高三数学下学期数列多选题单元 期末复习同步练习试题

高三数学下学期数列多选题单元 期末复习同步练习试题
一、数列多选题
1．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若11a >，公比1q ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59T T =，则必有141T =
B ．若59T T =，则必有7T 是n T 中最大的项
C ．若67T T >，则必有78T T >
D ．若67T T >，则必有56T T >
【答案】ABC 【分析】
根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】
由等比数列{}n a 可知1
1n n a a q -=⋅，由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知：
()
12
1
1212
11111
1
123n n n n n n n n a a q a q a q
a a T a a a q a q
--+++-=⋅⋅⋅==⋅=
对于A ，若59T T =，可得51093611a q a q =，即42611a q =，()
71491426
2
11141a q q T a ∴===，故
A 正确；
对于B ，若59T T =，可得4
26
1
1a q =，即132
1
1a q
=，又11a >，故1q <，又59T T =，可知
67891a a a a =，利用等比数列性质知78691a a a a ==，可知67891,1,1,1a a a a >><<，故7T 是n T 中最大的项，故B 正确；
对于C ，若67T T >，则61572111a q a q >，即611a q <，又10a >，则1q <，可得
768118
7
1T T a a q a q <=<=，故78T T >，故C 正确； 对于D ，若67T T >，则611a q <，566
5
1T a T a q ==，无法判断其与“1”的大小关系，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =
B ．954S =
C ．135********a a a a a ++++=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；
对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：
13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+
+-=，故C
正确.
对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，
()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，
()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019
a a a a a a a a
+++==，故D 正确；
故选：ACD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}
n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()22
2123222022210f f f f f f -+-=
C ．12320192688g g g g ++++=
D ．222
21232019201820202f f f f f f ++++=
【答案】AB 【分析】
由+2+1+n n n f f f =可得()2
+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计
算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}
n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】
对于A 选项：
12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，
所以数列{}
n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；
对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选
项错误；
对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，
所以()()2
2222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()2
2121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()2
2
2123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：
()2
12+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，
()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，
，
()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

所以222
21232019f f f f +++
+
()()()()122312343220182019201820172019202020192018+++++f f f f f f f f f f f f f f f f f f =----
20192020f f =，故D 选项错误；
故选：AB. 【点睛】
本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题.
4．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且11
2
n n n S a a +=⋅-，则（ ）
A ．12
d =
B ．11a =
C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列
D ．设(1)n
n n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =
【答案】AC 【分析】
利用已知条件可得1121
2
n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d
的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可
判断选项C ，分别讨论两种情况下2121
2
n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-
，所以11212
n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，1
2
d =
，故选项 A 正确； 当1n =时，1111122a a a ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112
a =-，故选项B 不正确；
由选项A 、B 可知，当112
a =-
，12d =时，()1111222n n
a n =-+-⨯=-，
{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，
同理当()()11
11122
n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =
+时，()221212n n b a n ==+，()21211
2112
n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212
n n n n b b a a --+=-+=，
所以()()()212342122
n n n n T b b b b b b -=++++++=
， 当12n n a =
-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213
122
n n n b a n ---⎛⎫=-=--=-
⎪⎝⎭， 所以22131
122
n n b b n n -+=-+
-=， 此时()()()22212223212
n n n n n n
T b b b b b b ---=++++++=
， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组
成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
5．下列说法正确的是（ ）
A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列
()k N *
∈
B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，
仍为等比数列
()k N *
∈
C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值
D ．若数列{}n a 满足21159,4n n
n a a a a +=-+=，则
1211
1
122
2
n a a a +++
<--- 【答案】ACD 【分析】
根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111
233
n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】
对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =++
+，2122k k k k k S S a a a ++-=++
+，
3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，
，
可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，
所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，
构成等差数列，故A 正确；
对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，
当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；
对于D 中，由2
159n n
n a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则
()()
111
113
2332n n n n n a a a a a +=
=
------，所以1111
233
n n n a a a +=----， 所以
121223111
11111
11
2223333
33
n n n a a a a a a a a a ++++
=-+-++
----------
111111
1333
n n a a a ++=
-=----. 因为14a =，所以2
159n n
n n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113
n a +-<-，故D 正确.
故选：ACD 【点睛】
方法点睛：由2
159n n
n a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111
233
n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.
6．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 递增
B ．n S 为{}n a 的前n 项和,则数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递增的等差数列 C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
为等差数列，则0
c D ．若70a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则方程0n S =有唯一的根13n = 【答案】ABD 【分析】
选项A. 由题意10n n a a d +-=>可判断；选项B.先求出
11
2
n S n a d n -=+⨯，根据1012n n S S d
n n +-=>+可判断；选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则0c 或1c =时n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
为等差数列可判断；选项D.由1602n n S dn -⎛
⎫=--= ⎪⎝⎭可判断. 【详解】
选项A. 由题意10n n a a d +-=>，则1n n a a +>，所以数列{}n a 递增，故A 正确. 选项B. ()112
n n n S na d -=+⨯,则112n S n a d n -=+⨯ 所以
1012n n S S d n n +-=>+，则11n n S S n n +>+，所以数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递增的等差数列. 故B 正确. 选项C. 若n a n =,则()12
n n n S +=，则()()12n n n S n c n c =+++
当0c
时，
1
2
+n S n c n =+为等差数列.
当1c =时，
2
n S n c n
=+为等差数列.所以选项C 不正确. 选项D. 70a =,即7160a a d =+=，则16a d =- 又()()1111660222n n n n n n S na d dn d dn ---⎛
⎫=+
⨯=-+⨯=--= ⎪⎝⎭
由0,0d n >>，所以1
602
n --=，得13n =，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的
定义和前n 项和公式进行判断，求出162n n S dn -⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，从而判断，属于中档题.
7．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列
{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）
A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+
B ．n +∀∈N ，
3331
4n a n +≥ C ．m +∃∈N ，16m b = D ．n +∀∈N ，1
13
n S ≤<
【答案】BD 【分析】
用累加法得到22
2
n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入33
n a n
+求最值可判断B ； 令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D. 【详解】
因为1n n n a a +-=，所以
211a a -= 322a a -=
11(2)n n n a a n -=-≥-
以上各式累加得
1121(1)2
n a a n n n =++
+-=
--，所以(1)
12n n n a -=
+，当1n =时，11a =成立，
所以2(1)2
122
n n n n a n --+=+=
，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)122
2(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫=
===- ⎪
+++++⎝-+⎭+，
对于A ，()()5
254922
12
2
m a m m m m ++++++=
=，25(1)5(51)24
11222
m a a m m m m -⨯--+=+++=
+ ， 当5
5m m a a a +=+时，222492222
m m m m -+++=
，得15m +=∉N ，A 错误； 对于B
，(1)
1(133
33343411)2222
2n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+， 当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8
3331
84
a +=， 所以B 正确；
对于C ，令1121612m b m m ⎛⎫=-=
⎪++⎝⎭
得，215308m m ++=
，解得m +
=
N ，所以C 错误；
对于D ， n +∀∈N ，1231111
1122334
12n S b b b n n ⎛⎫=++
+=-+-+
+
- ⎪++⎝⎭
1
12211222n n ⎛⎫=-=-< ⎪
++⎝⎭
，可以看出n S 是关于n 递增的，所以1n =时有最小值13， 所以
1
13n S ≤<，D 正确. 故选：BD. 【点睛】
本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a ，然后代入求出n b ，考查了学生的推理能力、计算能力.
8．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】BC 【分析】
分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】
在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，
59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，
所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：
（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.
9．将()2
3n
n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：
11a 12a 13a ……1n a
21a 22a 23a ……2n a 31a 32a 33a ……3n a
……
1n a 2n a 3n a ……nn a
该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有（ ）
A ．2m =
B ．7
67132a =⨯
C ．()1
212
j ij a i -=+⨯
D ．()()
221n
S n n =+-
【答案】ACD 【分析】
由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D. 【详解】
由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或1
3
m =-（舍去），A 正确；
()666735132a m m =+=⨯，B 错误；
()()11
2132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；
()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++
1121(12)
(12)(12)121212
n n n nn a a a ---=++
+
--- ()()()11211332(1)21212n n
n n a a a n ++-⎛⎫=++
+-=⨯- ⎪⎝⎭
()()221n n n =+-，D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.
10．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ） A ．17 B ．18
C ．19
D ．20
【答案】BCD 【分析】
由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】
依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，
2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.
又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以
121423k k a --=⋅-，
故S 奇
()21321141232
(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===
+⨯+
+⨯--+++-=---，
S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=++
+=+++
--，故2k S S =奇＋S 偶
3285k k +=--，
故12
1828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.
故选：BCD . 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足
的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S接近4000时的项数n，从而得出结论．。