2018-2019学年河南省南阳一中高一(下)开学数学试卷(2月份)(解析版)

2018-2019学年河南省南阳一中高一（下）开学数学试卷（2月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若直线过点（1，2），（4，2+√3）则此直线的倾斜角是（ ）
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. π
2
2. 若a =ln2，b =π1
2，c =log 12
e ，则有（ ） A. a >b >c B. b >a >c C. b >c >a D. c >a >b
3. 三条直线l 1：ax +by -1=0，l 2：2x +（a +2）y +1=0，l 3：bx -2y +1=0，若l 1，l 2都和l 3垂直，则a +b 等于（ ）
A. −2
B. 6
C. −2或6
D. 0或4
4. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划
采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A. 30人，30人，30人
B. 30人，45人，15人
C. 20人，30人，10人
D. 30人，50人，10人 5. 已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（-∞，0]上是减函数，且f(1
2)=2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为
（ ）
A. (0,1
2)∪(2,+∞)
B. (2,+∞)
C. (0,√2
2)∪(√2,+∞)
D. (0,√2
2
)
6. 已知圆C ：x 2+y 2+2x =0与过点A （1，0）的直线l 有公共点，则直线l 斜率k 的取值范围是（ ）
A. [−√32,√3
2
] B. [−√33,√3
3
] C. [−12,1
2]
D. [−1,1]
7. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图．为
了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人数为（ ）
A. 20
B. 25
C. 35
D. 45
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
8. 甲、乙两名运动员在某个赛季一些场次中得分的茎叶图如图所示，
则水平发挥较好的运动员是______． 9. 在平面直角坐标系中，动点P 到两条直线3x -y =0与x +3y =0的距离
之和等于2，则点P 到坐标原点的距离的最小值为______．
10. 已知符号函数sgn （x ）={1，x ＞0
0，x =0−1，x ＜0
，则函数f （x ）=sgn （x ）-2x
的所有零点构成的集合为______．
11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥P -ABCD 最终，O 为底面正方形的重心，
M ，N 分别为侧棱PA ，PB 的中点，有下列结论：
①PC ∥平面OMN ；
②平面PCD ∥平面OMN ； ③OM ⊥PA ；
④直线PD 与直线MN 所成角的大小为90°．
其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
12. 如图，甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（1）求甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差；
（2）请从平均数和方差相结合看，分析谁的射击水平好．
13. 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画
出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．
14.已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式为f（x）=1
4x -b
2x
（b∈R）
（Ⅰ）求b的值，并求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最值．
15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，
AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BMD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离．16.已知直线l经过两点A（2，1），B（6，3）
（1）求直线l的方程；
（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于点（2，0），求圆C的方程；
（3）若过B点向（2）中圆C引切线，BS、BT，S、T分别是切点，求ST直线的方程．
17.已知圆M（M为圆心）的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作
圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：设直线的倾斜角为α，则tanα==，
又∵α∈[0，π]，
∴α=．
故选：A．
利用倾斜角、斜率的计算公式即可得出．
本题考查了直线的倾斜角．熟练掌握倾斜角、斜率的计算公式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】
解：∵0＜a=ln2＜1，＞1，＜0，
∴b＞a＞c．
故选：B．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】
解：l1，l2都和l3垂直，①若b=0，则a+2=0，解得a=-2，∴a+b=-2．
②若b≠0，则-×=-1，-×=-1，
联立解得a=2，b=4，∴a+b=6．
综上可得：a+b的值为-2或6．
故选：C．
根据相互垂直的自尊心斜率之间的关系对b分类讨论即可得出．
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：甲校、乙校、丙校的学生数比例为3600：5400：1800=2：3：1，
抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生=30人，=45人，
=15人．
故选：B．
先计算各校学生数的比例，再根据分层比求各校应抽取的学生数．
本题考查简单的分层抽样，属基本题．
5.【答案】A
【解析】
解：由题意知不等式f（log4x）＞2，即f（log4x ）＞，又偶函数f（x）在（-∞，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x ＞=log42，或log4x＜-=，
∴0＜x ＜，或x＞2，
故选：A．
由题意知不等式即f（log4x ）＞，即log4x ＞，或log4x＜-，利用对数函数的定义域和单调
性
求出不等式的解集．
本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．
6.【答案】B
【解析】
解：根据题意得，圆心（-1，0）r=1设直线方程为y-0=k（x-1），即kx-y-k=0
∴圆心到直线的距离d=≤1，解得k≤
故选：B．
运用点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系可解决．
本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式．
7.【答案】B
【解析】
解：根据频率分布直方图，得；
在[2500，3000）（元）月收入段的频率是0.0005×500=0.25；
∴在该收入段应抽出的人数为100×0.25=25．
故选：B．
根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，即可求出结果．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．
8.【答案】甲
【解析】
解：依题意，甲的平均值为=（10+15+22+23+31+32+34+35+37+38+44+44+49+51）÷14≈33.21，乙的平均数=（8+12+14+17+21+29+29+33+36）÷9≈22.11．
故水平发挥较好的运动员是甲．
故填：甲．
比较两个运动员发挥的好坏，应该比较他们的平均数，计算出平均数对比即可．
本题考查了茎叶图的应用，属于基础题．
9.【答案】√2
【解析】
解：∵3x-y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，
∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，
则a+b=2，即b=2-a≥0，
得0≤a≤2，
由勾股定理可知OP===，
∵0≤a≤2，
∴当a=1时，OP的距离最小为OP==≥．
故答案为：．
先确定两条直线满足垂直关系，设出点到直线的距离分别为a，b，然后根据条件得到a+b=2，利用二次函数的性质即可求P到原点距离的最小值．
本题主要考查点到距离的公式，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
10.【答案】{−1
2，0，1
2
}
【解析】
解：①x＞0时，函数f（x）=sgn（x）-2x转化为函数f（x）=1-2x，令1-2x=0，得x=，即当x＞0时．函数f（x）=sgn（x）-2x的零点是；②x=0时，函数f（x）=sgn（x）-2x转化为函数f（x）=0，函数f（x）=sgn（x）-2x的零点是0；
③x＜0时，函数f（x）=sgn（x）-2x转化为函数f（x）=-1-2x，令-1-2x=0，得x=-，
即当x＜0时．函数f（x）=sgn（x）-2x的零点是-；
综上函数f（x）=sgn（x）-x的零点的集合为：{}．
故答案为：{}．
分类讨论，分别求出等价函数，分别求解其零点个数，然后相加即可．
本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．
11.【答案】①②③
【解析】
解：如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．
同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．
由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以
OM⊥PA，结论③正确．
由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为∠PDC，知三角形PDC 为等边三角形，所以∠PDC=60°，故④错误．
故答案为：①②③．
对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
本题考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12.【答案】解：由折线图可知，
甲射击10次中靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．
乙射击10次中靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10．
（1）x甲
−
=1
10
（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7环．
x
乙
−
=1
10
（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）=7环，
s
甲
2=1
10
×[（9-7）2+（5-7）2+（7-7）2×4+（6-7）2×2+（8-7）2×2）]=1.2，
s
乙
2=1
10
×[（2-7）2+（（4-7）2+（6-7）2+（7-7）2×2+（8-7）2×2+（9-7）2×2+（10-7）2]=5.4．
（2）因为平均数相同，说明两个运动员的水平相当，
s 甲2＜s 乙2，所以甲的射击稳定性比乙好，故甲的射击水平好．
【解析】
（1）根据图中给出的数据，代入平均数和方差的计算公式求解即可．
（2）平均数反映了甲乙二人的射击水平，方差则反应成绩的稳定性，结合数据分析即可． 本题通过折线图考查了样本数据的平均数与方差的计算和意义，属于基础题． 13.【答案】解：（1）∵各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3
∴第二小组的频率是4
2+4+17+15+9+3=0.08 ∵第二小组频数为12， ∴样本容量是12
0.08=150
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标， ∴高一学生的达标率是
17+15+9+3
50
=88%
即高一有88%的学生达标．
（3）∵这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置， ∵测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9 前3组频数之和是69，后3组频数之和是81， ∴中位数落在第四小组，
即跳绳次数的中位数落在第四小组中． 【解析】
（1）根据各个小矩形的面积之比，做出第二组的频率，再根据所给的频数，做出样本容量． （2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，得到中位数落在第四小组．
本题考查频率分步直方图，考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，本题解题的关键是读懂直方图，本题是一个基础题．
14.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）为定义在[-1，1]上的奇函数，且f （x ）在x =0处有意义，
∴f （0）=0，即f （0）═1-b =0．b =1…（3分） 设x ∈[0，1]，则-x ∈[-1，0]． ∴f （-x ）=1
4−x -1
2−x =4x -2x ．
又∵f （-x ）=-f （x ）
∴-f （x ）=4x -2x ． ∴f （x ）=2x -4x ．
所以，f （x ）在[0，1][上的解析式为f （x ）=2x -4x …（6分） （Ⅱ）当x ∈[0，1]，f （x ）=2x -4x =2x -（2x ）2， ∴设t =2x （t ＞0），则f （t ）=t -t 2． ∵x ∈[0，1]，∴t ∈[1，2]．
当t =1时，取最大值，最大值为1-1=0． 当t =0时，取最小值为-2．
所以，函数在[0，1]上的最大与最小值分别为0，-2…（12分） 【解析】
（Ⅰ）利用奇函数f （0）=0，即可求出b 的值，利用函数的奇偶性直接并求出f （x ）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）利用换元法化简函数为求f （x ）为二次函数，然后求解在[0，1]上的最值．
本题考查换元法的应用，函数的奇偶性以及函数的解析式的求法二次函数的闭区间上的最值的求法，考查计算能力．
15.【答案】
（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则由底面ABCD 是平行四边形可得O 为AC 的中点．
由于点M 为PC 的中点，故MO 为三角形PAC 的中位线，故MO ∥PA ．再由PA 不在平面BMD 内，而MO 在平面BMD 内， 故有PA ∥平面BMD ． （2）由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ，平行四边形ABCD 中，∵∠BCD =60°，AB =2AD ， ∴cos ∠BAD =AD
AB =cos60°
=1
2，∴AD ⊥BD ． 这样，AD 垂直于平面PBD 内的两条相交直线，故AD ⊥平面PBD ，∴AD ⊥PB ．
（3）若AB =PD =2，则AD =1，BD =AB •sin ∠BAD =2×√3
2
=√3， 由于平面BMD 经过AC 的中点，故点A 到平面BMD 的距离等于点C 到平面BMD 的距离． 取CD 得中点N ，则MN ⊥平面ABCD ，且MN =1
2PD =1．
设点C 到平面MBD 的距离为h ，则h 为所求．
由AD ⊥PB 可得BC ⊥PB ，故三角形PBC 为直角三角形．
由于点M 为PC 的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MD =MB ，故三角形MBD 为等腰三角形， 故MO ⊥BD ．
由于PA =√PD 2+AD 2=√4+1=√5，∴MO =√5
2．
由V M -BCD =V C -MBD 可得，13•（12×AB ×AD ×sin∠BAD ）•MN =13•（1
2×BD ×MO ）×h ， 故有1
3×（1
2×2×1×sin60°）×
1=1
3•（12
×√3×√52
）•h ，
解得h=2√5
5
．
【解析】
（1）设AC和BD交于点O，MO为三角形PAC的中位线可得MO∥PA，再利用直线和平面平行的判定定理，证得结论．
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，再由cos∠BAD==，证得AD⊥BD，可证AD⊥平面PBD，从而证得结论．
（3）点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离h，求出MN、MO的值，利用等体积法求得点C到平面MBD的距离h．
本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的性质，用等体积法求点到平面的距离，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题．
16.【答案】解：（1）由题可知：直线l经过点（2，1），（6，3），由两点式可得直线l的方程为：y−1
3−1=x−2
6−2
整
理得：x-2y=0，
（2）依题意：设圆C的方程为：（x-2）2+y2+ky=0，（k≠0）其圆心为（2，−k
2
）
∵圆心C在x-2y=0上，
∴2-2•(−k
2
)=0，∴k=-2．
∴圆C的方程为（x-2）2+y2-2y=0，
即（x-2）2+（y-1）2=1．
（3）圆（x-2）2+（y-1）2=1的圆心为C（2，1）
则BC的中点坐标为（4，2），|BC|=√20=2√5
∵S、T分别是切点，
∴以B（6，3），C（2，1）为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-2）2=5，
即x2+y2-8x-4y+15=0，
∵C的方程为x2+y2-4x-2y+4=0，
∴两个方程相减得4x+2y-11=0．
【解析】
（1）根据两点式方程即可求直线l的方程；
（2）根据直线和圆相切建立条件关系即可求圆C的方程；
（3）根据直线和圆相切建立条件关系即可求ST直线的方程．
本题主要考查圆的方程的求解，以及圆的相交弦的求解，考查学生的运算能力．17.【答案】解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=1
sin30∘
=2，即（2m）2+（m-2）2=4，…（3分）
解得：m=0，m=4
5
故所求点P的坐标为P（0，0）或P(8
5
，4
5
)．…（6分）
（2）设P（2m，m），MP的中点Q(m，m
2
+1)，因为PA是圆M的切线
所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x−m)2+(y−m
2
−1)2=m2+(m
2
−1)2…（9分）
化简得：x2+y2-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，
故{2x+y−2=0
x2+y2−2y=0
解得{y=2
x=0
或{
x=4
5
y=2
5
即（0，2）和（4
5
，2
5
）．…（14分）
【解析】
（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．
（2）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．
本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．。