天津沿庄镇中学高三数学文期末试题含解析

天津沿庄镇中学高三数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：的左焦点A，B分別为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P；Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为
A．B．C．D．
参考答案：
C
2. 直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为L，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心为（2，3），半径等于2，
圆心到直线y=kx+3的距离等于d=
由弦长公式得MN=2≥2，∴≤1，
解得，
故选B．
【点评】利用直线与圆的位置关系，研究参数的值，同样应把握好代数法与几何法．
3. 定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程
在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）
A．0
B．1
C．3
D．5
参考答案：
D
4. 已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )
A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
D．（x+1）2+（y+1）2=2
参考答案：
B
考点：圆的标准方程．
分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．
解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；
验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；
圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．
故选B．
点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．
5. 设函数，则下列结论错误的是（）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
参考答案：
D
6. 若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C． D．
参考答案：
B
，，，∴．
7. 从三个红球、两个白球中随机取出两个球，则取出的两个球不全是红球的概率是()
A、B、C、D、
参考答案：
C
8.
若的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中的常数项是
A．15 B．35 C．30 D．20
参考答案：
答案：D 9. 已知集合，则
A、 B、 C、 D 、
参考答案：
C
10. 表示不超过的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知，
，则函数的零点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为．
参考答案：
2
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点的距离为，因此最短弦长为．
【解答】解：由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点（0，1））的距离为，当圆心到直线kx﹣3y+3=0的距离最大时（即等于圆心（1，3）到定点（0，1））的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2=．
故答案为：2．
【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题
12. 在区间任取一个实数，则该数是不等式解的概率为
参考答案：
略
13. 已知函数，若有，则b的取值范围为__________。

参考答案：
略
14. 现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，
最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________. 参考答案：
16 略
15. 设变量满足，则
的取值范围是
.
参考答案：
略
16. 已知点A
（4，4）在抛物线上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作直线l ：
的垂线，垂足为M ，则∠MAF 的平分线所在直线的方程为 。

参考答案：
点A 在抛物线上，所以
，所以
，所以抛物线的焦点为
,准线方程为
，垂足,由抛物线的定义得
,所以
的平分线所在的直线就是线
段
的垂直平分线，
，所以的平分线所在的直线方程为
，即。

17. 方程
表示的曲线所围成区域的面积是 ；
参考答案：
24
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设集合S n ={1，2，3，…，n ），若X 是S n 的子集，把X 中所有元素的和称为X 的“容量”（规定空集的容量为0），若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为S n 的奇（偶）子集． （I ）写出S 4的所有奇子集；
（Ⅱ）求证：S n 的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当n ≥3时，S n 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
参考答案：
略
19. 在平面直角坐标系中，已知
，若实数使得
（为坐标原点）.
(Ⅰ) 求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；[来源:学科网]
(Ⅱ) 当时，是否存在过点的直线与(Ⅰ)中点的轨迹交于不同的两点（在之间），且[. 若存在, 求出该直线的斜率的取值范围, 若不存在,说明理由.
参考答案：
(Ⅰ) 化简得：
①时方程为轨迹为一条直线
②时方程为轨迹为圆
③时方程为轨迹为椭圆
④时方程为轨迹为双曲线.
……………………………… 6分
(Ⅱ)点轨迹方程为.
由已知得,则,.
设直线直线方程为，联立方程可得：
, 同号
………………………… 8分
设 ,则
,．．…………………… 12分
20. 对于给定数列，如果存在实常数，使得对
于任意都成立，我们称数列是“类数列”．
（Ⅰ）已知数列是“类数列”且，求它对应的实常数的值；
（Ⅱ）若数列满足，，求数列的通项公式．并判断是否为“类数列”，请说明理由．
参考答案：
略
21. （本小题满分12分）
某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计：
乙队胜的概率乙队平的概率乙队负的概率
与丙队比赛
与丁队比赛
注：各队之间比赛结果相互独立．
（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；
（Ⅱ）设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）
参考答案：
（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A1、A2、A3，乙队胜、平、负丁队为事件B1、B2、B3．
则==，=；===；…………2分
设乙队最后积4分为事件C，
则=．…………………4分
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为：7，5，4，3，2，1．………………5分
；
；
；
；
；
；随机变量X的分布列为：
X754321
P
………………………………………………8分
．……………10分
（Ⅲ）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．……………12分
当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4，3，2，1，乙队为小组第2出线；
当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线；
22. 已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．
（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得
S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．
依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=4，
又|AB|==．
所以|AB|=2r，
即=8，
解得b=﹣．
所以x0==2b+8=，
所以圆心为（，﹣4）．
故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．
（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，
∴b＜0，
又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，
∴﹣2＜b＜0，
直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．
令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，
g′（b）=3b2+4b=3b（b+），
∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，
∴g（b）的最大值为g（﹣）=．
∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．
【点评】本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．。