华师版七年级下册数学 第10章 专题技能训练(七) 习题课件

专题技能训练
5．【中考·遵义】如图，在四边形 ABCD 中，∠C＝50°，
∠B＝∠D＝90°，E，F 分别是 BC，DC 上的点，当△AEF
的周长最小时，∠EAF 的度数为( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
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【点拨】 如图，分别作点 A 关于直线 BC 和 CD 的对称点 A′和 A″，连结 A′A″交 BC 于点 E，交 CD 于点 F，连结 AE，AF，则 A′A″的长即为△AEF 周长的最小值.作 DA 的延长线 AH， ∵∠C＝50°，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠DAB＝130°.∴∠HAA′＝50°.
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解：如图. 作法：（1）作点 C 关于直线 OA 的对称点 C1，点 D 关于直线 OB 的对称点 D1；（2）连结 C1D1，分别交 OA，OB 于点 P，Q，连 结 CP，DQ，那么小明沿 C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路 程最短.
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9． 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格 中，请分别在边 AB，AC 上找到点 E，F，使四边形 PEFQ 的周长最小．
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解：如图，作点 P 关于直线 AB 的对称点 P′，点 Q 关于直线 AC 的对称点 Q′，连结 P′Q′，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，连结 PE，PQ，QF，此时四边形 PEFQ 的周长最小，则点 E，F 即为 所求.
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10．如图，山娃星期天从 A 处赶了几只羊到草地 l1 放羊， 然后赶羊到小河 l2 饮水，之后再回到 B 处的家，假设山 娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线， 标明放羊与饮水的位置．
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解：如图，作点 A 关于直线 l1 的对称点 E，点 B 关于直线 l2 的 对称点 F，连结 EF，分别交 l1，l2 于点 C，D，连结 AC，DB， 则 AC，CD，DB 是他走的最短路线，放羊的位置是 C 处，饮水 的位置是 D 处.
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解：如图，分别作点 P 关于直线 AC，BC 的对称点 D，G，连结 DG 交 AC，BC 于点 M，N，连结 PM，PN，此时△PMN 的周 长最小，点 M，N 即为所求.
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7. 【中考·营口】如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5 cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点， △PMN 周长的最小值是 5 cm，求∠AOB 的度数．
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∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝50°. ∵∠A′＝∠EAA′，∠A″AF＝∠A″， ∴∠EAA′＋∠A″AF＝50°. ∴∠EAF＝130°－50°＝80°.故选 D.
【答案】D
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6．如图，在△ABC 的一边 AB 上有一点 P.能否在另外两边 AC，BC 上各找一点 M，N，使得△PMN 的周长最小？ 若能，请在图中确定点 M，N 的位置；若不能，请说明 理由．
华师版 七年级下
第10章 轴对称、平移与旋转
技能训练(七) 训练 最短路径问题
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1．如图，小红要从一间房的 A 点出发到河岸打水后再送到 另一间房的 B 点，请通过作图替小红找出最短的路径， 并画出小红走的路线．
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∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD. ∵△PMN 周长的最小值是 5 cm， ∴PM＋PN＋MN＝5 cm. ∴DM＋CN＋MN＝5 cm，即 CD＝5 cm＝OP.∴OC＝OD＝CD. ∴△OCD 是等边三角形. ∴∠COD＝60°.∴∠AOB＝30°.
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8．茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示 的两直排(图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子 再拿糖果，然后回到 D 处座位上，请你帮助他设计一条 行走路线，使其所走的总路程最短．
Байду номын сангаас
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3．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，在 AB 边 上求作一点 P，使 PC＋PD 最小．
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解：如图，作点 D 关于 AB 所在直线的对称点 D′，连结 CD′交 AB 于点 P，则点 P 即为所求，连结 PD，此时 PC＋PD＝PC＋ PD′＝CD′，根据两点之间线段最短可知此时 PC＋PD 最小.
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4．如图，线段 AC 是正方形 ABCD 的对角线，点 M 是边 CD 上的一定点(不与 D，C 重合)，请在对角线 AC 上取 一点 P，使得△PDM 的周长最小，并作简要说明．
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解：如图，连结 BM，交 AC 于点 P，点 P 即为所求，连结 PD. 由于四边形 ABCD 是正方形，所以点 B，D 关于直线 AC 对称， 所以 PB＝PD，所以当 PD＋PM＝BM 时，△PDM 的周长最小.
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解：作点 A 关于河岸的对称点 A′，连结 A′B，交河岸于点 O， 则点 O 就是小红打水点，连结 AO，如图，此时小红走的路线 A→O→B 就是最短路径.
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2．如图，P，Q 为△ABC 边上的两个定点，在 BC 上求作 一点 R，使△PQR 的周长最小．
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解：如图，连结 PQ，作点 P 关于 BC 所在直线的对称点 P′， 连结 P′Q，交 BC 于点 R，连结 PR，此时△PQR 的周长最小， 则点 R 就是所求作的点.
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解：分别作点 P 关于射线 OB，OA 的对称点 C，D，连结 CD， 分别交 OA，OB 于点 M，N，连结 OC，OD，PM，PN，如图所 示.此时△PMN 的周长最小. ∵点 P 关于射线 OA 的对称点为 D， ∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA. ∵点 P 关于射线 OB 的对称点为 C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB.