求不定积分的若干方法讲解

求不定积分的若干方法讲解
目录
中文摘要 (3)
Abstract (4)
1 引言 (6)
2 直接积分法 (6)
2.1原函数和不定积分的定义 (6)
2.2直接积分法的运用方法 (6)
3 换元积分法 (7)
3.1 第一换元积分法 (7)
3.1.1 第一换元积分法的定义与分析 (7)
3.1.2 第一换元积分法的运用 (7)
3.2 第二换元积分法 (10)
3.2.1 第二换元积分法的定义和分析 (10)
3.2.2 第二换元积分法的运用 (10)
3.3 换元积分法中值得注意的问题 (12)
4 分部积分法 (13)
4.1分部积分法的定义和分析 (13)
4.2分部积分法的几种题型和分部积分法中u和dv的选择 (14)
5 有理函数的不定积分 (15)
5.1 有理函数的不定积分的定义和分析 (15)
5.2 待定系数法在不定积分中的运用 (16)
6 小结 (17)
参考文献 (20)
1 引言
数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。

其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。

一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则
和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。

本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。

2 直接积分法
2.1 原函数和不定积分的定义
(1) 原函数定义:设函数f 与F 在区间I 上都有意义，若F ′(x)=f(x)，x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。

例如：f(x)是R 上的一个原函数，其中f ′(x)是f(x)的导函数，那么f(x)即为f ′(x)的原函数。

注意：初等函数都是连续函数，所以均有原函数。

(2) 不定积分定义：函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作()()f x d x ?，其中?为积分号，f(x)是被积函数，x 为积分变量。

即
()()f x d x ?=F(x)+C.若F 是f 的一个原函数，
则称y=f(x)的图像为f 的一条积分曲线。

即f 的不定积分为沿y 轴任意平移的曲线族。

2.2 直接积分法的运用方法
直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。

该方法是求不定积分的基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。

(1) 利用二项式定理将二项式变为多项式，从而变为多个单项式求积分；
例1：3
22345(2)(8126)x x dx x x x x dx -=-+-?? 34568613356x x x x c =-+-+ (2) 利用代数公式或三角公式将积商形式的被积函数化为代数和的形式，并使每一项都符合积分公式；
例2： 12525823333333(1)363(2)258x dx x x x dx x x x c x
-+=++=+++?? (3) 对分式函数还可以根据分母的情况，将分子拆项或拼凑，化为几个分式的代数和后再约分，使其符合积分公式；
例3： 222222221(1)11(1)
(1)1x x dx dx dx dx x x x x x x +-==-+++
1arctgx c x
=--+ (4) 对于含有绝对值的积分问题，要求先处理绝对值再积分。

由此可得，直接积分法使熟练掌握基本公式的基础。

但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对于比较复杂的积分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式求解积分。

3 换元积分法
所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分()f x dx ?有困难时，()(t=(x),t x )x t φθφθθ=≠存在反函数且（）及（）都是连续可微函数，′(t)c ，把原来的积分转化为对新变量t 的积分。

那么，不定积分的换元法有（其逆运算）导数的换元法（即复合函数的求导方法）而来，它是通过改变积分变量的方式来实现不定积分问题的转化。

不定积分的换元法按照换元前后新旧积分变量的关系可分为：第一类换元积分法和第二类换元积分法。

3.1 第一换元积分法
3.1.1 第一换元积分法的定义与分析
第一类换元积分法，其新的积分变量为原积分变量的函数，即新的微分元为原积分变量函数的微分。

该方法的基本思路是把所求的被积函数通过适当的变量代换后，化成积分公式中的某一被积形式，然后代入积分公式求出结果，所以，也称为“凑微分法”。

简单的说：第一类换元积分法的基本步骤如下：
[()]()[()][()]f x x dx f x d x φφφφ→??凑微分′ ()f u du φ→?换元（令u=(x)） ()F u c
→+积分[()]F x c φ→+回代[1] 那么，该积分的关键是：将被积表达式凑成两部分，一部分是复合函数，其中外函数是基本积分公式中的某一被积形式，另一部分是内函数的微分。

其根本就是通过拼凑使原本不能利用公式求的积分变成可应用公式求，使用此方法时，要熟练运用，除了要牢固掌握微积分的基本公式以外，还要了解一些常用微分公式。

3.1.2 第一换元积分法的运用
首先，介绍一下基本的一些常微分公式，这些公式对于求解积分中运用换元积分法的题目有重要作用。

(1) 直接“凑”即将被积函数中的某个函数直接与dx 凑成微分形式；
例4：求?dx xe x 2
2.
分析：其中2x 与e 2x 凑成微分形式。

解：?dx xe x 22=()?22x d e x
令u=x 2 则()?22x d e x =?du e u =e u +C
将u=x 2回带，则e u =e 2x ,所以?dx xe x 22= e 2x +C
(2) 分部“凑”即被积函数形式较为复杂，直接观察不易凑成微分形式，可先将部分因子化简后，分部来“凑”；
例5：求211ln (1)1x dx x x
++-?. 解：由于[ln (1+x)]′=
11x +, [ln (1-x)]′=-11x - 2111111ln ()ln 112111x x dx dx x x x x x
++=+--+--?? 211ln [ln(1)ln(1)]2111111ln ln (ln )21141x d x x x x x x d c x x x
+=+---+++==+---?? (此类属于多次凑微分，我们习惯以x 的运算模式，现在变成不常见的积分变量，具有一定的迷惑性，要多加小心。

)
(3) 变形后“凑”即有些积分通过恰当的变形（加、减、乘、除某些因子）后，可以使用凑微分法。

例6：求不定积分21
dx
x x -?[2].
解：利用211()d dx x x =-.将原被积函数进行恒等变形，即：2221
1111x x x x =
--,就有222111dx dx x x x x
=--??c x +-=1arcsin 注意：凑微分的过程中要小心系数的调整。

这其中在于把被积表达式f(x)dx 凑成g(φ(x))φ′(x)dx 的形式，以便选取变换u=φ(x)化为易于积分()g u du ?，最终引入将新变量（u ）还原为起始变量（x ）。

例7：求dx x
-3321. 分析：dx x
-3321=)32()32(3131x d x ----，其中外函数是幂函数. 解：令u=2-3x ，
dx x ?-3321=?--du
u 3131
=c u +-3
221 =c x +--32)32(2
1 技巧：形如sin sin mx nxdx ?、sin cos mx nxdx ?（m ≠n ）可用积化和差公式将其变形为dx x n m x n m ])cos()[cos(21+--?、dx x n m x n m ])sin()[sin(2
1-++?. 例8：求?xdx x x 3cos 2cos 4sin . 解：x x x x x x 3cos )2sin 6(sin 2
13cos 2cos 4sin += =x x x x 3cos 2sin 3cos 6sin 2
1+ =x x x x sin 4
15sin 413sin 419sin 41-++ ??-++=
dx x x x x xdx x x )sin 3sin 5sin 9(sin 413cos 2cos 4sin =c x x x x ++---cos 4
13cos 1215cos 2019cos 361 第一类换元积分法是积分中的基本方法，用处很广，其中最关键的一步是凑微分，即把被积函数中的一部分送到微分号里面，凑成基本公式的形式。

拼凑时，不但要熟悉基本的微分公式，还要经过一些恒等变换，才能真正运用凑微分法的内涵。

3.2 第二换元积分法
3.2.1 第二换元积分法的定义和分析
第二类换元积分法，其原积分变量为新的积分变量的函数。

一般地，如果在积分()f x dx ?中，令()x t φ=,且()x t φ=可导，φ′(t)≠0,则有()[()]()f x dx f t t dt φφ=??′，
若该式右端易求出原函数F(t)，则得第二类换元积分法：()[()]f x dx F x c φ=+?′。

简单的说，第二类换元积分法的基本步骤：
(())()[()]()x t f x dx f t t dt φφφ=→??换元令′ ()F t c ???→+积分
11[()]F x c φφ--
→+回代t=(x)
3.2.2 第二换元积分法的运用一般地，被积函数中含有根式，采用第二换元积分法，目的是去掉根号。

(1) 简单根式代换：()f x ax bdx +?，令t b ax =+。

例9：求
321x dx x +?.
解：令21x t +=，则21x t =-得21tdt
dx t =- 32222(1)111
x t t dx tdt x t t --=+-?? 231(1)3t dt t t c =-=-+?=2321(1)13 x x c +-++ 若被积函数中含有多个x 的n （n 为整数）次方根，这多个x 的n 次方根次数的最小公倍数是m ，则令m x t =，那么1,m m x t dx mt dt -==。

[3]
(2) 三角代换即当被积函数中出现根式22x a +、22x a -、22a x -（a>0）时，可以令x 为其一三角函数，从而使根式有理化。

①
22(,)f x x a dx +?，令x=t a tan (22t ππ-<<) ②
22(,)f x x a dx -?，令x=t a sec (022t t πππ≤<<≤或者) ③ 22(,)f x a x dx -?，令x=t a sin (22t ππ-
≤≤) 例10：求2
21x dx x +?
. 解：令x=dx t a ,tan =2sec tdt 221x dx x +?=22tan ·sec sec t
tdt t ?=2tan sec t tdt ?
22322tan (sec )
(sec 1)(sec )
1sec sec 3
1(2)13
td t t d t t t c x x c ==-=-+=-++?? 通过上述代换将被积函数变为有理分式函数或三角函数：a 、当被积函数中含有22a x -，22x a ±等因子时，使用三角代换去掉根号；b 、形如R （x sin 、x cos ）类型的积分，介绍一种新的方法——利用万能公式换元求积分。

万能公式为：令t x =2tan ，则212sin t t x +=，2
211cos t t x +-=，212tan t t x -=，这一类的万能公式在运用上很广泛。

例11：求?+dx x
x sin )cos 2(1.
解：令t x =2tan ，则212sin t t x +=，2211cos t t x +-= ?+dx x
x sin )cos 2(1=?+?+-+dt t t t t t 2
2212)112(2 =?++dt t t t )3(122=?++dt t t t 232131 =c t t +++)3ln(3
1||ln 312 =c x x +++)2
tan 3ln(31|2tan |ln 312 万能换元的方法虽然普遍，但计算量往往比较大，有时可以根据被积函数的特点，做一些变形后进行积分。

变形的基本思路是：(1) 尽量使分母简单，为此或分子分母乘以某个因子，把分母化为x m sin （或x m cos ）得单项式，或将分母整个看成一项。

(2)尽量使R （x sin 、x cos ）得幂降低，为此通常利用倍角公式或者积化和差公式以达目的。

(3) 倒代换即被积函数的分母中含有根号时，有时会用到倒代换，形式为
2222222111,,dx dx dx x a x x x a x x a ±--的不定积分。

当分母中未知量次数较高时，通过变化转换为分子的未知量次数，
就会有意想不到的结果，即令t
x 1=。

3.3 换元积分法中值得注意的问题
但是，再换元积分法中值得注意的一个问题：[4]
从原函数的定义即存在定理知，在北极函数的连续区间的原函数是一个连续函数，不应是分段连续函数，在碰见这一类的问题时，应该对该问题进行分段处理。

对此，我们解题要加倍小心。

如：求2411 x dx x ++?，给出一种解法：解：2411x dx x ++? =24(1x x +?·221)x dx x
+ 222211()1()211arctan 22x d x x x
x c x
-=-+-=+? 在其中，被积函数的定义域是（,-∞+∞），二上述两种情况是在假定x 0≠的情况下计算出来的，因此，所得结果只能在(,0)(0,)-∞?+∞内成立，如果把所
求的结果当作在（,-∞+∞）内的一个原函数，那么它在x=0处就间断，因而就是一个分段连续函数，故结果不能认为正确。

为使上述被积函数在（,-∞+∞）中的原函数是连续的，我们必须考路原函数在x=0点的连续性. 由于212x arctg x
-在x=0处的左极限等于2π-，有极限为2π。

因此，F(x)=｛ 2211, x>02222 0 , x=011, x<02222
x arctg x x arctg x ππ-+-- ，
在（,-∞+∞）内由定义且连续，此外，当x 0≠时，可以直接求导得到f （x ）。

利用换元积分法解题明白，但是不能解决所有的题型，下面引入求积分的新方法——分部积分法。

4 分部积分法
4.1分部积分法的定义和分析
直接积分法是求积分的基本方法，换元积分法是求积分的重要方法，若这两种方法均不能得出结果，就要用到下面的积分方法。

分部积分法是化简被积函数为可积形式的重要而有效的方法，可看成微分学中两个函数乘积运算的逆运算。

分部积分法定义：设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数，则
udv uv vdu =-??，那么，该积分法使用的范围是两种不同类型函数乘积形式的不定积分。

[5]其主要用于解决被积函数是两种初等函数的乘积或单一个函数（对数函数。

反三角函数，初等函数）的不定积分。

利用此公式求积分的基本步骤是：
()()udv f x uv f x dx uv dx =→???→???分解′凑微分′
()uv vdu uv vu dx uv F x c →-→-→-+??分布积分公式求微分基本积分公式′
分部积分法的基本思想是化繁为简，当左边的不定积分udv ?不易求解，而右边的不定积分易求解时，则可通过该公式使不定积分udv ?得以解决。

该积分法的关键是选择哪个因子当作u ，哪个当作v ，选择不当不仅不会使积分由复杂到简单，反而更复杂。

那么，通过以上讨论，被积函数应该在什么情况下运用分部积分法呢？
4.2 分部积分法的几种题型和分部积分法中u 和dv 的选择
一般被积函数属于下列类型之一时通常使用分部积分法：
① 被积函数是两个不同类型函数的乘积；
② 被积函数含有对数函数；
③ 被积函数含有三角函数。

由以上条件可有三种题型及解法：
(1) 形如x ,sin ,cos n kx n n e dx x kxdx x kxdx 依次按排列的顺序分别变换成111(),(cos ),(sin ).n kx n n x d e x d kx x d kx k k k -. 例12：求积分sin x xdx ?.
分析：是两个不同函数的乘积，所以可用分部积分法。

解：sin x xdx ?=(cos )xd x -?
(cos )(cos )cos sin x x x dx x x x c =---=-++? (2) 形如ln ,arctan ,arcsin n n n x xdx x xdx x xdx 依次按
排列的顺序分别变换成 111111ln (),arctan (),arcsin ().111
n n n xd x xd x xd x n n n ++++++[6] 例13：求积分ln x xdx ?.
解：ln x xdx ?=222111ln ()ln (ln )222x x x x x d x =-?? 22222111ln 2211ln 22
11ln 24
x x x dx x
x x xdx x x x c =-=--=--+?? 合适的运用分部积分法来计算上述题型,就必须对其中的u 与dv 进行正确的选择。

如果被积函数是由“反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数”（后面简称“反，对，幂，指，三”）中的任意两个函数的乘积时，按此顺序，谁在前面，谁就做u ，其余的与dx 一起做dv 。

例14：求积分2x ln x dx ?.
分析：不定积分中的被积函数为幂函数与对数函数的乘积，有口决“反，对，幂，指，三”知，将x ln 作为u ，余下2x dx 作为dv 。

解：设u=dv x ,ln =2x dx ,有du=3
1,3x dx v x = 2x ln x dx ?=33ln ln 33
x x x d x -? 32331ln 33ln 39
x x x dx x x x c =-=-+?
小结：要快速的掌握分部积分法，首先必须了解该积分方法的思想——比较难求的积分udv ?来计算；其次，应该掌握对u 与dv 的选择。

在积分学中，分部积分法中有几种简便方法：
(1) 当一个积分的被积函数是“反，对，幂，指，三”中的任意两类函数的乘积时，按此顺序；谁排在前，u 就选谁，可以正确快速地利用分部积分法求出积分；
(2) 当被积形式为(),()sin ,()cos kx n n n P x e dx P x kxdx P x kxdx 可用斜式相乘法求积分。

[8]
5 有理函数的不定积分及待定系数法
5.1 有理函数的不定积分的定义和分析
有理函数的不定积分不仅是微分学中的一个重要内容，也是不定积分学习中的一个重点和难点。

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下
形式的函数：R(x)=()()
m n P x Q x . 其中有理函数可以分解为多项式（即有理整式）与真分式之和，多项式易于求积分，而真分式可以化为部分分式的和求积分。

在将真分式分解成部分分式的和时，对于简单的问题，可以用观察法进行拆分；复杂的则要另寻他法。

那么，有理函数的积分形如
dx x R )(的积分，其中11011011(),()m m n n m m m n n n P x a x a x a x a Q x b x b x b x b ----=+++=+++；m 和n 均为非负整数；0101,,,,m n a a a b b b 及都是实数，且000,0a b ≠≠.
当m<="">
5.2 待定系数法在不定积分中的运用那么，有理真分式()()
m n P x Q x 的积分该如何求解呢？[9] (1) 第一步：对分母Q （x ）在实数解内作标准分解：
11
22111()()()()()s t u u s t t Q x x a x a x p x q x p x q λλ=--++++，在多项式Q （x ）中0,1,(1,2,,;1,2,,)i j b u i s j t λ===均为自然数，而且i λ的前s 项的和与j u 的
前t 项的和的二倍相加等于m ；j=1，2，
，t. 第二步：根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如
()k x a -的因式，它所对应的部分分式是 122;()()k k A A A x a x a x a +++--- 对每个形如2()k x px q ++的因式，它所对应的部分分式是
11222222()()
k k k B x C B x C B x C x px q x px q x px q ++++++++++++. 把所有部分分式加起来，使之等于R （x ）。

第三步：确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，而其分子亦应与原分子P(x)恒等。

于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程即为要确定的系数。

(2) 对于有理真分式，可以看成以下几种情况：
①当分母Q(x)含有单因式x-a 时，分解式中应有一项A x a
-，A 为待定系数；②当分母Q(x)含有重因式()n x a -时，部分分式中相应有n 个项，分母按()n x a -的次数依次降低为一次，分子为待定系数；
③当分母Q(x)中含有质因式2x px q ++时，部分分式中相应的有一项2Ax B x px q +++. 例15：求积分43223518356
x x x x dx x x --+--+?. 解：该被积函数为假分式，利用多项式除法，得
43223518356
x x
x x dx x x --+--+?=223(21)56x x x dx dx x x ++++-+?? 然后再把上面真分式化成部分分式之和，利用待定系数法，令
23356(2)(3)23
x x A B x x x x x x ++==+-+---- 去分母，得（x+3）=A(x-3)+B(x-2) 得A=-5、B=6.
故
43223518356x x x x dx x x --+--+?=256(21)23x x dx dx dx x x -+-++--
32125ln |2|6ln |3|3
x x x x c =+---+-+ 用待定系数法将其复杂的有理函数变为有理真分式的代数和，然
后用前面的方法逐项积分。

该方法的基本步骤：
① 先考察被积有理函数是真分式，还是假分式。

如果是假分式，在通过带余
除法化为多项式和真分式之和；如果是真分式，则进行第（2）步;
② 在实数范围内把分母多项式分解成若干个一次因式和二次因式之积; ③ 设定真分式函数分解成若干部分分式之和的形式;
④ 利用待定系数法等方法求出各部分分式的分子所有系数；
⑤ 对多项式（如果有理函数是假分式）和各部分分式分别进行积分并求和。

6 小结
为使复杂的函数积分，变得简单易学，根据直接积分法，换元积分法，分部积分法，等的特点.使()f x dx ?逐步向基本公式接近。

以下是总结的一些技巧：
1 补项法即将被积函数f(x)的某部分“加一项，减一项“后，使不定积分接近积分基本公式，求出结果；
例16[10]：求?+2)
1(x e dx . 解：?+2)1(x e dx =?+-+dx e e e x x x 2)1()1(=??+-+2)
1(1x x x e dx e e dx =c e
e e e d e dx e x x x x x x ++++=++-+??---11)1ln()1()1(12 2 乘除法即将被积函数f(x)“同乘同除”某式子，经过适当的运算求结果；
例17：求?+dx x x )
1(13. 解：?+dx x x )1(1
3=?+)()1(1333x d x x =?+-)()1
11(31333x d x x =c x x c x x ++-=++-|1|ln 3
1||ln |]1|ln ||[ln 31333 3 拆项法即根据被积函数f(x)的特点，用观察法将被积函数有效地拆成n 项，再逐步求积分；
例18：求?+-+-dx x x x x )
1)(1(22222. 解：?+-+-dx x x x x )1)(1(22222 dx x x x x x )
1)(1(112222+-+++-= ?+-++-=dx x x x x )
1)(1()1()1(222 =?
-++-+dx x dx x dx x x 1111122 =c x x x +-+-+|1|ln arctan )1ln(21
2
4 三角法指被积函数f(x)为三角函数，通过对三角函数有效的恒等变换，然后使用一定的积分法，求出不定积分；
例19：求?dx x
x 3cos sin 1. 解：?dx x x 3cos sin 1?+=dx x
x x x 322cos sin cos sin
=dx x x dx x
x ??+cos sin 1cos sin 3 =??++dx x x x x x
x d cos sin cos sin cos )(cos 223 =c x x x
++-|cos sin |ln cos 212 5 换元法即对积分变量进行有效的置换，然后利用适当的积分方法求出结果；
6 微分法即被积函数f(x)中的某一部分的导数恰好是另一部分的倍数，用“凑微分法”特别有效，这后两种技巧在文中有详细的讲解和举例。

根据不同题型的特点采取上述不同的方法，经过适当的变形后才能应用上述方法。

因此，不定积分的计算方法灵活性很强，必须熟练掌握这些方法，才能运用自如。