九年级数学第二十二章第3节《实际问题与二次函数》解答题专题复习 (71)(含解析)

第二十二章第3节《实际问题与二次函数》解答题专题复习
(71)
一、解答题
1．如图，在斜坡上按水平距离间隔50米架设电缆，塔柱上固定电缆的位置P ，Q 离塔柱底部的距离均为20米.若以点O 为原点，以水平地面OC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，已知斜坡OE 所在直线的解析式为1
5
y x =，两端挂起的电缆下垂近似成二次项系数
1
100
为抛物线的形状.
（1）点P 的坐标为 ，点Q 的坐标为 ； （2）求电缆近似成的抛物线的解析式；
（3）小明说：在抛物线顶点处，下垂的电缆在竖直方向上与斜坡的距离最近．你是否认同？请计算说明．
2．如图1，已知抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴相交于A 、B 两点（A 左B 右），与y 轴交于点C ．其顶点为D ．
（1）求点D 的坐标和直线BC 对应的一次函数关系式；
（2）若正方形PQMN 的一边PQ 在线段AB 上，另两个顶点M 、N 分别在BC 、AC 上，试求M 、N 两点的坐标；
（3）如图1，E 是线段BC 上的动点，过点E 作DE 的垂线交BD 于点F ，求DF 的最小值．
（图1） （图2）
3．如图，二次函数y ＝﹣x 2＋（k ﹣1）x ＋4的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且△AOB 的面积为6． （1）求A ，B 两点的坐标； （2）求该二次函数的表达式；
（3）如果点P 在坐标轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．
4．科研人员在测试一枚火箭竖直向上升空时发现，火箭的高度()h m 与时间()t s 的关系数据如下：
时间/t s
1
5
10
15
20
25
火箭高度/h m
155
635
1010
1135
1010
635
（1）根据上表，以时间t 为横轴，高度h 为纵轴建立直角坐标系，并描出上述各点； （2）你能根据坐标系中各点的变化趋势确定h 关于t 的函数类型吗？ （3）请由以上数据确定h 与t 的函数表达式；
（4）你能由上述三种函数的表示方式求出该火箭的最高射程是多少吗？你是根据哪种表示方式求解的？
5．如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，与x 轴交于A(4，0)、O 两点，点D(2，－2)为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E 为AO 的中点，以点E 为圆心、以1为半径作⊙E 交x 轴于B 、C 两点，点M 为⊙E 上一点．
①射线BM 交抛物线于点P ，设点P 的横坐标为m ，当tan ∠MBC ＝2时，求m 的值；
②如图2，连接OM ，取OM 的中点N ，连接DN ，则线段DN 的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN 的最值；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知抛物线()2
0y ax bx c a =++>的顶点为()2,4M -，且过点()1,5A -，连
接AM 交x 轴于点B ．
（1）直接写出当0y >时，自变量x 的取值范围；
（2）设点(),P x y 是抛物线在x 轴下方、顶点左方一段上的动点，连接PO ，以P 为顶点、PO 为腰的等腰三角形的另一顶点Q 在x 轴上，过点Q 作x 轴的垂线交直线AM 于点
R ，连接PR ，设PQR ∆的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式；
（3）在上述动点(),P x y 中，是否存在使2PQR S ∆=的点？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．
7．某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售．经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y （件）的取值范围．
8．如图，一面利用墙，用篱笆围成一个外形为矩形的花圃，花圃的面积为S2
m，平行于院墙的一边长为x m.
(1)若院墙可利用最大长度为10m，篱笆长为24m，花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形(如图1)，求S与x之间的函数关系；
(2)在(1)的条件下，围成的花圃面积为452
m更大
m时，求AB的长，能否围成面积比452
的花圃？如果能，应该怎么围？如果不能，请说明理由；
(3)院墙可利用最大长度为40m，篱笆长为77m，中间建n道篱笆间隔成小矩形(如图2)，当这些小矩形为正方形，且x为正整数时，请直接写出一组满足条件的x、n的值.
9．某农经公司以40元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调查，发现该产品日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）4050607080
日销售量p （千克）120100806040
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大?
（3）若农经公司每销售
．．这种农产品需支出m元（m>0）的相关费用，当
．．．1．千克
≤≤时，农经公司的日获利的最大值为1682元，求m的值．（日获利日销售利70x75
润日支出费用）
10．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y （℃），从加热开始计算的时间为x （分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃． （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
（3）该种材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间有多长？
11．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣3.0）、C （0，4），点B 在抛物线上，CB∥x 轴，且AB 平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式a ，b ，c ；
（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？如果存在求出点M 坐标；如果不存在，说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23
y ax x c =-
+与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，直线3
y x b =+与抛物线相交于点A ，D ，与y 轴交于点E ，已知3OB =2OC =．
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）点P 是抛物线上的一个动点，若直线//PE AC ，连接PA 、PE ，求tan APE ∠的
值；
（3）动点Q从点C出发，沿着y轴的负方向运动，是否存在某一位置，使得
30
OAQ OAD
∠+∠=？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系y＝mx2+20x+n，其图象如图所示．
（1）m＝_____，n＝_____．
（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（3）该种商品每天的销售利润不低于16元时，直接写出x的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，给出如下定义：形如y=（x﹣m）（x﹣m+1）与y=（x﹣m）（x ﹣m﹣1）的两个二次函数的图象叫做兄弟抛物线．
（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式．
（2）若二次函数y=x2﹣x（图象如图）与y=x2﹣bx+2的图象是兄弟抛物线．
①求b的值．
②若直线y=k与这对兄弟抛物线有四个交点，从左往右依次为A，B，C，D四个点，若点B，点C为线段AD三等分点，求线段BC的长．
15．已知：如图1，直线
3
6
4
y x
=+与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为
2．
（1）求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD＝2S△PAD，求点P的坐标；
（3）如图2，另有一条直线y＝－x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN＝∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q
的坐标．
16．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B 点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t 秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．
17．（本题12分）如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为15米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成花圃的面积为36平方米，求AB的长为多少米？
（3）如果要使围成花圃面积最大，求AB 的长为多少米？ 18．（本题满分12分）二次函数
的图象与轴交于A （－3，
0）、B （1，0）两点，与轴交于点C （0，
）（其中
），顶点为D ．
（1）用含的代数式分别表示、、； （2）如图，当取何值时，△ADC 为直角三角形？
19．随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的生活.某汽车租赁公司拥有40辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为120元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加5元时，未租出的车将增加1辆；该公司平均每日的各项支出共2100元．
(1)若某日共有x 辆车未租出，则当日每辆车的日租金为 元；
(2)当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？ 20．附加题：如图，四边形ABCD 中，90,,4BAD ACB AB AD AC BC ︒
∠=∠===，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y .求y 与x 之间的关系式.
【答案与解析】
一、解答题
1．（1）()020，
，()5030，；（2）213
20100
10
y x x =-+；（3）不认同，见解析. （1）直接由题意即可得到答案. （2）设抛物线的解析式为2
1y x bx c 100
=++，将点A （0，20），C （50，30）代入求解可得；
（3）先求得抛物线的顶点，设M 为抛物线上一点，过点M 作x 轴的垂线，交斜坡于点N ，交x 轴一点D ，列出MN 的解析式可得出MN 最小值时x 的值与抛物线顶点的比较.
解：(1)由题意易知P 点坐标为（0，20），Q 点坐标为（50，30）. （2）设抛物线的函数解析式为2
1100
y x bx c =
++，
把()020，
和()5030，代入，得 1
2500503010020b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=⎩
解得31020b c ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
∴
抛物线的函数解析式为213
2010010
y x x =-+ （3）不认同.
抛物线的顶点为79154⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
如图，设M 为抛物线上一点，过点M 作x 轴的垂线，交斜坡于点N ，交x 轴一点D ，
设点2132010010M x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，
，则N 为15x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
()2
213115520251001051004MN x x x x ∴=-+-=-+
∴
当25x =时，MN 有最小值，此时下垂的电缆在竖直方向上斜坡的距离最近. 【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 2．（1）(1,4)D ，3y x =-+；（2）912(,
)77M ，312
(,)77N -；（3
． （1）将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D 的坐标；先根据二次函数的解析式可求出B 、C 的坐标，再利用待定系数法可求出直线BC 的一次函数关系式；
（2）先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而可设点M 、N 的坐标，再根据正方形的性质（四边相等）列出等式求解即可；
（3）先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再设点E 、F 的坐标，利用待定系数法分别求出直线DE 、EF 的一次项系数，然后利用EF DE ⊥列出等式并化简，得出DF 的表达式，由此求解即可得．
（1）22
23(1)4y x x x =-++=--+
则顶点D 的坐标为(1,4)D
当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x = 则点A 的坐标为(1,0)A -，点B 的坐标为(3,0)B 当0x =时，3y =，则点C 的坐标为(0,3)C 设直线BC 对应的一次函数关系式为11y k x b =+ 将点(3,0)B ，(0,3)C 代入得：111303k b b +=⎧⎨
=⎩，解得11
1
3k b =-⎧⎨=⎩
则直线BC 对应的一次函数关系式为3y x =-+； （2）设直线AC 的解析式为22y k x b =+
将点(1,0)A -，(0,3)C 代入得：222
3k b b -+=⎧⎨=⎩，解得2233k b =⎧⎨=⎩
则直线AC 的解析式为33y x =+
设点M 的坐标为(,3)M m m -+，点N 的坐标为(,33)N n n +
四边形PQMN 是正方形，PQ 在线段AB 上
//,MN PQ MN MQ NP ∴==
,3,33MN m n MQ m NP n ∴=-=-+=+。