方程非正则形式
大学物理-二阶线性常微分方程的一般性质
设方程 (7-1-6) 的正则解为：
(7-1-7)
(7-1-8)
将 (7-1-7)、(7-1-8) 代入 (7-1-6) 式中，得到
消去因子 z ，有
(7-1-9)
要使上式在 |z| < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的 系数必须等于零。
由 z 的最低次幂的系数为零，得到
(a0,b0为已知)
(7-1-11) 一般可以得到两组系数。
(7-1-1)
(7-1-2)
或
(7-1-3)
其中：
是常数
可以看到，在 z0 是方程的奇点的情形下，如果 1 或 者 2 不是整数，或者 g ≠ 0，方程都有多值函数解。
显然，把解 (7-1-1), (7-1-2) 或 (7-1-3) 代入方程中去确
定 1, 2 , g, Ck , Dk 时会发现所得到的是一组无穷多个未
性、单值性等) 由方程的系数 p(z) 和 q(z) 的解析性确定。
设 p(z) 和 q(z) 在一定的区域中，除若干个孤立奇点外， 是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：
1. 方程的常点：如果 p(z) 和 q(z) 都在点 z0 的邻域解析， 则 z0 称为方程的常点。
2. 常点邻域的级数解
以 z2 乘方程
(7-1-5)
得到
(7-1-6)
其中
p1(z) zp(z) q1(z) ห้องสมุดไป่ตู้2q(z)
(7-1-6)
由条件 (7-1-4) 可知：p1(z) , q1(z) 在 z = 0 点及其邻域内是解 析的，将它们分别作泰勒展开，有
q1(z) bs zs s0
p1(z) as zs s0
(z – z0) p(z) 和 (z – z0)2 q(z) 在 0 < |z – z0| < R 中解析。(7-1-4)
数学专业术语
数学
量
假设
定理
逆否命题
猜想
验证
充要条件
论证
恒等式
公式
小于
不等方程
常数
复合
完全的
肯定的
离散的
周期
族
子集
并
直积集
差集
n元组
值域
逆映射
恒同映射
映入
同构
对称性
超穷基数
幺拟群
连通代数群
代数群的有理表示
左函数平移
代数群的李代数
典范态射
半单元
抽象根系
幂幺根
抛物子群
代数群的外尔群
布吕阿分解
谢瓦莱群
算术子群
拓扑群的直积
左一致结构
局部紧群
零化子的互反性
紧阿贝尔群
紧群的群环
局部单连通
泛覆叠群
可数无穷的
数理逻辑
形式语言
合式的
矢列式
论题
命题演算
联结词
逻辑加法
否定词
析取范式
真值
重言式
谓词变元
个体变元
非标准量词
前束词
闭公式
全域
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
对象的余积
终对象
自由对象
对偶函子
忠实函子
常数函子
自然等价
泛性质
表示函子
推出
线性微分方程的奇异性和特殊解
线性微分方程的奇异性和特殊解线性微分方程是数学研究的重要分支之一，它在物理、经济学、生物学等学科中都有广泛的应用。
在解决线性微分方程的过程中，我们常会遇到一些特殊的情况，如奇异性和特殊解。
本文将对这些问题进行探讨。
一、线性微分方程首先，我们来简单介绍一下线性微分方程。
线性微分方程通常具有如下形式：$$y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_1(x)y' + p_0(x)y =f(x)$$其中，$y^{(k)}$表示$y$对$x$的$k$阶导数，$p_i(x)$和$f(x)$都是已知的函数。
如果$f(x)=0$，则称该方程为齐次线性微分方程；否则，称为非齐次线性微分方程。
二、奇异性在解决线性微分方程的过程中，我们会遇到一些特殊的情况，例如奇异性。
奇异性指的是当某些特定条件下，线性微分方程无法求出通解。
这种情况一般发生在系数函数中存在某些奇点的时候。
奇点指的是系数函数中的一个点，在此点处，方程系数函数的某些性质发生突变，从而导致方程无法求解。
常见的奇点有正则奇点、非正则奇点和正则奇异点。
非正则奇点比正则奇点更为普遍。
对于非正则奇点，如果它的存在导致线性微分方程的方程解单值不可能存在，那么就称之为本征奇异性。
三、特殊解除了奇异性之外，我们还会遇到另一个问题，那就是特殊解。
特殊解指的是在原线性微分方程的通解中，特定的一些参数值或条件下，得到的解。
特殊解与通解的主要区别在于前者是针对特定条件下，而后者是所有可能条件下的解，因此前者的形式更为确定和明确。
对于齐次线性微分方程来说，通解一般具有形如$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)$，其中$C_i$为任意常数，而$y_i$为$n$个线性无关的解，通解形式是确定的，即使我们不知道某些常数的值，我们也知道它的形式。
但对于非齐次线性微分方程来说，则需要加上一个特殊解，才能完整地解出该方程。
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
数学分析中的正则性理论及基本应用
数学分析中的正则性理论及基本应用数学分析是数学的核心分支之一，主要研究函数、极限、积分等数学概念之间的关系。
正则性理论是数学分析中一个重要的概念，指的是函数在一定条件下的连续性、可微性等特性。
本文将重点讨论正则性理论及其在基本应用中的应用。
1. 正则性理论的基本概念在数学分析中，函数的正则性通常涉及如下几个方面：连续性、可微性、可导性等。
具体来讲，正则性理论主要研究在什么条件下，函数的这些特性会得到保持或破坏。
例如，在实数域上，一个连续函数一定可积，但反之则不一定成立。
2. 正则性理论在微积分中的应用微积分是数学分析的一个分支领域，主要研究函数的微积分性质。
正则性理论在微积分中有着广泛的应用。
首先，函数的连续性是微积分中最基本的性质之一。
若一个函数在一定区间内连续，则可以通过积分得到其在该区间内的面积。
其次，可微性和可导性是微积分中的重要性质。
若一个函数可导，则可以通过求导计算其在某一点的斜率，从而得到其局部变化情况。
最后，正则性理论还可以应用于微积分学中的微积分学基本定理等问题。
3. 正则性理论在偏微分方程中的应用除了在微积分中，正则性理论还经常应用于偏微分方程中。
在偏微分方程中，正则性通常指的是解的连续性、可微性和可导性等。
这些性质在确定偏微分方程解的存在性、唯一性等问题中具有重要作用。
例如，在研究偏微分方程的初值问题时，正则性理论可以用来判断初始解是否满足某些特定的条件。
4. 正则性理论在拓扑学中的应用拓扑学是数学分析中的一个重要分支，主要研究空间之间的连续映射关系及其性质。
正则性理论在拓扑学中有着广泛的应用。
例如，在研究拓扑空间中的嵌入问题时，正则性理论可以用来判断某些空间中的嵌入是否连续。
此外，在研究紧空间、完备空间等问题时，正则性理论也有着重要的作用。
5. 总结正则性理论是数学分析中的一个核心概念，其应用涉及微积分、偏微分方程、拓扑学等多个领域。
在实际问题中，正则性理论具有广泛的应用价值，帮助我们更好地理解和解决诸如解微积分方程、构造精确的空间模型等问题。
双解析函数的非正则型及非齐次二阶方程的某些边值问题
边 值 问题 及 非 齐 次 二 阶 方 程 （ ２ ／ ａ ０Ｗ） （ ） ＝ｆ的 Ｒｅ ｎ ｉ ｍａｎ边值 问题 和 Ｒｅ ｎ— ｌｅｔ 值 问题 ． ｉｍａｎＨｉ ｒ边 ｂ 我们 指 出 ：。 ｃ Ｒ方程 组 的复形式 是
中图分类号 ： １５ ０ ７ 文 献标 识码 ： Ａ 文章编号 ：０ １８ ９ （０ ７ ０ －２５０ １０ —３５ ２０ ）３０ ９ －５
０ 引言
在文［＿］ 提出了双解析函数 ， １ 中， ２ 阐明了双解 析 函数 的力学 背景 ， 讨论 了 双解 析 函数 的正则 型 并
Ｒｅ ｎ 。 ｌｅｔ 值 问 题 ． 文 将 在 此 基 础 上 ， ｉ ｎＨｉ ｒ边 ｍａ ｂ 本 进
Ｍａ ， ０ ７ ｙ２０
Ｖ０ ． Ｏ． ． 】３ Ｎｏ ３
双解析 函数的非正则型及非齐次 二阶方程 的某 些边值 问题
蒲 松 ， 杨 丕 文
（ 四川师范大学 数学与软件科学学院 ， 四川 成都 ６ ０６ ） １０６
摘要 ： 提出并研究 了双解析 函数 的非正则型 Ｒｅ ａｎＨｌｅｔ ｉｍ ｎ ． ｉ ｒ边值问题 ， 出了该问题的可解性定理 ， ｂ 给 并 讨论了非齐次二 阶方程 （ ２ ／ ａ ＝ ＯＷ） （ ｊ） ，的 Ｒ ｅ ａｎ边值问题和 Ｒｅ ｎ — ｌｅ 边值问题． ｉｍ ｎ ｉ ｎＨｉ ｒ ｍａ ｂｔ 关键 词： 双解析 函数 ； 非正则型 ； ｉ ａ ｎＨｉｅｔ Ｒｅ ｎ — ｌ ｒ边值 问题 ；Ｒｅ ａｎ边值问题 ｍ ｂ ｉ ｎ ｍ
有 界 ，上 述 问 题 称 为 双 解 析 函 数 的 非 正 则 型 Ｒｅ ａｎＨｌｅ 边值 问题 ， ｉｍ ｎ 。ｉ ｒ ｂｔ 简称 Ｒ 问题 ， ｙ（）： Ｈ 若 。ｔ ｙ（）＝０称为齐次的 Ｒ 问题 ， Ｒ 表示． ２ｔ ， Ｈ 用 Ｗ 本文与
偏微分方程数值解法(1)
第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。
在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。
特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。
2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。
这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。
它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。
3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。
这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。
二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。
要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。
把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。
定解条件由实际问题提出。
对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。
边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。
对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。
具非正则奇异性的偏微分方程的形式解(Ⅱ)
Ｎｏ ６ ．
蔡 明建等
具非正则奇异性的偏微分方程的形 式解（Ｉ Ｉ）
６３ ４
函数．
（ ）在 （ ） （ ，） Ｈ２ ， 一 Ｏ Ｏ 附近 ， ０ｚ， ， ，，） ０ 因此 ， 以将 Ｆ（， Ｙ ， ，ｙ ） Ｆ（ ， Ｙ ０ ００ ＝ ． － 可 ｔＸ， ， ａ ３ｕ
展 开成 如下 形式 ：
（． ２ 中南民族大 学 计算 机科 学学院 ， 北 武 汉 ４ ０ ７ ） 湖 ３ ０ ４
摘 要 ： 文研 究 了具 非 正则 奇异 性 的一 阶 全 特 征 型偏 微分 方 程 的形 式 幂 级 数 解 ． 用 待 定 本 利 系数 法 证 明 了形 式 幂 级 数解 的存 在 唯 一 性 ， 给 出了 其 Ｇｅｒｙ类指 标 的计 算 公 式 ． 并 ｖｅ 关 键 词 ： 正 则奇 性 全 特 征 型偏 微分 方 程 ； ｖｅ 非 Ｇｅｒｙ类 ； 式 解 形
，
其 中 “ （ ， ） 一ｕ ｔ ， 为未知 函数 ， 已知 函数
Ｆ（ ， Ｙ， ， Ｏ ｕ） Ｅ Ｃ， ｔ ｚ， “ ａ “， ｙ × ×Ｃ ｘ Ｃ × Ｃ ｏ ｘ ． Ｃｏ
假 设 Ｆ ｔ．， “ ａ“ ３ｕ 满 足 ： （， Ｙ， ， ，ｙ ） ７ Ｃ
ｕ ，， 三 的 一 式 （ ， ＝ Ｅ Ｕｆ ｚ 且“ ，， ∈ ｛ｘ ） ， （ 。 唯 形 解ｕ ， Ｏ ） ｔ ） ｋｔ ． Ｙ， （ ） Ｇｔ ， （ １ ． ｊ ￡ ， ， ） ．
３ 主 要结 论 的 证 明
在证 明定 理之前 ， 出一 个重 要 的预备 引理及其 推 论． 给 引理 １ 如下 一 阶非线 性偏 微 分方 程 ： Ｃ 。
ｔ ： Ｆ（ ， ， ） ｔ ｚ，
tikhonov正则化方法
tikhonov正则化方法Tikhonov正则化方法是一种用于解决线性反问题的数值稳定方法，也称为Tikhonov-Miller方法或Tikhonov-Phillips方法。
它由俄罗斯数学家Andrey Tikhonov在20世纪40年代提出，被广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习、物理学等领域。
线性反问题指的是，给定一个线性方程组Ax=b，已知矩阵A和向量b，求解未知向量x。
然而，在实际应用中，往往存在多个解或无解的情况，而且解的稳定性和唯一性也很难保证。
这时候，就需要引入正则化方法来提高求解的稳定性和精度。
Tikhonov正则化方法的基本思想是，在原有的线性方程组中添加一个正则化项，使得求解的解更加平滑和稳定。
具体地说，Tikhonov 正则化方法可以用下面的形式表示：min ||Ax-b||^2 + λ||x||^2其中，第一项表示原有的误差项，第二项表示正则化项，λ是正则化参数，用来平衡两个项的重要性。
当λ越大时，正则化项的影响就越大，求解的解就越平滑和稳定；当λ越小时，误差项的影响就越大，求解的解就越接近原有的线性方程组的解。
Tikhonov正则化方法的求解可以通过最小二乘法来实现。
具体地说，可以将原有的线性方程组表示为Ax=b的形式，然后将其转化为最小二乘问题，即：min ||Ax-b||^2然后，再添加一个正则化项λ||x||^2，得到Tikhonov正则化问题。
由于这是一个二次最小化问题，可以通过求导等方法来求解。
Tikhonov正则化方法的优点在于，它可以有效地提高求解的稳定性和精度，减少过拟合和欠拟合的问题。
同时，它的求解也比较简单和直观，适用于各种线性反问题的求解。
然而，Tikhonov正则化方法也存在一些限制和局限性。
首先，正则化参数λ的选择比较困难，需要通过试错和经验来确定；其次，正则化项的形式也比较单一，往往不能很好地适应不同的问题和数据；最后，Tikhonov正则化方法只适用于线性反问题的求解，对于非线性问题和大规模问题的求解效果较差。
张量分解方程
张量分解方程张量分解方程是一种多维数据分析的统计技术，它用来通过捕获低阶张量中的核心特征，以抽取图像、文本或其他形式的大规模数据。
张量分解可以根据张量中存在的不同特性、不同聚类等来给出定量描述，从而将其应用于知识发现、机器学习、深度学习、计算机视觉等诸多领域。
张量分解方程（Tensor Decomposition）是一类数学模型，通过分解原始张量中存储的高阶特征，从而将庞大的原始张量数据拆解成更加简单的多个张量，这些张量去除部分高阶的特征，而关注低阶的特征，以此来抽取大规模数据的核心特征。
张量分解方程可以将某个原始张量分解为多个低阶张量，分解原理就是对原始张量进行数学变换，使得原始张量中存储的潜在特征可以更加清晰的呈现出来，从而实现从这些低阶张量中提取核心特征的目的。
张量分解方程成功的应用在诸多领域，其中最典型的应用便是知识发现、机器学习和深度学习等。
知识发现利用张量分解可以提取出原始数据集中的潜在特征，从而发现其中的规律；机器学习和深度学习利用张量分解可以在抽取出特征的基础上，训练模型，从而实现计算机视觉等诸多领域的深入研究。
张量分解方程具备多种类型，以不同的变换形式来获取已知的原始张量，大致主要分为非负张量分解（NoT）、非负矩阵分解（NMF）、独立分量分析（ICA）、逐步张量分解（ST）、模型数学分解（MFA）、应用到半监督张量分解（HS-TD）等等。
为了避免因张量分解而产生过拟合，将会引入正则项，实现更加稳定、鲁棒的张量分解，从而提高分析的准确性。
除了引入正则项外，控制张量分解的参数也是减少张量分解过拟合的有效策略，张量分解的参数主要有正则参数、衰减参数、优化次数等，需要结合实际需求加以调节，以保证张量分解的有效性。
尽管利用张量分解可以有效抽取大规模数据中的核心特征，但是由于张量分解涉及到多维数据，相应的计算量也比较大，会耗费较长的时间。
为此，在使用张量分解时，采取分布式计算的策略，可以减少计算量，有效提升计算效率。
非线性时域识别方程的不适定性与正则化方法研究
１ 时域 识 别 方 程 的不 适 定 性
对 于线性 参 数 识 别 系 统 而 言 ， 限 元 动 力 方 程 可 有 变 换 为如下 的参 数识 别方 程
２ ．湖南 大学土木工程学院 ， 沙 长 ４０ ８ ； ３ １０ ２ ．湖南科技 大学 土木工程学院 ， 湘潭 ４ ０ ） １２ １ １
摘 要 研究了非线性时域识别方程的不适定性及其正则化求解方法。雅可比矩阵的性态能够反映非线性识别
方程 的性态 ， 因此雅可 比矩 阵的条件数是非线性识别方程 的不适定性 的度量 。阻尼最 小二乘法只是一种强迫正定的计算 方法 ， 其识别结果仍然对测试噪声很敏感 ， 解决 该问题的有效途径 是将阻尼 最小二乘法 与正则化 方法两者结 合使用 。算
起来。
建模误差 、 测试噪声和舍人误差 的存在 ， 参数识别方程 中的［ 、Ｐ｝ 日］ ｛ 不可能精确得到 ， 其扰动是不可避免 的。 如果参 数识 别方 程 （ ） １ 是一 个 恰 定 的线性 方 程 组 ， 则根 据矩 阵范数 的性 质 不难 得 到 如 下两 个 关 扰 动计 算
的恰 定 方程 ［ 日］ ０ 日］［ ｛ ｝＝［ ｛ 日］ Ｐ｝ 容 易证 明 （） ５
ｉ 教 厅 秀 年 （ Ｂ１ ｌ 眵省 育 优 青 项目 ０ ０ ） ５ ７
湖南省 自然科学基金项 目（４Ｊ０ ６ ０ Ｊ４Ｏ ０） 收稿 日期 ：２０ ０ ０６— ｌ—ｌ 修改稿收到 日期 ：０ ６—０ ０ ２０ ３—１ ４ 第一作者 谢献忠 男， 博导 ， 教授 ，９ ８年 ｌ １６ ０月生
数学中的非线性偏微分方程与方法论
总结
物理意义
非线性偏微分方程是描述 自然界中很多现象的数学 模型，具有重要的物理意 义。
数学难题
应用前景
研究进展
非线性偏微分方程的数学 性质复杂，相关的数学难 题是数学家们研究的重点 之一。
非线性偏微分方程在物理 学、工程学等领域具有广 泛的应用前景，对于理解 和解决实际问题具有重要 意义。
目前关于非线性偏微分方 程的研究进展迅速，涉及 到数值方法、理论分析等 多个方面。
数学难题和研究进展
Navier-Stokes方程的非线 性性质导致了很多数学难 题，目前研究仍在进行中， 取得了一些进展。
S c h r öd i n g e r 方 程
01 量子力学中的地位和作用
量子力学是描述微观粒子行为的重要理论， 而Schrödinger方程是量子力学的基础方程之 一。
02 波函数解释和统计物理学意义
非线性反应-扩散 方程的数值解法
非线性反应-扩散方 程是描述许多物理现 象的重要数学模型。 在数值模拟中，我们 需要考虑扩散系数和 反应速率对解的影响。 误差分析和收敛性检 验是评估数值解法有 效性的重要步骤。
非线性波动方程的数值模拟
有限差分离 散
离散化过程
波的传播和 干涉
现象分析
稳定性分析
数值模拟性质
● 04
第四章 非线性偏微分方程的 解析理论
非线性偏微分方程的解的存在 性定理
01 Leray-Schauder定理
解的存在性和唯一性
02 Sobolev空间
在存在性定理中的应用
03 解的存在性与正则性
关系及应用
拉普拉斯算子的谱理论
本征函数
描述 性质
谱理论应用
4.1微分方程的奇点（李家春）
4.1微分⽅程的奇点（李家春）复习奇点函数奇异点与⽅程奇异点不同函数奇点分类极限⾓度级数⾓度解析点&可去奇点例sin(x)xlim级限存在且有限⽆负幂项\sum_{n=0}^{\infty}f_n\cdot(x-x_0)^n极点\frac {1}{{(x-x_0)}^2}\lim_{x \to x_0} f(x)=\infty有限个负幂项\sum_{n=-m}^{\infty}f_n\cdot(x-x_0)^nm阶极点\lim_{x \to x_0} f(x)(x-x_0)^m=A\lim_{x \to x_0} f(x)(x-x_0)^{m-1}=\infty最⼩次幂为-m(x-x_0)^{-m}\sum_{k=0}^{\infty}f_k（x-x_0)^k\sum_{k=0}^{\infty}f_k（x-x_0)^k是解析的why本性奇点x\rightarrow x_0,极限不存在e^{\frac 1 z},z\rightarrow0^+是⽆穷⼤；z\rightarrow0^+是0⽆穷个负项\sum_{-\infty}^{+\infty}f_n(x-x_0)^n枝点:w=\sqrt{z-a}z平⾯内⾛⼀圈，\omega平⾯内也⾛⼀圈z平⾯内绕着a⾛⼀圈，\omega平⾯只⾛半圈因为a是枝点⼀般地说，对于多值函数w=f（z），若在绕某点⼀周，函数值w不复原，⽽在该点各单值分⽀函数值相同，则该为多值函数的⽀点。
若当z绕⽀点n周，函数值w复原，便称该点为多值函数的n-1阶⽀点。
微分⽅程的奇点讨论⼀阶常微分⽅程y'(x) = F(x)y(x)\tag{4.1.1}有通解y = Ce^{\int F(\tau)d\tau}所以⽅程的解的性质被F(\tau)决定若F(x)在x_0的邻域|x-x_0|<R内解析，则有泰勒展开F(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty F_n(x-x_0)^n则，解可以写作y = C\exp \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{F_n(x-x_0)^{n+1}}{n+1}\right)逐项积分得到它亦是x_0的邻域x_0的邻域|x-x_0|<R内的解析函数，这时，我们称x_0为微分⽅程（4.1.1）的正常点（ordinary point）.若x_0为函数 F（x）的⼀阶极点，即 F（x）在x_0点附近可表达为∶F(x)=\frac{1}{x-x_{0}} \sum_{n=0}^{\infty} F_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}F(x)展开为洛朗级数\sum_{n=-1}^{\infty}\frac {c_n}{(x-x_0)^n}乘以\frac{x-x_0}{x-x_0}求和号⾥-1项就没了这时，⽅程的解为y=c\left(x-x_{0}\right)^{F_{0}} \exp \left[F_{1}\left(x-x_{0}\right)+\frac{F_{2}}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots\right]\begin{align} y&=Ce^{\int F(t)dt} \\&=Ce^{\int{\frac 1 {x-x_0}\sum_{n=0}^{\infty}\quad (x-x_0)^n}d(x-x_0)} \\&=Ce^{[\int \frac{F_0}{x-x_0}+F_1+F_2(x-x_0)^1+\dots] d(x-x_0)} \\&=Ce^{[F_0\ln (x-x_0)+F_1(x-x_0)+\frac 1 2 F_2(x-x_0)^2+\dots]} \\&=Ce^{F_0\ln (x-x_0)}e^{[F_1(x-x_0)+\frac 1 2 F_2(x-x_0)^2+\dots]} \\&=C(x-x_0)^{F_0}e^{[F_1(x-x_0)+\frac 1 2 F_2(x-x_0)^2+\dots]} \end{align}除了F_0为正整数外，x_0点是⽅程（4.1.1）解的极点或⽀点，这时，我们称X_0为微分⽅程（4.1.1）的正则奇点（regular singular point）. 请注意，在正则奇点邻域内依然可以有解析解，譬如F_0为正整数的情形.F_0为负整数，x_0是极点。
微分方程中的正则形式求解及其应用
微分方程中的正则形式求解及其应用微分方程是数学中的重要分支之一，其研究内容是描述自然界中各种变化过程的数学模型。
微分方程的求解是应用数学的重要部分，其背后涉及到许多数学原理和方法。
正则形式求解是一种广泛应用于微分方程求解中的方法。
在本文中，将探讨正则形式求解在微分方程中的应用，包括其基本原理、求解方法以及具体应用案例。
一、正则形式求解的基本原理正则形式求解，也称为级数解法，是微分方程求解中的一种常用方法。
它的基本原理是将微分方程转化成方程的级数形式，然后逐项求解得到该微分方程的通解。
正则形式求解的优点在于，它可以求解一些非线性微分方程，通常更为简便易行。
正则形式求解的基本思路是从微分方程的解出发，考虑解的形式。
对于大多数的微分方程，我们并不能直接得出其解析解式，因此我们考虑求解约数方程的幂级数解。
显然，幂级数解是可以拆分成各项系数所组成的级数的形式。
于是我们可以将其拆解为：$$ y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $$将上式代入微分方程中，然后可以将微分算子“D” 变为幂级数形式。
通过代入后，我们可以得到其各个阶次的系数通解，从来解得微分方程的解析解。
正则形式求解的核心在于，我们将函数转变成其级数形式，引入到微分方程中，将微分方程化为纯量级数的形式。
通常来讲，在微分方程中，我们需要计算各高阶项的移项和归纳项。
幂级数解法作为一种代数式的计算方法，能够处理这种类型的问题。
这其中涉及了一些重要的数学工具，比如求和、级数收敛，特别是Gamma函数等函数的运用。
二、正则形式求解的求解方法对于微分方程中的正则形式求解，首先要确定其级数解形式，然后通过将其代入到微分方程中，求解其各高阶项的移项和归纳项，由此导出其通解。
在实际求解中，我们通常会按照如下步骤进行：1. 首先，我们需要将微分方程转化为幂级数形式，表示成函数的幂级数形式：$$ y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $$2. 然后，我们将其代入到微分方程中，将微分算子 D 变为幂级数求解。
物理学中的动力学方程
物理学中的动力学方程动力学方程是物理学中非常重要的一个概念，因为它描述了物质在空间中的运动规律。
动力学方程运用了牛顿力学和微积分理论，用一种特殊的形式表达了物体受到的所有力的总和，从而描述了物体的运动。
牛顿第二定律和简单的机械系统牛顿第二定律是描述力和加速度之间关系的经典方程，它基于牛顿的三大定律。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与物体所受合外力的大小成正比，与物体的质量成反比。
这个定律常常被写成如下的形式：F = ma其中，F代表受力的大小，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
这个公式非常基础，但它可以描述许多力学问题。
例如，如果有一个简单的弹簧振子，振子受到弹簧的拉力以及阻尼力的作用，则可以使用牛顿第二定律来描述振子的运动。
在这个情况下，弹簧拉力和阻尼力构成了振子所受的合外力，而振子运动的加速度可以用振幅和周期来确定。
非完整约束和拉格朗日力学但有些问题不那么简单。
例如，对于两个相互作用的物体，它们之间的力可能是垂直于它们之间的距离的，因此无法直接使用牛顿第二定律描述它们的运动。
这种约束被称为非完整约束。
拉格朗日力学则是一种针对非完整约束的运动方程描述方法。
它不依赖于特定的坐标系，而是将所有描述运动的坐标都视为等价的。
拉格朗日力学的关键是拉格朗日方程，也被称为运动方程。
它基于运动的的能量和拉格朗日函数，表示出了物体的运动性质。
拉格朗日方程的形式如下：L = T - V其中，T代表物体的动能，V代表物体所受的势能。
拉格朗日方程根据最小作用原理，描述了物体从初始状态到结束状态的运动轨迹。
这个方法被广泛应用于各种物理问题的求解中。
哈密顿力学和正则变量哈密顿力学是拉格朗日力学的另一种形式。
它基于哈密顿函数，而不是拉格朗日函数。
哈密顿函数表示物体的动量和能量之和。
哈密顿函数的形式如下：H = T + V其中，T代表物体的动能，V代表物体所受的势能。
哈密顿力学使用正则变量来描述系统的运动。
正则变量与系统的状态量形成了一种变换关系，使得能量和动量之间的关系更加清晰。
非正则奇性全特征型偏微分方程的形式解(Ⅰ)
１ 引言 和 准 备知 识
关于全特 征型奇异偏 微分 方程 ， 目前还 只有 些 初 步 的结果． 陈化一 ｈ ｒ口 考 虑 了具有 Ｔａ ａａ 正则 奇性一个 空间变 量 的 方程 的情 况 ， 一 定 条 件下 ， 明 了全 纯 解 的存 在 唯一 性． 壮 在 证 罗 初 对具 有正则奇 性多个空 间变 量的全 特征 型奇异偏微 分方程 ， 在一定条件 下 ， 明了全 纯 证 解 的存 在唯一性 ． 于方程具有 非正则 奇性 的情形 ， 对 问题变得 十 分复 杂 ， 需要 在形 式 Ｇ ｖ ｒ ｅ ｅｙ 类 中讨论 ， 有的结果 很少 ， ， ， ａ ａａＨ． 论 了一 个空 间 变 量 的情形 ［ ， 们 在他 们 现 陈 罗 Ｔ ｈ ｒ 讨 ３我 ］
（． ２ 中南 民族 大 学计 算机 学院 ， 北武汉 ４ ０ ７ ） 湖 ３ ０ ４
摘 要 ： 文 研 究 了 一类 含 两 个 空 间变 量 的具 有 非 正 则 奇 异 性 的 全 特 征 型 偏 微 分 方 程 的形 本
式 解 ． 用 幂 级数 的 比较 系 数 法 ， 到 了 适 当 的 形 式 幂 级 数 解 的 Ｇ ｖｅ 利 得 ｅ ｒｙ指 标 ， 证 明 了形 式 解 并
Ｆ Ｏ ｚ， ，） －． （ ， ０ ０ ＝ ０ 因此 ， 以将 Ｆ（， ， ，） （， ， 进行 Ｔ ｙｏ 展 开如下 ： － 可 ｔｚ Ｕ 对 ￡Ｕ ） ａ ｌｒ
维普资讯
Ｖｏ ． ８ ２ ０ ） １２ （ ０ ８
Ｎｏ ．１
数 学 杂 志
Ｊ ｏ ａｈ （ ． ｆＭ ｔ ． ＰＲＣ）
非正 则 奇 性全 特征 型偏 微 分 方 程 的形式 解 （ 工）
黄 学英 蔡 明建 ，罗壮 初 ，
正则表达式与数学（方程式、线性方程）
正则表达式与数学（⽅程式、线性⽅程）正则表达式如下：复制代码代码如下:^1?$|^(11+?)\1+$ 可以判断素数（换成n个1的形式，n为数字的⼤⼩。
⽐如5转换为11111；3转换为111；2转换为11。
）什么是素数？初中学的吧。
我们⽼师当初教我们的是“质数”。
看下概念：质数⼜称素数。
指在⼀个⼤于1的⾃然数中，除了1和此整数⾃⾝外，没法被其他⾃然数整除的数。
换句话说，只有两个正因数（1和⾃⼰）的⾃然数即为素数。
⽐1⼤但不是素数的数称为合数。
1和0既⾮素数也⾮合数。
这个正则表达式是什么意思？【^1?$|^(11+?)\1+$】中间⽤【|】分开。
【|】在正则语法⾥，表⽰“或”，作⽤于其前后两个单元。
(还是不明⽩的看下⾯，明⽩的跳过下⾯这段)复制代码代码如下:⽐如【ab|cd】可以匹配“ab”、也可以匹配“cd”，意思是除了“ab”就是“bc”，如果想匹配“abd”、“acd”那【|】的作⽤域得改下，加个范围改成【a(b|c)】(匹配结果分配组)或者【a(?:b|c)d】(匹配结果不分配组，更⾼效率)。
继续刚刚的正则，分为两个分⽀，其⼀为【^1?$】和【^(11+?)\1+$】。
其中【^】脱字符在正则语法中，除了在中括号【[]】中都是代表开头的意思，在中括号中的表⽰⾮。
第⼀个分⽀【^1?$】匹配的是“1”或者“”(空字符串)。
第⼆个分⽀【^(11+?)\1+$】，先看下括号内的【(11+?)】匹配的是字符“1”后⾯接着【1+】就是1到⽆数个1。
后⾯的【?】问号表⽰⾮贪婪，就是尽量少的匹配。
接着往后看【\1+】中，【\1】表⽰引⽤已匹配的第⼀个组的结果。
也就是第⼀个【()】括号匹配的结果。
同理【\2】就是第⼆个括号捕获的结果。
(⼩提⽰：上⾯提到的【(?:)写法就是不分配组，这样引⽤的话，就引⽤不到了】)【+】就是1到⽆数个了。
这个表达式我们可以这么看。
【(11+?)】看成数学中的1+n，其中n为⼤于0的正整数。
非正则奇点的方程求解
非正则奇点的方程求解1. 引言非正则奇点方程是数学中的重要研究领域，它涉及了微分方程、复变函数和复分析等多个学科。
在这个领域中，我们探索非正则奇点方程的解及其特性，目的是为了了解和揭示数学中的一些奇妙现象。
本文将对非正则奇点方程求解的方法和相关概念进行详细介绍。
2. 非正则奇点的定义在解释非正则奇点之前，我们首先需要了解什么是奇点。
在数学中，奇点是函数或方程在某一点上出现的特殊现象，它可能会导致函数在该点附近无法定义或者非常不连续。
奇点可以分为正则奇点和非正则奇点两种。
正则奇点是指函数或方程在该点上满足一定的条件，使得在该点附近的函数表现正常，例如可以进行Taylor展开。
非正则奇点则是指函数或方程在该点上不满足正则奇点的条件，导致函数在该点附近无法展开为无穷级数。
3. 非正则奇点方程的形式非正则奇点方程的一般形式可以表示为：f(z)f″(z)+g(z)f′(z)+ℎ(z)f(z)=0其中，f(z)是未知函数，g(z)和ℎ(z)是已知的函数。
这个方程称为二阶非正则奇点方程。
4. 非正则奇点方程的求解方法非正则奇点方程的求解是一个复杂而困难的问题，一般来说没有通用的求解方法。
但是在特殊情况下，我们可以使用一些技巧和方法来求解。
4.1 零解的求解对于非正则奇点方程，如果存在一个解f(z)≡0，那么我们称之为零解。
零解是方程的一种特殊情况，可以通过代入f(z)≡0来求解。
4.2 傅里叶级数法傅里叶级数法是一种常用的求解非正则奇点方程的方法。
利用傅里叶级数展开，我们可以将非正则奇点方程转化为傅里叶系数的方程组，然后通过求解方程组来得到解的表达式。
4.3 亚纯函数法亚纯函数法是另一种常用的求解非正则奇点方程的方法。
亚纯函数是指在复平面上除了有限个奇点外处处解析的函数。
通过假设f (z )是一个亚纯函数，我们可以将非正则奇点方程转化为亚纯函数的方程，然后利用亚纯函数的性质来求解。
4.4 椭圆模函数法椭圆模函数法是一种特殊的求解非正则奇点方程的方法。
非正则奇点的求解方法
非正则奇点的求解方法
非正则奇点是指微分方程中的奇点，它是指方程在某些点上解不满足正常的光滑性要求。
非正则奇点的求解方法主要有以下10种。
1. 线性化：将非正则奇点附近的微分方程进行线性化，即将非线性项近似为线性项。
然后可以使用线性方程的求解方法来求解非正则奇点。
2. 极限环方法：通过观察非正则奇点是否具有极限环，可以确定非正则奇点的解。
当奇点周围存在极限环时，可以利用极限环方法求解非正则奇点。
3. 分解法：将非正则奇点的微分方程分解成多个简单的微分方程，然后分别求解这
些简单的微分方程。
最后再将解合并得到非正则奇点的解。
4. 约化法：通过对非正则奇点周围的微分方程进行变量替换和约化，将非正则奇点
变为正则奇点，然后使用正则奇点的求解方法求解。
6. 椭圆积分法：对于具有椭圆积分形式的非正则奇点，可以使用椭圆积分法求解。
该方法通过将非正则奇点的微分方程转化为椭圆积分形式，然后利用椭圆积分的性质来求解。
8. 数值方法：对于无法解析求解的非正则奇点，可以使用数值方法进行求解。
常用
的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
9. 幂级数法：对于非正则奇点附近的微分方程，可以将其展开为幂级数形式。
然后
通过求解幂级数的系数来求解非正则奇点。
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1 2
1
g
(1)
1 u (2) , D5
双激发态 (1 g )0 (1 u )2 D6
1 2
1
g (1)
1 u (2)
D6
1 2
1 u (1)
1 u (2) ;这里有 6 个可能的 Slater 行列式.
但如果基组再大一些，对每个H原子取1s和2s，则可能的 组态更多。即共4个原子轨道4个分子轨道，共8个可能
证明： 0
1 n!
1
(1)
2
(2)
K
(
K
)
n
(n)
这里 i 包括自旋和空间二部分
Ka
Ka Hˆ 0
1 n!
1
(1)
2
(2)
a
(
K
)
n
(n)
1 2 a n
1 i hi 2 i
n
g ij
j
(1) p Pˆ 1 2 a n
H 42 0 一样再通过 H 02 0 对基态起作用，所以
作用较小。
3、组态相互作用与相关能
由于用了多组态波函数即考虑了组态的相互作用 （CI），从数学角度是波函数的适应性更大，被 优化参数大大增加，从而可得到更接近实际体系 波函数，于是可得到更精确的体系能量。 从物理意义讲，由于组态增加，即使电子的活动 范围增加，而不是只局限于一个分子轨道运动， 就减少了电子在同一处出现的概率（即考虑的相 关效应），所以能量降低部分可认为是相关效应 的贡献，即是相关能的部分。
2 A1
14.74 15.86(+1.12) 13.34(-1.40)
2 B2
18.51 19.47(+0.96) 17.61(-0.90)
（四）Brillouin定理
此定理是Hartree-Fock方程的一个重要性质 ，内容为：
设 0 是由占据的 H-F 轨道构成的一个行列式波函数，Ka 是一
H2
HF exp
d(H-H) Ang De(H-H) eV
0.732 0.741 3.49 4.75
HF方法最大的误差来源于采用Slater行列式所引入的单 电子近似，为了得到更加准确的能量，必须超越HF的 单电子波函数：
1. 多组态 2. 波函数里考虑r12
构建空间中的完备基组
（五）组态相互作用 （Configuration Interaction）
复习
体系总H 作用在Slater行列式上
HF 方程非 正则形式
正则形式
解薛定谔 方程
Fˆi
ij j
j
Fˆi i i
它是等效于单电子Schrodinger方程， 但它是考虑了自旋相关效应，即保里原理（虽然方程仍是单电子的）
HF方程的解不是唯一的。
HF方程的解构成正交归一化的完全函数集合
Di 代表第i 个 Slater 行列式。
式中必定包含一个基组态的行列式 i 1 ，
即 D1 ，它是由 SCF 方法得到，其它组态可 以 是 单 激 发 态 （ Singlet ）， 双 激 发 态 （Doublet），甚至三激发态（Triplet）四 激发态（Quadraplet）…
其中ci 是系数(也是变分函数)，通过对ci 变分求能量
例如 H2 使
Di (1 g )2
1 2
1
g
(1)
1 g (2)
S 0 Ms 0
Hˆ 这里 和 Dj
(1 g ) (1 u )
1 2
[
1
g
(1)
1 u (2) 1 g (1)
1 u (2) ]
Di
对空间部
S 0 Ms 0
分都是中心对称的，而Dj 则对空间是反对称，
iK
j
n
n
[2Hii (2Jij Kij )] 2H KK (2J Kj K Kj ) H KK (2J Kj K Kj )
iK
j
j 1
j 1
n
[2Hii (2Jij Kij )] [H KK (2J Kj K Kj )]
2.4 有关自洽场方法的讨论
（一）Hartree-Fock方程的局限性 （二）相关能(Correlation Energy） （三） Koopmann定理 （四）Brillouin定理 （五）组态相互作用 （Configuration Interaction）
（三） Koopmann定理
正则 HF 轨道能K 等于（近似）体系的第 K 轨道上的电子电离势IK 的负值，即
1 g
1 2 2s
(1s A
1sB ) 成键;1 u
2
1
2s
(1s A
1sB )
反键
于是基态 (1 g ) 2 D 1
D1
1 1 g (1) (1) 2 1 g (1) (1)
1 g (2) (2) 1 g (2) (2)
1 2
1
g
(1)
1 g (2)
个虚轨道 a 代替0 中的单粒子态 K 后形成的行列式波函数
（相当于一个电子由 K 激发到 a ，而其它轨道都不发生变
法）。
则成立
Ka Hˆ 0 0
H: 体系的总哈密顿量
其中 0 可看作为基态，单 Slater 行列式
Ka 从轨道 K 到空轨道 a 的单激发态，也是单 Slater 行列式
所以 Hij Di HˆDjd 中被积分函数是反对称的。积分为 0 ，
Hij 0 ，所以空间对称性与基组态不一致的组态也是没有用的。
(3) 选择组态必须包括双激发态及以上的组态。 因为单激发态D1 对基组态的相互作用没有直接贡献，其理由是 Brillouin 定理
H 01 D0 Hˆ D1 0 但一般情况下 H02 D0 Hˆ D2 0
n
a h K [ a j g12 K j msa ms j a j g12 j K
j 1
a Fˆ K K a K 0
以上是根据 HF 轨道的正交性得到的,即使 a 和 K 不是正则
轨道（即能量未对角化），则关系也是成立的。
差值大，而
SCF
计算的
E
K
(SCF )
和真实的
E
K
差值小，这就是二次
SCF
计算的
I
0 K
(
SCF
)
要小于实际的电离能
I
0 K
。
有可能
I
0 K
更接近于
I
0 K
(exp)
,但这
只是恰好。
例水
正离子 实验值 Koopmann SCF
2 B 2 12.62 13.79(+1.37) 11.08(-1.54)
K IK
证明：对闭壳层中性分子体系
E [ 2 H ii ( 2 J ij K ij ) ]
i
j
Koopmann 定理是一种近似，即电子从K 轨道中电离后，
其它电子状态不发生变化（是一种绝热近似），这种电离
势为垂直电离势（Vertical ionization potentials）
Hˆ E
的极值， 即
E 0 ci
i 1,2
从而求出ci 得到 。以最简单的情况为例
能量平均值
c1D1 c2 D2
Hˆ E
变分法求
E E
0
c1 c2
得久期行列式
H11 ES11 H12 ES12 0 H 21 ES21 H 22 ES22
i
j
j 1
E K
按电离势定义
I
0 K
E
K
E
K
同样也可证为 K 就等于此轨道
的电子亲和势
K AK
Koopmann定理 是一个近似定理 ！
1。没有考虑松弛效应 2。HF方法本身的误差，如相关能；相对论纠正
严格讲当一个电子从φ k轨道电离后，分子内势 场发生变化，电子状态和核位置发生改变（ nuclear relaxation），这种改变必然会使体系能 量降低（即变分后能得到更精确的状态和能量） 。所以重新自洽的正离子能量要降低，即：
单激发态 (1 g )1(1 u )1 D2 , D3 ,D4 , D5
D2
1 1 g (1) (1) 2 1 u (1) (1)
1 g (2) (2) 1 u (2) (2)
1 2
1
g
(1)
1 u (2)
D3
1 2
1
g
(1)
1 u (2) , D4
现在介绍一种比SCF更进一步的计算技术，能包括 电子的相关能。例如对一个小的分子，或原子， 可引入一些复杂的粒子间的坐标，如双粒子坐标 r12，但是更一般的，应用较普遍的式用多组态 （当然是多Slater行列式）波函数，称为组态相互 作用（CI）来获得相关能。
1、 CI 的数学表示
C i Di i 1
Sij Di D j ij
(4) 三激发态以后的高激发态对相关能贡献是较小的。
因为 Hˆ 算符中只涉及双粒子积分，所以三激发态以上
组态与基态直接作用为 0，即
H 03 H 04 H 05 0
它 们 是 通 过 和 其 它 组 态 的 作 用 像 H 32 0 ，
状态（包括空间和自旋），而2个电子去占据,于是可得