直线、平面垂直的判断及其性质

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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)

直线与平面垂直的判定与性质(共26张ppt)
目录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要，如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这

直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都则该直线与此垂直于同一个平面的 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理一个平面过另一个平则这两个两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE . [解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A -BCB 1的体积．解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ，∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A -BCB 1＝V B 1-ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16. 2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ，所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ，所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线，∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF ， ∴EG ⊥平面PCD ，又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β解析：选C 对于C 项，由α∥β，a ⊂α可得a ∥β，又b ⊥β，得a ⊥b ，故选C. 2．(2019·湘东五校联考)已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ； ③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β. 其中正确的命题是( )A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，∴V P-NBM＝V M-PNB＝23V C-PNB＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点．所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，又因为A1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1，因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D，又因为B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，所以B1D⊥平面A1C1F，因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.B级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.第六节直线、平面平行与垂直的综合问题考点一立体几何中的探索性问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD上异于C ，D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM .因为M 为»CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .因为DM ⊂平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：连接AC 交BD 于O .因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为AC 的中点．连接OP ，因为P 为AM 的中点，所以MC ∥OP .又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD . [题组训练]1.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高，又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ，又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG .证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG .因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23，所以AM 的长为23.考点二平面图形的翻折问题[典例] (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝23DA ，求三棱锥Q -ABP的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 綊13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ，所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.因此，三棱锥Q -ABP 的体积为V Q -ABP ＝13×S △ABP×Q E ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.[题组训练]1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D -ABC .(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F -BCE 的体积．解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，几何体F -BCE 的体积V F -BCE ＝V B -CEF＝13×S △CEF ×BC ， S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F -BCE ＝13×12×22＝23. 2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到如图2所示的四棱锥P -ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l .证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝ (7)2＋(7)2－2×7×7×57＝2.连接AC ，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2. 又AP ＝3，∴在△P AE 中，AP 2＋AE 2＝PE 2，即AP ⊥AE . 同理，AP ⊥AC .∵AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ， ∴AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面P AB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .[课时跟踪检测]1.如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P -ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ，因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1. 同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3. 因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233.(2)存在，A Q ＝23.理由如下．延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ，则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝ABAE.经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23.故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M -BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ，因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形，所以MN 綊A 1D 1綊AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN . 因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1，又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ，所以AM ∥平面BC 1E . 故点E 在线段CD 上且EC ＝1. (2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M -BC 1E ＝V A -BC 1E ＝V C 1-ABE ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1-ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面D 1AE . (2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下：取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面，又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1-BCD ，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，理由如下：如图，在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN .由(1)知四边形ABCD 为等腰梯形，且∠ABC ＝60°，所以AB ＝2DC ，则CN ∶NA ＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a .因为EM ＝33a ，所以MF ＝23EF ＝233a ，所以MF 綊AN ，所以四边形ANFM 是平行四边形，所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G -ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下．取点H 为AD 的中点，连接GH ，因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ，又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ，所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ，所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ，所以BE ∥平面ACFD ，所以V G -ECD ＝V E -GCD ＝V B -GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°，又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12，又BC ⊥平面ACFD ，所以V B -GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312. 所以三棱锥G -ECD 的体积为312.第七节空间角考点一异面直线所成的角[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.22 B.32 C.52D.72(2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32[解析] (1)如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成的角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52. (2)如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.[答案] (1)C (2)A [题组训练]1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．75°D ．90°解析：选D 将正三棱柱ABC -A 1B 1C 1补为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，连接C 1D ，BD ，则C 1D ∥B 1A ，∠BC 1D 为所求角或其补角．设BB 1＝2，则BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°，BD ＝23，又因为BC 1＝C 1D ＝6，所以∠BC 1D ＝90°.2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．解：(1)如图所示，连接B 1C ，AB 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．∵AB 1＝AC ＝B 1C ， ∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC .∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.考点二直线与平面所成的角[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3(2)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为________．[解析] (1)如图，连接AC 1，BC 1，AC . ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4.在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 21－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.(2)如图所示，设O 为△ABC 的中心，连接PO ，AO ，易知PO ⊥平面ABC ，则∠P AO 为P A 与平面ABC 所成的角．S △ABC ＝12×3×3× sin60°＝334，∴V ABC -A 1B 1C 1＝S △ABC ·OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3. 又OA ＝3×32×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OPOA＝3，∴∠OAP ＝60°. 故P A 与平面ABC 所成角为60°. [答案] (1)C (2)60° [题组训练]1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为( )A.104 B.64 C.105D.65解析：选B 如图，取AC ，A 1C 1的中点分别为M ，M 1，连接MM 1，BM ，过点D 作DN ∥BM 交MM 1于点N ，则易证DN ⊥平面AA 1C 1C ，连接AN ，则∠DAN 为AD 与平面AA 1C 1C 所成的角．在Rt △DNA 中，sin ∠DAN ＝DN AD ＝322＝64.2．(2019·青海模拟)如图，正四棱锥P -ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 与平面P AC 所成的角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°解析：选A 如图，在正四棱锥P -ABCD 中，根据底面积为6可得，BC ＝ 6.连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，则PO 为正四棱锥P -ABCD 的高，根据体积公式可得，PO ＝1.因为PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BD ，又BD ⊥AC ，PO ∩AC ＝O ，所以BD ⊥平面P AC ，连接EO ，则∠BEO为直线BE 与平面P AC 所成的角．在Rt △POA 中，因为PO ＝1，OA ＝3，所以P A ＝2，OE ＝12P A ＝1，在Rt △BOE 中，因为BO ＝3，所以tan ∠BEO ＝BOOE＝3，即∠BEO ＝60°.故直线BE 与平面P AC 所成角为60°.考点三二面角[典例] (1)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角的平面角为________．(2)已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝2，M 为AB 的中点，现将△ACM沿CM 折起，得到三棱锥P -CBM ，如图所示．则当二面角P -CM -B 的大小为60°时，ABPB＝________. [解析] (1)如图，O 为正方形ABCD 的中心，M 为BC 的中点，连接PO ，PM ，OM ，∠PMO 即为侧面与底面所成二面角的平面角．设底面边长为a ，则2a 2＝(26)2，∴a ＝23，∴OM ＝ 3.又四棱锥的体积V ＝13×(23)2×PO ＝12，∴PO ＝3，∴tan ∠PMO ＝33＝3，∴∠PMO ＝60°.故所求二面角为60°. (2)如图，取BC 的中点E ，连接AE ，EM ，PE ，设AE ∩CM ＝O ，连接PO ，再设AC ＝2，由∠C ＝90°，tan A ＝2，可得BC ＝2 2. 在Rt △MEC 中，可得tan ∠CME ＝2，在Rt △ECA 中，可得tan ∠AEC ＝2， ∴∠CME ＋∠AEM ＝90°，∴AE ⊥CM ，∴PO ⊥CM ，EO ⊥CM ，∠POE 即为二面角P -CM -B 的平面角，∴∠POE ＝60°. ∵AE ＝22＋(2)2＝6，OE ＝1×sin ∠CME ＝63，∴PO ＝AO ＝263. 在△POE 中，由余弦定理可得， PE ＝⎝⎛⎭⎫2632＋⎝⎛⎭⎫632－2×263×63×12＝2，∴PE 2＋CE 2＝PC 2，即PE ⊥BC . 又∵E 为BC 的中点，∴PB ＝PC ＝2. 在Rt △ACB 中，易得AB ＝23，∴ABPB ＝ 3.[答案] (1)60° (2) 3[题组训练]1．已知二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．120°D ．60°解析：选D 如图，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，过A 在平面ABD 内作AE∥BD ，过D 作DE ∥AB ，连接CE ，所以DE ＝AB 且DE ⊥平面AEC ，∠CAE 即二面角的平面角．在Rt △DEC 中，CD ＝217，DE ＝4，则CE ＝213，在△ACE 中，由余弦定理可得cos ∠CAE ＝CA 2＋AE 2－CE 22CA ×AE ＝12，所以∠CAE ＝60°，即所求二面角的大小为60°. 2.如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，P A ＝BC ＝3，则二面角A -BC -P 的大小为________．解析：因为AB 为⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，又因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC ，因为AC ∩P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥PC ，所以∠PCA 为二面角A -BC -P 的平面角．因为∠ACB ＝90°，AB ＝2，P A ＝BC ＝3，所以AC ＝1，所以在Rt △P AC 中，tan ∠PCA ＝P A AC＝ 3.所以∠PCA ＝60°.即所求二面角的大小为60°.答案：60°[课时跟踪检测]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正切值为( )A ．2 B. 2 C ．1D. 3解析：选B A 1B 1与平面A 1EF 所成的角就是∠B 1A 1C ，tan ∠B 1A 1C ＝B 1C A 1B 1＝ 2.2．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选A 作AO ⊥BD 交BD 于点O ，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD . ∵P A ∩AO ＝A ，∴BD ⊥平面P AO ，∴PO ⊥BD ，∴∠AOP 即为所求二面角A -BD -P 的大小． ∵AO ＝AB ·AD BD ＝125，∴tan ∠AOP ＝AP AO ＝33，故二面角A -BD -P 的大小为30°.3.如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 的长度为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 解析：选A 如图，取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥BD ，PN ∥AC ，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴∠MPN 即为异面直线AC 与BD 所成的角， ∴∠MPN ＝90°，∴MN ＝5.故选A.4．已知AB ∥平面α，AC ⊥平面α于点C ，BD 是平面α的斜线，D 是斜足，若AC ＝9，BD ＝63，则BD 与平面α所成的角的大小为________．解析：如图，过B 作BE ⊥平面α，垂足为E ，则BE ＝9.连接DE ，则∠BDE 为BD 与平面α所成的角．在Rt △BED 中，sin ∠BDE ＝BEBD ＝32，所以∠BDE ＝60°. 答案：60°5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与圆锥底面所成角为45°， ∴△SAO 为等腰直角三角形．则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r . 在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158， ∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin ∠ASB＝12×(2r )2×158＝515，解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×210×45＝402π. 答案：402π6．已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的体积V 球＝1605π3，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为________．解析：如图，过点O 作OM ⊥平面ABCD ，垂足为点M ，则点M 为正方形ABCD 的中心．∵正方形ABCD 的边长为2， ∴AC ＝22，∴AM ＝ 2.∵V 球＝43πr 3＝1605π3，∴球O 的半径OA＝r ＝25，∴OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为 cos ∠OAM ＝AM OA ＝225＝1010.答案：10107.(2018·天津高考)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC . 因为BC ⊂平面ABC ，(2)取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND . 又因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AD ＝23，AM ＝1，所以DM ＝AD 2＋AM 2＝13. 因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC . 在Rt △DAN 中，AN ＝1，所以DN ＝AD 2＋AN 2＝13. 在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326. (3)连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝ 3.因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，CM ⊂平面ABC ，所以CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4. 在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34. 8．(2019·湖北八校联考)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝3，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且EF ∥BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P -EF -B 的大小为60°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P-EBCF 的侧面积．解：(1)证明：在Rt △ABC 中，∵AB ＝BC ＝3，∴BC ⊥AB .∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ，翻折后垂直关系没变，仍有EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，又PE ∩BE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，∴EF ⊥PB . (2)∵EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，∴∠PEB 是二面角P -EF -B 的平面角， ∴∠PEB ＝60°，又PE ＝2，BE ＝1，由余弦定理得PB ＝3，∴PB 2＋BE 2＝PE 2，∴PB ⊥BE ，∴PB ，BC ，BE 两两垂直， ∴△PBE ，△PBC ，△PEF 均为直角三角形．由△AEF ∽△ABC 可得，EF ＝23BC ＝2，S △PBC ＝12BC ·PB ＝332，S △PBE ＝12PB ·BE ＝32，S △PEF ＝12EF ·PE ＝2.在四边形BCFE 中，过点F 作BC 的垂线，垂足为H ，则FC 2＝FH 2＋HC 2＝BE 2＋(BC －EF )2＝2，∴FC ＝ 2.在△PFC 中，FC ＝2，PC ＝BC 2＋PB 2＝23，PF ＝PE 2＋EF 2＝22，由余弦定理可得cos ∠PFC ＝PF 2＋FC 2－PC 22PF ·FC ＝－14，则sin ∠PFC ＝154，S △PFC ＝12PF ·FC sin ∠PFC ＝152. ∴四棱锥P -EBCF 的侧面积为S △PBC ＋S △PBE ＋S △PEF ＋S △PFC ＝2＋23＋152.。

直线、平面垂直的判定及性质

第3讲直线、平面垂直的判定及性质1．直线与平面垂直：(1)方法1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(2)方法2：如果两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于该平面．(3)方法3：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．2．面面垂直：(1)方法1：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2) 方法2：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．考向一直线与平面垂直的判定与性质【1】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【2】(2012·南通调研)如图，平面P AC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段P A、PB、AC的中点，点G 是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，P A＝PC＝2 2.求证：(1)P A⊥平面EBO；(2)FG∥平面EBO.【3】(2012·福建卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE；若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．【4】(2012·镇江调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点．(1)证明：EB∥平面P AD；(2)若P A＝AD，证明：BE⊥平面PDC.【5】(2011·扬州调研)如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD 垂直，点H是BE的中点，点G是AE、DF的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE.【6】(2012·扬州调研)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1.考向二平面与平面垂直的判定与性质【7】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.【8】(2011·江苏卷)如图在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .考向三线面、面面垂直的综合应用【9】(2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高． (1)证明：PH ⊥平面ABCD ； (2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .【10】(2012·南通市第一学期期末考试)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ； (2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．考向四求线段的长度问题【11】(2011·浙江卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【12】(2011·江西卷)如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .【训练达标】【1】如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .【2】(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .【3】如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．【4】如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点，(1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)设M 为线段C 1C 的中点，当D 1D AD的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．【5】如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小；(2)证明AE ⊥平面PCD ；(3)求二面角A —PD —C 的正弦值．【6】如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.【7】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.【8】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．【9】如图所示，在三棱锥P—ABC中，△P AB是等边三角形，∠P AC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面P AC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积．【10】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.。

直线、平面垂直的判定及其性质

2.如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 3AD＝DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC＝ 3AC，PD⊥平面 ABC，PD＝DB. 求证：PA⊥CD. 证明：因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥BC. 在 Rt△ABC 中，由 BC＝ 3AC，得∠ABC＝30°. 设 AD＝1，由 3AD＝DB 得，DB＝3，BC＝2 3. 由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，所以 CD2＋DB2＝BC2，即 CD⊥AB. 因为 PD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC，所以 PD⊥CD. 因为 PD∩AB＝D，所以 CD⊥平面 PAB，又 PA⊂平面 PAB，所以 PA⊥CD.
找共性
[过关训练] 1．如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.又 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，∴AE⊥平面 PCD. 又 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一线面垂直的判定与性质 [全析考法过关]

直线、平面垂直的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ，在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。

直线、平面垂直的判定与性质

2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β。

直线平面垂直的判定及其性质

02
直线与平面内的无数条直线垂直。
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与平面内两条相交的直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面垂直的判定方法
定义法
根据直线与平面垂直的定义，直接判断直线与平面内任意一条直
线是否垂直。
03
直线平面垂直的判定与性质的关系
判定是性质的必要条件
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
性质
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。
判定是性质的必要条件
因为只有当直线与平面垂直时，它才与平面内的任意一条直线都垂直。
性质定理的证明方法
性质定理
如果一条直线与一个平面垂直，那么它与这个平面内的任意一条直线都垂直。
证明方法
假设直线l与平面P垂直，我们需要证明l与P内的任意一条直线都垂直。假设P内有一条直线m，由于l与P垂直，我们可以得出l与m的夹角为90度，即l与m垂直。
判定与性质证明方法的比较与选择
比较
判定定理的证明方法是通过证明一条直线与平面内的一条直线垂直来证明这条直线与这个平面垂直，而性质定理的证明方法是通过证明一条直线与平面内的任意一条直线都垂直来证明这条直线与这个平面垂直。
04
直线平面垂直的判定与性质的证明方法
判定定理的证明方法
判定定理
如果一条直线与平面内一条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
证明方法
假设直线l与平面P内的直线m垂直，我们需要证明l与P垂直。我们可以在P内选择一条与m不平行的直线n，并连接l和n。由于l与m垂直，我们可以得出l与n也垂直。由于n是P内的任意直线，我们可以得出l与P垂直。

直线、平面垂直的判定及其性质

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
例 1、如图,已知点 P 为平面 ABC 外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.
证明：过 P 作 PO⊥平面 ABC 于 O，连接 OA、OB、OC.
∵PO⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，
∴PO⊥BC. 又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面 PAO.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a，因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
直线与平面垂直的判定
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象. 问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
∵BD∥NA，∴AC1⊥NA. 又由 BD⊥AC,可知 NA⊥AC， ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角.
在 Rt△ C1AC 中，tan∠C1AC= C1C 1 ，故∠C1AC=30°. CA 3
∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°.

直线、平面垂直的判定及其性质-人教版高中数学

知识图谱-空间中的垂直关系直线与平面垂直平面与平面垂直射影问题第03讲_直线、平面垂直的判定及其性质错题回顾空间中的垂直关系知识精讲一．线线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为．二.直线与平面垂直1.概念：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图．直线与平面互相垂直，记作．2.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．3.线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．直线与平面垂直的性质有：（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线．（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；（4）垂直于同一直线的两个平面平行．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．要证明判定定理，只能用定义，若，，要证，在平面内任选一条直线，去证，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明，如图：直线，若直线不平行，则过直线与平面的交点作直线，从而有．又相交直线可以确定一个平面，记，则因为都垂直于平面，故都垂直于交线．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故重合，，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．三．平面与平面垂直1．面面垂直如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直．2．平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．（1）两个平面垂直的判定定理可简述成“线面垂直，面面垂直”，它说明了线面垂直与面面垂直的密切关系．（2）该判定定理揭示了如何去证明面面垂直的一种途径，即只要在一个平面内找到一条直线垂直于另一个平面即可．3．两平面垂直的性质（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号表示为：且则定理可简记为：面面垂直线面垂直（2）定理：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面．三点剖析一．方法点拨1．线面垂直的判定方法（1）利用定义．要证明一条直线平面，转化为证明直线垂直于平面内的任意一条直线（2）利用判定定理．如果一条直线和一个平面内的两条相交的直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直，即：，简言之，线线垂直线面垂直．要证，只需在内找两条相交直线，证明，从而可得．（3）作定理用的推论．如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（4）用面面垂直的性质定理．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面．（5）作定理用的正确命题．如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么也垂直于另一个平面．（1）证明两个平面垂直，主要途径是：①利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．②面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．（2）利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若途中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直．若途中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应该有理依据并有利于证明，不能随意添加．（3）证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的；因此，在关于垂直问题的论证中，要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如图解题思路：分析线面关系问题的证明思路应养成“看到结论想判定，看到条件想性质”的习惯，并结合对图形、模型的深入观察寻求证题思路，必要时注意添加辅助平面，从而构成判定定理的条件；另外对于题中涉及到线段长度的证明题时结合平面几何知识进行证明，如勾股定理逆定理证明垂直等.题模精讲题模一直线与平面垂直例1.1、设是两条不同的直线，是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若，，则②若，则③若，则④若，则A、①②B、②③C、③④D、①④例1.2、如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1．例1.3、已知四棱锥的底面是边长为的正方形，分别为棱的中点，底面，且直线与直线所成的角为．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积．（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得面？请说明理由．题模二平面与平面垂直例2.1、如图，为正三角形，EC ⊥平面ABC，BD ∥CE ，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA．如图，已知：在菱形中，，底面，，分别是与的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）在线段上是否存在一点，使平面PDM？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．题模三射影问题例3.1、如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影．如图，在棱长为的正方体中，是侧棱上的一点，．（1）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论．随堂练习随练1.1、下列命题中错误的是（）A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β随练1.2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF BC．（I）证明FO∥平面CDE；（II）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．随练1.3、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1＝，D 是A1B1中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF ？并证明你的结论．随练1.4、如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．求证：平面自我总结课后作业作业1、在长方体中，，点为上的点，且．求证：平面．作业2、给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A、①和②B、②和③C、③和④D、②和④作业3、已知：三棱锥，平面平面，平面平面，平面，为垂足．（1）求证：平面；（2）当为的垂心时，求证：是直角三角形．。

直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”.这与“无数条直线”不同.注意区别。

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

(3)若.则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。

符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语.不可忽视。

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。

(2)直线与平面垂直射影是点。

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

(4)一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内.它们所成的角是0°的角。

知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点.将这个二面角记作二面角.如果棱记作.那么这个二面角记作二面角或。

直线与平面垂直的判定和性质

直线与平面垂直的判定和性质
性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另
一个平面（面面垂直线面垂直）。

判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么
这两个平面互相垂直（线面垂直面面垂直）。

判定定理：1.如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相
互垂直；2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；3.如果
一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

定理1
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

定理2
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在
第一个平面内。

定理3
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

推断
三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

定理4
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

（判定定理推论1
的逆定理）。

推断
如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。

（判定
定理推论2的逆定理）。

8.5直线、平面垂直的判定及其性质

B C
D
例9 四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PA⊥ 底面ABCD，PA＝AD，M为AB的中点，求证：平面PCM⊥平面PCD.
P D
C
A
M
B
考点4 线、面垂直的综合应用例10 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2. （1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝ 13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
8.5
直线、平面垂直
的判定及其性质
知识梳理
1 5730 p 2
t
1.直线、平面垂直的概念：（1）直线与直线垂直：两直线的夹角为90°.
（2）直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直.
（3）平面与平面垂直：两个相交平面所成的二面角是直二面角.
2.直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 3.平面和平面垂直的判定定理：
若直线a，b分别在二面角的两个面内，且都与棱垂直，则直线a与b的夹角等于二面角的平面角或其补角.
考点分析
考点1 两直线垂直的判定与证明例1 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝ 6 , 点M为CC1的中点，求证：AB1⊥A1M.
B A
B1
例4 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.

直线平面垂直的判定及其性质

教学内容：直线与平面垂直的判定和性质【基础知识精讲】1.直线与平面垂直的判定定义直线a与平面内的任意一条直线都垂直，叫做a垂直于，记为a.注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的关系.判定如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.m，n，MN=A,lm,lnl如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.a∥b，ab2.直线与平面垂直的性质定理性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.a，ba∥b.是证明线线平行的又一种方法.3.点、直线和平面的距离点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离.直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离.注意：一条直线上有两点到平面的距离相等时，这条直线可以和平面相交，利用直线和平面的距离可间接求两异面直线间的距离.4.平面的垂线、斜线、射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.一条直线和平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到该平面的斜线段.过斜足以外的点引平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，垂足和斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长;相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长;垂线段比任何一条斜线段都短.5.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，若直线垂直于平面，则成直角，若直线在平面内或平行于平面，我们规定为0角，从而任意一条直线与平面成角的取值范围为[0，90]特别指出的是：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.6.三垂线定理及逆定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直;三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.必须弄清定理中一面四线：基础平面、平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影.它们有三种垂直关系：即垂线PA和平面的垂直关系;射影AB和直线a的垂直关系;斜线PB 和直线a的垂直关系.a在平面内，但定理与a在的位置无关，因此要掌握a在的不同位置的情况.熟练掌握三垂线定理及其逆定理，善于在各种空间复杂的图形中找出符合三垂线定理的面以及该面的垂线，从而应用于证明线线垂直，计算点线距离、线面交角以及二面角的平面角等，并理解cos=的由来也能酌情加以应用.【重点难点解析】本课的重点是：线面垂直定义，判定定理及性质定理，应牢固掌握并熟练应用：直线与平面所成角及线面间距离，射影定理，三垂线定理及逆定理应能应用与掌握.线面垂直的定义及判定定理和性质定理的证明是本课的难点.学习本节注意体会反证法的证明思路.例1 已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC 交SC于F(1)求证：AFSC(2)若平面AEF交SD于G，求证：AGSD分析如图，欲证AFSC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC平面AEF，由已知，欲证SC平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE平面ABC，再由已知只需证AEBC，而要证AEBC，只需证BC平面SAB，而这可由已知得证证明 (1)∵SA平面AC，BC平面AC，SABC∵矩形ABCD，ABBCBC平面SABBCAE又SBAE AE平面SBCSC平面AEFAFSC(2)∵SA平面AC SADC，又ADDCDC平面SAD DCAG又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEFSCAG AG平面SDC AGSD例2 已知四面体ABCD，AO1平面BCD，且O1为BCD的垂心.BO2平面ACD，求证：O2是ACD的垂心.证明如图所示，连结BO1，AO2，∵AO1平面BCD，O1为BCD的垂心，BO1CD，由三垂线定理得ABCD.又BO2平面ACD，由三垂线逆定理得AO2CD.同理连结DO1，CO2可证BCAD，即CO2AD.O2是ACD垂心.例3 正三棱柱ABCA1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1BC1.求证：AB1CA1.证方法1 如图，延长B1C1到D，使C1D=B1C1.连CD、A1D.因AB1BC1，故AB1CD;又B1C1=A1C1=C1D，故B1A1D=90，于是DA1平面AA1B1B.故AB1平面A1CD，因此AB1A1C.方法2 如图，取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B，易证C1D1平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1BD1，从而AB1A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1A1C.说明证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：(1)利用线面垂直的定义;(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线;(3)证明直线平行于平面的垂线;(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.例4 已知：正三棱柱ABCABC中，ABBC，BC=2，求：线段AB在侧面上的射影长.解如图，取BC的中点D.∵ADBC，侧面底面ABC，AD侧面是斜线AB在侧面的射影.又∵ABBC，BC.设BB=x，在Rt中，BE∶BD=，=.∵E是BBC的重心.BE=BC=x=，解得：x=.线段AB在侧面的射影长为. 例 5 平面外一点A在平面内的射影是A，BC在平面内，ABA=，，ABC=，求证:cos=coscos.证明过A作BC于C，连AC.∵AA平面，BC垂直AC在平面内的射线. BCAC，cos=.又∵cos=,cos=，cos=coscos.例6 ABC在平面内的射影是ABC，它们的面积分别是S、S，若ABC所在平面与平面所成二面角的大小为(090=，则S=Scos.证法一如图(1)，当BC在平面内，过A作ADBC，垂足为D.∵AA平面，AD在平面内的射影AD垂直BC.ADBC.ADA=.又S=ADBC，S=ADBC，cos=,S=Scos.证法二如图(2)，当B、C两点均不在平面内或只有一点(如C)在平面内，可运用(1)的结论证明S=Scos.【难题巧解点拨】例1 求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.证明如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面，使PQ 平面，且和AB交于R，连结AQ，交平面于N.连结MN、NR.∵PQ平面，MN，PQMN.在平面APQ内，PQa,PQMN,MN∥a,a∥，又∵PM=MQ，AN=NQ，同理可证NR∥b,RA=RB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.例2 如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，BAC=30，BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1A1M.分析：不难看出B1C1平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1MAB1，只要能证A1MAC1就可以了. 证：连AC1，在直角ABC中，BC=1，BAC=30， AC=A1C1=. 设AC1A1=，MA1C1=tan===,tg===.∵cot(+)===0,+=90 即AC1A1M.∵B1C1C1A1，CC1B1C1，B1C1平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.∵AC1A1M，由三垂线定理得A1MAB1.评注：本题在证AC1A1M时，主要是利用三角函数，证+=90，与常见的其他题目不太相同.例3 矩形ABCD，AB=2，AD=3，沿BD把BCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求证：CDAB;(2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.(1)证明如图所示，∵CM面ABD，ADAB，CDAB(2)解：∵CM面ABDCDM为CD与平面ABD所成的角，cosCDM=作CNBD于N，连接MN，则MNBD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DM∶CD=CD∶CA=AB∶AD=2∶3.CD与平面ABD所成角的余弦值为例4 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，PBA=45，PBC=60，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角;(2)求证：AB平面PMC.分析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解∵ PAAB，APB=90在RtAPB中，∵ABP=45，设PA=a，则PB=a,AB=a,∵PBPC，在RtPBC中，∵PBC=60,PB=a.BC=2a,PC=a.∵APPC 在RtAPC中，AC===2a(1)∵PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB与平面PAB所成的角∵PBC=60，BC与平面PBA的角为60.(2)由上知，PA=PB=a,AC=BC=2a.M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.说明要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例5 在空间四边形ABCP中，PAPC，PBBC，ACBC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30和45。

直线、平面垂直的判定及其性质解析

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别。

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

(3)若，则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视。

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直，直线在平面的射影是一条直线。

(2)直线与平面垂直射影是点。

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。

知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

互动课堂疏导引导一、直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直.疑难疏引 (1)定义中的“任意一条直线”这一词组，它与“所有直线”是同义语，但与无数条直线不同，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.但不能说一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，它就和这个平面垂直.(2)和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若a ⊥α,b ⊂α,则a ⊥b ，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种重要方法.画直线和水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如果直线l 和平面α垂直，则记作l ⊥α.(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节，也有类似的命题.命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.2.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面.用符号表示为ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l B n m n m ,,.疑难疏引关于定理的理解必须注意以下几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要抓牢.(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面. 命题2：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一簇平行线，并不一定具备有两条相交直线和已知直线垂直，因此，也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论.(3)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.(4)直线与平面垂直的判定与证明方法：①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直. ③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面. ⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面. 这六条线面垂直的判定方法其实质仍是转化思想，它们是线线、线面、面面垂直的转化. 案例1 如图，正方体有8个顶点和12条棱，每条棱上均有一个中点，于是有棱的中点12个，顶点与中点合起来共有20个〔图(1)〕.过其中的两点可作一条直线；过其中不在同一直线上的三点可作一个平面.现在考虑这些直线与平面的垂直关系.(1)试举出一直线与一平面相互垂直的例子(不少于4例)；(2)若一直线与一平面相互垂直，我们就说这条直线与这个平面构成了一个“垂直关系组”，两个“垂直关系组”当且仅当其中两条直线和两个平面不全同一时称为相异的(或不同的).试求与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数.【探究】在正方体中，所有的棱都和与它相交的面垂直，利用中点也可产生与棱垂直的面.(1)例如AB⊥平面BCKJ〔如图(1)〕；例如EF⊥平面MPON〔如图(1)〕；例如NF⊥平面ADKJ〔如图(2)〕；例如IC⊥平面AJL〔如图(3)〕.(2)正方体的棱有12条，而每一条棱都与3个平面垂直，如图(1)中棱IJ与平面ID、平面NP 与平面JC都垂直，所以与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数是12×3=36.【规律总结】挖掘正方体本身潜藏的特征，将每一条棱的情况分析清楚，做到不重不漏.案例2 如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC.【探究】根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H 是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC.①∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC 平面PBC，PA⊥BC，②由①②知，BC⊥PH，同理，AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC.【规律总结】根据所求证的结论，寻求所需的已知条件，看题目是否已经直接给出，或者从题目所给条件，经过推理能够得出，这是分析问题的重要方法，称为执果索因；也可从条件出发，将这一条件可能得出的结论一一列出，从中选出我们证题所需要的结论，这种分析问题的方法称为由因导果，发散性较强.二、平面与平面垂直的判定1.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.疑难疏引 (1)二面角的平面角，则是用来刻画二面角大小的一个概念.它和两条异面直线所成的角以与直线和平面所成的角一样，都化归为用平面内两条相交直线所成的角来表示.但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内.而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a 上的位置无关.(2)二面角的计算方法①用定义作二面角的平面角——在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角.利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱与棱上的特殊点.学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用.②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.③面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则cosθ=原多边形面积射影多边形面积S S .案例3 已知四边形PABC 为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC 是边长为32的正三角形，PC=2，D 、E 分别是PA 、AC 的中点，BD=10.试判断直线AC 与平面BDE 的位置关系，并且求出二面角P-AC-B 的大小.解：∵D 、E 分别是PA 、AC 的中点，∴DE ∥PC 且DE=21PC=1. ∵∠PCA=90°,∴AC ⊥DE.∵△ABC 是边长为32的正三角形，并且E 是AC 的中点，∴AC ⊥BE ，并且BE=3.∵DE∩BE=E ，∴直线AC 与平面DEB 垂直.∴∠DEB 为二面角P-AC-B 的平面角.在△BDE 中，由DE=1，BE=3，BD=10得DE 2+BE 2=BD 2，∴∠DEB=90°.综上所述，直线AC 与平面BDE 垂直，二面角P-AC-B 的大小为90°.【规律总结】与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”.案例4 已知△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB=a ，求二面角A-PC-B 的正切值.【探究】要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值.解：取AC 的中点M ，连结BM ，作MN ⊥PC 于N ，连结BN.∵PA ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC.易证BM ⊥AC ，AC=平面PAC∩平面ABC.∴BM ⊥平面PAC(面面垂直的性质).∵MN ⊥PC ，∴NB ⊥PC.∴∠MNB 是二面角A-PC-B 的平面角.易知MN=a 42，BM=a 23. ∴tan ∠MNB=64223==a a MN BM . ∴二面角的正切值为6【规律总结】度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.2.两个平面互相垂直的判定常用的判定方法有：(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.疑难疏引两平面垂直的判定定理的特征：线面垂直面面垂直.它说明了线面垂直与面面垂直的密切关系，用符号表示为：若l ⊥α,l β,则α⊥β.利用判定定理证明两个平面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找另一平面的垂线.案例5 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC.【探究】本题可以用两种方法来证明，一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内(证法一)；二是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直(证法二).证法一：作AD ⊥平面BSC ，D 为垂足.∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC ，则AS=AB=AC ，∴D 为△BSC 的外心.又∠BSC=90°，∴D 为BC 的中点，即AD 在平面ABC 内.∴平面ABC ⊥平面BSC.证法二：取BC 的中点D ，连结AD 、SD ，易证AD ⊥BC.又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD=SD.∴AD 2+SD 2=AD 2+BD 2=AB 2=AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD ，∴AD ⊥平面BSC.又AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC.【规律总结】本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题.三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质有：(1)一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行；(3)两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)垂直于同一直线的两个平面平行.对于性质定理，它提供了一种证明线线平行的方法，揭示了“平行”与“垂直”的内在联系. 案例6 如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，若点M 为棱B 1B 上的一点，当MBM B 1的值为多少时，能使D 1M ⊥平面EFB 1？并给出证明. 【探究】本题属开放型问题，一般先猜后证.由于E 、F 为中点，所以猜想M 也是中点. 解：当11=MBM B 时，能使D 1M ⊥平面EFB 1，证明如下：当M 为B 1B 中点时，在平面AA 1B 1B 内有△A 1MB 1≌△B 1EB ，∴∠B 1A 1M=∠BB 1E.而∠B 1MA 1+∠B 1A 1M=90°,∴∠B 1MA 1+∠BB 1E=90°.∴A 1M ⊥B 1E.∵D 1A 1⊥平面AA 1B 1B ，B 1E ⊂平面AA 1B 1B,∴D 1A 1⊥B 1E.由于A 1M∩D 1A 1=A 1,∴B 1E ⊥平面A 1MD 1.∵D 1M ⊂平面A 1MD 1,∴B 1E ⊥D 1M.同理，连结C 1M ，可证明B 1F ⊥D 1M.∵B 1E∩B 1F=B 1,∴D 1M ⊥平面EFB 1.【规律总结】 (1)猜想要和题目中的点的性质相联系.(2)平面内证两线垂直的方法可通过三角形中某两个角的和为直角来判断.四、两个平面垂直的性质两个平面垂直的性质有：(1)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；(2)两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 疑难疏引性质定理(1)成立要有两个条件：一是线在面内，二是线垂直于交线，才能线面垂直，这一定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”，它反映了面面垂直与线面垂直的密切关系；对于第二条性质，只要在其中一个平面内通过一点作另一平面垂线，那么这条垂线必在这个平面内，对点的位置，它既可以在交线上，也可以不在交线上.(2)运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.案例7 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. 已知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证：l ⊥γ.【探究一】在γ内取一点P ，作PA 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则PA ⊥α,PB ⊥β.∵l=α∩β,∴l ⊥PA,l ⊥PB.∵α与β相交，∴PA 与PB 相交.又PA ⊂γ,PB ⊂γ,∴l ⊥γ.【探究二】在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ,β⊥γ,∴m ⊥γ,n ⊥γ.∴m ∥n.又n ⊂β,∴m ∥β.∴m ∥l,∴l ⊥γ.【探究三】在l 上取一点P ，过点P 作γ的垂线l′,l l l l l P P P l l P '=⋂⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧⊂'⊂'⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=''∈⊥⊥⎩⎨⎧∈∈⇒⎭⎬⎫=⋂∈βαβαγγβγαβαβα. 但α∩β=l,∴l 与l′重合.∴l ⊥γ.【规律总结】探究一、探究二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是两种证法的关键.探究三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是关键.通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法.五、几种转化关系1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.线线垂直、线面垂直、面面垂直是立体几何中的核心内容之一.首先由线面垂直的定义可知，若线面垂直则线和面内任何直线都垂直；根据线面垂直判定定理，若线垂直于面内的两条相交直线，则线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，我们可以简证为，线面垂直则面面垂直；同样根据面面垂直的性质定理，我们还可证得，若面面垂直则线面垂直.由上可得，利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直的证明.因此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直.2.空间直线、平面的平行与垂直的相互转化(1)线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定与证明是考查空间想象能力、逻辑推理能力的重点，这是我们作进一步的比较、串联、综合、力求达到巩固、提高的目的.(2)理解线线、线面、面面关系的转化.①不同层次的平行关系的转化.②不同层次的垂直关系的转化③平行与垂直的转化案例8 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD.【探究】(1)要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可，证明如下：证明：取PD的中点E，连结AE 、EN.则EN 21CD 21AB AM ，故AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE.∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.(2)要证MN ⊥CD ，可证MN ⊥AB.由问(1)知，需证AE ⊥AB.∵PA ⊥平面ABCD.∴PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN.又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD.(3)由问(2)知，MN ⊥CD ，即AE ⊥CD ，再证AE ⊥PD 即可.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD.又∠PDA=45°,E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD,即MN ⊥PD.又MN ⊥CD.∴MN ⊥平面PCD.【规律总结】本题是涉与线面垂直、线面平行、线线垂直诸知识点的一道综合题.题(1)的关键是选取PD 的中点E ，所作的辅助线使问题处理方向明朗化.线线垂直←线面垂直←线线垂直是转化规律.活学巧用1.判断题：正确的在括号内打“√”,不正确的打“×”.(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行.()(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.()(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.()(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内.()(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.()解析：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面，因此应打“×”.(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”,正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这无数条直线的位置关系，则该命题应打“×”.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必须垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”.(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”.(5)三条共点直线两两垂直，设为a,b,c 有a,b,c 共点于O.∵a ⊥b,a ⊥c,b∩c=o,且b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α.同理可知b 垂直于由a 、c 确定的平面，c 垂直于a 、b 确定的平面，∴该命题应打“√”.答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则有()A.l 和m 异面B.l 和m 相交C.l ∥mD.l 不平行于m解析：直线l ⊥平面α,则l 和平面α有且只有一个交点即垂足P ，平面α内任一直线m 经过P 时，l 和m 相交，直线m 不经过P 时，由异面直线的判定定理知,l 和m 异面，故l 和m 不会平行.答案：D3.如图(1)，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 与EF 把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A.SG ⊥平面EFGB.SD ⊥平面EFGC.GF ⊥平面SEFD.GD ⊥平面SEF解析:(1)(直接法)在图(1)中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，右图(2)中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，∴SG ⊥平面EFG.(2)(排除法)GF 即G 3F 不垂直于SF ，∴可以否定C ；在△GSD 中，GS=a(正方形边长)，GD=a 42,SD=a 423, ∴SG 2≠SD 2+GD 2,∠SDG≠90°,从而否定B 和D.答案：A4.已知m 、n 为异面直线，m ∥平面α,n ∥α,直线l ⊥m,l ⊥n,则( )A.l ⊥αB.l 和α不垂直C.l 可能与α垂直D.以上都不对解析：在α内取一点P ，则m 和P 确定一个平面β，设β∩α=m′.∵m ∥α,∴m ∥m′.∵l ⊥m,∴l ⊥m′.n 和P 确定一个平面γ，设γ∩α=n′,∵n ∥α,∴n ∥n′. ∵l ⊥n,∴l ⊥n′.∵m 和n 是异面直线，∴m′和n′相交于P.∴l ⊥α.答案：A5.如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，AP ⊥平面ABC ，连结PB 、PC ，作PD ⊥BC 于点D ，连结AD ，则图中共有直角三角形__________个.解析：Rt △PAB 、Rt △PAC 、Rt △ABC 、Rt △ADP.可证BC ⊥平面APD ，由BC ⊥AD ，BC ⊥PD可证Rt △PBD 、Rt △PDC 、Rt △ADB 、Rt △ADC 共8个.答案：86.如图，α∩β=CD,EA ⊥α,垂足A ，EB ⊥β，垂足B.求证：CD ⊥AB.解析：∵EA ⊥α,CD ⊆α,根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA.同样∵EB ⊥β，CD ⊆β,则有EB ⊥CD.又EA∩EB=E ，根据直线和平面垂直判定定理，则有CD ⊥平面AEB.又∵AB ⊆平面AEB ， ∴CD ⊥AB.7.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC.解析：使B 1O 垂直于平面PAC 中的两条相交直线.证明：连结AB 1、CB 1，设AB=1.因为AB 1=CB 1=2，AO=CO ，所以B 1O ⊥AC.连结PB 1.因为OB 12=OB 2+BB 12=23，PB 12=PD 12+B 1D 12=49，OP 2=PD 2+DO 2=43，所以OB 12+OP 2=PB 12.所以B 1O ⊥PO.所以B 1O ⊥平面PAC.8.(1)二面角指的是( )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角(2)下列说法错误的是( )A.过二面角的棱上某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角即为二面角的平面角B.和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角C.在二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一面内的射影所成的角是二面角的平面角D.二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角解析：(1)根据二面角的定义讨论，故选C.(2)一一判断，可以发现应该选C.因为按C 中所给的方法，当二面角是一个锐角时，得到的确实是二面角的平面角；但当二面角是一个直二面角时，得到的是一个零度角；当二面角是一个钝角时，得到的是二面角平面角的一个补角.即C 中方法不具有普遍适用性.答案：(1)C (2)C9.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定解析：如下图答案：C10.已知D 、E 分别是正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1.求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面A 1B 1C 1所成的二面角的大小.解析：如图，在平面AA 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于点F ，则F 是面DEC 1与面A 1B 1C 1的公共点，C 1F 为这两个平面的交线，∴所求二面角就是D C 1F A 1的平面角.∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ，∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点.∵A 1B 1=B 1C 1=A 1C 1，∴FC 1⊥A 1C 1.又面AA 1C 1C ⊥A 1B 1C 1，FC 1⊂面A 1B 1C 1,∴FC 1⊥面AA 1C 1C ，而DC 1⊂面AA 1C 1C ，∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D-FC 1-A 1的平面角，由已知A 1D=B 1C 1=A 1C 1，∴∠DC 1A 1=4π. 故所求二面角的大小为4π. 11.河堤斜面与水平面所成的二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤脚的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走1033 m 时人升高了_________米( ) B.5.5 C解析：取CD 上一点E ，设CE=103 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.作EF ⊥AB 于F ，则EG=EFsin60°=CE·sin30°sin60° =5.72152321310==⨯⨯ (m).答案：D12.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：在平面PAB中，∵AD⊥AB,AD⊥PA且AB，PA⊂面PAB∴AD⊥面PAB∴面PAD⊥面PAB∵BC∥AD∴BC⊥面PAB∴面PBC⊥面PAB答案：A13.已知m、l是直线，a、β是平面，给出下列命题：(1)若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α;(2)若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；(3)若m⊂α，l⊂β,且l⊥m,则α⊥β；(4)若l⊂β，且l⊥α,则α⊥β；(5)若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是( )解析：本题考查线与线、线与面、面与面的位置关系.命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确；命题(2)，l∥α,但l不能平行于α内所有直线；命题(3)，l⊥m,不能保证l⊥α，即分别包含l与m的平面α、β可能平行也可能相交而不垂直；命题(4)，为面面垂直的判定定理，所以正确；命题(5)，α∥β,但分别在α、β内的直线l与m可能平行，也可能异面.答案：(1)、(4)14.在空间，下列哪些命题是正确的( )①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于同一个平面的两条直线互相平行A.仅②不正确B.仅①④正确C.仅①正确D.四个命题都正确解析：①该命题就是平行公理，因此该命题是正确的.②如图(1)，直线a⊥平面α,b⊆α,c⊆α,且b∩c=A,则a⊥b,a⊥c,即平面α内两条相交直线b,c都垂直于同一条直线a,但b,c的位置关系并不是平行，另外，b,c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面α外，此时，与a的位置关系仍是垂直，但此时b,c的位置关系是异面.③如图(2)，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易知A1B1平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，但A1B1∩A1D1=A1，因此该命题是错误的，④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上可知①、④正确.(1) (2)答案：B15.课本在证明直线与平面垂直的性质定理时采用的方法是反证法.请思考在什么情况下我们要使用反证法，它的步骤是什么?答：反证法一般用于从正面入手很难考虑的时候，如题目中有“不可能”、“没有”、“至少”、“至多”等词语时，很难直接应用定理或公式，这时它们的反面往往只有一种情况，只要将这一种情况否定了，命题便得到证明.反证法的证题步骤是：(1)假设命题结论的反面成立;(2)从这个假设出发，一步步推导出与某个定理、公式或已知条件相矛盾的结论；(3)肯定原命题结论正确.16.判断下列命题的真假①两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；②两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；③两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.解析：①若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图(1)，正方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1=AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内.可以看出：线在面内这一条件的重要性.②该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图(2)，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1⊆平面ADD1A1,AB⊆平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；③如图(2)，正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1⊆平面ADD1A1，AC⊂平面ABCD，AD1与AC所成的角为60°，即AD1与AC不垂直.答案：①假②假③假17.在下列命题中，假命题是( )A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC.若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α,则必有l⊥βD.若平面α∥平面β,任取直线l⊂α,则必有l∥β解析：A中，直线l⊥β,l⊂α,所以α⊥β，A为真命题；B中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B为真命题；D为两平面平行的性质，为真命题；C为假命题，l。

线面垂直的判定与性质

线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平例1题图面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c⇒b⊥c;(2)a⊥α,b⊂α⇒a ⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例3】已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.例3题图解(1)【解前点津】题设主要条件是AB1⊥BC，而结论是AB1⊥A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.【例4】空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 .【解前点津】如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.例4题图●对应训练分阶提升一、基础夯实1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( )A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )A.1B.2C.552D.553 7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.38.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( ) 第3题图A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α，其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是 .12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.(1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC所成角的大小.第11题图第12题图第13题图第14题图15.如图所示，P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面P AD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.第15题图16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD ＝2，侧棱PB＝15，PD ＝3.(1)求证：BD⊥平面P AD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP ⊥平面ABCD .(2)求平面PNC 与平面CC ′D ′D 所成的角.(3)求点C 到平面D ′MB 的距离.第4课线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ，PE ⊥PF .4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.5.A 依题意,m ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.6.D 过P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD ， ∴PD =55354122=+=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然α与β不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m11.23cm 2 设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB ２=a 2+4，又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2． S △A ′B ′C ′=23432=⋅a cm 2． 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线第18题图定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB .14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心,∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC .(2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC ,∴AB ⊥面DEC .∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD ,∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE ,∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,∴VC 与面ABC 所成角为60°.15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB .又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD .∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN .又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD .又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PCD .16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12，∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ， ∴BD ⊥平面P AD .(2)由BD ⊥平面P AD ，BD 平面ABCD .∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ，又PE 平面P AD ，第15题图解第16题图解∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角.∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=⨯. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ，∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角.又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中， tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC ===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°.∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M .由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中，∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2.又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ，∴NP ⊥平面ABCD .(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ，∴∠MCD 为该二面角的平面角.在Rt △MCD 中可知∠MCD ＝arctan 21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高. ∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅， ∴.3621a S a S h =⋅=。

理科数学学霸笔记32 直线、平面垂直的判定及其性质

.，5．常用结论（熟记）（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．三、常用结论1．两个重要定理(1)三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．2．重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．四、线面垂直的判定与性质线面垂直问题的常见类型及解题策略：(1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．(2)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒α⊥β)；⑤面面垂直的性质．(3)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(4)线面垂直的探索性问题．①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.五、面面垂直的判定与性质判定面面垂直的常见策略：(1)利用定义(直二面角)．(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．六、线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．。

5 第5讲直线、平面垂直的判定与性质

第5讲直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈⎣⎡⎤0，π2．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．导师提醒 1．掌握两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．2．理解线线、线面、面面垂直间的转化线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂判定性质直3．关注两个重要定理 (1)三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( ) (2)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( )(3)设m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α.( ) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×(教材习题改编)下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：选D.对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项易知均是正确的．(教材习题改编)设m，n表示直线，α，β表示平面，下列命题为真命题的是()A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n解析：选B.对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错；对于D，m与n可以平行，故D错．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊥αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β解析：选C.依题意，对于A，注意到直线m可能位于平面β内，因此选项A不正确；对于B，注意到直线m可能位于平面β内且与它们的交线平行，因此选项B不正确；对于C，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，C正确；对于D，注意到直线m可能位于平面β内，因此选项D不正确．综上所述，选C.(教材习题改编)已知P为△ABC所在平面外一点，且P A，PB，PC两两垂直，有下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是() A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解析：选A.如图，因为P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC＝P，且PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以P A⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以P A⊥BC.同理可得PB⊥AC，PC⊥AB.故①②③正确．线面垂直的判定与性质(多维探究)角度一线面垂直的证明如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．求证：(1)PH ⊥平面ABCD ； (2)EF ⊥平面P AB .【证明】 (1)因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，所以PH ⊥AB . 因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD . (2)如图，取P A 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB .所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB . 因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .角度二线面垂直性质的应用如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【证明】(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.(1)判定线面垂直的四种方法(2)判定线线垂直的四种方法如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，因为P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以P A⊥CD.因为AC⊥CD，P A∩AC＝A，所以CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，所以CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥AB.又因为AB⊥AD且P A∩AD＝A，所以AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.面面垂直的判定与性质(典例迁移)(一题多解)如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.【证明】(1)法一：取P A的中点H，连接EH，DH.又E 为PB 的中点，所以EH ═∥12AB . 又CD ═∥12AB ，所以EH ═∥CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD . 所以CE ∥平面P AD .法二：连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．因此CF ∥AD .又CF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .又因为CF ∩EF ＝F .故平面CEF ∥平面P AD . 又因为CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A ，又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF . 同理可得AB ⊥FG .又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.[迁移探究1](变问法)在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面P AC.证明：因为AB⊥P A，AB⊥AC，且P A∩AC＝A，所以AB⊥平面P AC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB.所以MN⊥平面P AC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面P AC.[迁移探究2](变问法)在本例条件下，证明：平面EFG∥平面P AC.证明：因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥P A，FG∥AC，又EF⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，所以EF∥平面P AC.同理，FG∥平面P AC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面P AC.证明面面垂直的两种常用方法(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为P A ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD . 所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面P AD .所以AB ⊥PD .又因为P A ⊥PD ，所以PD ⊥平面P AB .所以平面P AB ⊥平面PCD .(3)取PC 中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形．所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .垂直关系中的探索性问题(师生共研)如图，在三棱柱ABC -A1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．AB ＝BC ，AC ＝2，AA 1＝ 2. (1)求证：B 1C ∥平面A 1BM ； (2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)证明：连接AB 1与A 1B ，两线交于点O ，连接OM . 在△B 1AC 中，因为M ，O 分别为AC ，AB 1的中点，所以OM ∥B 1C ，又因为OM ⊂平面A 1BM ，B 1C ⊄平面A 1BM ，所以B 1C ∥平面A 1BM .(2)证明：因为侧棱AA 1⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BM ，又因为M 为棱AC 的中点，AB ＝BC ，所以BM ⊥AC . 因为AA 1∩AC ＝A ，AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，所以BM ⊥平面ACC 1A 1，所以BM ⊥AC 1.因为AC ＝2，所以AM ＝1.又因为AA 1＝2，所以在Rt △ACC 1和Rt △A 1AM 中， tan ∠AC 1C ＝tan ∠A 1MA ＝2，所以∠AC 1C ＝∠A 1MA ，即∠AC 1C ＋∠C 1AC ＝∠A 1MA ＋∠C 1AC ＝90°，所以A 1M ⊥AC 1.因为BM ∩A 1M ＝M ，BM ，A 1M ⊂平面A 1BM ，所以AC 1⊥平面A 1BM .(3)当点N 为BB 1的中点，即BN BB 1＝12时，平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C .证明如下：设AC 1的中点为D ，连接DM ，DN .因为D ，M 分别为AC 1，AC 的中点，所以DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1. 又因为N 为BB 1的中点，所以DM ∥BN ，且DM ＝BN ，所以四边形BNDM 为平行四边形，所以BM ∥DN ，因为BM ⊥平面ACC 1A 1，所以DN ⊥平面AA 1C 1C .又因为DN ⊂平面AC 1N ，所以平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C .(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手．一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC＝CE ，点F 为CE 的中点．(1)证明：AE ∥平面BDF ；(2)点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM ⊥BE? 若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OF .因为四边形ABCD 是矩形，所以O 为AC 的中点．又F 为EC 的中点，所以OF ∥AE .又OF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ，所以AE ∥平面BDF .(2)当点P 为AE 的中点时，有PM ⊥BE ，证明如下：取BE 的中点H ，连接DP ，PH ，CH .因为P 为AE 的中点，H 为BE 的中点，所以PH ∥AB .又AB ∥CD ，所以PH ∥CD ，所以P ，H ，C ，D 四点共面．因为平面ABCD ⊥平面BCE ，且平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，CD ⊥BC ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，所以CD ⊥BE ，因为BC ＝CE ，且H 为BE 的中点，所以CH ⊥BE .又CH ∩CD ＝C ，且CH ，CD ⊂平面DPHC ，所以BE ⊥平面DPHC .又PM ⊂平面DPHC ，所以PM ⊥BE .立体几何中的转化思想如图1，在等腰梯形PDCB 中，PB ∥DC ，PB ＝3，DC ＝1，∠DPB ＝45°，DA ⊥PB 于点A ，将△P AD 沿AD 折起，构成如图2所示的四棱锥P -ABCD ，点M 在棱PB 上，且PM ＝12MB .(1)求证：PD ∥平面MAC ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求点A 到平面PBC 的距离．【解】 (1)证明：在四棱锥P -ABCD 中，连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，依题意知AB ∥CD ，所以△ABN ∽△CDN ，所以BN ND ＝BA CD＝2，因为PM ＝12MB ，所以BN ND ＝BM MP＝2，所以在△BPD 中，MN ∥PD ，又PD ⊄平面MAC ，MN ⊂平面MAC .所以PD ∥平面MAC .(2)法一：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且两平面相交于AD ，P A ⊥AD ，P A ⊂平面P AD ，所以P A ⊥平面ABCD ，所以V P ABC ＝13S △ABC ·P A ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×1×1＝13. 因为AB ＝2，AC ＝AD 2＋CD 2＝2，所以PB ＝P A 2＋AB 2＝5，PC ＝P A 2＋AC 2＝3，BC ＝AD 2＋（AB －CD ）2＝2，所以PB 2＝PC 2＋BC 2，故∠PCB ＝90°，记点A 到平面PBC 的距离为h ，所以V A PBC ＝13S △PBC ·h ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×2h ＝66h . 因为V P ABC ＝V A PBC ，所以13＝66h ，解得h ＝63.故点A 到平面PBC 的距离为63.法二：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且两平面相交于AD ，P A ⊥AD ，P A ⊂平面P AD ，所以P A ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC ，因为AB ＝2，AC ＝AD 2＋CD 2＝2， BC ＝AD 2＋（AB －CD ）2＝2，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC ，过点A 作AE ⊥PC 于点E ，则BC ⊥AE ，因为PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离为AE ＝P A ·AC PC ＝1×23＝63.(1)空间平行与垂直综合问题的求解策略线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：(2)求解空间翻折问题的关键其关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折的过程，把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．另外，在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，常通过三角形的中位线找平行线．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图(2)所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；(2)求证：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．解：(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF，又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E，所以BD⊥平面A1EF.又A1F⊂平面A1EF，所以BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF，又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，因为CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直．[基础题组练]1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直解析：选D.对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误，D正确．2．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A.选项A，因为l⊥β，l⊂α，所以α⊥β，A正确；选项B，α⊥β，l⊂α，m⊂β，l与m的位置关系不确定；选项C，因为l∥β，l⊂α，所以α∥β或α与β相交；选项D，因为α∥β，l⊂α，m⊂β，此时l与m的位置关系不确定．故选A.3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有直角三角形的个数为()A．4B．3C．2 D．1解析：选 A.由P A⊥平面ABC可得△P AC，△P AB是直角三角形，且P A⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P-ABC中共有4个直角三角形．4.如图，在斜三棱柱ABC-AB1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A.由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D.因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面P AE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B，C均正确．6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于27.答案：277．如图所示，在四棱锥P-ABCD中P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥BD.又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确结论的序号是________．解析：①AE⊂平面P AC，BC⊥AC，BC⊥P A⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF ⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．答案：①②④9.如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.证明：(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG，因为F是CE的中点，所以FG是梯形CDPE的中位线，因为CD＝3PE，所以FG＝2PE，FG∥CD，因为CD∥AB，AB＝2PE，所以AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，所以BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，所以BF∥平面ADP.(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM，因为BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，所以ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE.所以FM∥PD，因为PD⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD，所以FM⊥BD，因为AM∩FM＝M，所以BD⊥平面AMF，所以BD⊥平面AOF.10．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.[综合题组练]1．(创新型)如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③解析：选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.2．(创新型)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF ⊥平面BCF ；④平面DCF ⊥平面BCF ，则上述结论可能正确的是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④解析：选B.对于①，因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交但不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；对于②，设点D 在平面BCF上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时就有BD ⊥FC ，而AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D 在平面BCF 上的射影P 落在BF 上时，DP ⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，所以③正确；对于④，因为点D 在平面BCF 上的射影不可能在FC 上，所以④不成立．3．(创新型)在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则 ⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，因为DC ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.答案：②4．(应用型)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h ，又2×2＝h ×22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝（22）2－（33）2＝66. 由面积相等得66× x 2＋（22）2＝22x ，得x ＝12.即线段B 1F 的长为12. 答案：125.如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD ＝12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD . (1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S -BCD 的体积为612，求侧面△SAB 的面积．解：(1)证明：设BC ＝a ，则CD ＝a ，AB ＝2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD ＝90°，则BD ＝2a ，∠CBD ＝45°，所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝45°，在△ABD 中，AD ＝AB 2＋DB 2－2AB ·DB ·cos 45°＝2a ，因为AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以BD ⊥AD ，由于平面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面SAD ，又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAD .(2)由(1)可知AD ＝SD ＝2a ，在△SAD 中，∠SDA ＝120°，SA ＝2SD sin 60°＝6a ，作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则SH ＝SD sin 60°＝62a ，由(1)知BD ⊥平面SAD ，因为SH ⊂平面SAD ，所以BD ⊥SH ，又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ，所以SH 为三棱锥S -BCD 的高，所以V S BCD ＝13×62a ×12×a 2＝612，解得a ＝1，由BD ⊥平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，可得BD ⊥SD ，则SB ＝SD 2＋BD 2＝2＋2＝2，又AB ＝2，SA ＝6，在等腰三角形SBA 中，边SA 上的高为 4－64＝102，则△SAB 的面积为12×6×102＝152.6．如图1，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E ，F 分别为CD ，AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 的位置(如图2所示)，连接AP ，PF ，其中PF ＝2 5.(1)求证：PF ⊥平面ABED ；(2)求点A 到平面PBE 的距离．解：(1)证明：在题图2中，连接EF ，由题意可知，PB ＝BC ＝AD ＝6，PE ＝CE ＝CD －DE ＝9，在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2，所以PF ⊥BF .在题图1中，连接EF ，作EH ⊥AB 于点H ，利用勾股定理，得EF ＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2，所以PF ⊥EF ，因为BF ∩EF ＝F ，BF ⊂平面ABED ，EF ⊂平面ABED ，所以PF ⊥平面ABED .(2)如图，连接AE ，由(1)知PF ⊥平面ABED ，所以PF 为三棱锥P -ABE 的高．设点A 到平面PBE 的距离为h ，因为V A PBE ＝V P ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853.。

直线、平面垂直的判断及其性质

直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)

直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定及性质

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直线平面垂直的判定及其性质

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直线、平面垂直的判定及其性质-人教版高中数学

直线、平面垂直的判定与性质

直线与平面垂直的判定和性质

8.5直线、平面垂直的判定及其性质

直线平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质解析

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

线面垂直的判定与性质

理科数学学霸笔记32 直线、平面垂直的判定及其性质

5 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质

5 第5讲直线、平面垂直的判定与性质