5.2.5反比例函数解决实际问题

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于15℃时，必须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
2、（2010广东湛江）病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含量达到归大值为4毫克。已知服药后，2小时前每毫升血液中的含量y（毫克）与时间x（小时）成正比例；2小时后y与x成反比例（如图所示）。根据以上信息解答下列问题：
3.某班班长带了50元钱去买钢笔，所购买的钢笔的数量m（个）与钢笔的单价n（元/个）之间的函数关系式为__________．
4.甲、乙两地间的高速公路的长为200km，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为v（km/h），到达时所用的时间为t（h），那么t是v的__________函数，t与v之间的函数关系式是__________．
解：（1）设其为一次函数y＝kx＋b，将x＝2.5，y＝7.2和x＝3，y＝6代入，
得，解得．
所以一次函数的关系式为y＝－2.4x＋13.2．
把x＝4，y＝4.5代入此函数关系式，左边≠右边，
所以其不是一次函数．
设其为反比例函数，关系式为y＝（k≠0）．当x＝2.5时，y＝7.2，可得7.2＝，所以k＝18，所以反比例函数的关系式y＝．
评析：要确定哪种函数表示数据的变化规律，必须先由其中的几个数据求出关系式，再验证剩下的数据，如果都符合，才能确定答案．
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一.选择题
1.下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）
A.小宇参加200m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系
B.长方形的面积为30cm2，它的两条邻边的长ycm与xcm之间的关系
（2）按照这种变化规律，若2009年已投入技改资金5万元．①预计生产成本每件比2008年降低多少万元？②若打算在2009年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？
分析：分别设其为一次函数、反比例函数，通过给出的数据确定函数关系式，然后将其余数据代入验证．
C.压力为500N时，压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的关系
D.一个容积为30L的容器中，所盛水的体积V（L）与水深h之间的关系
2.下列函数关系中，属于反比例函数关系的是（）
A.x∶y＝7中的y与xB.人的身高h和年龄
C.速度为常量时，匀速直线运动的距离s和所需时间
D.圆柱的侧面积一定时，它的底面周长l和高h
（2）利用数学公式建立反比例函数的关系式．例如当面积一定时长方形的长与宽就是反比例关系；当体积一定时，长方体的底面积与高成反比例．
（3）利用问题情境中给出的数量关系建立反比例函数关系．
2.实际问题中的函数图象应注意的问题
反比例函数的自变量的取值是可以取负数的，但是很多实际问题中的自变量的取值只能取正数，因此画实际问题的反比例函数图象一定要注意取值范围．
3.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图像大致是（）
4.某农场的粮食总产量为1500吨，设该农场人数为x人，平均每人占有粮食数为y吨，则y与x之间的函数图象大致是（）
*5.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（）
【典型例题】
例1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度р（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝10m3时，气体的密度是（）
A．5kg/m3B．2kg/m3C．100kg/m3D，1kg/m3
例2.太阳能热水器已走进千家万户，有一容量为180L的太阳能热水器，设其工作时间为ymin，每分钟的排水量为xL．
二.填空题
1.小丽要在电脑上输入一篇文章，如果她每分钟输入30个字，那么需要30min才能输完；如果她每分钟输入45个字，那么需要__________min就可以输完；若设小丽每分钟输入的字数为x个，而整篇文章输完所用的时间为ymin，那么y与x之间的函数关系式是__________．
2.某水泥厂现有水泥1000t，平均每天售出xt，这批水泥能卖y天，则y与x之间的函数关系式为__________．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）若热水器可连续工作的最长时间为1h，求自变量的取值范围；
（3）若每分钟排放热水4 L，则热水器不间断工作的时间为多少？
例3.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么
（1）用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？
（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
例4.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题．
验证：当x＝3时，y＝＝6，符合反比例函数．
同时可验证：x＝4时，y＝4.5；x＝4.5时，y＝4成立．
所以可用反比例函数y＝表示其变化规律．
（2）①当x＝5万元时，y＝＝3.6，4－3.6＝0.4（万元），所以生产成本每件比2008年降低0.4万元．②当y＝3.2时，3.2＝，所以x＝5.625．因为5.625－5＝0.625≈0.63（万元），所以还约需投入0.63万元．
例5.某厂从2005年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
年度
2005
2006
2007
2008
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
（1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为__________，自变量x的取值范围是__________，药物燃烧后y与x的函数关系式为__________．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少多少分钟后学生才能回到教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3m那么此次消毒是否有效？为什么？
5.2.5反比例函数解决实际问题专题训练
一.教学内容：
能根据实际问题建立反比例函数的模型，并作出图象，会利用图象解答实际问题，尤其是在实际问题中确定自变量取值范围和增减性问题．
二.知识要点：
1.根据实际情境建立反比例函数关系式
（1）利用物理学公式建立函数关系式．物理学中的许多公式是反映物理之间比例关系的，例如P＝（P表示压强，F表示压力，S表示受力面积），等等．
(1).求当 时，y与x的函数关系式；
(2).求当 时，y与x的函数关系式；
(3).若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
3、（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
5.三角形的面积为12cm2，如果它的一边为acm，这边上的高为bcm，那么a是b的__________，a写成b的函数关系式是__________．
6.当圆柱的体积V一定时，它的底面积S与高h之间的函数解析式为__________．
三.解答题
1、制作一种产品，需先将材料加热，达到60℃后，再进行操作，据了解，该材料加热时，温度y℃与时间x（min）成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y℃与时间x（min）成反比例关系，如图所示，已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min后温度达到60℃。