湖北省襄阳市第四中学高三数学六月全真模拟考试试题(一) 文

湖北省襄阳市襄阳四中2016届高三年级六月全真模拟考试（一）
数学（文科）试题
★ 祝考试顺利 ★
时间：120分钟 分值150分
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．已知1
sin 3
α=
，且α为第二象限角，则tan α=（ ） A
、 B
C
、 D
、- 2．对于函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是 “()y f x =是奇函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．4
D ．4- 4．如果执行右边的程序框图，那么输出的S = （ ）
A ．2450
B ．2500
C ．2550
D ．2652
5．若向量,a b 满足22a a b =+=，则a 在b 方向上投影的最大值为（ ）
A ． C D ． 6．函数cos 2y x =的图像向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，与函数 sin(2)6
y x π=-的图像重合．则ϕ=（ ） A ．
12
π
B ．
6π C ．3π D ．512
π
7．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形'''A B O ，如图，若''2O B =，那么原ABO 的面积是（ ）
A ．
1
2
B ． D ．8．若存在x ∈[﹣2，3]，使不等式2x ﹣x 2
≥a 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1] B ．（﹣∞，﹣8] C ．[1，+∞） D ．[﹣8，+∞） 9．已知抛物线2
:4C y x =的交点为F ，直线1y x =-与C 相交于,A B 两点，与双曲线
22
22:2x y E a b
-=(0,0)a b >>的渐近线相交于,M N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，
则双曲线E 离心率为（ ）
A ．2 C D 10．直线过点A （1，2），且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A ．[0，2]
B ．[0，1]
C ．[0，
21] D ．（0，2
1
） 11．设函数()f x 的零点为()1,422x
x g x x =+-的零点为2x ，若()120.25x x f x -≤，则可以是
A.()2
1f x x =- B.()24x
f x =-
C.()()ln 1f x x =+
D.()82f x x =-
12．设1F ，2F 分别是双曲线C :
22
22
1x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是C 的右
支上的点，射线PT 平分12F F ∠P 交x 轴于点T ,过原点O 作PT 的平行线交1F P 于点M ,若
121
F F 3
MP =
,则C 的离心率为（ ）
A ．
3
2
B ．3
C
D 第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 14．设+∈N n ，n n f 131211)(++++
= ，由计算得23)2(=f ，2)4(>f ，2
5)8(>f ，2
7
)32(>
f ，观察上述结果，可推出一般的结论为 . 15．若函数321
()(23)13f x ax ax a x =-+-+在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是
______．
16．已知cos cos 1αβ+=，则sin sin αβ+的最大值为__________．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足
()122n n S p n N +*=+∈.
（I ）求p 的值及数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 满足
()132
n n a b
n a p +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥ABCD P -中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ，AD BC AB 2
1
==,F E ,分别为线段PC AD ,的中点.
（1）求证：AP ∥平面BEF ; （2）求证：BE ⊥平面PAC . 19．（本题12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
（Ⅰ）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（Ⅱ）由表中统计数据填写下边22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有
参考数据与公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20．（本题12分）如图，椭圆()22
122:10x y C a b a b
+=>>和圆2222:C x y b +=，已知椭圆1
C
过点⎛ ⎝，焦距为2．
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ，直线EA ，EB 与椭圆1C 的另一个交点分别是点P ，M ，设PM 的斜率为1k ，直线l 的斜率为2k ，求
2
1
k k 的值 21．（本题12分）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点,其导数为'()21f x x =+,数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n n S n *∈N 均在函数()y f x =的图像上.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
3
+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得16n m T <对所有n *∈N 都成立的
最小正整数m .
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑． 22．（本题10分）A ．选修4－1：几何证明选讲
如图，已知AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线，已
知
6,AB CD ==AC 的长度．
23．（本题10分）修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：⎩⎨
⎧=+=ϕ
ϕ
sin cos a y a a x （ϕ为参数,实数0>a ）,曲线2C ：
D
C
B
A
（第21—A 题）
⎩⎨
⎧+==ϕ
ϕ
sin cos b b y b x （ϕ为参数,实数0>b ）．在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线π
:(0,0)2
l θαρα=≥≤≤与1C 交于A O 、两点,与2C 交于B O 、两点．
当0=α时,1||=OA ；当π
2
α=时,2||=OB ． （Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）求||||||22
OB OA OA ⋅+的最大值． 24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲. （Ⅰ）设函数1
()=||||(0)f x x x a a a
-
++>.证明：()2f x ≥； （Ⅱ）若实数z y x ,,满足222
43x y z ++=,求证:23x y z ++≤
参考答案
1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A 9．C 10．A 11．D 12．A 13．75.0 【解析】
试题分析:从所给的20组数据可以看出：击中三次和四次的共有7527，0293，9857，0347，4373，8636，6947，4698，6233，2616，8045，3661，9597，7424，
4281，即15种情形，故由古典概型的计算公式可得其概率为75.020
15
==
P ,即75.0=P ．
考点：列举法及古典概型公式的运用． 14．2
2
)2(+≥n f n 【解析】
试题分析：因为+∈N n ，n n f 131211)(++++
= ，由计算得2
3
)2(=f ，24)4(>f ，
25)8(>f ，2
7
)32(>f ，观察上述结果，可推出一般的结论为22)2(+≥n f n . 考点：合情推理. 15．)3,0(. 【解析】
试题分析：由题意知，函数的导数为322)(2
'
-+-=a ax ax x f ，因为函数
321
()(23)13
f x ax ax a x =-+-+在R 上存在极值，所以0)('=x f 有两个不等实根，其判
别式0)32(442
>--=∆a a a ，所以30<<a ，所以a 的取值范围为)3,0(.故应填)3,0(. 考点：利用导数研究函数的极值. 16．3 【解析】
试题分析：令t =+βαsin sin ,因cos cos 1αβ+=,故1)cos(222
+=-+t βα,即
3)cos(212≤-+=βαt ,则3≤t ,故应填3．
考点：三角变换及运用．
17．（Ⅰ）1-=p ，n n a 2=；（Ⅱ）n
n n n
T 2
2121--=-． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据⎩⎨⎧≥-==-2,1
,1n S S n S a n n
n n 求出n a ，再根据等比数列求p 值；（Ⅱ）先
()132
n n a b
n a p +=+求出b b ，再利用错位相减法进行求和. 试题解析：（Ⅰ）由2,2222211≥=--+=-=+-n p p S S a n n n n n n 2分
22411=+==p S a ，由321,,a a a 成等比得1-=p ， ４分
（Ⅱ）由
,)3(21n n b a n p a +=+可得n n n
b 2
= ６分 n n n
T 222212+++=
７分 1322222121++++=n n n
T ９分 1322
2121212121+-++++=n n n n
T 10分 1
2211)2112121+---=n n n n T （ n n n n
T 22121--=-.
考点：1.n a 与n S 的关系；2.等比数列；3.错位相减法. 18．（1）见解析；(2)见解析.
【解析】 试题分析：（1）设AC BE O =，连结OF ，EC ，
由于已知可得//,AE BC AE AB BC ==,四边形ABCE 为菱形，O 为AC 的中点， 再据F 为PC 的中点，可得//AP OF .即得证.
(2)由题意知可得四边形BCDE 为平行四边形，得到//BE CD . 又AP ⊥平面PCD ，推出AP BE ⊥.
根据四边形ABCE 为菱形，得到BE AC ⊥.即得证. 试题解析：（1）设AC BE O =，连结OF ，EC ，
由于E 为AD 的中点，
1
,//2
AB BC AD AD BC ==
， 所以//,AE BC AE AB BC ==, 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点， 又F 为PC 的中点，
因此在PAC ∆中，可得//AP OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .
(2)由题意知，//,ED BC ED BC =, 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此//BE CD . 又AP ⊥平面PCD ，
所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥. 因为四边形ABCE 为菱形，
所以BE AC ⊥.
又AP AC A =，AP ，AC ⊂平面PAC ， 所以BE ⊥平面PAC .
考点：平行四边形、菱形，平行关系，垂直关系. 19．（Ⅰ）3
5
；（Ⅱ）列联表见解析，没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）运用列举法和古典概型求解；（Ⅱ）借助2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++进行计算和判断即可．
试题解析: 解：（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出m 人，则45
500500400
m =
+，25m =， ∴ 21820,52025=-==-=y x
表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为,,a b c ，尚待改进的2人为,A B ， 则从这5人中任选2人的所有可能结果为：
),(b a ，),(c a ，),(c b ，),(B A ，),(A a ，),(B a ，
),(A b ，),(B b ，),(A c ，),(B c 共10种
设事件C 表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”， 则C 的结果为：
()()()()()(),,,,,,,,,,,a A a B b A b B c A c B ，共6种
∴63()105P C ==， 故所求概率为35
（Ⅱ）
∵10.90.1-=，
2
( 2.706)0.10P K ≥=， 而()2
2
4515515109 1.125 2.706301525208
K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”
考点：线性相关的知识及运用．
20．（1）椭圆1C 的方程为2212x y +=；
（2）213
2
k k =． 【解析】
试题分析：（1
）将点⎛ ⎝代入椭圆方程及焦距等于2即可求出椭圆方程；
（2）设出直线方程并与椭圆方程联立求解，分别计算出点M 、P 的坐标，然后化简整理
2
1
k k ，即可求出结果． 试题解析：（1）将点代入椭圆方程，求得2
2
2,1a b ==，所以椭圆1C 的方程为2212
x y +=．
（2）由题意知直线PE ，ME 的斜率存在且不为0，PE ⊥EM,不妨设直线PE 的斜率为k （k ＞0），
则PE ：y=kx-1，由2
2
112y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪
⎩得222412121++k x k k y k ⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
或01x y =⎧⎨=-⎩，∴P 2224212121，++k k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，用1k -
去代k ，得M 222422--，++2k k k k ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则2113PM
k k k k -==，由2211y kx x y =-⎧⎨+=⎩得22
221
1
1++k x k k y k ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
或01x y =⎧⎨
=-⎩，∴A 22221-，+1+1k k k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则2212OM k k k k -==，所以213
2k k =． 考点：①求椭圆方程；②直线与椭圆的综合问题．
【方法点睛】直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x （或y ）的一元二次方程，设出交点坐标A （11y x ,）、B （22y x ,），利用韦达定理得出坐标的关系,如本题比较简单，只需求出点P 、点M 的坐标并表示出直线PM 、OM 的斜率，然后化简整理即可得到
2
1
k k 为定值． 21．(1))(2*∈=N n n a n ；(2)12. 【解析】
试题分析：(1)由导函数12)(+='x x f 可知原函数为一元二次函数，又原函数过原点，假设原函数bx ax x f +=2
)(，求导函数，可求得1,1==b a ，即x x x f +=2
)(，由点
(,)()n n S n *∈N 均在函数()y f x =的图象上可知n n S +=2n ，显然是等差数列前n 项和，
可求得n a ；(2)有第一问n a n 2=，可知)1
1
1(4331+-==
+n n a a b n n n ，可求得
)111(43+-=
n T n ，可将n T 看作关于n 的函数，可通过求函数n T 的最大值()max 16
n m T <来求m 的值.
试题解析：(1)由题意令二次函数为2
()y f x ax bx ==+
则'()2f x ax b =+，又'()21f x x =+∴2
1,1,()a b f x x x ===+ ∵点(,)()n n S n *∈N 均在函数()y f x =的图像上，∴2n S n n =+ 当1n =时，211==a S
当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=,所以21=a 满足n a n 2=
∴数列{}n a 的通项公式为)(2*∈=N n n a n
(2)由(1)得133311
()22(1)41
n n n b a a n n n n +=
==-⋅++ 故1
3111
1131[(1)()()](1)4223141
n
n i
i T b n n n ==
=-+-++-=-++∑ 把代数式
31(1)41n -+看作n 的函数()n ϕ,因此，使得 31()(1)4116m x n ϕ=-<+成立的m 必须满足 ()n ϕ的最大值16m
max max 313()[(1)]414x n ϕ=-<+,即3416
m
≤，即12m ≥
故：满足要求的最小整数m 为12.
考点：导数的应用，数列的通项及其前
n 项和.
22．连接BC 设,AB CD 相交于点E ，AE x =，∵AB 是线段CD 的垂直平分线， ∴AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°………………………2分
则6EB x =-，CE 2
CE AE EB
=，
即有(6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x = …………8分
∴ 2
5630AC AE AB ==⨯=，即AC =．………10分
23．（Ⅰ）1,2
1
==
b a ；
（Ⅱ）12+． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先将参数方程化为直角坐标方程,再与极坐标方程联立即可获解；（Ⅱ）借助极坐标方程建立目标求解即可．
试题解析: （Ⅰ）将1C 化为普通方程为()2
22x a y a -+=，其极坐标方程为2cos a ρθ=，由题可得当0θ=时，1ρOA ==，∴1
2
a =
（2分） 将2C 化为普通方程为()2
22x y b b +-=，其极坐标方程为2sin b ρθ=，由题可得当2
π
θ=时，2ρOB =
=
，∴1b =．（5分）
（Ⅱ）由a ，b 的值可得1C ，2C 的方程分别为cos ρθ=，2sin ρθ=，
∴
2222cos 2sin cos sin 2cos 21214πθθθθθθ⎛
⎫OA +OA ⋅OB =+=++=++ ⎪⎝
⎭
5
2,444π
ππθ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣⎦，214πθ⎛⎫++ ⎪
⎝
⎭1+，当242ππθ+=，8πθ=时取到．（10分）
考点：参数方程极坐标方程与普通方程的互化． 24．（Ⅰ） 见解析；（Ⅱ） 见解析 试
题
分
析
：（
Ⅰ
）
由
0a >，及均值不等式有
111
()=|||||)()|2f x x x a x x a a a a a
-++≥--+=+≥(，所以()2f x ≥；（Ⅱ）
22243x y z ++=,由柯西不等式得:2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z +++≥++
（当且仅当
2111x y z ==即6355
x z y ===，时取“=”号）整理得:9)2(2≤++z y x ,即32≤++z y x
试题解析： （Ⅰ）由0a >， 有111
()=|||||)()|2f x x x a x x a a a a a
-
++≥--+=+≥( 所以()2f x ≥ 5分 （Ⅱ）
22243x y z ++=,由柯西不等式得:
2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z +++≥++
（当且仅当
2111x y z ==即6355
x z y ===，时取“=”号） 整理得:9)2(2
≤++z y x ,即32≤++z y x 10分
考点：不等式证明。