2020届内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中高三上学期10月月考数学(文)试题(解析版)

2020届内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中高三上学期
10月月考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}|2A x x =>，{}2,0,2,4B =-，则()R C A B ⋂等于（ ） A.{}2,0- B.{}2,4
C.{}2,0,2-
D.{}0,2,4
【答案】C
【解析】根据集合的补集交集运算即可求解. 【详解】
因为{}|2A x x =>, 所以={|2}R C A x x ≤， 所以(){}2,0,2R C A B -⋂=， 故选：C 【点睛】
本题主要考查了集合的交集补集运算，属于容易题. 2．设i 为虚数单位，复数()()12i i +-的实部为（ ） A.3 B.-3
C.2
D.-2
【答案】A
【解析】根据复数的运算法则及复数的概念即可求解. 【详解】
因为()()122+213+i i i i i +-=-+=， 所以复数的实部为3， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.
3．若函数()f x 是周期为4的奇函数，且()13f =，则()3f =（ ） A.-2 B.2
C.-3
D.3
【答案】C
【解析】根据周期可知(1)(14)(3)f f f =-=-，再根据奇函数性质即可求解. 【详解】
因为函数()f x 是周期为4的奇函数， 所以()()()3113f f f =-=-=-. 故选:C 【点睛】
本题主要考查了函数的周期性及奇函数的性质，属于中档题.
4．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪-+≤⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】A
【解析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可. 【详解】 作出可行域如图：
由2z x y =+可得：122
z y x =-+， 平移直线1
2
y x =-
经过点A 时，z 有最大值， 由3010
x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩解得(1,2)A ， 平移直线1
2
y x =-
经过点A 时，z 有最大值， max 145z =+=.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.
5．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记
()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）
A.8
B.7
C.6
D.5
【答案】D
【解析】由规律得()()()2
22
11234
n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=
再解方程即可 【详解】
由已知等式的规律可知()()()2
2211234
n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=
，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】
本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题 6．已知0m >，0n >，14
1m n
+=，则m n +（ ） A.有最大值，最大值为6 B.有最大值，最大值为9 C.有最小值，最小值为6 D.有最小值，最小值为9
【答案】D
【解析】利用()14m n m n m n ⎛⎫
+=++ ⎪⎝
⎭，根据均值不等式，即可求出最值. 【详解】
∵()1445n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+=， 当且仅当
4n m
m n
=时等号成立, m n ∴+的最小值为9.
【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
7．如图是一个程序框图，则输出k 的值为（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】B
【解析】根据程序框图，模拟计算过程即可求解. 【详解】
程序框图的执行过程如下：
1S =，10k =；
10
11S =
，9k =； 9
11S =，8k =；
8
11S =，7k =，
循环结束. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了程序框图，算法结构，属于中档题.
8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c b a >>，则“ABC ∆为钝角三角形”是“222c a b >+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】根据大边对大角及余弦定理可求解. 【详解】
由c b a >>，有C B A >>，
又222
222cos 02a b c C c a b ab
+-=<⇔>+，
故“ABC ∆为钝角三角形”是“222c a b >+”的充要条件. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了三角形的性质，余弦定理，属于中档题.
9．在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=，点E 在CD 上，
2CE ED =，则AE BE ⋅=uu u r uur
（ ）
A.4
9
-
B.29
-
C.
29
D.
49
【答案】B
【解析】以向量,AB AD 为基底，根据向量加减法的运算可将,AE BE uu u r uu r
表示出来，利用
数量积法则运算即可. 【详解】
因为22AB AD ==，60BAD ∠=，设1AD =，
则1AB AD ⋅=uu u r uuu r
，
因为13AE AD DE AD AB =+=+uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r ，23
BE AE AB AD AB =-=-uur uu u r uu u r uuu r uu u r ，
所以222193AE BE AD AB AB AD ⋅=--⋅uu u r uur uuu r uu u r uu u r uuu r 8121939
=--=-.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的加减法运算，数量积的运算，属于中档题.
10．若函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）的定义域和值域均为[],2t t ，则a 的值为（ ）
A.
1
2
或4 B.
1
16
C.
1
4
或8 D.
1
2
或16 【答案】B
【解析】分1a >和01a <<讨论，利用函数单调性根据定义域求出值域即可分析出a 的值. 【详解】 由题意有0t >，
①当1a >时，()()()2log 22log a a f t t t
f t t t
⎧==⎪⎨
==⎪⎩，
有()log 22log a a t t =，得22t t =，解得2t =， 由log 22a =
，解得a =
②当01a <<时，()()()
2log 2log 2a a f t t t
f t t t ⎧==⎪⎨
==⎪⎩，有()2
l o g 2l o g a a
t t =，得24t t =，解1
4
t =，
代入log 2a t t = ，解得116
a =. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了对数函数的单调性，值域，分类讨论的思想，属于中档题. 11．已知函数()f x 满足()01f =，且()()'cos sin f x x f x x >，则不等式
()cos 10f x x ->的解集为（ ）
A.(),1-∞-
B.()1,+∞
C.(),0-∞
D.()0,∞+
【答案】D
【解析】令()()cos g x f x x =,利用导数可研究函数为增函数，且原不等式可转化为
()()0g x g >，利用单调性即可求解.
【详解】
令()()cos g x f x x =，
有()()()''cos sin 0g x f x x f x x =->， 故函数()g x 单调递增， 又由()()00cos01g f ==，
不等式()cos 10f x x ->可化为()()0g x g >， 则不等式()cos 10f x x ->的解集为()0,∞+. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的增减性，根据函数单调性解不等式，属于中档题.
12．已知函数()()222,0
1,0x x a x a x f x a x ⎧+-+>=⎨-≤⎩
（0a >，且1a ≠）在R 上单调递增，
且关于x 的方程()22f x x =+恰有两个不等的实数解，则a 的取值范围是（ ） A.()1,2 B.(]
1,2 C.(]{}1,23U D.(){}1,23U
【答案】A
【解析】先根据分段函数的单调性求出1a >，方程有两根可转化为函数图象有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象数形结合即可求解. 【详解】
由1x
y a =-在(],0-∞上递增，得1a >，
又由()f x 在R 上单调递增，则()202200
2202
a a a ⎧+-⨯+≥⎪
⎨-<⎪
⎩，解得1a >
如图所示，在同一坐标系中作出函数()f x 和22y x =+的图象，
当2a <时，由图象可知，(],0-∞上，()22f x x =+有且仅有一个解，在()0,∞+上
()22f x x =+同样有且仅有一个解.
当2a ≥时，直线22y x =+与(),0y f x x =>相切时有一个交点， 由()2
2222x a x a x +-+=+（其中0x >），
得：()2
2420x a x a +-+-=，
则()()2
22442420240a a a a ∆=---=-+=， 解得2a =或3a =
此时切点横坐标分别为0,1x x ==-与0x >矛盾， 故2a =或3a =不符合题意, 综上所述()1,2a ∈.
【点睛】
本题主要考查了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.
二、填空题
13．设向量()3,4a =r ，(),2b λ=-r
，若a b ⊥，则实数λ的值为______.
【答案】8
3
【解析】根据向量垂直知其数量积为0,根据坐标计算即可. 【详解】 ∵a b ⊥，
0a b ∴⋅=, ∴380λ-=， ∴83
λ=
. 故答案为：8
3
.
【点睛】
本题主要考查了向量垂直的条件，属于中档题.
14．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P 的坐标为
()3,4-，则()()sin cos πθπθ-++=______.
【答案】75
-
【解析】根据三角函数的定义，求出sin θ，cos θ，利用诱导公式即可求解. 【详解】 由题意有4
sin 5θ=-
，3cos 5
θ=，
则()()sin cos sin cos πθπθθθ-++=-43
755
5⎛⎫=--=- ⎪
⎝⎭. 故答案为：7
5
- 【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题. 15．幂函数()()
22
3
1m m f x m m x
+-=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 的值为
______. 【答案】-1
【解析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解. 【详解】
由幂函数()()
22
3
1m m f x m m x
+-=--知，
211m m --=得2m =或1m =-.
当2m =时，()3
f x x =在(]0,+∞上是增函数，
当1m =-时，()3
f x x -=在()0,∞+上是减函数，
∴1m =-. 故答案为：1- 【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.
16．已知曲线()3
f x x x =-，则过点()1,0P -，且与曲线相切的直线方程为______.
【答案】22y x =+或1144
y x =-
- 【解析】根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】
设切点为(
)
3
000,Q x x x -， 因为()2
'31f x x =-，
所以Q 为切点的切线方程为：()()
()3
2
000031y x x x x x --=--，
代入点P 坐标有：()()
()3
2
0000311x x x x --=---，
解得：01x =-或012
x =
. 当01x =-时，切线方程为：22y x =+；
当012
x =时，切线方程为：1144y x =--.
故答案为：22y x =+或11
44
y x =--.
【点睛】
本题主要考查了函数图象的切线，导数的几何意义，点斜式直线方程，属于中档题.
三、解答题
17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cos cos sin sin 1A B A B C -=.
（1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为c =，求+a b 的值. 【答案】（1）3
C π
=
（2）6a b +=
【解析】（1）利用两角和的余弦公式及内角和定理得cos 1C C -=-，由二倍角
公式得2
cos
cos 222
C C C
=，进而求得C; （2）利用面积公式得8ab =，结合余弦定理得()2
220a b ab +-=，则+a b 可求 【详解】
（1）∵()cos 1A B C +=，∴cos 1C C -=，
22cos 11cos 222C C C ⎛
⎫--=- ⎪⎝
⎭，2cos cos 222C C C =.
∵0C π<<，故tan
23
C =
，26C π
=，3C π=.
（2）由ABC ∆的面积为3
C π
=
，知1
sin 2
ABC S ab C ∆=
=∴8ab =， 由余弦定理知2222cos 12c a b ab C =+-=，故2220a b +=，()2
220a b ab +-=， 解得6a b +=. 【点睛】
主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．
18．已知函数())2
2sin cos 0f x x x x ωωωω=-+>的图象与直线
2y =-的相邻两个交点之间的距离为1.
（1）求函数()f x 的增区间； （2）当11
63x -
≤≤时，求函数()f x 的最大值、最小值及相应的x 的值. 【答案】（1）()15,1212k k k Z ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦.（2）112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；13
x =
时，函数()f x 【解析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简()f x =2sin 23x πω⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
，进而得1T =及ωπ=则解析式可求； （2）由1163x -≤≤得22333
x ππππ-≤-≤，利用正弦函数的图像及性质得值域即可 【详解】 （1）由
()())
2sin 22cos 1f x x x ωω=-()()
sin 222sin 23x x x πωωω⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭.
由函数()f x 的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1，有1T =，有
212πω=，得ωπ=，故()2sin 23f x x ππ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
令()2222
3
2
k x k k Z π
π
π
πππ-
≤-
≤+∈，得()15
1212
k x k k Z -
≤≤+∈. 故函数()f x 的增区间为()15,1212k k k Z ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
. （2）当1163x -
≤≤时，22333x πππ
π-≤-≤. 则当232x πππ-=-，即1
12x =-时，函数()f x 的最小值为-2；
当233x πππ-=，即1
3
x =时，函数()f x 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．
19．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，且245a a a =，37S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）()2323n
n T n =-⨯+（2）()2323n
n T n =-⨯+
【解析】（1）根据条件联立方程即可求出首项与公比，即可写出通项公式（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】
（1）∵245a a a =，
∴34
111a q a q a q ⋅=，
∴11a =； 又37S =，
∴()3
1171a q q
-=-，解得3q =-（舍）或2q =， ∴1
2n n a -=.
（2）由（1）知()()1
21212
n n n b n a n -=-=-⋅. 则()0
1
2
1
123252212
n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯
()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯
相减得
()231222212n n n T n -=+++⋅⋅⋅+--⨯()12322222121n n n =+++⋅⋅⋅+--⨯- ()()212212112
n n n -=--⨯--
∴()2323n
n T n =-⨯+. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，前n 项和公式，错位相减法，属于中档题.
20．已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=
，a b +=r r .
（1）求()cos αβ-的值； （2）若02
πα<<
，
2
πβπ<<，且4
sin 5
β=
，求sin α的值.
【答案】（1）1
3
-（2）
4
15
【解析】（1）由条件知1a =，1b =，()cos a b αβ⋅=-r r
，利用向量的数量积运算即
可求解（2）利用同角三角函数的关系求出cos β，()sin αβ-，再根据角的变换可知
()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦即可求解.
【详解】
因为()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=
所以1a =，1b =，()cos cos sin sin cos a b αβαβαβ⋅=+=-r r
， 又()222
4
222cos 3
a b a a b b αβ+=+⋅+=+-=r r r r r r ，
得()1
cos 3
αβ-=-.
（2）∵2
πβπ<<，4
sin 5β=，
∴3
cos 5
β=-，
∵02
πα<<
，2
π
πβ-<-<-
，
∴0παβ-<-<，
又∵()cos 0αβ-<，故2
π
παβ-<-<-
，
∴()sin 3αβ-==-， ∴()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦
3144
353515
⎛⎫⎛⎫=-
-+-⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，数量积的性质，同角三角函数的关系，两角差的正弦公式，属于中档题. 21．已知函数()1log 1a
x
f x x
+=-（0a >且1a ≠）. （1）当1a >时，用定义法证明函数()f x 在定义域上单调递增； （2）解关于x 的不等式()log 2a f x >-. 【答案】（1）见解析（2）答案不唯一，见解析
【解析】（1）根据函数单调性的定义，注意做差后变形，即可求证（2）分1a >和01a <<两种情况分类讨论，根据对数函数的单调性求解. 【详解】 （1）证明：由
101x
x
+>-得11x -<<，故函数()f x 的定义域为()1,1-， 令1211x x -<<<，
因为
()()()()()()
21122121211111111111x x x x x x x x x x +--+-++-=---- ()()()()21121212211111x x x x x x x x x x +---+--=
--()
()()
2121211x x x x -=--，
由1211x x -<<<，有110x ->，210x ->，210x x ->，可得
()
()()
21212011x x x x ->--，
由21
21
1111x x x x ++>--，且1a >， 得21
21
11log log 11a
a x x x x ++>--， 所以()()21f x f x >，
故当1a >时，函数()f x 在定义域()1,1-单调递增， （2）不等式()log 2a f x >-可化为11
log log 12
a
a x x +>-， ①当1a >时，不等式可化为111211x x x +⎧>⎪
-⎨⎪-<<⎩，解得113-<<x ，
②当01a <<时，不等式可化为11
1211x x x +⎧<⎪-⎨⎪-<<⎩
，解得1
13x -<<-.
【点睛】
本题主要考查了函数单调性的定义，对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题. 22．已知函数()32
1132
f x x ax =
-，a 为实数. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设()'f x 是函数()f x 的导函数，若()'3f x <对任意[]2,3x ∈恒成立，求实数
a 的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）72,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【解析】（1）函数求导后，分0,0,0a a a >=<三种情况讨论，结合导函数的正负可求
出函数的单调区间（2）根据不等式恒成立，分离参数可得22
33x x a x x
-++<<
，[]2,3x ∈时恒成立，分别求出左边的最大值与右边的最小值即可.
【详解】 （1）函数()32
1132
f x x ax =
-的定义域是R . ()()2211
'3232
f x x a x x ax x x a =⋅-⋅=-=-.
（i ）当0a >时，令()'0f x <，得0x a <<； 令()'0f x >，得0x <或x a >，
所以函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(),0-∞，(),a +∞上单调递增； （ii ）当0a =时，()2
'0f x x =≥对任意x ∈R 恒成立，且()'f x 不恒为0，
所以函数()f x 在R 上单调递增；
（iii ）当0a <时，令()'0f x <，得0a x <<； 令()'0f x >，得x a <或0x >，
所以函数()f x 在区间(),0a 上单调递减，在区间(),a -∞，()0,∞+上单调递增. （2）()'3f x <等价于2
3x ax -<，得233x ax -<-<，得2233x ax x --<-<-，
因为[]2,3x ∈，所以[]3,2x -∈--.
所以不等式两边同时除以x -，得22
33x x
a x x
--->>
--， 即22
33x x a x x ---<<
--， 得22
33x x a x x
-++<<
. 所以33
x a x x x
-
<<+.
即33
x a x x x
-
<<+对任意[]2,3x ∈恒成立. 设()3g x x x =-，()3
h x x x =+，[]2,3x ∈，
则()23'10g x x =+>，()23
'10h x x
=->.
所以函数()g x 在区间[]2,3上是增函数，()h x 在区间[]2,3上是增函数. 所以()()max 32g x g ==，()()min 7
22
h x h ==. 所以722
a <<
. 所以实数a 的取值范围是72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，分类讨论的思想，属于难题.。