高斯定律

en
en
θ
规定面元的法向单 位矢量取向外为正。
电场线穿出，电通量 为正，反之则为负。
en
E
E
en
θ
S
第一章 静电学的基本规律
4
电磁学
§1.5
高斯定理
例14 三棱柱体放置在如图所示的匀强电场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量.
y
解
Φ Φi
i 1
5
N
S
P
Φ1 Φ2
s s1 s2 s3
E cos180 d S E cos 90 d S E cos 0 d S
0 0 0 s1 s2 s3
E π R 0 π R E 0
2 2
第一章 静电学的基本规律
7
电磁学
§1.5
2. 求均匀电场中一半球面的电通量。
高斯定理
ΦS1 ΦS 2 0
第一章 静电学的基本规律
28
电磁学
§1.5
高斯定理
无限大带电平面的电场叠加问题




σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
第一章 静电学的基本规律
29
电磁学
§1.5 思考
高斯定理
不可 1. 高斯面可否选球面？ 虽然 E 大小处处相等，但面元 d S 与E 的夹角 不同，此时无法用高斯定理求。 2. 高斯面可否选长方体封闭面？ 可以
ΦS1 ( E π R 2 ) 0
O
E
R
ΦS1 E π R
2
第一章 静电学的基本规律
8
电磁学
§1.5
高斯定理
二、高斯定理
高斯---德国数学家、天文学 家和物理学家，有“数学王 子”美称，他与韦伯制成了 第一台有线电报机和建立了 地磁观测台，高斯还创立了 电磁量的绝对单位制.
既然电场是由电荷所激发的，那么，通过电 场空间某一给定闭合曲面的电场强度通量与激发 电场的场源电荷必有确定的关系。高斯通过缜密 运算论证了这个关系,这就是著名的高斯定理。
E
两圆筒之间的场强为
2 1 er er R2 2 π 0r r ln
R1
内圆筒内场强及外筒外的场强
E 0
第一章 静电学的基本规律
24
电磁学
§1.5 课堂练习
高斯定理
求均匀无限长带电圆柱体的场强分布，已知
解 SE dS E 2πr2h r R E 2 π rh 1 π r h 2 0 π R 2 r E 2 π r 0 R 2 h rR E 2 π rh
、R 。
E 2 π 0 r 无限长圆柱面的场强分布？
第一章 静电学的基本规律
25
0
电磁学
§1.5
高斯定理
例16 (例1.5 -2) 设有一无限大均匀带电平面，电 荷面密度为 ，求场强的分布.
解 电场分布有面对称性， 方向沿法向。 作轴线与平面垂直的 圆柱形高斯面，底面 积为S，两底面到带 电平面距离相等。
E
S
E

σ E 2ε0
方向由平面指向两侧
无限大带电平板两侧都是匀强电场。若无限大带 电平板带负电，结论仍成立，不过场强方向是从 两侧指向平板。
第一章 静电学的基本规律
27
电磁学
§1.5
高斯定理
σ
E E E
σ
E
对于有限大带电平面，只要研究的场点P到 平面边缘上任一点的距离远大于P点到平面的垂 直距离，则此平面就可看作“无限大”平面，上 述结论即可应用。
en

o
en
en E
R
x
6
z
M
Q
第一章 静电学的基本规律
电磁学
§1.5 课堂练习
en
R
高斯定理
1．计算均匀电场中 一圆柱面的电通量。 已知 E 及 R
解
en S1
dS
S2
S3 e
dS
n
E
Φ E d S E d S E d S E d S
q
i 1
n
i
在真空静电场中，穿过任一闭合曲面的电场 强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数 和除以 ε 0 . 高斯面 连续分布带电体
1 Φe E d S d V S 0 V
第一章 静电学的基本规律
16
电磁学
§1.5
高斯定理 高斯 定理
高斯定理的导出
高斯定理讨论
电磁学
§1.5
高斯定理
一、电场强度通量(电通量)
通过电场中某一个面的电场线数目称为通过该面 的电场强度通量。用符号 Φ 表示. 匀强电场 ， E垂直平面时.
S
en E
Φ ES
第一章 静电学的基本规律
1
电磁学
§1.5 匀强电场 ， E 与平面法线方向 夹角为 θ .
高斯定理
S
通过平面的电场强度通量
库仑定律 电场强度叠加原理
(1) 高斯面：闭合曲面.
(2) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(3) 仅面内电荷对电通量有贡献. (4) 静电场：有源场.
第一章 静电学的基本规律
17
电磁学
§1.5
高斯定理
三、高斯定理的应用
高斯定理从理论上阐述了电场和电荷的关系， 并且提供了一种由源电荷分布计算电场强度的方法。
电磁学
§1.5
高斯定理
(2)点电荷在闭合曲面内
S S
+ q
将包围点电荷q的球面 换成任意闭合曲面
显然，穿过闭合 曲面 S 和穿过球面 S 的电力线条数相等。
Φ E d S
q ε0
S
通过任意闭合曲面的电场强度通 量等于闭合曲面所包围的电荷除 以真空电容率。
第一章 静电学的基本规律
高斯定理
(2) r R时，高斯面包围电荷q
E
q 4 π 0r 2
方向沿着失径方向向外
q 4 π 0r 2
E
+ + + +
+ + + +
R

++
r
2
+ + + +
q
r + +
o
R
E r 关系曲线
r
均匀带电球 面上任意一 点场强？
第一章 静电学的基本规律
20
电磁学
§1.5
高斯定理
例14 设有一无限长均匀带电直线，单位长度上 的电荷，即电荷线密度为η，求距直线为r 处的电 场强度. 解
12
电磁学
§1.5 (3)点电荷在闭合曲面外 只有在与闭合曲面 相切的锥体范围内的电 场线，才能通过闭合曲 面，而且每一条电场线 从闭合曲面某处穿入， 必从闭合曲面上的另一 处穿出。
高斯定理
S
q
+
Φ E d S 0
S
通过任一闭合曲面的电场强度通量，与闭合曲面外 的电荷无关，仅仅取决于闭合曲面内的电荷量。
er 2 π 0r
2
R2
R1
2 1
由电势差的定义
1 2
1
E dl
1 dr 2 π0 r
E

R2
R1
R2 ln 2 π 0 R1
第一章 静电学的基本规律
23
电磁学
§1.5 得
高斯定理
2 π 0 ( 2 1 ) R2 ln R1
31 第一章 静电学的基本规律
电磁学
§1.5 注意
高斯定理
通过闭合曲面的电通量只与封闭曲面内的电 荷有关，与曲面外的电荷无关。但闭合曲面上 的各点的场强却与空间所有的电荷有关； 高斯定理对于任何闭合曲面都成立； 高斯定理对任意静电场都成立，但是要利用 高斯定理求电场，却只限于具有高度对称性的 电场。
由高斯定理得
E
S
E

E d S E d S 2 E d S 2 E d S 2ES
S S侧 S底 S底
第一章 静电学的基本规律
26
电磁学
§1.5 圆柱形高斯面内电荷
高斯定理
q S
由高斯定理得
2 ES S / 0
第一章 静电学的基本规律
9
电磁学
§1.5
高斯定理
下面以点电荷为例，得出相关结论，而后导 出高斯定理。 例 求下列情况中通过曲面S、S及 S的电 场强度通量： (1) 点电荷+q位于半径为R的球面S 的球心 处； (2) 若q 位于任意闭合曲面S 内； (3) q位于任意闭合曲面S 以外。
第一章 静电学的基本规律
10
电磁学
§1.5
高斯定理
(1)点电荷位于球面中心
Φ E d S
S
q E 2 4 πε0 R dΦ E d S
dS
+ q
R
q dS 2 S 4 πε0 R
q ε0
通过球面的电场强度通量等于球面 所包围的电荷除以真空电容率。
第一章 静电学的基本规律
11
E
S
E

30
第一章 静电学的基本规律
电磁学
§1.5 说明
高斯定理
选择合适的高斯面（欲求的场点在高斯面 上），所谓的合适是指高斯面上各点的场强大 小相等、方向与各点处的面元的法线方向一致; 或者是闭合面的一部分上场强处处与该面垂直， 且大小相等，另一部分上场强与该面平行，因 而通过该面的E通量为零。 从而使公式中的被积函数 E cos d S 中cos 1 ， 且E可作为常数从积分号中提出，于是只需对高斯 面的面积求积分；若所取高斯面具有简单的几何 形状，则对面积的积分就很容易求出。
0 0 n 1 qi 0 i 1

q1
S
S
S

q2

0
qn
qn1
s
q1
q2
qn qi
qn2
qN
（因 1 ~ n 电荷在曲面 内，n +1 ~ N 电荷在曲 面外）
第一章 静电学的基本规律
15
电磁学
§1.5
高斯定理
静电场的高 斯定理
1 Φ E dS s ε0
第一章 静电学的基本规律
13
电磁学
§1.5
高斯定理
高斯定理的导出
设空间电场是由点电荷q1、q2、 、qN 共同 激发的。作任一闭合曲面S，其中q1、q2、 、qn 在曲面S内，qn+1、qn+2、 、qN 在曲面S外。
qn1
s
q1
q2
qn qi
qn2
qN
第一章 静电学的基本规律
14
电磁学
§1.5
高斯定理
根据电场叠加原理 Φ E dS ( E1 E2 E N ) dS
S S
S
=0
S
E1 dS E2 dS En dS En1 dS EN dS
解 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
2 E d S E 4 π r
S
q
0
E
4 π 0r 2
E 0
q
(1) r R时，高斯面无电荷，
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+ + + +
+ + + +
q
第一章 静电学的基本规律
19
电磁学
§1.5
一般情况下，由高斯定理只能求出通过某一闭 合曲面的电场强度通量，并不能求出电场中各点的 场强。
当电荷的分布具有某些对称性时，其电场的分 布也具有一定的对称性，在这种情况下，应用高斯 定理计算场强就比用叠加法计算场强要简单的多。
第一章 静电学的基本规律
18
电磁学
§1.5
高ห้องสมุดไป่ตู้定理
例13 (例1.5 -1)求均匀带电球面的电场，球面半 径为R,带电为q。
解 电场分布应有柱对称性， 方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆 柱形高斯面,高为h , 半 径为r，设线密度为η。
R2
R1
1 2
E
h SE dS E 2πrh ε0
第一章 静电学的基本规律
22
当 R1 r R2 由高斯定理得
电磁学
§1.5
高斯定理
E
h SE dS E 2πrh ε0 E er 2 π 0r
对称性分析与高 斯面的选取
+ +
E
h
r
+ + +
o
y
x
第一章 静电学的基本规律
21
电磁学
§1.5 高斯定理 例15 (例1.5 -3) 两无限长同轴圆筒，半径分别 为 R1、R2 ，均匀带有等量异号电荷。已知两圆 筒的电势差为 1 2 ，求场强的分布.
en
1

o
en
en E
R
x
z
M
Q
第一章 静电学的基本规律
5
电磁学
§1.5
高斯定理
Φ1 E dS ES1 cos π ES1 s1 Φ2 E dS ES2 cosθ ES1 s1
Φ Φi 0
i 1 5
y
N
P
S
2
dS
en
θ
E
dΦ E dS E cosθdS
电场穿过某曲面的电通量为
S
电场穿过闭合曲面的电通量为 Φ s E dS
第一章 静电学的基本规律
3
Φ dΦ
S
E dS
电磁学
§1.5
高斯定理
E
不闭合曲面S
面元的法向单位矢量可 有两种相反取向，电通量可 正也可负； 闭合曲面S
S
θ
en
E
Φ E cos S En S E S
一般情况，电场是不均匀的,而且所取的几何 面 S不是平面是曲面. 这时可将曲面分割为无限多 个面元，称为面积元矢量。
第一章 静电学的基本规律
2
电磁学
§1.5
高斯定理
dS dS en
电场穿过该面元 的电通量为