九年级数学直线与圆的位置关系1

1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?
a(地平线)
● ●
●
O
O
a(地平线)
O

你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?
●
O
●
O
●
O
a(地平线)

2.观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的? a(地平线)

你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?
判断下列命题是否正确：
（×） ⑴经过半径外端的直线是圆的切线。
⑵垂直于半径的直线是圆的切线。
（×）
⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线 （√） 是圆的切线。 ⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 （√） ⑸以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高 为半径的圆与底边相切。
（√）
例1 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,
T
O
A
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
P O
T
一般地,圆的切线有如下的性质: 经过切点的半径垂直于圆的切线 （判定垂直）
A
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 （判定半径或 直径） ∵⊙O与AT相切于点A
几 何 语 言
∴OA⊥AT ∵圆与AT相切于点A,PA⊥AT,交圆于P点
∴AP是圆的直径
辨一辨
90° 若AB等于6cm，则∠AOB=_______.
练一练
2、如图，∠APＣ=50°，PA、PC、DE都为⊙O的切线， 则∠DOE为
65°
。
C
D
Ｆ
变式：改变切线ＤＥ的位置，
则∠DOE＝
65； °
O A
P
E
归纳：只要∠APＣ的大小不变，∠DOE也不变．
做一做
１、如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、 CD及BC的延长线于E、F、G， ⊙O 是△CGF的外接圆； 求证：CE是⊙O的切线。
要解决这个问题,我们可以将其数学 化,如图:
600 450
请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?
A
B
H
下课了!
你说我说大家说
学到了什么?
还有什么疑惑与不解?
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置 相交 O r •d 2 d<r 交点 割线 相切 •O r d 1 d=r 切点 切线 相离 • O r d 0 d>r 无 无
例1；

1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.
A
以点C为圆心作圆,当半径为多长 时,AB与⊙C相切?
D
C
┐
B
例2；
1、船有无触礁的危险
如图,海中有一个小岛P,该岛四周12海里内暗礁. 今有货轮四由西向东航行,开始在A点观测P在北偏 东600处, 行驶10海里后到达B点观测P在北偏东 450处,货轮继续向东航行. 北 你认为货轮继续向东航行途中会 P 有触礁的危险吗?
③切线的判定定理。
切线的性质
1.如图,直线AT与⊙O相切于点A,连结OA.∠OAT等于 多少度?在⊙O上再任意取一些点,过这些点作⊙O的 切线,连结圆心与切点,半径与切线所成的角为多少 度?由此你发现了什么?
经过切点的半径垂直于圆的切线.
2.任意画一个圆,作这个圆的一 条切线,过切点作切线的垂线,你 发现了什么?你的发现与你同伴 发现相同吗?
变式４：若PA=a,则△PCD的周长
C
A
为
2a
O
.
１．切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
２．切线性质的应用： 常用的辅助线是连接半径． 综合性较强，要联系许多其它图形的性质．
挑战自我
如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, ∠C= 30°，AD=1，AB=2. 试猜想在BC是否存在一点P，使得⊙P与线段CD、
A B
B
l P 2、如图，AT切⊙O于点A，AB⊥AT，交⊙O于点B，BT
O
A
交⊙O于点C。已知∠B=300，AT=
3 。求⊙O的直径
和弦BC的长。 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
例2 如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO与⊙O交于点D,连 结CD.求证: ACD 1 COD
2
证明:作OE⊥DC于点E, ∵△ODC是等腰三角形 1 COE COD 2 ∵⊙O与AB相切于点C ∴OC⊥AB A O
AB都相切，如存在，请确定⊙P的半径.
A D
B
30
C
直线与圆的位置关系 直线与圆的交点个
数可判定它们关系

作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,
O O O
●
●
●
相交

相切
相离
直线和圆有哪几种位置关系? 有三种位置关系: 直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线 叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.
如图.O为直线L外一点,OT⊥L,且OT=d.请以O 为圆心,分别以 1 d , d , 3 d 为半径画圆.所画的 2 2 圆与直线l有什么位置关系?
B
∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB 在Rt△ADO中, OA2 AD 2 OD 2 解得:r=20
即 r (r 8) 16
2 2
2
答: ⊙O的半径为20cm
练一练
1、如图，直线l切⊙O于点P，弦AB∥l，请说明 AP=PB 的理由 圆的切线垂直于经过切点的半径 T C O
图形
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称 直线名称
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.
∵l⊥OA
∴l是⊙O的切线
O
A
l
切线的判定方法有： ①直线与圆有唯一个公共点。
②直线到圆心的距离等于圆的半径。
E
根据上述操作及已知条件，在图中 找出一些相等的线段和角，并证明 你所得到的结论。
D
C B
A
O
做一做
4、如图：已知PA，PB分别切⊙O于A，B两点，如果 ∠P=60° ，PA=2，那么AB的长为_____. 2
变式1: CD也与⊙O相切,切点为E.交PA于C点，交 PB于D点，则△PCD的周长为____. 4 变式2: 改变切点E的位置(在劣弧ＡＢ上)， P 则△ PCD的周长为 ４ . E 变式３：若PA=５则△PCD的周长 D 为１０ ____. B
B
A
)
A.20°
B.5Hale Waihona Puke °C.40°D.80°
B
C
O D 4、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,求⊙O的半径。 B
O
A
P
练一练
1、如图：PA,PC分别切圆O于点A,C两点,B为圆O上与 A,C不重合的点,若∠P=50°,求∠ABC的度数。
C
O
B O A P
B A C 2、如图，已知：AB与⊙O相切于点C ，OA=OB，⊙O的 直径为6cm ,AB=8cm,则OA=_____cm. 5
d ┐ 相离
直线和圆相交
直线和圆相切
d < r;
d = r;


直线和圆相离

d > r;
1.设⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,根据下列条件 判断直线L与⊙O的位置关系: 2 3 (1) d=4,r=3 (2)d=1,r= 3 (3) d , r 3 5 (4) d 2 5, r 2 5 2.在直角三角形ABC 中, ∠ACB=90°,CA=3,CB=4.设⊙C 的 半径为r. 请根据r的下列值,判断AB与⊙C 的位置关系,并说明 理由. (1) r=2 (2) r=2.4 (3) r=3
用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于
点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O 连结过切点的半径是常用的辅助线 的半径. 解：连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于D. ∵⊙O与BC相切于点C.
∴OC⊥BC ∵AB⊥BC,AD⊥OC
∴四边形ABCD是矩形
A
O D C
D
E C B
∴∠ACD=∠COE=900-∠OCE 1 数学知识：切线与弦所夹的角叫弦切角，它的度数等于 ACD COD 2 所夹弧的度数，等于所夹弧所对圆心角度数的一半，等
于所夹弧所对的圆周角的度数．
练一练
3.如图,AB切⊙O于点B,割线ACD经过圆心O,若∠BCD=700,
则∠A的度数为(
O O O
d
d L T
d
T
L
L
T
直线与圆的位置关系量化

如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什 么关系?
r
●
O ┐d
r
●
O
r
●
O
相交

d ┐ 相切
d ┐ 相离
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗 ?
直线与圆的位置关系量化
r O ┐d r
●
●
O
r
●
O
相交


d ┐ 相切

A
E
D F O
B
C
G
做一做
2、如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D， E,连结CD，CE.找出图中的一对相似三角形，并说明
理由。
E O
F
D A
C
B
若已知AC=4cm，⊙O的半径为3cm，能否求出图中其 它线段的长度？