2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第2章 第2讲 第2课时 函数的奇偶性及周期性

第2课时函数的奇偶性及周期性
一、知识梳理
1．函数的奇偶性
[注意]奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何
值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
[注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f (x )＝5. 常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝
1
f （x ）
，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1
f （x ），则T ＝2a (a >0)．
二、习题改编
1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |
D ．y ＝2－
x
详细分析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
2．(必修4P46A 组T10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)
时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫
32＝ ． 详细分析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－1
22
＋2＝1. 答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()
答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√
二、易错纠偏
常见误区(1)利用奇偶性求解+析式忽视定义域；
(2)周期不能正确求出从而求不出结果．
1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝．
详细分析：当x<0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．
答案：x(1－x)
2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－1
f（x）
.当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)＝．
详细分析：因为f(x＋2)＝－1
f（x）
，所以f(x＋4)＝f(x)，故4为函数f(x)的一个周期．f(105)＝f(4×26＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
判断函数的奇偶性(师生共研)
判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x )＝x 3－1
x
；
(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x <0.
【解】 (1)原函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x 都有 f (－x )＝(－x )3－
1
－x
＝－⎝⎛⎭⎫x 3－1x ＝－f (x )， 从而函数f (x )为奇函数．
(2)f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0， 所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，
当x ＞0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )； 当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )． 故该函数为奇函数．
判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒]对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
已知函数f (x )＝x 2x －1
，g (x )＝x
2，则下
列结论正确的是( )
A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数
B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数
C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数
D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数
详细分析：选A.易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．因为f (－x )
＋g (－x )＝－x
2－x －1＋－x 2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x （1－2x
）－x 1－2x
－x 2＝x 2x －1＋x
2＝f (x )＋g (x )，所以h (x )
＝f (x )＋g (x )是偶函数．故选A.
函数奇偶性的应用(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x＜0时，f(x)＝()
A．e－x－1B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.
【答案】 D
已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解+析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解+析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒
等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．
(一题多解)已知函数f (x )为奇函数，当
x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为 ．
详细分析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x . 又因为函数f (x )为奇函数， 所以
f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－
⎝⎛⎭⎫x ＋122
＋14
，
所以当x <0时，函数f (x )的最大值为1
4.
法二：当x >0
时，f (x )＝x 2－x ＝
⎝⎛⎭⎫x －122
－14，最小值为－14
， 因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为1
4.
答案：14
函数的周期性(师生共研)
(1)(2020·广东六校第一次联考)在R 上
函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0
|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则
a ＝( )
A ．0.5
B ．1.5
C ．2.5
D ．3.5
(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，4]上与x 轴的交点的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
(1)由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )是周期为2的函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，
即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x －2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．
【答案】(1)C(2)D
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)
＝－1
f （x ）
，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1.则f (17)＝ ，f (20)＝ ．
详细分析： 因为f (x ＋2)＝－
1
f （x ）
， 所以f (x ＋4)＝－
1
f （x ＋2）
＝f (x )，
所以函数y ＝f (x )的周期T ＝4. f (17)＝f (4×4＋1)＝f (1)＝1.
f (20)＝f (4×4＋4)＝f (4)＝f (2＋2)＝－1f （2）＝－12×2－1＝－1
3.
答案：1 －1
3
[基础题组练]
1．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1
x
B ．y ＝log 2|x |
C ．y ＝1－x 2
D ．y ＝x 3－1
详细分析：选C.函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A 的函数为奇函数，不符合要求；选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C 符合要求．
2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54
C.54
D ．3
详细分析：选A.由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.
3．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3
，则f ⎝⎛⎭⎫52＝( )
A ．－27
8
B ．－18
C.18
D.278
详细分析：选B.因为f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32＋1＝f ⎝⎛⎭⎫12－1＝f ⎝⎛⎭⎫－1
2，又因为函数为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎝⎛⎭⎫123
＝－18
. 4．已知定义域为[a －4，2a －2]的奇函数f (x )＝2 018x 3－sin x ＋b ＋2，则f (a )＋f (b )的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不能确定
详细分析：选A.依题意得a －4＋2a －2＝0，所以a ＝2.又f (x )为奇函数，故b ＋2＝0， 所以b ＝－2，所以f (a )＋f (b )＝f (2)＋f (－2)＝0.
5．已知函数f (x )＝2|x |＋x 3＋1
2|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
详细分析：选B.f (x )＝2|x |＋x 3＋12|x |＋1＝1＋x 32|x |＋1.设g (x )＝x 3
2|x |＋1，因为g (x )定义域为R ，关
于原点对称，且g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0.因为M ＝f (x )max ＝1＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以M ＋m ＝1＋g (x )max ＋1＋g (x )min ＝2.
6．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ．
详细分析：f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2①， f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4②， 由①②得，2g (1)＝6，即g (1)＝3. 答案：3
7．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫
32＝ ．
详细分析：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )， 则f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋1＝3
2. 答案：3
2
8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (f (－8))
＝ ．
详细分析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，
所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案：－1
9．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .
(1)判定f (x )的奇偶性；
(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式． 解：(1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，
所以f (x )是偶函数．
(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；
从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2. 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].
10．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数． 所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))， 即f (1＋x )＝f (1－x )．
从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．
设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.
[综合题组练]
1．(2020·福建龙岩期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋1)＝－f (x －1)，若f (－1)>1，f (5)＝a 2－2a －4，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1，3)
B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C ．(－3，1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
详细分析：选A.由f (x ＋1)＝－f (x －1)，可得f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )的周期为4，则f (5)＝f (1)＝a 2－2a －4，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－1)>1，所以f (1)<－1，所以a 2－2a －4<－1，解得－1<a <3，故答案为A.
2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫
12x
，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是 ．
详细分析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)
＝－5
4
，故f (1)>g (0)>g (－1)．
答案：f (1)>g (0)>g (－1)
3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )． 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，
a －2≤1，
所以1<a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1，3]．
4．(应用型)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫3
2－x 成立．
(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值． 解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫3
2－x ， 且f (－x )＝－f (x )，
所以f (x ＋3)＝f ⎝⎛⎭⎫32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭
⎫32－⎝⎛⎭
⎫3
2＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 且f (－1)＝－f (1)＝－2， 又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，
所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.。