z变换离散时间系统的z域分析
二十章Matlab进行离散系统的Z域分析
实现：
只要调用ljdt（）直观判断极点位置就可 以确定系统稳定性，并可使用abs（）求 出各极点至原点的长度。
例：已知系统函数为:
z 1 H( z ) 3z5 z4 1
判定系统的稳定性。 程序如ex1201.m所示。
2 由系统函数分析系统时域特性
• 理论分析
• 实现方法：
由系统函数H(z)的表达式可以得到分子、 分母系数向量A和B，调用impz(B,A)即可 得到单位样值时域响应。
一、Z变换的定义
1. Z变换定义背景知识介绍。 2. Z变换符号表达式的求解命令： • 正变换：F=ztrans(f) • 反变换：f=iztrans(F)
二、离散系统的系统函数
离散系统函数的定义及其零极点表示 设某离散系统函数为
H( z ) B( z ) A( z )
• 零极点的求法：roots( )命令
可调用ljdt(A,B)即可。
三、离散系统性能分析
零极点的分布对于系统性能分析有重要意 义，可分析以下方面的系统特性：
• 系统的稳定性； • 系统单位样值响应的时域特性； • 系统的频率特性；
1 零极点分布于系统的稳定性
判定方法：
• 时域：绝对可和条件。 • Z域：系统函数H（z）的所有极点在z平
数freqz（），调用格式如下： [H,w]=freqz(b,a,n) [H,w]=freqz(b,a,n,’whole’)
例：已知系统函数 H( z ) z 0.5
z
讨论其频率响应特性 程序如figure2.m所示。
2）几何矢量法
其理论依据与上次课介绍的s域的几何矢量
法完全类似。这里给出通用函数dplxy（）
例：系统函数为
第六章(1) Z变换.
***反因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 z的 圆内区域。 z 的 圆也称为收敛圆。
***双边序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为环状区 域 z 。
***不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其 双边Z变换不是一一对应的。序列的双边Z变换连同 收敛域一起与序列才是一一对应的。
k
k
k 1
1
1 b1z
1
1
b1z b1z
Im[z]
z zb
zb
|b| 0
Re[z]
在z平面上，|z|<|b|是半径为|b| 的圆内区域，如图所示。
反因果序列的收敛域
如有双边序列 f (k) f2(k) f1(k) bk (k 1) ak (k)
其双边z变换
z z F (z) F2(z) F1(z) z b z a
za
bk (k 1) z z b
zb
bk (k 1) z z b
zb
若已知 Fz,则 其原函数不唯一.如:
Fz z
z2
f k 2k k 或 f k 2k k 1
因此,Z变换必须标明收敛域,才和它的原函数一一对应.
***对于有限长序列，其双边z变换在整个z平面 （可能除z=0或∞外）收敛。
k
k
取上式的双边拉普拉斯变换，考虑到：
Lb[ (t kT )] eksT 其双边拉普拉斯变换为：
F (s) Lb[ fs (t)] f (kT )eksT 令z e sT k
上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示，即
F (s) Lb[ fs (t)] f (kT )eksT 令z e sT k
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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数字信号处理实验离散系统的Z域分析
数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析学号：姓名： 评语： 成绩： 一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。
二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：。
∑∞-∞=-=n n z n x Z X )()(在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。
其命令格式为：syms n; f=(1/2)^n+(1/3)^n;ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n n z n h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若，则系统稳∞<∑∞-∞=n n h |)(|定。
由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。
因为，若z =1时H (z )收敛，即∑∞-∞=-=n n z n h z H )()(，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。
∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1因此因果稳定系统应满足的条件为：，即系统函数H (z )的所有极点全部落在1,||<∞≤<ααz z 平面的单位圆之内。
3、MATLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。
第二章z变换
x[n]的单边z 变换:
X ( z ) Z
x[n] x[n]z
n 0
n
x[0] x[1]z x[2]z
1
2
2.2
Z变换的收敛域
上面定义的z变换是z的幂级数，所以只有当级数收敛 时，z变换才有意义。因此我们必须讨论z变换的收敛 问题。
一．收敛域的定义
对于任意给定的序列x(n) ，能使X ( z ) x( n) z n n 收敛的所有z 值之集合为收敛域。 根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝 对可和条件，即要求
X(z)= x(n)z -n
n n1
1）n1<0,n2>0时，除z=及z=0外，X(z)在z平面 上处处收敛。即收敛域为：
0 z
X
2）n1<0,n20时，除z=外，X(z)在z平面上处处 收敛。即收敛域为：
z
x(n)
n1 n2
3）n10,n2>0时，除z=0外，X(z)在z平面上处处 收敛。即收敛域为：
x(n) X ( z )
二．对z变换式的理解
X (z)
n
x ( n) z n
x( 2) z 2 x( 1) z 1
z的 正 幂
x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2 x( n) z n
X(z)= x(n)z
n
-n
n
x(n)z
1
-n
x(n)z
n0
-n
双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加。
其收敛域为:两级数收敛域的重叠部分. Rx1 z Rx 2 Rx 2 Rx1 则该级数收敛.其中Rx1 0, Rx 2 <.
Z变换和离散时间系统的Z域分析
Z[x(n)]
z z 1
z2
z 1
z2
z 1
z2
,
z
1
33
3. Z域尺度变换(乘以指数序列)
如果 Z [x(n) ]X (z),R xzR x，则
Z [a nx (n ) ]X (z); a
aR x za R x
证明： Z[a n x(n)] a n x(n) z n
n
x(n)( z )n X ( z ) ;
25
（2）部分分式法
X(z)a0 b 0 a 1 b z 1z b a r k1 z 1z r k 1 1 br a zkrzk
只有一 阶极点
k r
A0
b0 a0
X(z)A0
k
Amz
m1zpm
kr A00
X(z) mk11Apm mz1
X (z)
Am 是 z 在 Pm 处的留数
23
例 X (z) z32z21 (z1 ) x(n)? Z(z 1 )z(0.5)
解 z1 x(n) 必然是因果序列，右边序列
x(n) Res[X(z)zn1]zzm
n
z3 2z2 1 Resz(z1)(z0.5)
zn1 zzm
n2, z11, z2 0.5
n0, z11, z2 0.5, z3,4 0
rm
(m 0 z 0, )
(m 0, z 0)
1
(3) ZT[(n1)] (n1)zn (n1)zn
n
n0
z10z
(0z)
15
Z[u T (n ) ]n 0 u (n )z n 1 1 z 1 z z1 (z 1 )
Z[n T (n u ) ]n 0n(n u )z n (1 1 z 1 )2 (z z1 )2
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
变换离散时间系统和z域分析
《信号与系统》
27
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
2020年7月19日星期日12时36分21秒
表 常见序列的Z变换及其收敛域
《信号与系统》
28
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
2020年7月19日星期日12时36分21秒
§6-3 Z逆变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列
x(n)的变换称作Z反变换。
..
...
n1 0 1
n
为了分析它的Ｚ变换收敛域的特点，将其Ｚ变换 分成两部分，一部分是n≥0的部分，另一部分是n<0的 部分，分析如下：
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
《信号与系统》
14
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
j Im[ z]
对 X (z)zn1进行的围 线积分，积分路径C
Rx
是一条在X（z）收 敛环域（Rx-，Rx+） 以内反时针方向绕原 点一周的单围线。
0
Re[ z]
Rx
c
直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用
此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有： （１）留数法
(b)
图 波形(a)与收敛域(b)
《信号与系统》
26
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
2020年7月19日星期日12时36分20秒
下面进行简要的总结
➢(1) 收敛域中无极点，收敛域一般以极点为边界。 ➢ (2) 有限长序列Z变换的收敛域是整个z平面，特殊点z=0, ∞另外考虑。 ➢(3) 右序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆外，特殊点z=0, ∞另外考虑。 ➢(4) 左序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆内，特殊点z=0, ∞ ➢(5) 双边序列Z变换的收敛域是环状域，特殊点z=0, ∞ ➢(6) 特殊点的考虑： 序列x(n)的n值全部取正整数， 收敛域包含z=∞点， 例如因果序列的Z变换的收敛域包含z=∞点； 序列x(n)的n值全部取负整 数，收敛域包含z=0点。除了上面两种情况以外，也就是说, n的取值既 有正整数，也有负整数时，收敛域不包括z=0, ∞两点。
离散时间系统的z域分析
离散时间系统的z域分析本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第7章 离散时间系统的z 域分析1．z 变换是如何提出的它的作用是什么z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法，它在离散时间系统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。
它可以看作为拉氏变换的推广。
z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]n n X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2）其中z 是复变量，Re Im j z z j z re Ω=+=。
而对于取样信号的拉氏变换为()()()() ()() ()stst s s n st n snTn X s x t e dt x nT t nT e dtx nT e t nT dt x nT eδδ∞∞∞---∞-∞=-∞∞∞--∞=-∞∞-=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=∑⎰⎰∑⎰∑ （3）如果 [](),x n x nT =令sT z e =，可以发现式（1）和式（3）相同。
2．双边z 变换和单边z 变换时如何定义的它们的定义域是如何确定的收敛域的意义是什么z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]n n X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2）z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有z 的取值的集合。
根据级数收敛理论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一对应关系。
根据序列的不同性质，序列z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材Page 297-298 表7-1。
3．z 变换和拉氏变换之间有什么样的关系具体分析见问题1中的式（1）和（3），根据两式，可以建立分析连续时间系统的拉氏变换的变量s 和分析离散时间系统的z 变换的变量z 之间的映射关系：sT z e =令, j z re s j σωΩ==+， 则有, T r e T σω=Ω=， 具体见教材Page 300 表7-2 。
Z变换与离散时间系统的Z域分析
第9章Z 变换与离散时间系统的Z 域分析z 变换是对离散序列进行的一种数学变换，其原始思想是英国数学家狄莫弗（De Moivre ）于1730年首先提出的，之后，从19世纪的拉普拉斯（place ）至20世纪的沙尔（H.L.Shal ）等数学家不断对其进行了完善性研究。
z 变换在工程上的应用直到20世纪50年代与60年代随着采样数据控制系统、数字通信以及数字计算机的研究与实践迅速开展才得以实现，并成为分析这些离散系统的重要数学工具。
类似与连续系统分析中拉氏变换可以将线性时不变系统的时域数学模型—微分方程转化为s 域的代数方程，z 变换则把线性移 (时)不变离散系统的时域数学模型—差分方程转换为z 域的代数方程，使离散系统的分析同样得以简化，还可以利用系统函数来分析系统的时域特性、频率响应以及稳定性等，因而在数字信号处理、计算机控制系统等领域中有着非常广泛的应用。
本章主要讨论z 变换的定义、收敛域、性质等基础知识，并在此基础上研究离散时间系统的z 域分析、离散时间系统的频域分析等方面的内容。
9.1 Z 变换的定义z 变换的定义可以从两个方面引出，一是由采样信号的拉氏变换过渡到z 变换，二是直接针对离散信号得出。
为了强调拉氏变换与z 变换之间的联系，首先从抽样信号的拉氏变换推演出z 变换。
9.1.1 从抽样信号的拉氏变换导出z 变换定义在区间t -∞<<∞上的任意有界连续信号()()()x t x t <∞经过单位冲激周期信号 ()()T n t t nT δδ∞=-∞=-∑ 抽样后所得到的抽样信号()s x t 可以表示为()()()()()()()s T n n x t x t t x t t nT x nT t nT δδδ∞∞=-∞=-∞==-=-∑∑ （9.1）式（9.1）中，T 为抽样间隔，对式（9.1）取双边拉氏变换可得()()()()st st s s n X s x t e dt x nT t nT e dt δ∞∞∞---∞-∞=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰ 交换积分与求和次序，并利用冲激函数的性质可得()()() ()st snT s n n X s x nT t nT e dt x nT e δ∞∞∞---∞=-∞=-∞=-=∑∑⎰ （9.2） 式（9.2）中snT e -并非复变量s 的代数式，故引入一个新的复变量z ，即令11n sT z e s z T ⎫=⎪⎬=⎪⎭（9.3） 这样，式（9.2）变为变量z 的函数，有()()1ln ()n s s z T n X s x nT z X z ∞-==-∞==∑ （9.4）于是得到一个以z 为变量的代数式，即序列()x nT 的z 变换()X z ，其本质上是序列()x nT 的拉氏变换。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
北京理工大学信号与系统实验报告6离散时间系统的z域分析
北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、 实验目的1） 掌握z 变换及其反变换的定义,并掌握ＭAT ＬＡＢ实现方法。
2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。
3） 掌握系统零极点的定义,加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、 实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ (1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰(2）MA ＴＬA Ｂ中可采用符号数学工具箱z ｔrans 函数和ｉz ｔｒans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztran ｓ（Ｆ）求符号表达式Ｆ的z 变换。
Ｆ=iztra ｎｓ（Z)求符号表达式Z 的ｚ 反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应ｈ(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ (３）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = (4)由(4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ (5） 3. 离散时间系统的零极点分析ＭＡTLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。
此外还可采用MATL ＡB 中zpl ａne 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图,zp ｌane 函数的调用格式为：zplane(b,a) ｂ、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量(行向量) zplane （z,p) z 、ｐ为零极点序列(列向量) 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化,还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性; 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。
第8章 z变换离散时间系统的z变换分析
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
第七章 z变换、离散时间系统的z域分析 PPT课件
1
n
u(n)的z变换，
2
3
并标明收敛域，绘出零极点图。
解：Zx(n)
x(n)zn
1
n
z
＋
n
1
n
z
n
1
n
＋
1
n
n－
n0 2
n0 3
n0 2z n0 3z
当 1 2z
1即 z
1时，
1
n
2 n0 2z
1 1－1/(2z)
z z1
2
当1 3z
1即 z
1时，
1
n
X (z) k A
m
z
m0 z z
m
其中，z 是 X (z)的极点，z 0。
m
z
0
A m
z
z m
X (z) z
zzm
k
X (z)
Az m
m0 z z
m
k
m0
A m
z m
n
u
(
n)，
（右边Fra bibliotek序列
）
x(n)
Z
X 1
(z)
Z
1
k
m0
A m
z
z z
m
k
m0
A m
z m
n
u(n
1)，（左边序列）
级数的系数就是序列x(n)。
• 右边序列，N(z)、D(z)按z的降幂（或z-1的升幂）排列
X (z) x(n)zn x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2 n0
• 左边序列，N(z)、D(z)按z的升幂（或z-1的降幂）排列
1
X (z) x(n)zn x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3 n
《信号与系统》考点重点与典型题精讲(第7讲 z变换、离散时间系统的z域分析)(第2部分)
信号与系统考点重点与典型题精讲系列第7讲z变换、离散时间系统的z域分析
主讲人：马圆圆
网学天地
）
2.
3. 序列
研真题）
解：（1）
（b）
（a）
）由于系统为稳定系统，故有：π代入上式有：
6. 已知离散系统的差分方程为：
）
7. 离散系统，当y(k)=2U(k-1)
8. 已知系统的差分方程为：
）求H(z)=Y(z)/F(z)；
（3）H(z)的极点为。
9. 已知离散系统的差分方程为
，则：
10. 已知离散系统的系统函
）
因为允许差一系数，不妨取
11. 已知二阶离散系统的初始条件为入f(k)=U(k)
解：系统函数
（
14.
15.
16. 已知离散系统差分方程表示式为：
（2）H(z)有两个极点p=1/4；有两个零点（3）
17. 已知离散时间系统的系统函数零极点分布如图所示，已
19．已知差分方程态为y(-1)=2
20.
21.
22.
23．已知如图所示系统。
仿真框图。
（2）求系统函数
（3）求单位样值响应
24．（国防科技大学考研题）对于如下差分方程所表示的离
25. （上海交通大学考研题）。
差分方程_z_变换___概述说明以及解释
差分方程z 变换概述说明以及解释1. 引言1.1 概述差分方程是描述离散时间系统行为的重要数学工具。
在现实生活中，许多系统的变化是按照离散时间步骤进行的，例如数字信号处理、数字滤波、通信系统等。
而差分方程则可以描述这些系统在每个时间步骤上的状态和演变。
与此同时，z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散信号和离散系统。
它将差分方程从时域（自变量是时间）转换到z域（自变量是复平面上的复数z），并且能够提供更加简洁和便于分析的表达形式。
本文将概述差分方程z变换的基本概念以及其在离散系统分析和设计中的应用。
我们将解释差分方程z变换过程，并讨论其优势和局限性。
最后，我们将总结主要观点和结论，并对未来发展提出展望和建议。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、差分方程z变换概述、解释差分方程z变换过程、差分方程z变换的优势与局限性以及结论和总结。
1.3 目的本文的目的是介绍差分方程z变换的基本概念和原理，并探讨其在离散系统分析和设计中的应用。
通过阐述z变换与时域之间的关系，传递函数和频率响应描述以及求解差分方程的步骤与方法，读者将能够理解并运用这一重要数学工具。
同时，我们还将提供对差分方程z变换优势与局限性的考察，以及对未来发展的展望和建议。
2. 差分方程z 变换概述:2.1 差分方程基础知识:差分方程是离散时间系统建模和分析中的重要工具，它可以描述离散时间的动态过程。
差分方程以递推关系式的形式表示系统的行为，其中当前时刻输出值与过去一段时间内输入值和输出值之间存在着数学上的关系。
2.2 z 变换介绍:z 变换是一种用于将差分方程从时域转换到复平面上的方法。
在信号处理领域中，z 变换常被用于对离散系统进行频域分析和设计数字滤波器。
z 变换将离散时间信号表示成复变量z 的函数，使得我们可以通过对复平面上的频率响应进行分析来理解系统的特性。
2.3 z 变换的应用领域:z 变换在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统工程领域，z 变换可用于建立数字控制器模型、设计数字滤波器以及实现各种控制算法。
第八章 Z变换与Z域分析
z (k ) z 1 z k 3 ( k 1) z 3
由线性性质得
|z|>1 |z|<3
z z 2z 4z F ( z) z 1 z 3 ( z 1)( z 3)
2
1<|z|<3
2、移位特性 (1)双边z变换 若f (k )是双边序列，其双边z变换为 f (k ) F ( z )
3<|z|<∞
根据时域乘ak性质，得
1 k F ( z ) Z [ f（k） Z f1 (k ) F1 (2 z ) ] 2 3 (2 z )2 4z2 2z 3 2z 3
2 k 0 1 k 2
z
k
z
2
z a 2 a 1 z 1 za
或者
a 2 z za
|z|>|a|
a 2 z F ( z ) Z [a k 2 ] Z [a a
例 8.2-3 已知f(k)=3k［ε(k+1)-ε(k-2)］，求f(k)的双边Z变换
例
ZT [ e
n
z e j 0 z n j 0 n ZT [ e ] z e j 0 ZT [ cos0 n] ZT [ (e
n n j 0 n
j 0 n
]
z
e
j 0 n
) / 2]
z ( )/2 j 0 j 0 z e z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 2 ( z )
Rx 2
6、双边序列 F ( z)
k
f (k ) z
k
f (k ) z
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22
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx
第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx
当Rx-<Rx+时，其收敛域为 Rx z Rx
j Im[z]
Re[ z ]
R x
R x
《信号与系统》
23
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
Im[z]
a O
Re[z] 1/a
(b)
图 波形(a)与收敛域(b)
《信号与系统》
26
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
下面进行简要的总结
➢(1) 收敛域中无极点，收敛域一般以极点为边界。 ➢ (2) 有限长序列Z变换的收敛域是整个z平面，特殊点z=0, ∞另外考虑。 ➢(3) 右序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆外，特殊点z=0, ∞另外考虑。 ➢(4) 左序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆内，特殊点z=0, ∞ ➢(5) 双边序列Z变换的收敛域是环状域，特殊点z=0, ∞ ➢(6) 特殊点的考虑： 序列x(n)的n值全部取正整数， 收敛域包含z=∞点， 例如因果序列的Z变换的收敛域包含z=∞点； 序列x(n)的n值全部取负整 数，收敛域包含z=0点。除了上面两种情况以外，也就是说, n的取值既 有正整数，也有负整数时，收敛域不包括z=0, ∞两点。
29.03.2020 2
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
《信号与系统》
3
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。
Re[ z ] b
《信号与系统》
21
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第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
５.双边序列
x
29.03.2020
0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序
列，即左边序列和右边序列之和。
1
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
《信号与系统》
(1) Z (2)
《信号与系统》
9
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
三.几种序列的z变换及其收敛域
29.03.2020
１.有限长序列
x(n)
.
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
.
n1
0
.
n2
n
n 2
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1 考虑 x(n)到 是有界的 zn ， ， 必 n1n 有 n2;
29.03.2020
§6-2 Z变换的定义及收敛域
一.Z变换定义：
序列的Z变换定义如下：
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n
*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵 坐标构成的平面为 z 平面。
《信号与系统》
4
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
二.收敛域
R s[F e (z)zk ,] (N 1 1 )d d !N N 1 1 z[z( zk)N F (z)|z ] zk
根据留数辅助定理下式成立：
《信号与系统》
32
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
根据留数辅助定理下式成立：
N 1
N 2
0
Re[ z ]
R x
c
直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用
此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有： （１）留数法
（２）幂级数法
（３）部分分式法
《信号与系统》
30
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
二.求Z反变换的方法
1.留数法
令F(z)=X(z)zn-1， F(z)在围线c内的极点用zk表示，假 设 有M个极点。根据留数定理下式成立:
2.收敛条件：
29.03.2020
X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
即：x(n)zn M n
要使上式成立，除和序列x(n)有关以外，和z变 量在z平面上取值的域也有关。如果对于某个序列， 称能使上式成立的z变量取值的域为X(z)的收敛域, 则可以推想, 对于不同的序列, 就有不同的收敛域。
《信号与系统》
29.03.2020
[例2-3]求序列 x(n)bnu(n1)变换及收敛域。
1
x(n) bnu(n1)zn bnzn bnzn
n
n
n1
b1z(b1z)2(b1z)n
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故 其 和 为 X(z)1 b b 1 z1zz zb
j Im[z]
收敛域： z b
《信号与系统》
1
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
§6-1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
《信号与系统》
11az1
az 1az
1-a2 (1az)(1az1)
a z a1
该例题要求|a|＜1，此时x(n)=a|n|是一个收 敛序列；假设0<a<1，它的波形和收敛域如图 所示。
《信号与系统》
25
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
a|n|
－6 －4 －2 0 2 4 6
n
(a)
29.03.2020
我们知道，一个序列的Z变换有无意义， 首先要看它是否收敛，而收敛与否的判断又取 决于该变换收敛域的具体界定， 所以，讨论Z变 换，就必然要考虑其收敛域的确切情形。
1.定义:
使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称作X(z)的收敛域.
《信号与系统》
5
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
j Im[z]
Re[ z ]
收敛域
R x
《信号与系统》
15
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
３.因果序列
x(n), n0 x(n)0, n0
29.03.2020
它是一种Rx最 重要z的右边序列,其收敛域为：
《信号与系统》
16
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
例求序列 x(n)anu(n) 的Z变换及收敛域。
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
例 2 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。
N 1
解:
X (z ) R N ( n )z nz n 1 z 1 z 2 L z (N 1 )
n
n 0
X(z)11zzN 1 ,0|z|
x(n) =RN(n)是一个有限长序列，它的非零值 区间是n=0~N-1，根据上面的分析, 它的收敛域应是 0＜|z|≤∞。
《信号与系统》
13
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
２. 右边序列
x(n)
x(n), x(n)0,
nn1 nn1
..
...
n1 0 1
n
为了分析它的Ｚ变换收敛域的特点，将其Ｚ变换 分成两部分，一部分是n≥0的部分，另一部分是n<0的 部分，分析如下：
1
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
收敛域：z a
j Im[z]
29.03.2020
0a
Re[ z ]
z
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
《信号与系统》
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第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
４.左边序列
29.03.2020
x(n)
x(n), x(n) 0,
nn2 nn2
0 nn 2
n2
X (z) x(n)zn
n
0
n2
x(n)z n x(n)z n
《信号与系统》
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第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
表 常见序列的Z变换及其收敛域
29.03.2020
《信号与系统》
28
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
§6-3 Z逆变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列
x(n)的变换称作Z反变换。
记作 x(n) ： Z1[X(z)]
z变换公式： 正： X(z) x(n)zn, n
n
n1
《信号与系统》
19
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ;
第一项为z的正幂次级数，其收敛域为
0 z Rx
R x 为最大收敛半径 .
故收敛域 0为 z Rx
j Im[z]
《信号与系统》
Re[z]
z Rx
20
第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
《信号与系统》
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第六章 z变换、离散时间系统的z域分析
29.03.2020
因此， n当 0时z， n 1/zn,只要 z0，则 zn 同样， n当 0时z， n zn ,只要 z，则 zn 所以收0敛 z域 也就是 z除 0,z外的开 (0,域 )， 即所谓“z平 有面 限”。