2021年九年级中考数学各地区模拟真题专练：圆周角定理的综合含答案

2020-2021年中考数学各地区模拟真题专练：
圆周角定理的综合
1．（2021•崇川区校级三模）（1）风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图1，在小明设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC．求证：AC＝AE．（2）如图2，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE ⊥CD，垂足为F．已知CD＝600m，EF＝100m，求这段弯路的半径．
2．（2021•烈山区一模）如图，锐角△ABC内接于⨀O，BE⊥AC于点D，交O于点E，DF⊥BC 于点F，DE＝DF，连接AE．
（1）求证：AE＝BD．
（2）若CD＝1，AE＝2，圆心O到弦AB的距离OH＝，求⊙O的半径及AB的长．3．（2021•浦东新区模拟）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，
OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．
4．（2021•高新区模拟）已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的长．
5．（2021•兴平市一模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB＝8，求CD的长．
6．（2020•兴庆区校级三模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延
长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）证明：点E是OB的中点；
（2）若AE＝8，求CD的长．
7．（2020•碑林区校级模拟）如图，已知⊙O与⊙O内一定点P，请用尺规作图法求作经过点P的最短弦AB．（保留作图痕迹，不写作法）
8．（2020•西城区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
9．（2020•普陀区二模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直
径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．
（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；
（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；
（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．
10．（2020•杨浦区二模）如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．
11．（2020•朝阳区模拟）如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC ＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．
12．（2020•武汉模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦
MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．
13．（2020•涪城区模拟）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB 于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
14．（2020•利辛县模拟）如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
15．（2020•安徽模拟）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），
连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
16．（2020•台安县一模）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD 中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长
17．（2020•江西模拟）如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）则弦AC、BD所夹的锐角α的度数是多少？
18．（2020•武汉模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连
AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．
参考答案
1．（1）证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC＝AE；
（2）解：连接OC，如图2，设这段弯路的半径为Rm，则OF＝OE﹣EF＝（R﹣100）m，∵OE⊥CD，
∴CF＝DF＝CD＝300m，
在Rt△OCF中，（R﹣100）2+3002＝R2，解得R＝500（m），
所以这段弯路的半径为500米．
2．（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠ADE＝∠BFD＝90°，
由圆周角定理得：∠EAD＝∠CBD，
在△EAD和△DBF中，
，
∴△EAD≌△DBF（AAS），
∴AE＝BD；
（2）解：解法一、过O作OH⊥AB于H，连接BO，OA，
∵AE＝2，AE＝BD，
∴BD＝2，
∵CD＝1，
∴由勾股定理得：BC＝＝3，
∵OH⊥AB，OA＝OB，
∴AH＝BH，∠BOH＝AOB，
∵∠ACB＝∠AOB，
∴∠ACB＝∠HOB，
即cos∠HOB＝cos∠ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：OB＝2，
即⊙O的半径是2，
由勾股定理得：BH＝＝＝，∴AB＝2BH＝；
解法二、∵S
＝＝，
△CDB
∴1×＝3×DF，
解得：DF＝，
即DE＝DF＝，
由勾股定理得：AB2＝AD2+BD2＝AE2﹣DE2+BD2＝（2）2﹣（）2+（2）2＝，即AB＝，
过O作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝AB＝，
∵OH＝，
∴OA＝＝＝，
即⊙O的半径是，
即⊙O的半径及AB的长分别是2，或，（试题数据不严谨，两种答案皆可）．
3．解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，
∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，
在Rt△OEM中，∵OE＝4，
∴，，
∵，
∴，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD＝2DM，
∴，
∵，
∴在Rt△DOM中，，
∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．4．解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，∵∠BAD＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，
∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4；
∴OE＝4﹣2＝2，
∴DE＝＝＝2，
∴CD＝2DE＝4．
5．（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，，
∴，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝8，
∴，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴，
∴．
6．（1）证明：连接AC，如图，
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴＝，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线段CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：∵△ACD是等边三角形，AB⊥CD，∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AE×tan30°＝8×＝，
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴CD＝2CE＝．
7．解：如图所示：线段AB即为所求；
8．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
9．解：（1）∵OF∥BC，OA＝OB，
∴OF为梯形ABCD的中位线，
∴OF＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，
即⊙O的半径长为3；
（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：则BM＝AD＝1，
∴CM＝BC﹣BM＝4，
∴DC＝＝＝2，
∵四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，∴（1+5）×2r＝×2×y+×r×1+×r×5，
整理得：y＝；
（3）△ODG能成为等腰三角形，理由如下：
∵点G为DC的中点，OA＝OB，
∴OG是梯形ABCD的中位线，
∴OG∥AD，OG＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，
DG＝CD＝，
由勾股定理得：OD＝＝，
分三种情况：
①DG＝DO时，则＝，无解；
②OD＝OG时，如图2所示：
＝3，
解得：r＝2；
③GD＝GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：
∠GOD＝∠GDO，
∵OG∥AD，
∴∠ADO＝∠GOD，
∴∠ADO＝∠GDO，
在△ADO和△HDO中，，
∴△ADO≌△HDO（AAS），
∴OA＝OH，
则此时圆O和CD相切，不合题意；
综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r＝2．
10．解：（1）∵，DC⊥AB，∴AC＝BC，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，
∵AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解之得R ＝5．
答：桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）设OD 与EF 相交于点G ，联结OE ，
∵EF ∥AB ，OD ⊥AB ，
∴OD ⊥EF ，
∴∠EGD ＝∠EGO ＝90°，
在Rt △EGD 中，
，
∴EG ＝3DG ，
设水面上升的高度为x 米，即CG ＝x ，则DG ＝2﹣x ，
∴EG ＝6﹣3x ，
在Rt △EGO 中，∵EG 2+OG 2＝OE 2，
∴（6﹣3x ）2+（3+x ）2＝52，
化简得 x 2﹣3x +2＝0，解得 x 1＝2（舍去），x 2＝1， 答：水面上升的高度为1米．
11．解：如图，连接AD ，AC ，连接CD 与AB 交于点F ，
∵AB ⊥BC ，
∴∠ABC ＝90°．
∴AC 为直径．
∴∠ADC ＝90°．
∵AE ＝DE ，DE ⊥AB ，
∴∠DAB ＝∠ADE ＝45°．
∴∠BCF ＝∠DAB ＝45°．
∴BC ＝BF ＝3．
在△ADF 中，∠DAB ＝∠AFD ＝45°，
∴EF＝ED＝1．
∴AB＝5．
∴AC＝＝．
∴⊙O半径的长．
12．（1）证明：连AM，AN，
∵＝，＝，
∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，
∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD．
（2 ）解：连AO，OM交AB于E，设PE＝x，
∵＝，
∴OM⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2
∴52﹣（x+3）2＝（）2﹣x2，
∴x＝1，
∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，
∴MP＝＝＝．
13．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠BFO＝90°
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：，
解得（舍弃）或，
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，
∴四边形EFHC是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝＝＝2，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS），
∴OF＝EC＝，
∴CH＝EF＝3，
∴AC＝EF＝6．
14．解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，∴AB＝＝，
∵•AB•AC＝•BC•AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
（2）作DM⊥AC于M．
∵S
△ACB ＝S
△ABD
+S
△ACD
，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．
15．解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD＝DC，
同理：CE＝EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∵AB＝8，
∴DE＝4．
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH＝BH＝AB，
∵AB＝8，
∴AH＝4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，
∴AO＝5，即圆O的半径为5．
16．解：（1）如图1，设∠BDC＝α，∠DAC＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝α，
∵点C为弧ABD中点，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAC＝β，
∴∠DAB＝β﹣α，
连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴α+β＝90°，
∴β＝90°﹣α，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣α），∴∠ABD＝2α，
∴∠ABD＝2∠BDC；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠ACE＝∠ADC，
∵∠CAE＝∠ADC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE；
（3）如图2，连接OC，
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴，
∵OH＝5，
∴BD＝10，
∴AO＝13，
∴AH＝18，
∵△AHE∽△ADB，
∴，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝．
17．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，连接OA、OB，如图，∴AE＝BE＝AB，
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OE＝AB＝；
（2）连接OC、OD，如图，
∵OC＝OD＝1，CD＝1，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ADB＝∠AOB＝45°，
∴∠α＝∠CAD+∠ADB＝30°+45°＝75°．
18．（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC＝∠AEN＝90°，
∵∠ANE＝∠CNM，
∴∠BCD＝∠BAM，
∴∠BAM＝BAD，
在△ANE与△ADE中，
∵，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD＝AN；
（2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，
∴AE＝2，
又∵ON＝1，
∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1 连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，
∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，
∴r＝2x﹣1＝3．。