01-离散命题逻辑-1.4~1.5

A A ∨ B， A B ∨ A
AAB BAB (A B) A (A B) B
基本蕴涵公式
A、B、C、D代表任意命题 I8 假言推论 I9 拒取式 I10 析取三段论 I11 条件三段论 I12 双条件三段论 I13 合取构造二难 A ∧ (A B) B B ∧ (A B) A A ∧ (A ∨ B) B
2)
P∧Q Q PQ
I2 I5
第五节 联结词的扩充与功能完全组
第五节 一、联结词的扩充 合取非 联结词的扩充与功能完全组
2013年8月22日星期四
设P、Q是任意两个原子命题，定义： P Q (P ∧ Q) 当且仅当P和Q的值均为T时， P Q的值为F P Q读作“P合取非Q”，“合取非”又称“与非”
对偶式
设A和B是两个命题公式，若A B，则A* B*
2013年8月22日星期四
例1.27 求证：(P∨Q)∧( P∧Q) P∧Q 证明： 由前面证明得知 (P∧Q) ∨( P∨Q) P∨Q ∴( (P∧Q) ∨( P∨Q) )* ( P∨Q )* ∴(P∨Q)∧( P∧Q) P∧Q 证毕
2013年8月22日星期四
A (P1，P2，…，Pn) A* ( P1， P2，…， Pn)
同理，若 A (P1,P2,…,Pn) A1 (P1,P2,…,Pn)∧A2 (P1,P2,…,Pn) 可证 A (P1,P2,…,Pn) A*( P1, P2,…, Pn) 若A (P1,P2,…,Pn) A1 (P1,P2,…,Pn) 可证 A (P1,P2,…,Pn) A1*( P1, P2,…, Pn) A*( P1, P2,…, Pn)
P是Q的充分条件，Q是P的必要条件
蕴涵式
证明：(2)
2013年8月22日星期四
若A B 且 B A ，则(A B) 和(B A)都是永真式。 因为： A B (A B) ∧ (B A)
所以A B是永真式
所以A B （充分条件得证） 因此，AB的充要条件是：A B 且 B A。证毕
所以 A (P1,P2,…,Pn) B (P1,P2,…,Pn)永真。 因为 A (P1,P2,…,Pn) A*( P1, P2,…, Pn) B (P1,P2,…,Pn) B*( P1, P2,…, Pn) 因此 A*( P1, P2,…, Pn) B*( P1, P2,…, Pn)永真。 用 Pi代入Pi得到A*(P1, …, Pn) B*(P1,…, Pn)永真 因此 A* B*，证毕。
I15 前后件附加
A B (A ∨ C) (B ∨ C) A B (A ∧ C) (B ∧ C)
基本蕴涵公式
A、B、C、D代表任意命题 补充： I16 I17 I18 A B (B C) (A C)
2013年8月22日星期四
(A B) ∧ (C D) (A ∧ C) (B ∧ D) ABAB ABBA
定理：设A和B是两个命题公式，AB的充要条件是： AB且BA 证明：(1) 若A B，则A B是永真式。
因为： A B (A B) ∧ (B A) 所以(A B) ∧ (B A)是永真式 所以(A B) 和(B A)都是永真式 所以A B 且 B A PQ （必要条件得证）
2013年8月22日星期四
对任意公式A、B、C，若有A B， B C，
则有A C 对任意公式A、B、C，若有A B， A C 则A (B ∧ C) 对任意公式A、B、C，若有A C， B C
则 (A ∨ B) C
蕴涵式
等价式和蕴涵式的关系：
2013年8月22日星期四
I19
A, B A ∧ B A和B分别为真，所以A ∧ B为真
蕴涵式
2013年8月22日星期四
定义：若A B是永真式，则称A蕴涵B 指明两种证明思路 1 按定义
例1.29 求证： P∧Q P Q 证明： 1)
2 套公式
(P∧Q) (P Q) (P∧Q) ∨( P ∨ Q) ( P ∨ Q) ∨( P ∨ Q) P ∨ Q∨ Q T
pq??p?q当且仅当p和q的真值不同时pq的值为tpq读作p双条件非q双条件非又称异或2013年8月23日星期五扩充联结词的性质与非的性质交换律pq?qp幂律pp??ppqpq?pqppqq?pq2013年8月23日星期五扩充联结词的性质与非的性质补充pt??ppf?t德摩根律?pq??p?q自己证明2013年8月23日星期五扩充联结词的性质或非的性质交换律pq?qp幂律pp??ppqpq?pqppqq?pq2013年8月23日星期五扩充联结词的性质或非的性质补充pf??ppt?f德摩根律?pq??p?q自己证明2013年8月23日星期五扩充联结词的性质例1
对偶式
例1.26 求证： (P∧Q) ( P∨Q) P∨Q 证明： (P∧Q) ( P∨Q) (P∧Q) ∨( P∨Q) (P∨ P∨Q) ∧(Q∨ P∨Q) T ∧( P∨Q) P∨Q
2013年8月22日星期四
E1 E11 E2 E4 E6 E10 E7
A ( P1) ( P1) A* ( P1)
A (P1，P2，…，Pn) A* ( P1， P2，…， Pn)
c) 设当 L＝k-1 时(k=1,2,…)时
2013年8月22日星期四
A (P1,P2,…,Pn) A* ( P1, P2,…, Pn) 成立 当L＝k时 若A (P1,P2,…,Pn) A1 (P1,P2,…,Pn)∨A2 (P1,P2,…,Pn) 则LA1，LA2 ≤ k-1。由上面结论得： A1 (P1,P2,…,Pn) A1* ( P1, P2,…, Pn) A2 (P1,P2,…,Pn) A2* ( P1, P2,…, Pn)
联结词的扩充
析取非
2013年8月22日星期四
设P、Q是任意两个原子命题，定义： P Q (P ∨ Q) 当且仅当P和Q的值均为F时， P Q的值为T P Q读作“P析取非Q”，“析取非”又称“或非”
联结词的扩充
条件非
2013年8月22日星期四
↛
设P、Q是任意两个原子命题，定义：
b)
当L＝1时， A (P1∧P2)（或(P1∨P2) ，或 P1 ） 当A (P1∧P2)时，A* (P1∨P2) A (P1,P2) (P1∧P2)( P1∨ P2) A* ( P1, P2) 当A (P1∨P2)时，A* (P1∧P2) A (P1,P2) (P1∨P2)( P1∧ P2) A* ( P1, P2) 当A P1 时，A* P1
P∧( Q∨ R)
又因为： A(P, Q, R) A*( P, Q, R) 所以： A*( P, Q, R) P∧( Q∨ R) 证毕
对偶式
对偶定理： 设A和B是两个命题公式，若A B，则A* B*
2013年8月22日星期四
证明： A B意味着A (P1,P2,…,Pn) B (P1,P2,…,Pn)永真。
A ( P1， P2，…， Pn) A* (P1，P2，…，Pn)
A (P1，P2，…，Pn) A* ( P1， P2，…， Pn)
证明：设公式 A 中含有联结词、∧、∨的数目为L
a)
2013年8月22日星期四
当 L＝0时， A P1 A*
A (P1) (P1) P1 A* ( P1)
A (P1，P2，…，Pn) A* ( P1， P2，…， Pn)
A (P1,P2,…,Pn) (A1 (P1,P2,…,Pn)∨A2 (P1,P2,…,Pn)) A1 (P1,P2,…,Pn)∧ A2 (P1,P2,…,Pn) A1*(P1,P2,…,Pn)∧A2*(P1,P2,…,Pn) A*( P1, P2,…, Pn)
蕴涵式的证明
蕴涵式的证明方法： 真值表法 若前件为真，能推得后件为真，则此蕴涵式为真
2013年8月22日星期四
若后件为假，能推得前件为假，则此蕴涵式为真
指明两种证明思路
蕴涵式的证明
例1.28 求证： Q∧(P Q) P 证明： 1)真值表法 P Q 0 0 0 1 1 0
2013年8月22日星期四
P ↛ Q (P Q) 当且仅当P为T而Q为F时， P ↛ Q的值为T
P ↛ Q读作“P条件非Q”
联结词的扩充
双条件非 ⊕
2013年8月22日星期四
设P、Q是任意两个原子命题，定义： P ⊕ Q (P Q)
当且仅当P和Q的真值不同时， P ⊕ Q的值为T
P ⊕ Q读作“P双条件非Q”， “双条件非”又称“异或”
P∨(Q∧R)
P∧T PQ
P∧(Q∨R) P∨F ∵ P Q P∨Q ∴ (P Q)* = P∧Q
对偶式
对偶定理：
2013年8月22日星期四
设A和A*互为对偶式， P1，P2，…，Pn是出现在A和A*的 原子命题变元，则
1)
2)
A (P1，P2，…，Pn) A* ( P1， P2，…， Pn)
3) 后件假则前件假
设 P为F，则P为T 若Q为T，则 Q为F，则 Q∧(P Q) 为F 若Q为F，则PQ为F，则 Q∧(P Q) 为F。证毕
基本蕴涵公式
基本蕴涵公式 A、B、C、D代表任意命题 I1 化简式 I2 A∧BA A∧BB
2013年8月22日星期四
I3 附加式
I4 附加式变形 I5 I6 化简式变形 I7
P Q P Q Q∧(P Q) Q∧(P Q) P 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
1 1
0
0
1
0
1
蕴涵式的证明
2) 前件真则后件真
2013年8月22日星期四
( Q∧(P Q) P)
设 Q∧(P Q) 为T，则 Q为T， P Q也为T 可得到：Q为F，故P为F，因此 P为T。得证
2013年8月22日星期四
由上证明，可得当L=K时，
A (P1,P2,…,Pn) A*( P1, P2,…, Pn)。证毕
对偶式
A (P1，P2，…，Pn) A* ( P1， P2，…， Pn)
2013年8月22日星期四
例1.25 设 A(P, Q, R) = P∨ (Q∧R) 求证： A*( P, Q, R) P∧( Q∨ R) 。 证明： A(P, Q, R) ( P∨(Q∧R) )
蕴涵式
二、蕴涵式
2013年8月22日星期四
定义：设A和B是两个命题公式，若A B是永真式，则称A 蕴涵B，记做A B，称A B为蕴涵式或条件永真式。
与的区别：
是逻辑联结词，出现在命题公式中 是一个符号，表示两个命题公式之间的蕴涵关系
蕴涵式
蕴涵式有以下性质： 自反性 对任意公式A，有 A A 传递性
2013年8月22日星期四
如果 A 则 B; 并且如果C 则 D; 所以, 要幺 B 要幺D
A、B、C、D代表任意命题 但是要幺 A 要幺C;
(A B) ∧ (C D) ∧ (A ∨ C) B ∨ D 特别的，当B=D时，有
(A B) ∧ (C B) ∧ (A ∨ C) B
(A B) ∧ (C B) ∧第四节 对偶式与蕴涵式
第四节 对偶式与蕴涵式 一、对偶式
2013年8月22日星期四
定义：在给定的仅使用联结词 、∧、∨的命题公式A中，若 把∧和∨互换，F和T互换，得到一个公式A*， 称A*是A的对偶式。 称A和A*互为对偶式
对偶式
例1.24 求下列公式的对偶式。
2013年8月22日星期四
2013年8月22日星期四
如果 A 则 B; A；所以BA B；所以 要么A，要么B； A；所以B
(A B) ∧ (B C) A C (A B) ∧ (B C) A C
(A B) ∧ (C D) ∧ (A ∧ C) B ∧ D
基本蕴涵公式
I14 析取构造二难