求解正则长波方程的一种基于NV TVD的高分辨率有限体积格式

A High Resolution NV/TVD Finite Volume Scheme for the Regularized Long Wave Equation
Wei Gao, Guoqin Sui, Hong Li
School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Hohhot Email: mathgao@mail.ustc.edu.cn, suiguoqin123@163.com, smslh@imu.edu.cn Received: Feb. 6th, 2014; revised: Feb. 12th, 2014; accepted: Feb. 15th, 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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求解正则长波方程的一种基于 NV/TVD 的高分辨率有限体积格式
ˆ = 0, Φ ˆ = 1 ，于是 Φ ˆ 可表达为 这里 φ 可以取值为 φ f , φU , φC , φD ,进而 Φ U D f
ˆ = f Φ ˆ Φ f C
( )
ˆ 的函数。这一简化的数学关系为构造新的格 ˆ 只是 Φ 这意味着，在引入正则化变量表达形式后， Φ C f
Abstract
An oscillation-free high order scheme is presented for regularized long wave equations by using the normalized-variable formulation in the finite volume framework. It adopts the QUICK finite volume scheme as the basic scheme to obtain high order accuracy in smooth solution domain. In order to suppress unphysical oscillations of numerical solutions by high order linear schemes, the CBC (convection boundness criterion) condition is combined with the TVD (total variation diminishing) constraint to design a bounded QUICK scheme. Numerical results demonstrate that the present scheme possesses good robustness and high resolution.
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求解正则长波方程的一种基于 NV/TVD 的高分辨率有限体积格式
2. 数值格式的建立
正则长波方程的守恒形式为

(φ − µφxx )t + φ + ε
将计算区间 [ a, b ] 进行 N 等分，记为
φ2
0 = 2 x
(1)
x 1 = a < x 1 = a + ∆x < < xN + 1 = b ,
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求解正则长波方程的一种基于 NV/TVD 的高分辨率有限体积格式
收稿日期：2014年2月6日；修回日期：2014年2月12日；录用日期：2014年2月15日
摘
要
本文构造了一种求解正则长波方程的高分辨率高阶有限体积格式，它以QUICK有限体积格式作为基础格 式，以期在光滑解区域获得数值高精度。另外，它结合TVD和CBC两种对流有界准则来抑制数值解的非 物理振荡。几个典型的算例表明，本文提出的数值格式保持了有限体积方法良好的守恒性，同时又具有 高精度和良好的计算稳定性。
2 2 2wk.baidu.com
b−a 每个控制单元 。(1)式在 I j 上积分，可得 = I j = x , x j + 1 , j 1,, N 的长度为 ∆x = j− 1 2 2 N
∫I (φ − µφxx ) dx + ∫I
j
εφ 2 φ+ j 2
0 dx =
进而可得
( )
(
)
(
)
( )
( )
1 2 1 ˆ ≤ ΦC < 1 2
另外，Sweby 将 TVD 约束条件用限制器函数表示为[5]
0 ≤ Ψ ( r ) ≤ min ( 2r , 2 ) , r > 0 Ψ ( r ) = 0, r ≤ 0
其中 Ψ ( r ) 是一个限制器函数，其中 r =
φD − φC 。TVD 条件也可以表示为 φC − φU
其中 φ j + 1 = φ x j + 1 , t 。若记 φ j
2 2
(
)
φ2 φ2 d ∫ φ dx − µ (φx ) j + 1 + µ (φx ) j − 1 = φ j − 1 + ε − φ j + 1 − ε 2 2 2 2 dt I j 2 j− 1 2 j+ 1 2 2
1 分别对应常见的 SOU，CD 和 QUICK 格式。由 Leonard 的变量正则化方法[19]，定 3 义正则化变量(Normalized Variable, NV)为
ˆ = φ − φU Φ φD − φU
Figure 1. Three neighboring mesh points and the mesh face 图 1. 三个相邻的节点及单元边界
其正则化变量表达式为
ˆ = 5Φ ˆ +1 Φ f C 6 3
由图 2 中绘制出 QUICK 格式对应的 NV 线可以看到， 已超出 TVD 和 BAIR 的交集区域， 这表明 QUICK 格式不是对流有界的。 为此对 QUICK 格式加以改进， 使之满足对流有界性。 根据 TVD 和 BAIR 的要求， 1 3 1 ˆ =θΦ ˆ ˆ < 时， ˆ < 1 时， ˆ = θ Φ ˆ − 1 + 1, 0 ≤ θ ≤ 1 。 当0<Φ 应满足 Φ 当 <Φ 应满足 Φ f 1 C ， ≤ θ1 ≤ 2 ； C 2 C f C 2 2 2 2 2 根据以上分析，改进格式可表示为
式带来了方便。为了改进 Gaskell 和 Lau 提出的 CBC 条件对于数值格式精度无限制的缺点，Wei 和 Hou 提出的了 BAIR[6] [7]约束条件，其数学形式为
3 ˆ ˆ ≤1 Φ ˆ +1 , ˆ < Φf ≤ f Φ 0<Φ C C C 2 2 1 ˆ ˆ ≤ 3Φ ˆ 且f Φ ˆ ≤ 1, ΦC + 1 ≤ f Φ C C C 2 2 ˆ = ˆ , ˆ ≤ 0或Φ ˆ ≥1 Φ Φ Φ f C C C
关键词
正则长波方程；TVD；CBC；有限体积方法
1. 引言
正则长波方程(Regularized Long Wave Equation, RLW)可表达为
φt + φx + εφφx − µφxxt = 0
其中 ε ， µ 是正常量。它是描述大量重要的物理现象(如浅水波，离子波等)的主要的模型方程，尤其在非 线性色散波研究方面有着重要的作用。正则长波方程是非线性方程，解析解通常难于计算。因此数值计 算成为一种重要的研究方法。在数值求解过程中，非线性对流项的数值离散是最关键的环节。对流项的 处理要求在解的光滑区域时具有较高精度，在激波或大梯度附近时稳定且有界。传统的高阶数值格式， 如中心差分格式 CD (Central Difference)， 二阶迎风格式 SOU (Second-order Upwind)[1]， QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics)格式[2]及三次迎风插值格式 CUI (Cubic Upwind Interpolation)[3]是最常见的用于对流项离散的高阶格式，但它们都不满足有界性，容易产生非物理振荡。为此， 需要将对流有界性与高阶精度结合，构造非线性高分辨率格式[4] [5]。 TVD[4]条件和 CBC (BAIR)[6] [7]条件是两个主要的对流有界性条件。已知的很多限制器函数都是基 于 TVD 性质的， 如 Sweby 提出的 MINMOD[5]， Roe 的 SUPERBEE[8]及 Van Leer 的 MUSCL[9]等。 另外， Gaskell 和 Lau 提出 CBC (Convection Boundedness Criterion)[10]条件来构造对流有界的数值格式。为了弥 补原始 CBC 条件对数值格式精度不做限制的缺陷， Wei et al.[6]和 Hou et al.[7]提出 BAIR 条件(Boundedness, Accuracy and Interpolative Reasonableness)，它使得对流项的数值格式同时具有有界性和高精度。然而，与 TVD 格式相比，CBC 类的数值格式在计算激波管流动等问题时，仍然会产生非物理振荡[11]。有限差分 [12]-[14]和有限元[15]-[18]是常见的用于正则长波方程数值方法，但是基于有限体积方法的数值格式并不 多见。一般来说，有限差分方法是以基于点值泰勒展开来构造数值格式的，有限元方法是以极小位能原理 或极小残量方法为基础，以分段或分片多项式的形式来构造数值格式的。它们都不是天然的基于守恒原理 的数值方法，为此常常要特别去构造守恒的有限差分或有限元格式。与它们相比，有限体积方法以守恒原 理为基础，在计算与守恒律相关的问题时，自然就可以得到守恒格式，而这对于得到符合物理意义的数值 解，是十分重要的。 本文以 QUICK 有限体积格式为基础， 构造了一个满足 TVD 和 CBC-BAIR 条件的高阶无振荡有限体 积格式，用于数值求解正则长波方程。本文的安排具体如下：第 2 节建立对流项的高分辨率有限体积格 式和扩散项的数值离散；第 3 节给出典型数值算例；第 4 节给出结论。
2.1. 对流项离散
2.1.1. 两种对流有界准则 如图 1 所示，U、C、D 是相邻的 3 个网格的节点，分别表示上游、中心和下游的三个节点， f 表示 控制单元的界面。界面值 φ f 可表达为
1 + κ
φ f =φC + 4
这里参数 κ = −1, 1,
(φ
D
− φC ) +
1−κ φC − φU ) ( 4
ˆ ≤ 1且Φ ˆ ∈ Φ ˆ ˆ ˆ Φ f f C , 2Φ C , 0 < Φ C < 1 ˆ = ˆ , Φ ˆ ≤ 0或Φ ˆ ≥1 Φ Φ
f C C C
综上，将 BAIR 区域与 TVD 区域绘制于图 2 中。 2.1.2. 对流项离散格式
5 1 1 有限体积 QUICK 格式为 φ f = φC + φD − φU 6 3 6
1 φ dx 是第 j 个单元的单元平均值，则有 ∆x I∫j
φ2 φ2 d µ µ 1 φ φ φ φ ε φ ε − + = + − − ( ) ( ) 1 1 1 1 j x j+ x j− j+ 2 2 2 dt 2 j− 1 2 j+ 1 ∆x ∆x ∆x j − 2 2 2
International Journal of Fluid Dynamics 流体动力学, 2014, 2, 1-11 Published Online March 2014 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/ijfd http://dx.doi.org/10.12677/ijfd.2014.21001
Keywords
Regularized Long Wave Equation; TVD; CBC; Finite Volume
求解正则长波方程的一种基于NV/TVD的 高分辨率有限体积格式
高 巍，睢国钦，李 宏
内蒙古大学数学科学学院，呼和浩特 Email: mathgao@mail.ustc.edu.cn, suiguoqin123@163.com, smslh@imu.edu.cn