互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，
那么a=〔〕
A.4
B.2
C.
D.
7.设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积〔i=1，2，…〕，
那么{A n}为等比数列的充要条件是〔〕
A.是等比数列
B.,,,,或者,,,,是等比数列
C.,,,,和,,,,均是等比数列
D.,,,,和,,,,均是等比数列,且公比一样
8.设某公司原有员工100人从事产品A的消费，平均每人每年创造产值t万元〔t为
正常数〕．公司决定从原有员工中分流x〔0＜x＜100〕人去进展新开发的产品B 的消费．分流后，继续从事产品A消费的员工平均每人每年创造产值在原有的根底上增长了x%．假设要保证产品A的年产值不减少，那么最多能分流的人数是〔〕
A.15
B.16
C.17
D.18
二、填空题〔本大题一一共6小题〕
9.数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2〔n∈N*〕，那么a7=______．
10.假设实数x，y满足xy=1，那么x2+4y2的最小值为______．
11.设a，b是两个实数，给出以下条件：
①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1．
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．〔填序号，只有一个正确选项〕
12.{a n}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，S n为其前n项和，假设a1，a2，a5成等比数列，
那么S8＝________．
13.等比数列{a n}中，假设前n项的和为S n=2n-1，那么a+a22+…+a n2=______．
14.板樟山森林公园〔又称回归公园〕的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑
是一座百年简史，记载着近年来的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如HY四数连读为1999-12-20标示回归日，HY靠下有23-50标示面积约为20 平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1 到100 一共100 个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图
2 中对角线上数字〔从左上到右下〕之和为______．
三、解答题〔本大题一一共6小题〕
15.记S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=－a5．
(1)假设a3=4，求{a n}的通项公式；
(2)假设a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．
16.∃x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x2-x-m=01〕务实数m的取值集合M；
〔2〕设不等式〔x-a〕〔x+a-2〕＜0的解集为N，假设x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．
17.甲厂以x千克/小时的速度匀速消费某种产品〔消费条件要求1≤x≤10〕，每小时
可获得利润是元．
〔1〕要使消费该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
〔2〕要使消费1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种消费速度？
并求此最大利润．
18.p：〔x+1〕〔2-x〕≥0，q：关于x的不等式x2+2mx-m+6＞0恒成立．
〔1〕当x∈R时q成立，务实数m的取值范围；
〔2〕假设p是q的充分不必要条件，务实数m的取值范围．
19.数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数
列{b n}满足，T n为数列{b n}的前n项和．
〔1〕求a1、d和T n；
〔2〕假设对任意的n∈N*，不等式恒成立，务实数λ的取值范围．
20.无穷数列{a n}〔a n∈Z〕的前n项和为S n，记S1，S2，…，S n中奇数的个数为b n．
〔Ⅰ〕假设a n=n，请写出数列{b n}的前5项；
〔Ⅱ〕求证：“a1为奇数，a i〔i=2，3，4，…〕为偶数〞是“数列{b n}是单调递增数列〞的充分不必要条件；
〔Ⅲ〕假设a i=b i，i=1，2，3，…，求数列{a n}的通项公式．
答案和解析
1.【答案】C
p：，
应选：C比较根底．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，
由得，所以q=±2，都符合题意，
所以a4=a3•q=±4，
应选：C．
根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得，解可得q的值，代入通项公式计算可得答案．
此题考察等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用．
3.【答案】A
【解析】解：a＞b＞c且a+b+c=0，∴a＞0＞c，b∈R．
∴ab＞ac，ac＜bc，a|b|与c|b|大小关系不确定，a2、b2、c2大小关系不确定．
那么上述不等式中正确的选项是A．
应选：A．
a＞b＞c且a+b+c=0，可得a＞0＞c，b∈R．利用不等式的根本性质即可判断出结论．此题考察了不等式的根本性质，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．
4.【答案】C
【解析】解：∵0＜x＜1，
∴1+x＞2=＞．
∴只需比较1+x与的大小．
∵1+x-==-＜0，
∴1+x＜．
应选：C．
先由根本不等式确定a，b的大小，再对b，c作差比较即可．
此题主要考察比较几个数的大小问题．比较大小一般通过根本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成．
5.【答案】B
【解析】解：因数列{a n}为等比，那么a n=3q n-1，
因数列{a n+1}也是等比数列，
那么〔a n+1+1〕2=〔a n+1〕〔a n+2+1〕
∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2
∴a n+a n+2=2a n+1
∴a n〔1+q2-2q〕=0
∴q=1
即a n=3，
所以s n=3n，
应选：B．
根据数列{a n}为等比可设出a n的通项公式，因数列{a n+1}也是等比数列，进而根据等比
性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出s n．
此题考察了等比数列的定义和求和公式，着重考察了运算才能．
6.【答案】D
【解析】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b-d，c=b+d，由题设得，，
解方程组得，或者，
∵d≠0，
∴b=2，d=6，
∴a=b-d=-4，
应选：D．
因为a，b，c成等差数列，且其和，故可设这三个数为b-d，b，b+d，再根据条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．
此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法：x-d，x，x+d．
7.【答案】D
【解析】解：依题意可知A i=a i•a i+1，
∴A i+1=a i+1•a i+2，
假设{A n}为等比数列那么==q〔q为常数〕，那么a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；
反之要想{A n}为等比数列那么=需为常数，即需要a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；
故{A n}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数
列，且公比一样．
应选D
根据题意可表示A i，先看必要性，{A n}为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比一样；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．
此题主要考察了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的断定．考察了学生分析问题和根本的推理才能．
8.【答案】B
【解析】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t〔万元〕，
分流后剩余〔100-x〕人每年创造的产值为〔100-x〕〔x%〕t，
那么由，解得：0＜x＜．
∵x∈N，
∴x的最大值为16．
应选：B．
分流后从事产品A消费的人数为100-x，根据要保证分流后，该公司产品A的年产值不减少，可列不等式组求解．
此题考察数学建模思想方法，关键是考察学生理解题意的才能，是中档题．
9.【答案】1
【解析】解：由a n+1=a n+a n+2，得a n+2=a n+1-a n，
所以a3=a2-a1=1，a4=a3-a2=1-2=-1，a5=a4-a3=-1-1=-2，a6=a5-a4=-2-〔-1〕=-1，a7=a6=a5=-1-〔-2〕=1．
故答案为：1．
根据递推公式a n+1=a n+a n+2，得a n+2=a n+1-a n，
把a1=1，a2=2带入可依次求出前7项，从而得到答案．
此题考察数列的递推公式，数列的递推公式是给出数列的一种方法．
10.【答案】4
【解析】解：假设实数x，y满足xy=1，
那么x2+4y2≥2x•2y=4xy=4，
当且仅当x=2y=±时，上式获得最小值4．
故答案为：4．
运用不等式a2+b2≥2ab〔当且仅当a=b获得等号〕，计算可得所求最小值．
此题考察根本不等式的运用：求最值，考察运算才能，属于根底题．
11.【答案】③
【解析】解：关于①，a+b＞1，可取，，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；关于②，a+b=2，可取a=1，b=1，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于④，a2+b2＞2，可取a=-2，b=-2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于⑤，ab＞1，可取a=-2，b=-2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”．
关于③，假设a+b＞2，那么a，b中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的．证明如下：假设a≤1且b≤1，
那么a+b≤2．
与条件“a+b＞2”矛盾，
故假设不成立．
即有a，b中至少有一个大于1，故③正确．
应选③．
此题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或者等于1，可得结论a+b小于等于212.【答案】64
【解析】解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，
∴=a1•〔a1+4d〕，又a1=1，
∴d2-2d=0，公差d≠0，
∴d=2．
∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．
故答案为：64．
依题意，a1=1，=a1•〔a1+4d〕，可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．
此题考察等差数列的前n项和，考察方程思想与运算才能，属于根底题．
13.【答案】
【解析】解：∵a1=S1=1，a2=S2-S1=3-1=2，∴公比q=2．
又∵数列{}也是等比数列，首项为=1，公比为q2=4，
∴==
故答案为：
由可得等比数列{a n}的首项和公比，进而可得数列{}也是等比数列，且首项为=1，公比为q2=4，代入等比数列的求和公式可得答案．
此题考察等比数列的前n项和公式，得出数列为等比数列是解决问题的关键，属根底题．14.【答案】505
【解析】解：由题意得：
82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505，
故答案为：505．
将图中对角线上数字从左上到右下相加即可．
此题考察了简单的合情推理问题，考察n阶幻方，是一道根底题．
15.【答案】解：〔1〕根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，
假设S9=-a5，那么S9==9a5=-a5，变形可得a5=0，即a1+4d=0，
假设a3=4，那么d==-2，
那么a n=a3+〔n-3〕d=-2n+10；
〔2〕假设S n≥a n，那么na1+d≥a1+〔n-1〕d，
当n=1时，不等式成立，
当n≥2时，有≥d-a1，变形可得〔n-2〕d≥-2a1，
又由S9=-a5，即S9==9a5=-a5，
那么有a5=0，即a1+4d=0，
那么有〔n-2〕≥-2a1，
又由a1＞0，那么有n≤10，
那么有2≤n≤10，
综合可得：1≤n≤10．n∈N．
【解析】此题考察等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题．
〔1〕根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，由S9=-a5，即可得S9==9a5=-a5，变形可得a5=0，结合a3=4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；〔2〕假设S n≥a n，那么na1+d≥a1+〔n-1〕d，分n=1与n≥2两种情况讨论，求出n的
取值范围，综合即可得答案．
16.【答案】解：〔1〕由x2-x-m=0可得m=x2-x=
∵-1＜x＜1
∴
M={m|}
〔2〕假设x∈N是x∈M的必要条件，那么M⊆N
①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a＜x＜a}，那么即
②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，那么即
③当a=2-a即a=1时，N=φ，此时不满足条件
综上可得
【解析】〔1〕利用参数别离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；
〔2〕假设x∈N是x∈M的必要条件，那么M⊆N分类讨论①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a ＜x＜a}，②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，③当a=2-a即a=1时，N=φ三种情况进展求解
此题主要考察了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，表达了分类讨论思想的应用．
17.【答案】解：〔1〕由题意可得：200〔5x+1-〕≥3000，
即5x-≥14，解得x≥3，又1≤x≤10，
∴3≤x≤10．
〔2〕设消费1200千克产品的利润为y，
那么y=100〔5x+1-〕•=120000〔-++5〕=120000[-3〔-〕2+]，
∴当=即x=6时，y获得最大值610000．
故甲厂以6千克/小时的速度消费可使利润最大，最大利润为610000元．
【解析】〔1〕根据题意列不等式求出x的范围即可；
〔2〕设总利润为y，得出y关于x的函数解析式，配方得出最大值即可．
此题考察了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题．
18.【答案】解：〔1〕∵4m2+4m-24＜0，
∴m2+m-6＜0，∴-3＜m＜2，
∴实数m的取值范围为：〔-3，2〕．
〔2〕p：-1≤x≤2，
设A={x|-1≤x≤2}，B={x|x2+2mx-m+6＞0}，
∵p是q的充分不必要条件，∴A⊊B
①由〔1〕知，-3＜m＜2时，B=R，满足题意；
②m=-3时，B={x|x2-6x+9＞0}={x|x≠3}，满足题意；
③m=2时，B={x|x2+4x+4＞0}={x|x≠-2}，满足题意；
④m＜-3，或者m＞2时，设f〔x〕=x2+2mx-m+6，
f〔x〕对称轴为x=-m，由A⊊B得
或者，
∴或者，
∴或者，
∴或者
综上可知：
【解析】〔1〕由△＜0得含m的不等式，解之得m的取值范围；
〔2〕把p是q的充分不必要条件转化为由A⊊B，在各种情况下找出充要条件不等式组，
进而求出实数m的取值范围．
此题考察了充分必要条件，考察解不等式问题，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
19.【答案】解：〔1〕∵，a1≠0，∴a1=1．…．〔1分〕
∵，∴〔1+d〕2=3+3d，
∴d=-1，2，
当d=-1时，a2=0不满足条件，舍去．
因此d=2．…．〔4分〕
∴a n=2n-1，∴，∴T n=．…．〔6分〕
〔2〕当n为偶数时，，∴，
∵，当n=2时等号成立，∴最小值为，
因此．…．〔9分〕
当n为奇数时，，
∵在n≥1时单调递增，∴n=1时的最小值为，∴．…．〔12分〕
综上，．…．〔14分〕
【解析】〔1〕利用，n取1或者2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；
〔2〕分类讨论，别离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论．
此题考察数列的通项与求和，考察恒成立问题，解题的关键是分类讨论，别离参数，属于中档题．
20.【答案】解：〔I〕a n=n，S n=．
∴S1=1，S2=3，S3=6，S4=10，S5=15．
∴b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3．
证明：〔II〕〔充分性〕
∵a1是奇数，a i〔i=2，3，4…〕为偶数，
∴对于任意i∈N*，S i都是奇数，
∴b n=n，
∴数列{b n}是单调递增数列．
〔不必要性〕
当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i〔i=2，3，4…〕均为奇数，
∴b n=n-1，数列{b n}是单调递增数列，
∴“a1为奇数，a i〔i=2，3，4，…〕为偶数〞是“数列{b n}是单调递增数列〞的不必要条件．
综上，：“a1为奇数，a i〔i=2，3，4，…〕为偶数〞是“数列{b n}是单调递增数列〞的充分不必要条件．
〔Ⅲ〕〔1〕当a k为奇数时，假设S k为偶数，
假设a k+1是奇数，那么S k+1为奇数，∴b k+1=b k+1=a k+1为偶数，与a k+1=b k+1矛盾；
假设a k+1为偶数，那么S k+1为偶数，∴b k+1=b k=a k为奇数，与a k+1=b k+1矛盾．
∴当a k为奇数时，S k不能为偶数；
〔2〕当a k为偶数，假设S k为奇数，
假设a k+1为奇数，那么S k+1为偶数，∴b k+1=b k=a k为偶数，与a k+1=b k+1矛盾，
假设a k+1为偶数，那么S k+1为奇数，∴b k+1=b k+1=a k+1为奇数，与a k+1=b k+1矛盾，
∴当a k为偶数时，S k不能是奇数．
综上，a k与S k同奇偶，
∵a1=b1=S1为偶数，且0≤b1≤1，∴b1=a1=0，
∵a2=b2≤b1+1=1，且b2≥0，∴b2=a2=0，
以此类推，得到a n=0．
【解析】〔I〕推导出a n=n，S n=．由此能写出数列{b n}的前5项．
〔II〕先证充分性，推导出b n=n，从而数列{b n}是单调递增数列；再证不必要性，当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i〔i=2，3，4…〕均为奇数，b n=n-1，数列{b n}是单调递增数列，由此能证明：“a1为奇数，a i〔i=2，3，4，…〕为偶数〞是“数列{b n}是单调递增数列〞的充分不必要条件．
〔Ⅲ〕当a k为奇数时，推导出S k不能为偶数；当a k为偶数，推导出S k不能是奇数，从而a k与S k同奇偶，由此得到a n=0．
此题考察数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考察推理才能与计算才能，属于中档题．。