导数运算中构造函数解决问题(精简后)

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导数小题中构造函数的技巧

【例 2 】设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且 f (1) 0 ，当 x 0 时，有
xf ' ( x) f ( x) 0 恒成立，则不等式 f ( x ) 0 的解集为________________
【例 3】已知偶函数 f ( x)( x 0) 的导函数为 f ' ( x) ，且满足 f (1) 0 ，当x0 时， 2 f ( x) xf ' ( x) ，则使得 f ( x ) 0 成立的 x 的取值范围是___________
, ] ，且 sin sin 0 ，则下列结论正确的是（） 2 2
C、 D、 0
B、 2 2
a8 4 ，【例 10】等比数列 {an } 中，函数 f ( x) x( x a1 )( x a2 )...( x a8 ) ， a1 2 ，
f ( x ) e 2 x 的解集为___________
【变式提升】若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ' ( x) 2 f ( x) 4 0, f (0) 1 ，则不等式 f ( x) e 2 x 2 的解集为___________ 【例 7】已知函数 f x 在 R 上可导，其导函数为 f x ，若 f x 满足：
f ( x) f ' ( x) tan x 成立，则（
）
A、 3 f ( ) 2 f ( ) 4 3 C、 2 f ( ) f ( ) 6 4 二、构造具体的函数关系式
【例 9】 , [ A、
B、 f (1) 2 f ( ) sin 1 6 D、 3 f ( ) f ( ) 6 3

专题一微重点导数中的函数构造问题

微重点3 导数中的函数构造问题导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．考点一导数型构造函数考向1 利用f (x )与x 构造例1 (2022·苏州质检)已知函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.6·f (20.6)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·f ⎝⎛⎭⎫log 218，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．c >a >b答案 B解析因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数，令g (x )＝x ·f (x )，则g (x )是奇函数，g ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，所以g (x )在x ∈(－∞，0]上单调递减，又g (x )在R 上是连续函数，且是奇函数，所以g (x )在R 上单调递减，则a ＝g (20.6)，b ＝g (ln 2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫log 218，因为20.6>1,0<ln 2<1，log 218＝－3<0，所以log 218<0<ln 2<1<20.6，所以c >b >a .规律方法 (1)出现nf (x )＋xf ′(x )的形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝ f (x )x n . 跟踪演练1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ′(x )－f (x )x －3>0，且f (1)＝0，则不等式f (e x )－3x e x >0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 C解析设g (x )＝f (x )x－3ln x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2－3x＝xf ′(x )－f (x )－3x x 2. 因为f ′(x )－f (x )x－3>0，x >0，所以xf ′(x )－f (x )－3x >0，所以g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增．不等式f (e x )－3x e x >0可转化为f (e x )e x －3ln e x >0，又g (e x)＝f (e x )e x －3ln e x ，且g (1)＝f (1)1－3ln 1＝0，即g (e x )>g (1)，所以e x >1，解得x >0.考向2 利用f (x )与e x 构造例2 (2022·枣庄质检)已知f (x )为定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，且f (x )<f ′(x )恒成立，其中e 是自然对数的底数，则( )A ．f (2 022)<e f (2 023)B ．e f (2 022)<f (2 023)C ．e f (2 022)＝f (2 023)D ．e f (2 022)>f (2 023)答案 B解析设函数g (x )＝f (x )e x ，可得g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x，由f (x )<f ′(x )，可得f ′(x )－f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，则f (2 022)e 2 022< f (2 023)e 2 023，即e f (2 022)<f (2 023)．规律方法 (1)出现f ′(x )＋nf (x )的形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 跟踪演练2 (2022·成都模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>0，且f (3)＝3，则f (x )>3e 3－x 的解集为________．答案 (3，＋∞)解析设F (x )＝f (x )·e x ，则F ′(x )＝f ′(x )·e x ＋f (x )·e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0，∴F (x )在R 上单调递增．又f (3)＝3，则F (3)＝f (3)·e 3＝3e 3.∵f (x )>3e 3－x 等价于f (x )·e x >3e 3，即F (x )>F (3)，∴x >3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．考向3 利用f (x )与sin x ，cos x 构造例3 偶函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，其导函数为f ′(x )，若对任意的x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2，有f ′(x )·cos x <f (x )sin x 成立，则关于x 的不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x的解集为__________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2 解析令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴g (－x )＝f (－x )cos(－x )＝f (x )cos x ＝g (x )，∴g (x )为偶函数，又g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ，∴当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，g ′(x )<0，即g (x )在⎣⎡⎭⎫0，π2上单调递减，又g (x )为偶函数，∴g (x )在⎝⎛⎦⎤－π2，0上单调递增，不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x 可化为f (x )cos x <f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫π3，则⎩⎨⎧ |x |>π3，－π2<x <π2，解得－π2<x <－π3或π3<x <π2. 规律方法函数f (x )与sin x ，cos x 相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)F (x )＝f (x )sin x， F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)F (x )＝f (x )cos x， F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 跟踪演练3 已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6C.3f ⎝⎛⎭⎫－π4<2f ⎝⎛⎭⎫－π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π3<3f ⎝⎛⎭⎫π4 答案 B解析构造函数F (x )＝f (x )sin x，由f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，即f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，∴F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x (sin x )2>0， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又F (－x )＝f (－x )sin (－x )＝－f (x )－sin x＝F (x )， ∴F (x )为偶函数，∵π6<π4， ∴F ⎝⎛⎭⎫π6<F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6<f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4，故A 错误；∵偶函数F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递减， ∵－π3<－π6，∴F ⎝⎛⎭⎫－π3>F ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫－π6sin ⎝⎛⎭⎫－π6，∴－f ⎝⎛⎭⎫－π3>－3f ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6，故B 正确； F ⎝⎛⎭⎫－π4<F ⎝⎛⎭⎫－π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4<f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3，∴－3f ⎝⎛⎭⎫－π4<－2f ⎝⎛⎭⎫－π3， ∴3f ⎝⎛⎭⎫－π4>2f ⎝⎛⎭⎫－π3，故C 错误； ∵π3>π4，∴F ⎝⎛⎭⎫π3>F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π3sin π3>f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π3>3f ⎝⎛⎭⎫π4，故D 错误．考点二同构法构造函数例4 已知a >0，若在(1，＋∞)上存在x 使得不等式e x －x ≤x a －a ln x 成立，则a 的最小值为________．答案 e解析 ∵x a ＝ln ln e e a x a x ＝，∴不等式即为e x －x ≤e a ln x －a ln x .由a >0且x >1得a ln x >0，设y ＝e x －x ，则y ′＝e x －1>0，故y ＝e x －x 在(1，＋∞)上单调递增，∴x ≤a ln x ，即a ≥x ln x，即存在x ∈(1，＋∞)，使a ≥x ln x， ∴a ≥⎝⎛⎭⎫x ln x min ，设f (x )＝x ln x(x >1)，则f ′(x )＝ln x －1ln 2x，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (e)＝e ，∴a ≥e.故a 的最小值为e.规律方法指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x 变成ln e x ，然后构造函数；另一种是将x 变成e ln x ，然后构造函数．跟踪演练4 已知a >0，b >0，且(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，则( )A ．a >b ＋1B ．a b －1 答案 B解析因为(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，a >0，b >0，所以ln (a ＋1)a ＝ln (b ＋3)b ＋1>ln (b ＋2)b ＋1. 设f (x )＝ln (x ＋1)x(x >0)，则f ′(x )＝x x ＋1－ln (x ＋1)x 2. 设g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)(x >0)，则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．当x →0时，g (x )→0，所以g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (a )>f (b ＋1)，所以a <b ＋1. 专题强化练1．(2022·咸阳模拟)已知a ＝1e 2，b ＝ln 24，c ＝ln 39，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 B 解析设f (x )＝ln x x 2，则a ＝f (e)，b ＝f (2)， c ＝f (3)，又f ′(x )＝1－2ln x x 3，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )＝ln x x 2在(e ，＋∞)上单调递减，注意到e<4＝2<e<3，则有f (3)<f (e)<f (2)，即c <a 0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 B解析令g (x )＝f (x )－x 2，则g (－x )＝f (－x )－(－x )2＝g (x )，所以函数g (x )也是偶函数，g ′(x )＝f ′(x )－2x ，因为当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，所以当x ≥0时，g ′(x )＝f ′(x )－2x >0，所以函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增，不等式f (x )>x 2＋2即为不等式g (x )>2，由f (1)＝3，得g (1)＝2，所以g (x )>g (1)，所以|x |>1，解得x <－1或x >1，所以f (x )>x 2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．(2022·南京质检)设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若a e a eB ．b >e aC ．ab <eD ．b <e a解析由已知a e a 0，∴e a >1，∵b >0，b ln b >a e a >0，∴b >1.当x >1时，f ′(x )＝ln x ＋1>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以e a 0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，则下列说法正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 B ．－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 C ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6 D ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6 答案 D解析令g (x )＝f (x )sin x ，因为f (x )为奇函数，则g (x )为偶函数，又当x >0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，即g ′(x )>0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有g ⎝⎛⎭⎫－π6＝g ⎝⎛⎭⎫π6<g ⎝⎛⎭⎫5π6<g ⎝⎛⎭⎫7π6，即－12 f ⎝⎛⎭⎫－π6<12 f ⎝⎛⎭⎫5π6<－12 f ⎝⎛⎭⎫7π6，即－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6. 5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析构造函数g (x )＝e x f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x f (x )－e x 在R 上单调递增．又因为g (0)＝e 0f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为e x f (x )－e x >1，即g (x )>g (0)，解得x >0.所以原不等式的解集为{x |x >0}．6．(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x >1，不等式λe λx ≥ln x 恒成立，则λ的取值可能是( )A ．e B.12e C.1e D.2e答案 ACD解析由题设，e λx ·λx ≥x ln x ＝e ln x ·ln x ，令f (t )＝t ·e t (t >0)，则f ′(t )＝(t ＋1)·e t >0，所以f (t )单调递增，又f (λx )≥f (ln x )，即当x ∈(1，＋∞)时，λx ≥ln x ，即λ≥ln x x 恒成立，令g (x )＝ln x x，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝1－ln x x 2，所以在(1，e)上，g ′(x )>0，即g (x )单调递增；在(e ，＋∞)上，g ′(x )<0，即g (x )单调递减，则g (x )≤g (e)＝1e ，故λ≥1e. 7．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是________．答案 (2，＋∞)解析根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)的图象在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2.所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则m2n＝________. 答案 1解析由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n，令g(x)＝log2x＋2x(x>0)，则g′(x)＝1x ln 2＋2>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，所以m＝2n，所以m2n＝1.。

导数中构造函数比大小问题题型总结(学生版)

用构造函数解导数问题

f (2 − x) =f (x)e2−2x
⇔
f
(2 − e2−x
x)
⇔
f (x) ex
⇔
F (2
−
x=)
F (x) ⇒ F (x)关于x=
1 对称，则当 x <1 时，
F (x)在(-∞,1]上单调递减。根据单调性和大致图像可知
3
离对称轴远，故有 F (3) > F (0) ⇒
f (3) > e3
F (x)在(0, ∞)上也单调递增,= 根据 f (1) 0= 可得F (1) 0 和 F (−1) =0 ，根据函数的单调性和奇偶性可得函数的
大致图像，注意 f (x) 与 x 同号为正，异号为负，根据图像可知 f (x) > 0 的解集为 (−∞, −1) ∪ (1, +∞) 。
公众号：数学其实没那么难
二、利用利用 f (x) 与 ex 构造
因为 ex 的特殊性（恒大于 0 且导数为本身），故常见的题型为 f '(x) ± f (x) 。和 f (x)与x 构造方式相同，此
时 g(x) = ex ，构造 F (x) =
f (x)ex 或者 F (x) =
f (x)
，主要是利用：
ex
= F (x) f (x)ex ,= F '(x) f= (x)ex ' ex ( f '(x) + f (x))
f (x)
。原
xn
理如下：
F (x) = xn f (x) ， F '(x) =xn f '(x) + nxn−1 f (x) =xn−1[xf '(x) + nf (x)] ；

导数中的函数构造问题

培优课导数中的函数构造问题类型一利用f (x )与x 构造1.常用构造形式有xf (x )，f （x ）x ，这类形式是对u ·v ，v u型函数导数计算的推广及应用，我们对u ·v ，v u 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，v u型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，考虑构造u v.例1设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________.答案(－∞，－4)∪(0，4)解析构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减.∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减，根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0，4).例2已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是()A.(0，1)B.(2，＋∞)C.(1，2)D.(1，＋∞)答案B解析构造函数y ＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)，则y ′＝f (x )＋xf ′(x )<0，所以函数y ＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减.又因为f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)，所以(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)f (x 2－1)，所以x ＋1<x 2－1，且x 2－1>0，x ＋1>0，解得x >2或x <－1(舍去)，所以不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是(2，＋∞).例3设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________.答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F (x )＝f （x ）x，则F ′(x )＝f ′（x ）·x －f （x ）x 2，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增，∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增，根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).例4已知函数f (x )＝x ln x ＋x (x －a )2(a ∈R ).若存在x ∈12，2，使得f (x )>xf ′(x )成立，则实数a的取值范围是()C.(2，＋∞)D.(3，＋∞)答案C解析由f (x )>xf ′(x )成立，可得f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0.设g (x )＝f （x ）x＝ln x ＋(x －a )2，则存在x ∈12，2，使得g ′(x )＝1x ＋2(x －a )<0成立，即amin .又x ＋12x≥2x ·12x ＝2，当且仅当x ＝12x ，即x ＝22时取等号，所以a > 2.2.xf (x )，f （x ）x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f （x ）xn ，F ′(x )＝f ′（x ）·x n －nx n －1f （x ）x 2n＝xf ′（x ）－nf （x ）x n ＋1.结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f （x ）xn .例5已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________.答案(－1，0)∪(0，1)解析构造F (x )＝f （x ）x2，则F ′(x )＝f ′（x ）·x －2f （x ）x 3，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减.∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，∴F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增，根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1，0)∪(0，1).类型二利用f (x )与e x 构造1.f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v(e x )′＝e x 的考查，所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f （x ）x的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f （x ）ex 形式.例6已知f (x )为R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈R ，均有f (x )＋f ′(x )>0，则()A.e －2023f (－2023)<f (0)，e 2023f (2023)>f (0)B.e －2023f (－2023)<f (0)，e 2023f (2023)<f (0)C.e －2023f (－2023)>f (0)，e 2023f (2023)>f (0)D.e －2023f (－2023)>f (0)，e 2023f (2023)<f (0)答案A 解析构造函数h (x )＝e x f (x )，则h ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0，所以函数h (x )在R 上单调递增，故h (－2023)<h (0)，即e －2023f (－2023)<e 0f (0)，即e －2023f (－2023)<f (0).同理，h (2023)>h (0)，即e 2023f (2023)>f (0)，故选A.例7已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则()A.f (2)>e 2f (0)，f (2023)>e 2023f (0)B.f (2)<e 2f (0)，f (2023)>e 2023f (0)C.f (2)>e 2f (0)，f (2023)<e 2023f (0)D.f (2)<e 2f (0)，f (2023)<e 2023f (0)答案D 解析构造F (x )＝f （x ）ex 形式，则F ′(x )＝e x f ′（x ）－e x f （x ）e 2x ＝f ′（x ）－f （x ）e x，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则F ′(x )<0，F (x )在R 上单调递减，所以F (2)<F (0)，即f （2）e2<f (0)，即f (2)<e 2f (0).同理，F (2023)<F (0)，即f (2023)<e 2023f (0).故选D.2.同样e x f (x )，f （x ）e x 是比较简单常见的f (x )与e x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？F (x )＝e nx f (x )，F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；F (x )＝f （x ）enx ，F ′(x )＝f ′（x ）e nx －n e nx f （x ）e 2nx ＝f ′（x ）－nf （x ）e nx.结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f （x ）e nx.例8已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数为f ′(x )，且3f (x )－f ′(x )>0在R 上恒成立，则下列等式一定成立的是()A.f (1)<e 3f (0)B.f (1)>e 2f (0)C.f (1)>e 3f (0)D.f (1)<e 2f (0)答案A 解析令g (x )＝f （x ）e3x ，则g ′(x )＝f ′（x ）·e 3x －3f （x ）e 3x （e 3x ）2＝f ′（x ）－3f （x ）e 3x 因为3f (x )－f ′(x )>0在R 上恒成立，所以g ′(x )<0在R 上恒成立，故g (x )在R 上单调递减，所以g (1)<g (0)，即f （1）e 3<f （0）e0，即f (1)<e 3f (0).类型三利用f (x )与sin x ，cos x 构造因为sin x ，cos x 的导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；F (x )＝f （x ）sin x，F ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos x sin 2x；F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；F (x )＝f （x ）cos x，F ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x cos 2x.例9已知函数y ＝f (x )对于任意的x －π2，f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是()A.2B.2C.f (0)<2D.f (0)<2答案A 解析构造F (x )＝f （x ）cos x形式.则F ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x cos 2x ，导函数f ′(x )满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，则F ′(x )>0，F (x )－π2，.把选项转化后可知选A.例10已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，函数y ＝f (x )对于任意的x ∈(0，π)满足f ′(x )sin x >f (x )cos x (其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是()A.－3B.2－C.3D.2答案C 解析由已知，得f (x )为奇函数，由函数y ＝f (x )对于任意的x ∈(0，π)满足f ′(x )sin x >f (x )cos x ，得f ′(x )·sin x －f (x )cos x >0，即f （x ）sin x ′>0，所以y ＝f （x ）sin x在(0，π)上单调递增，又因为y ＝f （x ）sin x为偶函数，所以y ＝f （x ）sin x在(－π，0)上单调递减，sin π3sin π23类型四构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.例11已知α，β∈－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是()A.α>βB.α2>β2C.α<βD.α＋β>0答案B 解析构造f (x )＝x sin x 形式，则f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，x ∈0，π2时导函数f ′(x )≥0，f (x )单调递增；x ∈－π2，f ′(x )<0，f (x )单调递减.又f (x )为偶函数，根据单调性和图象可知选B.例12已知实数a ，b ，c 满足a －2e a b ＝1－c d －1＝1，其中e 是自然对数的底数，那么(a －c )2＋(b －d )2的最小值为()A.8B.10C.12D.18答案A解析由a －2e a b＝1⇒b ＝a －2e a ，进而⇒f (x )＝x －2e x ，又由1－c d －1＝1⇒d ＝2－c ⇒g (x )＝2－x ；由f ′(x )＝1－2e x ＝－1，得x ＝0，所以切点坐标为(0，－2)，所以(a －c )2＋(b －d )2＝8.培优课利用导数研究恒成立或能成立问题利用导数研究恒成立与能成立问题的常用的方法有：一种先利用综合法，结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，解出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.类型一单变量恒成立求参数范围问题例1已知函数f (x )＝ln x .若对任意x >0，不等式f (x )≤ax ≤x 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围.解因为对任意x >0，不等式f (x )≤ax ≤x 2＋1恒成立，≥ln x x ，≤x ＋1x 在x >0max ≤a min .设h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，所以h (x )≤1e.要使f (x )≤ax 恒成立，必须a ≥1e.另一方面，当x >0时，x ＋1x≥2，要使ax ≤x 2＋1恒成立，必须a ≤2，所以满足条件的a 的取值范围是1e ，2.例2已知f (x )＝e x －ax 2，若f (x )≥x ＋(1－x )e x 在[0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围.解f (x )≥x ＋(1－x )e x ，即e x －ax 2≥x ＋e x －x e x ，即e x －ax －1≥0，x ≥0.令h (x )＝e x －ax －1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x －a (x ≥0)，当a ≤1时，由x ≥0知h ′(x )≥0，∴在[0，＋∞)上h (x )≥h (0)＝0，原不等式恒成立.当a >1时，令h ′(x )>0，得x >ln a ；令h ′(x )<0，得0≤x <ln a .∴h (x )在[0，ln a )上单调递减，又∵h (0)＝0，∴h (x )≥0不恒成立，∴a >1不合题意.综上，实数a 的取值范围为(－∞，1].类型二单变量能成立求参数范围问题例3已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln x x ，若∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围.解因为∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，则ax ≤ln x x ，即a ≤ln x x2.设h (x )＝ln x x 2，则问题转化为amax .由h ′(x )＝1－2ln x x 3，令h ′(x )＝0，得x ＝ e.当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )，h (x )随x 的变化情况如下表：x(0，e)e (e ，＋∞)h ′(x )＋0－h (x )极大值12e由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值为12e ，所以a ≤12e.故a ∞，12e .例4已知函数f (x )＝x －a ln x ，g (x )＝－1＋a x(a ∈R ).(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间；(2)若在区间[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<g (x 0)成立，求a 的取值范围.解(1)h (x )＝x ＋1＋a x－a ln x (x >0)，h ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2.①当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上h ′(x )<0，在(1＋a ，＋∞)上h ′(x )>0，所以h (x )在(0，1＋a )上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增；②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上h ′(x )>0，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增.综上所述，当a >－1时，h (x )在(0，1＋a )上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增.(2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<g (x 0)成立，即在[1，e]上存在一点x 0，使得h (x 0)<0，即函数h (x )＝x ＋1＋a x－a ln x 在[1，e]上的最小值小于零.由(1)可知：①当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，h (x )在[1，e]上单调递减，所以h (x )的最小值为h (e)，由h (e)＝e ＋1＋a e －a <0可得a >e 2＋1e －1.②当1＋a ≤1，即a ≤0时，h (x )在[1，e]上单调递增，所以h (x )的最小值为h (1)，由h (1)＝1＋1＋a <0可得a <－2.③当1<1＋a <e ，即0<a <e －1时，可得h (x )的最小值为h (1＋a ).因为0<ln(1＋a )<1，所以0<a ln(1＋a )<a .故h (1＋a )＝2＋a －a ln(1＋a )>2，此时，h (1＋a )<0不成立.综上所述，所求a 的取值范围是(－∞，－2)类型三双变量恒(能)成立求参数范围问题例5已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ，函数g (x )＝x ex ，若对∀x 1∈12，2，∃x 2∈12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，求实数a 的取值范围.解“对∀x 1∈12，2，∃x 2∈12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立”等价于“当x ∈12，2时，f ′(x )max ≤g (x )max ”.因为f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在12，2上单调递增，所以f ′(x )max ＝f ′(2)＝8＋a .而g ′(x )＝1－x ex ，由g ′(x )>0，得x <1，由g ′(x )<0，得x >1，所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.所以当x ∈12，2时，g (x )max ＝g (1)＝1e.由8＋a ≤1e ，得a ≤1e－8，所以实数a ∞，1e－8.例6已知函数f (x )＝x e x －e x ，函数g (x )＝mx －m (m >0)，若对任意的x 1∈[－2，2]，总存在x 2∈[－2，2]使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数m 的取值范围.解∵函数f (x )＝x e x －e x ＝e x (x －1)的导函数f ′(x )＝e x (x －1)＋e x ＝x e x ，∴当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝－1，又f(－2)＝－3e－2，f(2)＝e2，∴f(x)在[－2，2]上的值域为[－1，e2]，又函数g(x)＝mx－m(m>0)在[－2，2]上是增函数，∴g(x)在[－2，2]上的值域为[－3m，m].若对任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则[－1，e2]⊆[－3m，m]，∴－3m≤－1<e2≤m，解得m≥e2，即实数m的取值范围是[e2，＋∞).培优课与e x、ln x有关的不等式的证明类型一经典不等式e x≥x＋1例1证明不等式e x≥x＋1.证明设f(x)＝e x－x－1，则f′(x)＝e x－1，由f′(x)＝0，得x＝0，所以当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，即e x－x－1≥0，所以e x≥x＋1.思维升华与e x有关的常用不等式(1)e x≥1＋x(x∈R).(2)e x≥e x(x∈R).迁移求证：e x－1≥x.证明法一令H(x)＝e x－1－x，则H′(x)＝e x－1－1.若x <1，则H ′(x )<0，H (x )在(－∞，1)上单调递减；若x >1，则H ′(x )>0，H (x )在(1，＋∞)上单调递增.∴H (x )min ＝H (1)＝0，∴H (x )≥0，∴e x －1≥x .法二令t ＝x －1，则x ＝t ＋1.由e t ≥t ＋1，得e x －1≥x .类型二经典不等式ln x ≤x －1例2证明不等式ln x ≤x －1.证明由题意知x >0，令f (x )＝x －1－ln x ，所以f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以当f ′(x )>0时，x >1；当f ′(x )<0时，0<x <1，故f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )有最小值f (1)＝0，故有f (x )＝x －1－ln x ≥f (1)＝0，即ln x ≤x －1成立.迁移1证明不等式ln(x ＋1)≤x .证明由题意知x >－1，令f (x )＝ln(x ＋1)－x ，所以f ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1，所以当f ′(x )>0时，－1<x <0；当f ′(x )<0时，x >0，故f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )有最大值f (0)＝0，故有f (x )＝ln(x ＋1)－x ≤f (0)＝0，即ln(x ＋1)≤x 成立.迁移2已知x >0，求证：x 1＋x <ln(1＋x ).证明法一构造函数g (x )＝ln(1＋x )－x 1＋x，则g (0)＝0.当x >0时，g ′(x )＝11＋x －11＋x －x （1＋x ）2＝x （1＋x ）2>0.即当x >0时，函数g (x )单调递增.即g (x )>g (0)＝0.故g (x )＝ln(1＋x )－x 1＋x >0，即x 1＋x<ln(1＋x ).法二∵ln x ≤x －1，且当x ＝1时等号成立.∴ln 1x ＋1<1x ＋1－1(x >0)，即ln 1x ＋1<－x x ＋1，∴x x ＋1<ln(x ＋1).思维升华与ln x 有关的常用不等式(1)x －1x≤ln x ≤x －1(x >0，当且仅当x ＝1时，等号成立).(2)ln x ≤x e(x >0，当且仅当x ＝e 时，等号成立).(3)ln x ≤2（x －1）x ＋1(0<x ≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立).(4)ln x ≥2（x －1）x ＋1(x ≥1，当且仅当x ＝1时，等号成立).(5)ln x x ≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立).(6)ln x x ≥1，当且仅当x ＝1时，等号成立).类型三与e x 和ln x 有关的不等式例3已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.(1)解f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x.由题设知f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2).(2)证明当a ≥1e 时，f (x )≥e x e－ln x －1.设g (x )＝e x e－ln x －1(x ∈(0，＋∞))，则g ′(x )＝e x e －1x.当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0；当x ＞1时，g ′(x )＞0.所以x ＝1是g (x )的最小值点.故当x ＞0时，g (x )≥g (1)＝0.因此，当a ≥1e时，f (x )≥0.例4已知函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x (a ∈R ).(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ＝1时，证明：对任意的x >0，f (x )＋e x >x 2＋x ＋2.(1)解函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －(a －2)－a x ＝（x ＋1）（2x －a ）x，当a ≤0时，f ′(x )>0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 2，由f ′(x )<0，得0<x <a 2，∴函数f (x ).(2)证明当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，要证明f (x )＋e x >x 2＋x ＋2，只需证明e x －ln x －2>0，先证明当x >0时，e x >x ＋1，令g (x )＝e x －x －1(x >0)，则g ′(x )＝e x －1，当x >0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴当x >0时，g (x )>g (0)＝0，即e x >x ＋1，∴e x －ln x －2>x ＋1－ln x －2＝x －ln x －1.∴只要证明x －ln x －1≥0(x >0)，令h (x )＝x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x(x >0)，易知h (x )在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴h (x )≥h (1)＝0即x －ln x －1≥0成立，∴f (x )＋e x >x 2＋x ＋2成立.思维升华与e x 和ln x (x >0)有关的不等式之间的关系e x >x ＋1>x >x －1>ln x ，常用该不等式通过放缩证明一些问题.。

导数中的函数构造问题

2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》导数中的函数构造问题一、利用f (x )进行抽象函数构造(一)利用f (x )与x 构造1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u v .例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．思路点拨出现“＋”形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－4)∪(0,4)解析构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．思路点拨出现“－”形式，优先构造F (x )＝f (x )x，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．xf (x )，f (x )x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f (x )x n ， F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1；结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．思路点拨满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－1,0)∪(0,1)解析构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，所以F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利用f (x )与e x 构造1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造F (x )＝f (x )e x ，然后利用函数的单调性和数。

导数中构造函数的常见题型与方法归纳

导数中构造函数的常见题型与方法归纳高考中有一难点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型及其处理方法．题型一f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型【例1】设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是() A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)【解析】令g(x)＝f(x)x，则g′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，由题意知，当x>0时，g′(x)<0 ，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0，∴g(1)＝f(1)1＝0，∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.又∵f(x)是奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；当x∈(－1,0)时，f(x)<0.综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．【例2】设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________________．【解析】借助导数的运算法则，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，所以函数y＝f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由分析知函数y＝f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3,0)，(0,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．【小结】(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.(3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)(g(x)≠0)；(5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；(6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)x(x≠0)．题型二xf′(x)±nf(x)型【例3】设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)>x D．f(x)<x【解析】法一：令g(x)＝x2f(x)－14x4，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－x3＝x[2f(x)＋xf′(x)－x2]，当x>0时，g′(x)>0，∴g(x)>g(0)，即x2f(x)－14x4>0，从而f(x)>14x2>0；当x<0时，g′(x)<0，∴g(x)>g(0)，即x2f(x)－14x4>0，从而f(x)>14x2>0；当x＝0时，由题意可得2f(0)>0，∴f(0)>0.综上可知，f(x)>0.法二：∵2f(x)＋xf′(x)>x2，∴令x＝0，则f(0)>0，故可排除B、D，不妨令f(x)＝x2＋0.1，则已知条件2f(x)＋xf′(x)>x2成立，但f(x)>x 不一定成立，故C也是错误的，故选A.【例4】已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是()A．(－∞，1) B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)【解析】∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，∴xf′(x)＋2f(x)>0.∵g(x)＝x2f(x)，∴g(x)也是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0.∵g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )在(－∞，0)递减．若g (x )<g (1)，则|x |<1(x ≠0)，解得0<x <1或－1<x <0.故g (x )<g (1)的解集是(－1,0)∪(0,1)．【小结】(1)对于xf ′(x )＋nf (x )>0型，构造F (x )＝x n f (x )，则F ′(x )＝x n －1[xf ′(x )＋nf (x )](注意对x n －1的符号进行讨论)，特别地，当n ＝1时，xf ′(x )＋f (x )>0，构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )>0；(2)对于xf ′(x )－nf (x )>0(x ≠0)型，构造F (x )＝f (x )x n ，则F ′(x )＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1(注意对x n ＋1的符号进行讨论)，特别地，当n ＝1时，xf ′(x )－f (x )>0，构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2>0. 题型三 λf (x )±f ′(x )(λ为常数)型【例5】已知f (x )为R 上的可导函数，且∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( )A ．e 2 019f (－2 019)<f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．e 2 019f (－2 019)<f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)C ．e 2 019f (－2 019)>f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)D ．e 2 019f (－2 019)>f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)【解析】构造函数h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，即h (x )在R 上单调递减，故h (－2 019)>h (0)，即f (－2 019)e－2 019>f (0)e 0⇒e 2 019f (－2019)>f(0)；同理，h(2 019)<h(0)，即f(2 019)<e2 019·f(0)，故选D.【小结】(1)对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝e x f(x)；(2)对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x) e x.。

构造函数解决导数问题的常用模型

构造函数解决导数问题的常用模型
导数问题是微积分学中一个核心内容，在研究函数特性、求解微积分以及其他科学和工程问题时，都离不开导数的概念。

本文旨在介绍构造函数解决导数问题的常用模型，主要涉及函数极值的求解、函数构造的方法以及反函数的求解等内容。

首先，函数极值的求解是导数问题的一个重要方面，对于导数为零的函数而言，它的取值可能是最大值或最小值，而求解函数的极值可以采用微积分方法。

把函数的关于某个变量的一阶导数和二阶导数求出来，如果其中一阶导数为0，而二阶导数非0，则说明函数在此处取极值。

其次，函数构造的另一个常用模型是反函数。

导数有可能出现为0的情况，如果反函数求解的话，可以根据得出的反函数来求解函数的原解，从而解决导数问题。

比如，反函数y=f^(-1)(x)的导数就可以用f(x)来表示，它可以帮助我们求解函数的导数。

最后，构造函数解决导数问题还可以采用微分几何的方法。

导数可以用斜率来表示，如果能够找到极限值，则可以确定点(x,y)处函数的斜率，从而求解函数的导数。

利用微分几何，可以使用平面图形来求解微积分，这无疑大大方便了导数问题的求解。

总而言之，构造函数解决导数问题的常用模型，主要包括函数极值的求解、函数构造的方法以及反函数的求解，还可以采用微分几何法，其中有多种不同的方法可以供我们选择，因此，在解决导数问题时，可以根据具体情况选择合适的模型来提供有效的解决方案。

导数构造函数解决问题类型总结(解析版)

导数构造函数解决问题类型总结一、重点题型目录【题型一】构造函数x n f (x )型【题型二】构造函数e nx f (x )型【题型三】构造函数f (x )x n 型【题型四】构造函数f (x )e nx型【题型五】构造函数sin x 与函数f (x )型【题型六】构造函数cos x 与函数f (x )型【题型七】构造e n 与af (x )+bf (x )型【题型八】构造kx +b 与f (x )型【题型九】构造ln kx +b 型【题型十】构造综合型二、题型讲解总结【题型】一、构造函数x n f (x )型例1.(2022·四川·盐亭中学模拟预测(文))已知定义在0,+∞ 上的函数f x 满足2xf x +x 2f x <0，f 2 =34，则关于x 的不等式f x >3x 2的解集为( )A.0,4B.2,+∞C.4,+∞D.0,2 【答案】D【分析】构造函数h x =x 2f x ，得到函数h x 的单调性，根据单调性解不等式即可.【详解】令h x =x 2f x ，则h x =2xf x +x 2f x <0，所以h x 在0,+∞ 单调递减，不等式f x >3x 2可以转化为x 2f x >4×34=22f 2 ，即h x >h 2 ，所以0<x <2.故选：D .例2.(2022·河北·高三阶段练习)已知奇函数f x 的定义域为R ，导函数为f x ，若对任意x ∈0,+∞ ，都有3f x +xf x >0恒成立，f 2 =2，则不等式x -1 3f x -1 <16的解集是__________.【答案】-1,3【分析】构造新函数g x =x 3f x ，根据f (x )的性质推出g (x )的性质，最后利用g (x )单调性解不等式.【详解】设g x =x 3f x ，x ∈R ，f x 为奇函数，∴g -x =-x 3f (-x )=x 3f (x )=g x ，即g x 是偶函数，有g (x )=g (-x )=g x ，∵∀x ∈0,+∞ ，3f x +xf x >0恒成立，故x ∈0,+∞ 时，g x =3x 2f x +x 3f x =x 23f x +xf x ≥0，∴函数g x 在0,+∞ 上为增函数，∵f 2 =2，∴g 2 =g -2 =16，x -1 3f x -1 <16等价于g x -1 <16=g (2)，g (x -1)=g x -1 <g (2)，且函数g x 在0,+∞ 上为增函数，∴x -1 <2，解得-1<x <3.故答案为：-1,3【题型】二、构造函数e nx f (x )型例3.(2022·河南·襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数f x 的定义域为R ，其函数图象连续不断，当x >0时，x +2 f x +xf x >0，则( )A.f 1 4e >f 2 B.f 2 <0 C.f -3 ⋅f 1 >0 D.f -1 e>4f -2 【答案】D【解析】令g x =x 2e x f x ，根据导数可知其在0,+∞ 上单调递增，由g 2 >g 1 >g 0 =0可知AB 错误，同时得到f 1 e<4f 2 ，f 1 >0，f 3 >0，结合奇偶性知C 错误，D 正确.【详解】对于AB ，令g x =x 2e x f x ，则g 0 =0，g x =x x +2 e x f x +x 2e x f x ，当x ≥0时，g x =xe x x +2 ⋅f x +xf x ≥0，∴g x 在0,+∞ 上单调递增，∴g 0 <g 1 <g 2 ，即0<ef 1 <4e 2f 2 ，∴f 2 >0，f 1 4e <f 2 ，AB 错误；对于C ，由A 的推理过程知：当x >0时，g x =x 2e x f x >0，则当x >0时，f x >0，∴f 1 >0，f 3 >0，又f x 为奇函数，∴f -3 =-f 3 <0，∴f -3 ⋅f 1 <0，C 错误．对于D ，由A 的推理过程知：f 1 e <4f 2 ，又f -1 =-f 1 ，f -2 =-f 2 ，∴-f -1 e <-4f -2 ，则f -1 e>4f -2 ，D 正确．故选：D .例4.(2022·江苏·南师大二附中高二期末)已知f (x )为R 上的可导函数，其导函数为f x ，且对于任意的x ∈R ，均有f x +f x >0，则( )A.e -2021f (-2021)>f (0)，e 2021f (2021)<f (0)B.e-2021f(-2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e-2021f(-2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0)D.e-2021f(-2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)【答案】D【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数F x =e x⋅f x ,F x =f x +f x⋅e x>0，所以F x 在R上递增，所以F-2021<F0 ,F0 <F2021，即e-2021⋅f-2021<f0 ,f0 <e2021⋅f2021.故选：D例5.(2022·辽宁·大连二十四中模拟预测)已知函数y=f x ，若f x >0且f x +xf x >0，则有( )A.f x 可能是奇函数，也可能是偶函数B.f-1>f1C.π4<x<π2时，f(sin x)<e cos2x2f(cos x)D.f(0)<e f(1)【答案】D【解析】根据奇函数的定义结合f x >0即可判断A；令g x =e x22f x ，利用导数结合已知判断函数g x 的单调性，再根据函数g x 的单调性逐一判断BCD即可得解.【详解】解：若f x 是奇函数，则f-x=-f x ，又因为f x >0，与f-x=-f x 矛盾，所有函数y=f x 不可能时奇函数，故A错误；令g x =e x22f x ，则g x =xe x22f x +e x22f x =e x22xf x +f x，因为e x22>0，f x +xf x >0，所以g x >0，所以函数g x 为增函数，所以g-1<g1 ，即e 12f-1<e12f1 ，所以f-1<f1 ，故B错误；因为π4<x<π2，所以0<cos x<22，22<sin x<1，所以sin x>cos x，故g sin x>g cos x，即e sin2x2f sin x>e cos2x2f cos x，所以f sin x>e cos2x-sin2x2f cos x=e cos2x2f cos x，故C错误；有g0 <g1 ，即f0 <e f1 ，故D正确.故选：D.例6.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习)f x 是定义在R上的函数，满足2f x +f x =xe x，f-1=-12e，则下列说法错误的是( )A.f x 在R上有极大值B.f x 在R上有极小值C.f x 在R上既有极大值又有极小值D.f x 在R上没有极值【答案】ABC【分析】先由题意得f -1=0，再构造g x =e2x f x ，得到g x =xe3x，进而再构造h x =e2x f x =xe3x-2g x ，判断出h x >0，即f x >0，由此得到选项.【详解】根据题意，2f x +f x =xe x，故2f-1+f -1=-e-1，又f-1=-12e，得2-12e+f -1 =-1e，故f -1 =0，令g x =e2x f x ，则g x =2e2x f x +e2x f x =e2x2f x +f x=e2x⋅xe x=xe3x，又2e2x f x +e2x f x =xe3x，记h x =e2x f x =xe3x-2e2x f x =xe3x-2g x ，所以h x =e3x+3xe3x-2g x =e3x+3xe3x-2xe3x=e3x x+1，当x<-1时，h x <0，h x 单调递减；当x>-1时，h x >0，h x 单调递增，所以h x >h-1=e-2f -1=0，即e2x f x >0，即f x >0，所以f x 在R上单调递增，故f x 在R上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确.故选：ABC【题型】三、构造函数f(x)x n型例7.(2022·山东·潍坊一中高三期中)设函数f (x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x> 0时，xf (x)-f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(0,1)D.(-1,0)∪(1,+∞)【答案】D【分析】根据题意构造函数g(x)=f(x)x，由求导公式和法则求出g (x)，结合条件判断出g (x)的符号，即可得到函数g(x)的单调区间，根据f(x)奇函数判断出g(x)是偶函数，由f(-1)=0求出g(-1)=0，结合函数g(x)的单调性、奇偶性，再转化f(x)>0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．【详解】由题意设g(x)=f(x)x，则g (x)=xf (x)-f(x)x2∵当x>0时，有xf (x)-f(x)>0，∴当x>0时，g (x)>0，∴函数g(x)=f(x)x在(0,+∞)上为增函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(-x)=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，g(x)在(-∞,0)上递减，由f(-1)=0得，g(-1)=0，∵不等式f(x)>0⇔x∙g(x)>0，∴x>0g(x)>g(1)或x<0g(x)<g(-1)，即有x>1或-1<x<0，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是：(-1，0)∪(1，+∞)，故选：D例8.(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)已知a=ln24，b=1e2，c=lnπ2π则a，b，c的大小关系为( )A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<ae，因此f x =ln xx2在e,+∞上单调递减，又因为a=ln24=ln416=f4 ，b=1e2=ln ee2=f e ，c=lnπ2π=lnππ=fπ，因为4>e>π>e，所以a<b<c.故选：C.【题型】四、构造函数f(x)e nx型例9.(2022·陕西·西安中学高二期中)已知定义在R上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x <0，则( )A.ef2 >f1 ，f2 >ef1B.ef2 >f1 ，f2 <ef1C.ef 2 <f 1 ，f 2 <ef 1D.ef 2 <f 1 ，f 2 >ef 1【答案】D 【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数g (x )=f (x )e x ⇒g (x )=f (x )-f (x )ex ，因为f x <f x ，所以g (x )>0，因此函数g (x )是增函数，于是有g (2)>g (1)⇒f (2)e 2>f (1)e ⇒f (2)>ef (1)，构造函数h (x )=f (x )⋅e x ⇒h (x )=e x [f (x )+f (x )]，因为f x <f x <0，所以h (x )<0，因此h (x )是单调递减函数，于是有h (2)<h (1)⇒e 2f (2)<ef (1)⇒ef (2)<f (1)，故选：D例10.(2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习)f x 是定义在R 上的函数，f x 是f x 的导函数，已知f x >f x ，且f (1)=e ，则不等式f 2x -5 -e 2x -5>0的解集为( )A.-∞,-3B.-∞,-2C.2,+∞D.3,+∞【答案】D【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合函数的单调性即可求解.【详解】由f x >f x ，得f x -f x >0,设g x =f x e x ，则g x =f x -f x e x>0，所以函数g x 在-∞,+∞ 上单调递增，因为f 1 =e ，所以g 1 =f 1 e 1=1，所以不等式f 2x -5 -e 2x -5>0等价于f 2x -5 e 2x -5>1即g 2x -5 >g 1 ，所以2x -5>1，解得x >3，所以不等式f 2x -5 -e 2x -5>0的解集为3,+∞ .故选:D .例11.(2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中(理))设f x 是函数f x 的导函数，且f x >3f x x ∈R ，f 13=e (e 为自然对数的底数)，则不等式f ln x <x 3的解集为( )A.0,e 3 B.1e ,e 3 C.0,3e D.e 3,3e【答案】C【分析】构造函数g x =f x e 3x ，由已知可得函数g x 在R 上为增函数，不等式f ln x <x 3即为g ln x <g 13，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令g x =f xe3x，则gx =f x -3f xe3x，因为f x >3f x x∈R，所以g x =f x -3f xe3x>0，所以函数g x 在R上为增函数，不等式f ln x<x3即不等式f ln xx3<1 x>0，又g ln x=f ln xe3ln x=f ln xx3，g13 =f13e=1，所以不等式f ln x<x3即为g ln x<g 13 ，即ln x<13，解得0<x<3e，所以不等式f ln x<x3的解集为0,3e.故选：C.例12.(2022·河北廊坊·高三开学考试)已知定义域为R的函数f x 的导函数为f x ，且f x -f x = 2xe x，f0 =0，则以下错误的有( )A.f x 有唯一的极值点B.f x 在-3,0上单调递增C.当关于x的方程f x =m有三个实数根时，实数m的取值范围为0,4e-1D.f x 的最小值为0【答案】ABC【分析】构造g(x)=f(x)e x，结合已知求g(x)的解析式，进而可得f(x)=x2e x，再利用导数研究f(x)的极值点、单调性，并判断其值域范围，即可判断各选项的正误.【详解】令g(x)=f(x)e x，则g(x)=f (x)-f(x)e x=2x，故g(x)=x2+C，(C为常数)，所以f(x)=e x(x2+C)，而f0 =e00+C=0，故C=0，所以f(x)=x2e x，则f (x)=(x2+2x)e x，令f (x)=0，可得x=-2或x=0，在(-∞,-2)、(0,+∞)上f (x)>0，f(x)递增；在(-2,0)上f (x)<0，f(x)递减；所以f(x)有2个极值点，在-3,0上不单调，A、B错误；由x趋于负无穷时f(x)趋向于0，f(-2)=4e2，f(0)=0，x趋于正无穷时f(x)趋向于正无穷，所以f x =m有三个实数根时m的范围为0,4e-2，f x 的最小值为0，C错误，D正确；故选：ABC【题型】五、构造函数sin x 与函数f (x )型例13.(2022·云南师大附中高三阶段练习)已知a =sin111,b =331,c =ln1.1，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c 【答案】B【分析】根据结构构造函数f (x )=x -sin x ,x ∈0,π2 ，利用导数判断单调性，即可得到a f (0)=0，即111>sin 111，又331>111，故a <b ．构造函数g (x )=ln x +1-x ，则g (x )=1x-1，易知函数y =g (x )在x =1处取得最大值g (1)=0，故g 1011 <0，即ln 1011+1-1011<0，即111<-ln 1011=ln 1110=ln1.1，由前面知sin 111<111，故a <c ．构造函数h (x )=ln (x +1)-3x 3+x ，则h (x )=1x +1-9(3+x )2=(3+x )2-9(x +1)(x +1)(3+x )2=x (x -3)(x +1)(3+x )2，故知函数y =h (x )在(0,3)上单调递减，故h (0.1)<h (0)=0，即ln1.1<0.33.1=331，故c 0，则不等式f x +π2 cos 3x -14>0的解集为( )A.-π3,+∞ B.-2π3,+∞ C.-2π3,π3 D.π3,+∞ 【答案】B 【分析】令g x =f x sin 3x -14，结合题设条件可得g x 为R 上的增函数，而原不等式即为g x +π2>0，从而可求原不等式的解集.【详解】f x +π2 cos 3x -14>0可化为f x +π2 sin 3x +π2 -14>0，令g x =f x sin 3x -14，则g x =f x sin 3x +3f x sin 2x cos x =sin 2x f (x )sin x +3f x cos x ，因为3f (x )cos x +f (x )sin x >0，故g x ≥0(不恒为零)，故g x 为R 上的增函数，故f x +π2 cos 3x -14>0即为g x +π2>0，而g -π6 =f -π6 sin 3-π6 -14=f π6 sin 3-π6 -14=0，故g x +π2 >0的解为x +π2>-π6，故x >-2π3即f x +π2 cos 3x -14>0的解为-2π3,+∞ .故选：B .【题型】六、构造函数cos x 与函数f (x )型例15.已知函数f x 的定义域为-π2,π2，其导函数是f (x ).有f (x )cos x +f (x )sin x <0，则关于x 的不等式3f (x )<2f π6cos x 的解集为()A.π3,π2 B.π6,π2 C.-π6,-π3 D.-π2,-π6【答案】B【分析】令F x =f x cos x ，根据题设条件，求得F 'x <0，得到函数F x =f x cos x 在-π2,π2内的单调递减函数，再把不等式化为f x cos x <f π6 cos π6，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数f x 满足f 'x cos x +f x sin x <0，令F x =f x cos x ，则F 'x =f 'x cos x +f x sin x cos 2x<0函数F x =f x cos x 是定义域-π2,π2内的单调递减函数，由于cos x >0，关于x 的不等式3f (x )<2f π6 cos x 可化为f x cos x <f π6 cos π6，即F x <F π6 ，所以-π2<x <π2且x >π6，解得π2>x >π6，不等式3f (x )<2f π6 cos x 的解集为π6,π2 .故选：B 例16.(2021·重庆·高二期末)已知f x 的定义域为(0,+∞)且满足f x >0，f x 为f x 的导函数，f x -f x =e x (x +cos x )，则下列结论正确的是( )A.f x 有极大值无极小值B.f x 无极值C.f x 既有极大值也有极小值D.f x 有极小值无极大值【答案】B【解析】令F x =f xe x，根据题意得到Fx =x+cos x，设g x =x+cos x,x>0，利用导数求得g x 在区间(0,+∞)单调递增，得到F x >0，由f x =e x⋅F x ，得到f x >0，即函数f x 为单调递增函数，得到函数无极值.【详解】令F x =f xe x,x>0，可得F x =f x -f xe x，因为f x -f x =e x(x+cos x)，可得F x =x+cos x，设g x =x+cos x,x>0，可得g x =1-sin x≥0，所以g x 在区间(0,+∞)单调递增，又由g0 =1，所以g x >g0 =1，所以F x >0，所以F x 单调递增，因为f x >0且e x>0 ，可得F x >0，因为F x =f xe x，可得f x =ex⋅F x ,x>0，则f x =e x F x +F x>0，所以函数f x 为单调递增函数，所以函数f x 无极值.故选：B.【题型】七、构造e n与af(x)+bf(x)型例17.(2022·陕西·西安中学高二期中)已知定义在R上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x < 0，则( )A.ef2 >f1 ，f2 >ef1B.ef2 >f1 ，f2 <ef1C.ef2 <f1 ，f2 <ef1D.ef2 <f1 ，f2 >ef1【答案】D【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数g(x)=f(x)e x⇒g (x)=f (x)-f(x)e x，因为f x <fx ，所以g (x)>0，因此函数g(x)是增函数，于是有g(2)>g(1)⇒f(2)e2>f(1)e⇒f(2)>ef(1)，构造函数h(x)=f(x)⋅e x⇒h (x)=e x[f(x)+f (x)]，因为f x <f x <0，所以h (x)<0，因此h(x)是单调递减函数，于是有h(2)<h(1)⇒e2f(2)<ef(1)⇒ef(2)<f(1)，故选：D例18.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知函数f x =ax-e x-k，其中e为自然对数的底数，若k∈-1,e2时，函数f x 有2个零点，则实数a的可能取值为( )A.eB.2eC.e 2D.3e【答案】D【分析】由题意可知方程ax -e x =k ,k ∈-1,e 2 有两个实数根，令g (x )=ax -e x ，则g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，结合导数分析函数g (x )的单调性与极值情况即可解决问题．【详解】由题意可知方程ax -e x =k ,k ∈-1,e 2 有两个实数根，令g (x )=ax -e x ，则g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，g (x )=a -e x ．(1)若a ≤0,g (x )<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上单调递减，g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 至多只有一个交点，不合题意；(2)若a >0，当x <ln a 时，g (x )>0，当x >ln a 时，g (x )<0，所以g (x )的单调递增区间是(-∞,ln a )，单调递减区间是(ln a ,+∞)，所以当x =ln a 时，g (x )取得极大值，也是最大值，为a ln a -a ．当x →-∞时，g (x )→-∞，当x →+∞时，g (x )→-∞，所以要使g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，只需a ln a -a >e 2．a ln a -a =a (ln a -1)，当0<a ≤e 时，a ln a -a ≤0，当a >e 时，a ln a -a >0，所以a ln a -a >e 2,a >e ，设h (a )=a ln a -a ,a >e ，则h (a )=ln a >0，所以h (a )在(e ,+∞)上单调递增，而h e 2 =e 2，所以a ln a -a >e 2的解为a >e 2，而3e >e 2，故选：D ．例19.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的偶函数y =f (x )的导函数为y =f (x )，当x >0时，f (x )+f (x )x <0，且f (2)=-3，则不等式f (2x -1)<-62x -1的解集为( )A.-∞,12 ∪32,+∞ B.32,+∞C.12,32D.-12,12 ∪12,32【答案】A【分析】根据题干中的不等式，构造函数F x =xf x ，结合y =f (x )在在R 上为偶函数，得到F x =xf x 在R 上单调递减，其中F 2 =2f 2 =-6，分x >12与x <12，对f (2x -1)<-62x -1变形，利用函数单调性解不等式，求出解集.【详解】当x >0时，f(x )+f (x )x =xf (x )+f (x )x<0，所以当x >0时，xf (x )+f (x )<0，令F x =xf x ，则当x >0时，F x =xf (x )+f (x )<0，故F x =xf x 在x >0时，单调递减，又因为y=f(x)在在R上为偶函数，所以F x =xf x 在R上为奇函数，故F x =xf x 在R上单调递减，因为f(2)=-3，所以F2 =2f2 =-6，当x>12时，f(2x-1)<-62x-1可变形为2x-1f(2x-1)<-6，即F2x-1<F2 ，因为F x =xf x 在R上单调递减，所以2x-1>2，解得：x>3 2，与x>12取交集，结果为x>32；当x<12时，f(2x-1)<-62x-1可变形为2x-1f(2x-1)>-6，即F2x-1>F2 ，因为F x =xf x 在R上单调递减，所以2x-1<2，解得：x<3 2，与x<12取交集，结果为x<12；综上：不等式f(2x-1)<-62x-1的解集为-∞,12∪32,+∞.故选：A例20.(2022·全国·高三阶段练习(理))已知函数f x =x3-x+2+e x-e-x，其中e是自然对数的底数，若f a-2+f a2>4，则实数a的取值范围是( )A.-2,1B.-∞,-2C.1,+∞D.-∞,-2∪1,+∞【答案】D【分析】构造函数g(x)=f x -2，利用奇偶性的定义、导数的符号变化判定其奇偶性和单调性，再将f (a-2)+f(a2)>4变为g(a-2)>g(-a2)，利用g(x)的单调性进行求解.【详解】构造函数g(x)=f x -2=x3-x+e x-e-x，因为g(x)的定义域为(-∞,+∞)，且g-x= -x3--x+e-x-e x=-x3+x-e x+e-x=-(x3-x+e x-e-x)=-g(x)，即g(x)是奇函数，又g x =3x2-1+e x+e-x≥3x2-1+2e x⋅e-x=3x2+1>0，所以g(x)在 (-∞,+∞)上单调递增；因为f(a-2)+f(a2)>4，所以f(a-2)-2>-[f(a2)-2]，即g(a-2)>-g(a2)，即g(a-2)>g(-a2)，所以a-2>-a2，即a2+a-2>0，解得a>1或a<-2，即a∈(-∞,-2)∪(1,+∞).故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的性质解决不等式问题时，往往要利用题干中的表达式或不等式的结构特点合理构造函数，如本题中，构造函数g(x)=f x -2，将问题转化为利用函数的奇偶性和单调性求g(a-2)>-g(a2)的解集.【题型】八、构造kx+b与f(x)型例21.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知定义在0,+∞上的函数f x 的导函数为f x ，若f x < 2，且f4 =5，则不等式f2x>2x+1-3的解集是( )A.0,2B.0,4C.-∞,2D.-∞,4【答案】C【分析】根据所求不等式f2x>2x+1-3的形式，构造函数g x =f x -2x+3，利用题目中的条件判断出g x 在0,+∞上单调递减，进而将所求转化为g2x>g4 ，再利用单调性求出解集．【详解】设g x =f x -2x+3，则g x =f x -2．因为f x <2，所以f x -2<0，即g x <0，所以g x 在0,+∞上单调递减．不等式f2x>2x+1-3等价于不等式f2x-2×2x+3>0，即g2x>0．因为f4 =5，所以g4 =f4 -2×4+3=0，所以g2x>g4 ．因为g x 在0,+∞上单调递减，所以2x<4，解得x<2．故选：C．例22.(2022·河南·襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数f x 的定义域为R，其函数图象连续不断，当x>0时，x+2f x +xf x >0，则( )A.f14e>f2 B.f2 <0 C.f-3⋅f1 >0 D.f-1e>4f-2【答案】D【解析】令g x =x2e x f x ，根据导数可知其在0,+∞上单调递增，由g2 >g1 >g0 =0可知AB错误，同时得到f1e<4f2 ，f1 >0，f3 >0，结合奇偶性知C错误，D正确.【详解】对于AB，令g x =x2e x f x ，则g0 =0，g x =x x+2e xf x +x2e x f x ，当x≥0时，g x =xe x x+2⋅f x +xf x≥0，∴g x 在0,+∞上单调递增，∴g0 <g1 <g2 ，即0<ef1 <4e2f2 ，∴f2 >0，f14e<f2 ，AB错误；对于C，由A的推理过程知：当x>0时，g x =x2e x f x >0，则当x>0时，f x >0，∴f1 >0，f3 >0，又f x 为奇函数，∴f-3=-f3 <0，∴f-3⋅f1 <0，C错误．对于D，由A的推理过程知：f1e<4f2 ，又f-1=-f1 ，f-2=-f2 ，∴-f-1e<-4f-2，则f-1e>4f-2，D正确．故选：D.【题型】九、构造ln kx+b型例23.(2023·全国·高三专题练习)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf x +1>0,f2 =ln 12，则不等式f(e x)+x>0的解集为( )A.(0，2ln2)B.(0,ln2)C.(ln2，1)D.(ln2，+∞)【答案】D【分析】构造新函数g(x)=f(x)+ln x,(x>0)，利用导数说明其单调性，将f(e x)+x>0变形为g(e x) >g(2)，利用函数的单调性即可求解.【详解】令g(x)=f(x)+ln x,(x>0) ，则g (x)=f (x)+1x=xf x +1x，由于xf x +1>0,故g (x)>0,故g(x)在(0，+∞)单调递增，而g(2)=f(2)+ln2=ln 12+ln2=0 ，由f(e x)+x>0，得g(e x)>g(2) ，∴e x>2 ，即x>ln2 ,∴不等式f(e x)+x>0的解集为(ln2，+∞),故选：D．例24.(2022·河南·高三阶段练习(理))设a=cos 12，b=78，c=ln158，则a，b，c之间的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<cb，从而得出答案.【详解】构造函数g x =ln x+1-x，x>-1，则g x =1x+1-1=-xx+1，当-1<x<0时，g x >0，g x 单调递增，当x>0时，g x <0，g x 单调递减，∴g x ≤g 0 =0，∴ln x +1 ≤x (当x =0时等号成立)，∴ln 158=ln 78+1 <78，则c 0，φx 单调递增，∴φx >φ0 =0，∴f x >0，f x 单调递增，从而f x >f 0 =0，∴f 12 >0，即cos 12>1-12⋅122=78，则a >b ．∴c π4，则sin A >22，命题q :∀x >-1，x ≥ln (x +1).下列复合命题正确的是( )A.p ∧q B.(¬p )∧(¬q )C.(¬p )∧qD.p ∧(¬q )【答案】C【分析】命题p 可举出反例，得到命题p 为假命题，构造函数证明出q :∀x >-1，x ≥ln (x +1)成立，从而判断出四个选项中的真命题.【详解】在△ABC 中，若A =5π6，此时满足A >π4，但sin A =12<22，故命题p 错误；令f x =x -ln x +1 ,x >-1，则f x =1-1x +1=xx +1，当x >0时，f x >0，当-1<x <0时，f x <0，所以f x 在x >0上单调递增，在-1<x <0上单调递减，所以f x 在x =0处取得极小值，也是最小值，f 0 =0-ln 0+1 =0，所以q :∀x >-1，x ≥ln (x +1)成立，为真命题；故p ∧q 为假命题，(¬p )∧(¬q )为假命题，(¬p )∧q 为真命题，p ∧(¬q )为假命题.故选：C【题型】十、构造综合型例26.(2022·全国·高三阶段练习(理))下列命题为真命题的个数是( )①log 32>23；②e lnπ<π；③sin 12>2348；④3e ln2<4 2.A.1 B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用指数式与对数的互化、对数函数的单调性推得①错误；构造函数f x =ln xx，利用导数研究其单调性和最值，进而判定②④正确；构造函数h(x)=sin x-x+16x3，x∈0,π2，利用二次求导确定其单调性，利用h 12 >h(0)得到③正确.【详解】对于①：若log32>23，则2>323，即8>9，显然不成立，故①错误；对于②：将e lnπ<π变为lnππ<ln ee，构造f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，则当0<x<e时，f x >0，x>e时，f x <0，所以f x =ln xx在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，则x=e时，f x 取得最大值1 e，由fπ <f e 得lnππ<ln ee，即e lnπ<π成立，故②正确；对于③：令h(x)=sin x-x+16x3，x∈0,π2，则g x =h x =cos x-1+12x2，t x =g x =-sin x+1，因为t x =g x =-sin x+1>0在0,π2成立，所以g x =h x =cos x-1+12x2在0,π2上单调递增，又g(0)=cos0-1+0=0，所以g x =h x >0在0,π2上成立，即h(x)=sin x-x+16x3在在0,π2上单调递增，所以h 12 >h(0)，即sin12-2348>0，即sin12>2348，故③正确；对于④：将3e ln2<42变为ln2222<ln e e，由②得f22<f e ，即ln2222<ln e e，即3e ln2<42成立，故④正确；综上所述，真命题的个数为3.故选：C.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性解决不等式问题时，往往要利用题干中的不等式的结构特点合理构造函数，如本题中证明e lnπ<π、3e ln2<42构造函数f x =ln xx，证明sin12>2348构造h(x)=sin x -x +16x 3，x ∈0,π2，将问题转化为利用导数研究函数的单调性问题.例27.(2022·江苏·南京师大附中高三期中)已知函数f x =ln x -ax 2，则下列结论正确的有( )A.当a <12e 时，y =f x 有2个零点B.当a >12e 时，f x ≤0恒成立C.当a =12时，x =1是y =f x 的极值点D.若x 1,x 2是关于x 的方程f x =0的2个不等实数根，则x 1x 2>e 【答案】BCD【分析】对于A 和B ，由f x =0可得a =ln x x 2，令g x =ln xx 2，利用导数得到g x 的单调性和最值情况即可判断；对于C ，将a =12代入f x ，利用导数得到f x 的单调性即可判断；对于D ，问题转化为2at =ln t 有两个零点，证明t 1t 2>e 2，进而只需要证明ln t 1+ln t 2>2，也即是ln t 1t 2>2t1t 2-1 t 1t 2+1，从而令m =t 1t 2>1，构造函数s m =ln m -2m -1 m +1m >1 求出最值即可【详解】对于A ，令f x =ln x -ax 2=0即a =ln xx 2，令g x =ln x x 2,x >0，则g x =1x⋅x 2-ln x ⋅2x x 2 2=1-2ln x x 3，令g x =0，解得x =e ，故当x ∈0,e ，g x >0，g x 单调递增；当x ∈e ,+∞ ，g x <0，g x 单调递减；所以g x 的最大值为g e =12e，又因为当x <1时，g x =ln x x 2<0；当x >1时，g x =ln xx 2>0，故g x 如图所示，当0<a <12e时，函数y =a 与g x 有两个交点，此时y =f x 有2个零点，故A 错误；对于B ，由A 选项可得g x =ln x x2≤12e ，当a >12e 时，由a >ln xx 2，可整理得ln x -ax 2<0，即f x <0，故B 正确；对于C ，将a =12代入f x 得f x =ln x -12x 2,x >0，所以f x =1x -x =1-x 2x，令f x =0，解得x =1，故当x ∈0,1 ，f x >0，f x 单调递增；当x ∈1,+∞ ，f x <0，f x 单调递减；所以x=1是y=f x 的极大值点，故C正确；对于D，由f x =ln x-ax2=0即ax=ln x x，因为x1,x2是关于x的方程f x =0的2个不等实数根，所以ax1=ln x1x1ax2=ln x2x2，即2ax21=ln x212ax22=ln x22，所以等价于：2at=ln t有两个零点，证明t1t2>e2，不妨令t1>t2>0，由2at1=ln t12at2=ln t2⇒2a=ln t1-ln t2t1-t2，要证t1t2>e2，只需要证明ln t1+ln t2>2，即只需证明：ln t1+ln t2=2a t1+t2=t1+t2ln t1-ln t2t1-t2>2，只需证明：ln t1-ln t2>2t1-t2t1+t2，即lnt1t2>2t1t2-1t1t2+1，令m=t1t2>1，只需证明：ln m>2m-1m+1m>1，令s m=ln m-2m-1m+1m>1，则s m=m-12m m+12>0，即s m在1,+∞上为增函数，又s1 =0，所以s m>s1 =0．综上所述，原不等式成立，即x1x2>e成立，故D正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．例28.(2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习)已知函数f x 的定义域是0,+∞，f x 是f x 的导数，若f x =xf x -x，f 1 =1，则下列结论正确的是( )A.f x 在0,1e上单调递减 B.f x 的最大值为eC.f x 的最小值为-1eD.存在正数x0，使得f x0<ln x0【答案】AC【分析】构造g x =f xx，得到g x =1x，从而得到g x =ln x+c，结合f 1 =1，得到f x =x ln x，求导得到f x =ln x+1，从而得到函数的单调性和极值，最值情况，判断出ABC选项；解不等式x-1ln x<0得到解集为∅，故D错误.【详解】由f x =xf x -x得f x =f xx+1，设g x =f xx，则g x =xf x -f xx2=xf xx+1-f xx2=1x.设c为常数，则ln x+c=1 x，∴g x =ln x+c，∴f x =xg x =x ln x+cx.∵f 1 =1，∴f1 =0，∴c=0，所以f x =x ln x，∴f x =ln x+1.当0<x<1e时，f x <0，f x 单调递减，当x>1e时，f x >0，f x 单调递增.∵f 1e =0，∴f x 在x=1e时取得极小值，也是最小值-1e，f x 无最大值.∴A正确，B错误，C正确，由f x <ln x得x ln x<ln x，∴x-1ln x<0.当0<x<1时，x-1<0，ln x<0，x-1ln x>0.当x=1时，x-1ln x=0.当x>1时，x-1>0，ln x>0，x-1ln x>0.因此不等式x-1ln x<0即f x <ln x的解集是∅.所以D错误.故选：AC【点睛】当条件中出现类似f x =xf x -x的条件时，通常要构造函数来解决问题，本题中的难点是利用f x =f xx+1来构造g x =f xx，从而结合f 1 =1求出f x =x ln x.例29.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x e x+1,g x =x+1ln x，若f x1=g x2>0，则x2x1可取( )A.1B.2C.eD.e2【答案】CD【分析】由g x =x+1ln x=ln x e ln x+1，利用同构结合f x 在(0,+∞)上单调递增，即可得到x1=ln x2，则x2x1=e x1x1,x1>0，记h(x)=e xx,(x>0)，求出h (x)即可判断h(x)在(0,+∞)上的单调性，即可得出x2x1≥e，由此即可选出答案.【详解】因为f x1=g x2>0，所以x1>0,x2>1，因为f x =e x+1+xe x=(x+1)e x+1>0恒成立，所以f x 在(0,+∞)上单调递增，又g x =x+1ln x=ln x e ln x+1，因为f x1=g x2，即x1e x1+1=ln x2e ln x2+1，所以x1=ln x2⇒x2=e x1，所以x2x1=e x1x1,x1>0，记h(x)=e xx,(x>0)，所以h (x)=e x(x-1)x2当0<x<1时，h (x)<0，h(x)单调递减，当x>1时，h (x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)≥h(1)=e，即x2x1≥e故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将g x =x+1ln x=ln x e ln x+1变形为f x =x e x+1的结构，是解本题的关键.。

导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法

导数和数列不等式的综合问题解决技巧之构造函数法1．已知曲线．从点向曲线引斜率为22:20(1,2,)n C x nx y n -+== (1,0)P -n C 的切线，切点为．(0)n n k k >n l (,)n n n P x y （1）求数列的通项公式； {}{}n n x y 与（2）证明：．13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅<<A A A A 【解析】曲线是圆心为，半径为的圆， 222:()n C x n y n -+=(,0)n n 切线 :(1)n n l y k x =+ （Ⅰ，解得，又，n =2221n n k n =+2220n n n x nx y -+= 联立可解得， (1)n n ny k x =+,1n n n x y n ==+（Ⅱ=n n x y = 先证：， 13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅< 证法一：利用数学归纳法当时，，命题成立， 1n =112x =<假设时，命题成立，即 n k =13521kx x x x -⋅⋅⋅⋅< 则当时，1n k =+135212121k kk x x xx x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵， 2222416161483k kk k ++=>++．<=∴当时，命题成立，故成立． 1n k =+13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-nnnnnnnnnnn xxnnnnnxxxx+-=+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-1112112125331212432112531<不妨设，令，t=()f t t t=则在上恒成立，故在上单调递减，()10f tt'=<t∈()f t t t=t∈从而()(0)0f t t t f=-<=<综上，成立．13521nnnxx x x xy-⋅⋅⋅⋅<<2．设函数表示的导函数．2()2(1)ln(),()kf x x x k N f x*'=--∈()f x（I）求函数的单调递增区间；()y f x=（Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；na2111,()3n n na a f a a+'==-2na （Ⅲ）当k为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式()12nb f n n'=-{}n b n n S对一切正整数均成立，并比较与的大小．()111n bnb e++>n20091S-2009ln解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又，212[(1)]()22(1)kkxy f x xx x--''==--=当k为奇数时，，122(1)()xf xx+'=即的单调递增区间为．(0,),()0(0,)x f x'∈+∞∴>+∞在恒成立.()f x'(0,)+∞当k为偶函数时，222(1)2(1)(1)()x x xf xx x-+-'==(0,),0,10,x x x∈+∞>+>又由，得，即的单调递增区间为，()0f x'>10,1x x->∴>()f x(1,)+∞综上所述：当k 为奇数时，的单调递增区间为， ()f x (0,)+∞当k 为偶数时，的单调递增区间为()f x (1,).+∞（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知，所以22(1)()x f x x-'=22(1)().n n n a f a a -'=根据题设条件有 2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+∴{}是以2为公比的等比数列， 21n a +∴ 221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=-（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+ 11111(),1.223n n b f n n S n n'∴=-= =+++⋅⋅⋅+由已知要证两边取对数，即证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭事实上：设则 11,t n+=1(1),1n t t =>-因此得不等式 …………………………………………① 1ln 1(1)t t t>->构造函数下面证明在上恒大于0．1()ln 1(1),g t t t t=+->()g t (1,)+∞∴在上单调递增，即211()0,g t t t '=->()g t (1,)+∞()(1)0,g t g >=1ln 1,t t>-∴ ∴即成立．11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭()111n b n b e ++>由得 11ln,1n n n +>+111231ln ln ln ln(1),23112n n n n +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即当时， 11ln(1),n S n +-<+2008n =20091S -<2009.ln3．已知，函数． 0a >1()ln xf x x ax-=+（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为，求证：n S 111()(2)n n nS f n S n N n n---<-<∈*≥且解：（Ⅰ）的定义域为，，由得． ()f x ()0,+∞21()ax f x ax -'=()0f x '=1x a=当时，，递减； 1(,x a a∈()0f x '<()f x 当时，，递增． 1(,)x a∈+∞()0f x '>()f x所以不是定义域上的单调函数．()y f x =（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立． ()f x x ∈[1,)+∞()0f x '≥1a x≥即．1max,[1,)a x x ⎧⎫≥ ∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数， 1a =1()ln xf x x x-=+[1,)+∞ 111()ln ln ,n n nf n n n n n n----=+-= 又当时，，，即．1x >()(1)f x f >1ln 0x x x -∴+>1ln 1x x>- 令则，当时，()1ln ,g x x x =--1()1g x x'=-(1,)x ∈+∞()0.g x '>从而函数在上是递增函数， ()g x [1,)+∞所以有即得()(1)0,g x g >=1ln .x x -> 综上有： 11ln 1,(1).x x x x-<<->111ln .1x x x x+∴<<+ 令时，不等式也成立，1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且111ln .1x x x x+∴<<+ 于是代入，将所得各不等式相加，得1112311...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++--即 11111...ln 1. (2321)n n n +++<<+++-即 111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且4．设函数．（是自然对数的底数）()(1),()x f x e x g x e =-=e （Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由； ()()()H x f x g x =-（Ⅱ）设数列满足：，且 {}n a 1(0,1)a ∈1()(),,n n f a g a n N *+=∈①求证：；②比较与的大小．01n a <<n a 1(1)n e a +-解：（Ⅰ），令 ()(1)x H x e e '=--0()0,ln(1)H x x e '= =- 当时，在上是增函数 0(,)x x -∞()0,H x '> ()H x 0(,)x x -∞ 当时，在上是减函数 0(,)x x +∞()0,H x '< ()H x 0(,)x x +∞ 从而max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x H x H e x e e e e ==-+-=---+注意到函数在上是增函数， ()ln 1k t t t t =-+[)1,+∞ 从而从而 ()(1)0,11k t k e ≥=->又0()0H x > 综上可知：有两个零点．()H x （Ⅱ）因为即，所以 1()(),n n f a g a +=1(1)1na n e a e +-+=11(1)1n a n a e e +=-- ①下面用数学归纳法证明．当时，，不等式成立． (0,1)n a ∈1n =1(0,1)a ∈ 假设时，那么 n k =(0,1)k a ∈11(1)1k a k a e e +=--1011kka a e e e e << ∴<-<- 即 10(1)11k a e e ∴<-<-1(0,1)k a +∈ 这表明时，不等式成立．所以对， 1n k =+n N *∈(0,1)n a ∈②因为，考虑函数1(1)1na n n n e a a e a +--=--()1(01)x p x e x x =-- << ，从而在上是增函数()10x p x e '=->()p x (0,1)()(0)0p x p >=所以，即1(1)0n n e a a +-->1(1)n n e a a +->5．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列． {}n a n S n n N *∈2,,n n n a S a （1）求数列的通项公式；{}n a（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，{}n b n n T 2ln n n nxb a =(1,](x e e ∈e=2．71828…）和任意正整数，总有；n 2n T <（3）在正数数列中，．求数列中的最大项． {}n c 11(),()n n n a c n N +*+=∈{}n c 解：由已知：对于，总有成立 (1)n N *∈22n n n S a a =+ (2)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+-- 111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-均为正数，1,n n a a - 11(2)n n a a n -∴-=≥ 数列是公差为1的等差数列∴{}n a 又时，，解得，1n =21112S a a =+11a =()n a n n N *∴=∈（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有(]1,x e ∈n 22ln 1n n n x b a n=≤222111111...1...121223(1)n T n n n∴≤+++<++++⋅⋅-⋅1111111(1() (22223)1n n n ⎛⎫=+-+-++-=-<⎪-⎝⎭（3）解：由已知22112a c c ==⇒= ，33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得55445a c c ==⇒=12234,......c c c c c <>>> 猜想时，是递减数列2n ≥{}n c令，则 ln ()x f x x=221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==当时，，则，即 ∴3x ≥ln 1x >1ln 0x -<()0f x '< 在内为单调递减函数， ∴()f x [)3,+∞由知 11n n n a c ++=ln(1)ln 1n n c n +=+ 时，是递减数列，即是递减数列 2n ∴≥{}ln n c {}n c又，数列中的最大项为12c c <∴{}n c 2c =6．已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数的极值点；()()2()F x f x g x =-⋅（2）若函数在上有零点，求的最小值；()()2()F x f x g x =-⋅),()te t Z ⎡+∞∈⎣t （3）证明：当时，有成立；0x >[]1()1()g x g x e +<（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相1(1)()()g n n b g n n N *+=∈{}n b ()n m b b m n =≠等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．e 解：（1）由题意，的定义域为23()ln 228F x x x x =++-(0,)+∞,函数的单调递增区间为和， (32)(2)()4x x F x x --'=∴()F x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦[)2,+∞的单调递减区间为，()F x 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以为的极大值点，为的极小值点，23x =()F x 2x =()F x （2）在上的最小值为 ()F x 2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭(2)F且，在上没有零点， 23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只∴()F x ),te ⎡+∞⎣()F x 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦须且即可，23t e <()0F t ≤易验证 121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当时均有所以函数在上有零点， 2,t t Z ≤∈()0,t F e <()F x )1,()t e e t Z -⎡∈⎣即函数在上有零点，的最大值为()F x ),()te t Z ⎡+∞∈⎣t ∴2-（3）证明：当时，不等式0x >[]1()1()g x g x e +<即为： 11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+<构造函数则 ()ln(1)(0),h x x x x =+->1()10,11x h x x x-'=-=<++所以函数在上是减函数，因而时， ()h x (0,)+∞0x >()(0)0,h x h <=即：时，成立，所以当时，成立；0x >ln(1)x x +<0x >[]1()1()g x g x e +<（4）因为 1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1n n n n n n n n n n n b n n e n n b n b n n n n n++++++++++++===⋅+<<令，得， 23(1)1n n+<2330n n -->因此，当时，有4n ≥(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当时，，即 4n ≥1n n b b +>456...b b b >>>又通过比较的大小知：， 1234b b b b 、、、1234b b b b <<<因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项11,b =1n ≠111,n n b n +=≠{}n b 23b b 、可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项， 11113964283528,35b b b b ====>={}n b 即．28b b =7．在数列中， {}n a 12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列为等差数列； }2{nn a（II ）若m 为正整数，当时，求证：． 2n m ≤≤1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤解：（I ）由变形得：1122+++=n n n a a 122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即故数列是以为首项，1为公差的等差数列 }2{nn a121=a （II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅= m m n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令mn m nn m n f n m n f 123()()1(,23()1()(+⋅-=+⋅+-=则当mn m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时m m m n m 11)32()211(32()11(⋅-+≥⋅-+=又 23221211211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 123(211>-+∴则为递减数列． )(,1)1()(n f n f n f 则>+当m=n 时，递减数列．)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴ mm m m f x f m m 1)1(49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证要证：时，2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证49221212212122122)1(121111(22010=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．（法二）由（I ）得n n n a 2⋅= mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m xm x则上单调递减． ],2[)(0)(',11,2m x f x f mx m m x 在即<∴<+-∴≤≤ ∴ mm m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证也即证，时而2,)11(149≥+≤m mm49221212212122122)1(121111(22210=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．。

导数中的构造函数方法

导数中的构造函数方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在其中一点上的变化率。

构造函数方法是一种在解析导数时使用的技巧，通过构造一个函数来分析导数的性质。

下面将详细介绍导数中的构造函数方法。

构造函数方法的基本思想是通过构造一个辅助函数来研究原函数的性质。

这个辅助函数可以是原函数的函数值、斜率、面积等。

下面我们将分别介绍几种常见的构造函数方法。

1.构造原函数的函数值：这种方法适用于已知函数在一些特殊点的函数值的情况。

比如，已知函数在其中一点的函数值为1，我们可以构造一个辅助函数f(x)=f(x)-1，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。

2.构造原函数的斜率：这种方法适用于已知函数在一些特殊点的斜率的情况。

比如，已知函数在其中一点的斜率为2，我们可以构造一个辅助函数f(x)=2x-f(x)，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。

3.构造原函数的面积：这种方法适用于已知函数在一定范围内的面积的情况。

比如，已知函数在区间[a, b]内的面积为1，我们可以构造一个辅助函数f(x)=∫abf(t)dt-1，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。

构造函数方法的使用需要注意以下几点：1.构造函数需要满足可导性：为了能够对辅助函数求导，构造的函数必须满足可导的条件。

因此，在构造函数的过程中需要确保函数在所研究区间内是可导的。

2.构造函数要反映原函数的性质：辅助函数的形式和原函数的性质应该有一定的关联，这样才能够通过对辅助函数求导来研究原函数的性质。

3.构造函数方法的局限性：构造函数方法是一种辅助手段，用于求解导数时的特殊情况。

并不是所有的导数问题都适用构造函数方法，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。

总结起来，构造函数方法是一种在解析导数时使用的技巧，通过构造一个辅助函数来研究原函数的性质。

通过构造原函数的函数值、斜率、面积等来分析导数的性质，可以帮助我们更好地理解导数的概念和应用。

然而，构造函数方法并不是通用的求导方法，只能用于特定情况下，因此在实际应用中需要灵活选择合适的方法。

构造函数法解决导数不等式问题(一)

－π4，0．故选 C．
(2)对任意的 x∈0，π2，不等式 f(x)tanx<f′(x)恒成立，则下列不等式错误的是( )
A．f π3>
2f
π 4
B．f π3>2f(1)cos 1
C．2f(1)cos1>
2f
π 4
D．
2f π4<
3f
π 6
答案 D 解析因为 x∈0，π2，所以 sin x>0，cos x>0，构造函数 F(x)＝f(x)cos x，
(6)已知定义域为 R 的奇函数 y＝f(x)的导函数为 y＝f′(x)，当 x＞0 时，xf′(x)－f(x)＜0，
若 a＝f(ee)，b＝f(llnn22)，c＝f(－－33)，则 a，b，c 的大小关系正确的是(
)
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．c＜a＜b
答案 D 解析设 g(x)＝f(xx)，则 g′(x)＝xf′(x)x－2 f(x)，当 x＞0 时，xf′(x)－f(x)＜0，则 g′(x) ＝xf′(x)x－2 f(x)＜0，即函数 g(x)在 x∈(0，＋∞)时为减函数．由函数 y＝f(x)为奇函数知 f(－3) ＝－f(3)，则 c＝f(－－33)＝f(33)．∵a＝f(ee)＝g(e)，b＝f(llnn 22)＝g(ln 2)，c＝f(33)＝g(3)且 3＞e＞ln
则 F′(x)＝－f(x)sinx＋f′(x)cos x，因为对任意的 x∈0，π2，不等式 f(x)tan x<f′(x)恒成立，所
以 f(x)sin x<f′(x)cos x 恒成立，即 f′(x)cos x－f(x)sinx>0 恒成立，所以 F′(x)>0 恒成立，所以

导数应用中的函数构造技巧

C.e2f(2)≥e3f(3)
D.e2f(2)≤e3f(3)
答案 A
解析令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所
以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.
[例2-4]若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的
又f(2)=0,则F(-2)=F(2)=0,于是xf(x)>0可化为F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),
则x<-2或0<x<2.故选D.
[例2-2](2021·河北正定一中模拟)设f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,且满足
xf'(x)-2f(x)>0,若△ABC是锐角三角形,则(
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
a
ln ln4
, 4

=
设函数
3
ln ln5
, 5

b
=
ln
f(x)= ,则
4
c
5
ln3
c,因此 3
=
ln
.

f(3)=f(a),f(4)=f(b),f(5)=f(c),由于
1-ln
f'(x)= 2 ,令
f'(x)=0,得
x=e,所以f(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,因为
π
3
<
,即
6
π

3
4
,f

导数中的构造函数(最全精编)

1、利用 f (x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x ),f (x ) ；这类形式是对u ⋅ v , u型数导数计算的推广及应用，我们对u ⋅ v , u的导函数观察可得知， u ⋅ v 型导函数中体现的是“ + ”法， u型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u ⋅ v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造 u，我们根据得出的“优先”原则，看一看例 1，例 2.【例 1】 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，且 f (-4) = 0 ，则不等式 xf (x ) > 0 的解集为【解析】构造 F (x ) = xf (x ) ，则 F ' (x ) = f (x ) + xf ' (x ) ，当 x < 0 时，f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为奇函数， ∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减. 根据 f (-4) = 0 可得F (-4) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x ) > 0 的解集为(-∞,-4) ⋃ (0,4) .❀❀❀思路点拨：出现“ + ”形式，优先构造 F (x ) = xf (x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

导数中构造函数比大小问题题型总结(学生版+解析版)

导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造f x =ln xx比较大小此函数定义域为0,+∞，求导f x =1−ln xx2，当x∈0,e时，f x >0，故f x 为增函数，当x∈e,+∞时，f x <0，故f x 为减函数，当x=e时，f x 取得极大值为f e =1e，且f4 =ln44=2ln2 4=ln22=f2 ，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)若a=1e,b=ln22,c=ln33，则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c【例2】(2023·全国·高三专题练习)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=1e，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a 【例3】(2022·吉林·高二期末)下列命题为真命题的个数是( )①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2>42．A.1B.2C.3D.4【例4】(2021·陕西汉中·高二期末(理))已知a，b，c均为区间0,e内的实数，且a ln5=5ln a，b ln6= 6ln b，c ln7=7ln c，则a，b，c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))设a=ln28，b=1e2，c=ln612，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<aa>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b2.(2022·浙江台州·高二期末)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=ln33，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a3.(2022·四川广安·模拟预测(理))在给出的(1)e⋅ln3>3(2)e43ln3<4(3)eπ>πe.三个不等式中，正确的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个4.(2022·四川资阳·高二期末(文))若a=ln33，b=1e，c=3ln28，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b5.(2022·山东日照·高二期末)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，33，e e，eπ，π3，3π，πe八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.6.(2022·安徽省宣城中学高二期末)设a=4-ln4e2,b=1e,c=ln2，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b7.(2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末)已知实数a，b，c满足ln ae a=ln b b=-ln c c<0，则a，b，c的大小关系为( )A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c题型二：利用常见不等式关系比较大小1.常见的指数放缩：e x≥x+1(x=0);e x≥ex(x=1)证明：设f x =e x−x−1，所以f x =e x−1，所以当x∈−∞,0时，f x <0，所以f x 为减函数，当当x∈0,+∞时，f x >0，所以f x 为增函数，所以当x=0时，f x 取得最小值为f0 = 0，所以f x ≥0，即e x≥x+12.常见的对数放缩：1−1x≤ln x≤x−1(x=1);ln x≤x e(x=e)3.常见三角函数的放缩：x∈0,π2,sin x<x<tan x【例1】(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【例2】(2022·山东菏泽·高二期末)已知a=910，b=e-19，c=1+ln1011，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b【例3】(2022·四川凉山·高二期末(文))已知a=e0.01，b=1.01，c=1-ln 100101，则( )．A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c【例4】(2022·四川绵阳·高二期末(理))若a=ln 87，b=18,c=ln76，则( )A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c【例5】(2022·全国·高考真题(理))已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 【题型专练】1.(2022·福建·莆田一中高二期末)设a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b2.(2022·吉林·长春市第二中学高二期末)已知a=cos15，b=4950，c=5sin15，则( )A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b3.(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a题型三：构造其它函数比大小(研究给出数据结构，合理构造函数)【例1】(2022·河南河南·高二期末(理))已知a-12=ln2a，b-13=ln3b，c-e=lnce，其中a≠12，b≠13，c≠e，则a，b，c的大小关系为( )．A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【例2】(2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)设a=e1.01，b=3e，c=ln3，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【例3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=ln32，b=1e-1，c=ln43，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【例4】(山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题)设a=110，b=ln1.1，c=e-910，则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【例5】(2022·四川南充·高二期末(理))设a=0.01e0.01，b=199，c=-ln0.99，则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.3π，b=0.9π2，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c【例7】(2022·河南洛阳·三模(理))已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【例8】(2022·河南·模拟预测(理))若a=e0.2，b= 1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【题型专练】1.(2022·山东烟台·高二期末)设a=0.9，b=0.9，c=ln910e，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b2.(2022·山东青岛·高二期末)已知a=lnπ3，b=2π3-2，c=sin0.04-12π3-1，则a，b，c的大小关系是( )A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b3.(2022·湖北襄阳·高二期末)设a=34e25，b=25e34，c=35，则( )A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b4.(2022·福建宁德·高二期末)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )A.e a-e b<ln a-ln bB.b ln a<a ln bC.b a>e a-bD.sin a-sin ba-b<15.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))设a=e1.01，b=3e，c=ln3，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c6.(2022·重庆南开中学高二期末)已知a=65ln1.2，b=0.2e0.2，c=13，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b-2=2ln b>0，c2-13=ln3c2> 7.(2022·湖北恩施·高二期末多选)已知a2-14=2ln2a>0，b2-1e20，则( )A.c<bB.b<aC.c<aD.b<c8.(2022·安徽·歙县教研室高二期末)已知x、y、z∈(0，1)，且满足e2x=2e x，e3y=3e y，e4z=4e z，则( )A.x<y<zB.x<z<yC.z<y<xD.z<x<y导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造f x =ln xx比较大小此函数定义域为0,+∞，求导f x =1−ln xx2，当x∈0,e时，f x >0，故f x 为增函数，当x∈e,+∞时，f x <0，故f x 为减函数，当x=e时，f x 取得极大值为f e =1e，且f4 =ln44=2ln2 4=ln22=f2 ，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)若a=1e,b=ln22,c=ln33，则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c 【答案】A【解析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数f x =ln xx，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：a=1e=ln ee,b=ln22=ln44,c=ln33，设f x =ln xx,f x =1-ln xx2，则x>e时，fx <0，故f x 在e,+∞上单调递减，则f e >f3 >f4 ，即ln ee>ln33>ln44，所以a>c>b．故选：A.【例2】(2023·全国·高三专题练习)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=1e，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a 【答案】C【解析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数f x =ln xx,然后结合导数与单调性关系分析出x=e时,函数取得最大值f e =1e,可得c最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当x>e时,f x <0,函数单调递减,当0<x<e时,f x >0,函数单调递增,故当x=e时,函数取得最大值f e =1 e,因为a=22-ln2e2=ln e22e22=f e22,b=ln22=ln44=f4 ,c=1e=f e ,∵e<e22<4,当x>e时,f x <0,函数单调递减,可得f4 <fe22<f e ,即b<a<c.故选:C【例3】(2022·吉林·高二期末)下列命题为真命题的个数是( )①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2>42．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】本题首先可以构造函数f x =ln xx，然后通过导数计算出函数f x =ln xx的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数f x =ln xx的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，x>e时，f x <0，所以函数f x =ln xx在0,e上递增，在e,+∞上递减，所以当x=e时f x 取得最大值1 e，ln3<3ln2⇔2ln3<3ln2⇔ln33<ln22，由3<2<e可得f3<f2 ，故①正确；lnπ<πe⇔lnππ<ln ee，由e<π<e，可得f e<fπ，故②错误；215<15⇔15ln2<ln15⇔ln22<ln1515⇔ln44<ln1515，因为函数f x =ln xx在e,+∞上递减，所以f4 <f15，故③正确；因为22>e，所以f22<f e ，即ln2222<ln e e，即3ln222<1e，则3e ln2<22，即3e ln2<42，故④错误，综上所述，有2个正确.故选：B．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】(2021·陕西汉中·高二期末(理))已知a，b，c均为区间0,e内的实数，且a ln5=5ln a，b ln6= 6ln b，c ln7=7ln c，则a，b，c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =ln xx，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，函数F(x)在0,e上单调递增，当x>e时，f x <0，函数f x 在e,+∞上单调递减，因为7>6>5>e，所以f7 <f6 <f5 ，因为a，b，c均为区间0,e内的实数，且ln55=ln aa，ln66=ln bb，ln77=ln cc，所以f a >f b >f c ，所以a>b>c，故选：B.【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))设a=ln28，b=1e2，c=ln612，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<ae>6>e，所以a<b<c．故选：B．【题型专练】1.(2022·四川省资阳中学高二期末(理))若a=ln22,b=1e,c=2ln39，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b【答案】A【解析】令f x =ln xx，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a、c，即可得解；【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，所以当0<x<e时fx >0，当x>e时f x <0，所以f x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，所以f x max=f e =ln ee=1e，所以1e>ln22又ln22-2ln39=9ln2-4ln318=ln29-ln3418=ln512-ln9118>0所以ln22>2ln39，即b>a>c.故选：A2.(2022·浙江台州·高二期末)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=ln33，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a 【答案】B【解析】由题设a=ln e22e22，b=ln44，c=ln33，构造f(x)=ln xx并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小.【详解】由题设，a =4-ln4e 2=ln e22e22，b =ln22=ln44，c =ln 33=ln33，令f (x )=ln x x 且x >0，可得f (x )=1-ln xx 2，所以f (x )>0有0<x <e ，则(0,e )上f (x )递增；f (x )<0有x >e ，则(e ,+∞)上f (x )递减；又4>e 22>3>e ，故c >a >b .故选：B3.(2022·四川广安·模拟预测(理))在给出的(1)e ⋅ln3>3(2)e 43ln3<4(3)e π>πe .三个不等式中，正确的个数为( )A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】根据题目特点，构造函数f x =ln x x ，则可根据函数f x =ln xx的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx 2，令f x >0,解得0<x <e ，令f x <0,解得x >e ，故f x =ln xx在区间0,e 上单调递增，在区间e ,+∞ 单调递减，所以，(1)f e <f 3 ，即ln e e <ln 33，即e ⋅ln3>3，则正确；(2)f e 43<f 3 ，即ln e43e 43<ln33，即e 43⋅ln3>4，则错误；(3)f e >f π ，即ln e e >lnππ⇒πln e >e lnπ⇒ln e π>lnπe ，所以，e π>πe ，则正确故选：C .4.(2022·四川资阳·高二期末(文))若a =ln33，b =1e ，c =3ln28，则( )A.b >a >cB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b【解析】设函数f(x)=ln xx,(x>0)，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设f(x)=ln xx,(x>0)，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<e时，f (x)>0，f(x)递增，当x>e时，f (x)<0，f(x)递减，当x=e时，函数取得最小值，由于e<3<8 ，故ln ee>ln33>ln88，即b>a>c，故选：A5.(2022·山东日照·高二期末)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，33，e e，eπ，π3，3π，πe八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】 e e 3π【解析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数f x =ln xx的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e.∵函数y=3x是增函数，且e<3<π，∴3e<33<3π；函数y=e x是增函数，且e<3<π，e e<e3<eπ；函数y=πx是增函数，且e<3<π，πe<π3；函数y=x e在0,+∞是增函数，且e<3<π，e e<3e<πe，则八个数中最小的数是e e 函数y=xπ在0,+∞是增函数，且e<3，eπ<3π，八个数中最大的数为π3或3π，构造函数f x =ln x x，求导得f x =1-ln xx2，当x∈e,+∞时f x <0，函数f x 在e,+∞是减函数，f3 >fπ ，即ln33>lnππ，即πln3>3lnπ，即ln3π>lnπ3，∴3π>π3，则八个数中最大的数是3π.故答案为：e e；3π．6.(2022·安徽省宣城中学高二期末)设a=4-ln4e2,b=1e,c=ln2，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b【答案】D设f(x)=ln xx(x>0)，利用导数求得f(x)的单调性和最值，化简可得a=fe22，b=f(e)，c=f(2)，根据函数解析式，可得f(4)=ln44=f(2)且e<e22<4，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设f(x)=ln xx(x>0)，则f (x)=1x⋅x-ln xx2=1-ln xx2，当x∈(0,e)时，f (x)>0，则f(x)为单调递增函数，当x∈(e,+∞)时，f (x)<0，则f(x)为单调递减函数，所以f(x)max=f(e)=1 e，又a=4-ln4e2=2(ln e2-ln2)e2=ln e22e22=f e22，b=1e=f(e)，c=ln2=12ln2=f(2)，又f(4)=ln44=ln224=ln22=f(2)，e<e22<4，且f(x)在(e,+∞)上单调递减，所以f(2)=f(4)<fe22 ，所以b>a>c.故选：D7.(2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末)已知实数a，b，c满足ln ae a=ln b b=-ln c c<0，则a，b，c的大小关系为( )A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】判断出0<a<1,0<b<1,c>1，构造函数f(x)=ln xx,(x>0)，判断0<x<1时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.【详解】由ln ae a=ln b b=-ln c c<0，得0<a<1,0<b<1,c>1 ，设f(x)=ln xx,(x>0) ，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<1时，f (x)>0，f(x)单调递增，因为0<a<1，所以e a>1>a，所以ln a e a >ln a a ，故ln a ea =lnb b >ln aa ，∴fb >f a ，则b >a ，即有0<a 0，所以f x 为增函数，所以当x =0时，f x 取得最小值为f 0 =0，所以f x ≥0，即e x ≥x +1 2.常见的对数放缩：1−1x ≤ln x ≤x −1(x =1);ln x ≤xe(x =e )3.常见三角函数的放缩：x ∈0,π2,sin x <x <tan x 【例1】(2022·湖北武汉·高二期末)设a =4104，b =ln1.04，c =e 0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a >b >c B.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】D 【解析】分别令f x =e x -1-x x >0 、g x =ln 1+x -x x >0 、h x =ln 1+x -x1+xx >0 ，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x -1-x x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x -1>x ，则e 0.04-1>0.04；令g x =ln 1+x -x x >0 ，则g x =11+x -1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞ 上单调递减，∴g x <g 0 =0，即ln 1+x <x ，则ln1.04<0.04；∴e 0.04-1>ln1.04，即c >b ；令h x =ln 1+x -x 1+x x >0 ，则h x =11+x -11+x 2=x 1+x2>0，∴h x 在0,+∞ 上的单调递增，∴h x >h 0 =0，即ln 1+x >x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b >a ；综上所述：c >b >a .故选：D .【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】(2022·山东菏泽·高二期末)已知a=910，b=e-19，c=1+ln1011，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<ax+1x≠0，从而得到1b>1a，设g x =ln x-x+1，利用导数得到ln x<x-1x≠1，从而得到ln 1110<110和c>a，即可得到答案.【详解】解：设f x =e x-x-1，f x =e x-1，令f x =0，解得x=0. x∈-∞,0，f x <0，f x 单调递减，x∈0,+∞，f x >0，f x 单调递增.所以f x ≥f0 =0，即e x-x-1≥0，当且仅当x=0时取等号.所以e x>x+1x≠0.又1b=e19>19+1=109=1a，a>0,b>0，故1b>1a，所以b<a；设g x =ln x-x+1，g x =1x-1=1-xx，令g x =0，解得x=1.x∈0,1，g x >0，g x 单调递增，x∈1,+∞，g x <0，g x 单调递减.所以g x ≤g1 =0，即ln x-x+1≤0，当且仅当x=1时取等号.所以ln x<x-1x≠1，故ln 1110<1110-1=110，又c-a=ln 1011+110>ln1011+ln1110=ln1=0，所以c>a，故b<a<c.故选：B.【例3】(2022·四川凉山·高二期末(文))已知a=e0.01，b=1.01，c=1-ln 100101，则( )．A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c 【答案】C【解析】构造函数f(x)=e x-1-x，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设f(x)=e x-1-x，则f (x)=e x-1>0，在x>0时恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以e x-1-x>f(0)=0，即e x>1+x，x>0，∴e0.01>1.01，又ln1.01>0，∴e ln1.01>1+ln1.01，即1.01>1-ln100101，所以a>b>c．故选：C．【例4】(2022·四川绵阳·高二期末(理))若a=ln 87，b=18,c=ln76，则( )A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c 【答案】D【解析】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，利用导数分析函数f x 的单调性，可比较得出a、b的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c、a的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，则f x =1x-1x2=x-1x2>0，所以，函数f x 在1,+∞上为增函数，故f x >f1 =0，则f 87 =ln87+78-1=ln87-18>0，即a>b，∵ln76>ln87，因此，b<a<c.故选：D.【例5】(2022·全国·高考真题(理))已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 【答案】A【解析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，利用导数可得b>a，即可得解.【详解】因为cb=4tan14,因为当x∈0,π2,sin x<x<tan x所以tan 14>14,即cb>1,所以c>b；设f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，f (x)=-sin x+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f 14 >f(0)=0,所以cos14-3132>0，所以b>a,所以c>b>a，故选：A【题型专练】1.(2022·福建·莆田一中高二期末)设a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，证明ln x≤x-1，令x=1.01，排除选项A,B,再比较a,b大小，即得解.【详解】解：构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，f1 =0，f x =1x-1=1-xx，所以f x 在0,1上f x >0，f x 单调递增，f x 在1,+∞上f x <0，f x 单调递减，所以f (x)max=f(1)=0,∴ln x-x+1≤0,∴ln x≤x-1，令x=1.01，则 a=ln x，b=x30e，c=1-1x，考虑到ln x≤x-1，可得ln1x≤1x-1，-ln x≥1-1x等号当且仅当 x=1时取到，故x=1.01时a>c，排除选项A，B.下面比较a,b大小，由ln x≤x-1得ln1.01<1.01<1.0130e，故b>a，所以c<a<b.故选：D.2.(2022·吉林·长春市第二中学高二期末)已知a=cos15，b=4950，c=5sin15，则( )A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b 【答案】D【解析】构造函数f(x)=cos x+12x2-1，利用导数求解函数f(x)的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设f(x)=cos x+12x2-1,(0<x<1)，则f (x)=x-sin x，设g(x)=x-sin x,(0<x<1)，则g (x)=1-cos x>0，故g(x)在区间(0,1)上单调递增，即g(x)>g(0)=0，即f (x)>0，故f(x)在区间(0,1)上单调递增，所以f 15 >f(0)=0，可得cos15>4950，故a>b，利用三角函数线可得x∈0,π2时，tan x>x，所以tan 15>15，即sin15cos15>15，所以5sin 15>cos15，故c>a综上，c>a>b故选：D.3.(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】D【解析】分别令f x =e x-1-x x>0、g x =ln1+x-x x>0、h x =ln1+x-x1+x x>0，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x-1-x x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴f x >f0 =0，即e x-1>x，则e0.04-1>0.04；令g x =ln1+x-x x>0，则g x =11+x-1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞上单调递减，∴g x <g0 =0，即ln1+x<x，则ln1.04<0.04；∴e0.04-1>ln1.04，即c>b；令h x =ln1+x-x1+x x>0，则h x =11+x-11+x2=x1+x2>0，∴h x 在0,+∞上的单调递增，∴h x >h0 =0，即ln1+x>x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b>a；综上所述：c>b>a.故选：D.题型三：构造其它函数比大小(研究给出数据结构，合理构造函数)【例1】(2022·河南河南·高二期末(理))已知a-12=ln2a，b-13=ln3b，c-e=lnce，其中a≠12，b≠13，c≠e，则a，b，c的大小关系为( )．A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【答案】A 【解析】构造函数f x =x -ln x x >0 ，并求f x ，利用函数f x 的图象去比较a 、b 、c 三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得a -ln a =12-ln 12，b -ln b =13-ln 13，c -ln c =e -ln e ，构造函数f x =x -ln x x >0 ，f x =1-1x =x -1x，令f x =0，得x =1，所以f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，函数f x 的大致图象如图所示．因为f a =f 12，f b =f 13 ，f c =f e ，且a ≠12，b ≠13，c ≠e ，则由图可知b >a >1，0<c <1，所以c <a a >c B.c >a >bC.a >c >bD.a >b >c【答案】D 【解析】可判断a =e 1.01>2，b =3e <2，c =ln3<2，再令f (x )=ln x -x e ，x ∈[e ，+∞)，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解：a =e 1.01>2，b =3e<2，c =ln3<2，令f (x )=ln x -x e，x ∈[e ，+∞)，f (x )=1x -1e =e -xex <0，故f (x )在[e ，+∞)上是减函数，故f 3 <f e ，即ln3-3e <0，故ln3<3e <e 1.01，即c a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a 【答案】A【解析】根据给定条件构造函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，求导得f (x)=1-ln x-1xx-12，令g x =1-ln x-1x，则g x =1-xx2<0,(x≥e)，故g x =1-ln x-1x，(x≥e)单调递减，又g1 =1-ln1-11=0，故g x <0,(x≥e)，即f (x)<0,(x≥e)，而e<3<4，则f(e)>f(3)>f(4)，即1e-1>ln32>ln43，所以b>a>c，故选：A【例4】(山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题)设a=110，b=ln1.1，c=e-910，则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】D【解析】利用指数函数的性质可比较a,c的大小，再构造函数f(x)=x-ln(1+x)，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出a,b，从而可比较出三个数的大小【详解】因为y=e x在R上为增函数，且-1<-9 10，所以e-1<e-910，因为110<e-1，所以110<e-910，即a<c，令f(x)=x-ln(1+x)(x>0)，得f (x)=1-11+x=x1+x>0，所以f(x)在(0,+∞)上递增，所以f(x)>f(0)=0，所以x>ln(1+x)，令x=0.1，则0.1>ln1.1，即110>ln1.1，即a>b，所以b<a<c，故选：D【例5】(2022·四川南充·高二期末(理))设a=0.01e0.01，b=199，c=-ln0.99，则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c0,t>0，则ln y-ln t=ln x+x-[ln x-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令f(x)=x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，求导得f (x)=1+1x-1=xx-1<0，即f(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，f(x)<f(0)=0，即ln y<ln t⇔y<t，因此当x∈(0,2-1)时，xe x<x1-x，取x=0.01，则有a=0.01e0.01<0.011-0.01=199=b，令g(x)=y-u=xe x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，g (x)=(x+1)e x+1x-1=(x2-1)e x+1x-1，令h(x)=(x2-1)e x+1，x∈(0,2-1)，h (x)=(x2+2x-1)e x<0，h(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，h(x)<h(0)=0，有g (x)>0，则g(x)在(0,2-1)上单调递增，∀x∈(0,2-1)，g(x)>g(0)=0，因此当x∈(0,2-1)时，xe x>-ln(1-x)，取x=0.01，则有a=0.01e0.01>-ln(1-0.01)=-ln0.99=c，所以c<a<b.故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.3π，b=0.9π2，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c 【答案】B【解析】作差法比较出a>b，构造函数，利用函数单调性比较出c>a，从而得出c>a>b.【详解】a-b=0.3π-0.9π2=0.3π-0.9π2>0.3×3-0.9π2=0，所以a-b>0，故a>b，又f x =πsin x-3x，则f x =πcos x-3在x∈0,π6上单调递减，又f 0 =π-3>0，f π6 =3π2-3<0，所以存在x0∈0,π6，使得f x0 =0，且在x∈0,x0时，f x >0，在x∈x0,π6时，f x <0，即f x =πsin x-3x在x∈0,x0上单调递增，在x∈x0,π6单调递减，且f π12 =6+24π-3>0，所以x0>π12，又因为f0 =0，所以当x∈0,x0时，f x =πsin x-3x>0，其中因为110<π12，所以110∈0,x0，所以f110=πsin0.1-0.3>0，故sin0.1>0.3π，即c>a>b.故选：B【例7】(2022·河南洛阳·三模(理))已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】构造函数f x =18-xln x，x≥8，求其单调性，从而判断a，b，c的大小关系.【详解】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】(2022·河南·模拟预测(理))若a=e0.2，b= 1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =e x-x-1x>0，利用导数可得a=e0.2>1.2>b，进而可得e1.2>3.2，可得a>c，再利用函数g x =ln x-2x-1x+1，可得ln3.2>1.1，即得.【详解】令f x =e x-x-1x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴a=e0.2>0.2+1=1.2> 1.2=b，a=e0.2>1.2=ln e1.2，c=ln3.2，∵e1.25=e6> 2.76≈387.4,3.25≈335.5，∴e1.2>3.2，故a>c，设g x =ln x-2x-1x+1，则g x =1x-2x+1-2xx+12=x-12x x+12≥0，所以函数在0,+∞上单调递增，由g1 =0，所以x>1时，g x >0，即ln x>2x-1x+1，∴ln3.2=ln2+ln1.6>22-12+1+21.6-11.6+1=1539>1550=1.1，又1<1.2<1.21,1<b= 1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式e x>x+1x>0与ln x>2x-1x+1(x>1)进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1.(2022·山东烟台·高二期末)设a=0.9，b=0.9，c=ln910e，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】构造函数f(x)=x-ln x-1，g(x)=x-x，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.【详解】令f(x)=x-ln x-1，因为f (x)=1-1x=x-1x所以，当0<x<1时，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f (0.9)=0.9-ln0.9-1>f (1)=0，即0.9>ln0.9+1=ln 910e，a >c ；令g (x )=x -x ，因为g (x )=1-12x=2x -12x所以，当14<x <1时，g (x )>0，g (x )单调递增，所以g (0.9)<g (1)，即0.9-0.9<0，0.9<0.9，即a b >a B.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b【答案】C 【解析】构造函数得出a ,b 大小，又c <0即得出结论.【详解】构造函数f x =2ln x -2x -1 =2ln x -x +1 ，则a -b =f π3，f x =21x-1<0在1,+∞ 上恒成立，则y =f x 在1,+∞ 上单调递减，故a -b =f π3<f 1 =0，则b >a >0，π3=1+x x >0 ，则1+x -1=π-33>0.123=0.04，由对于函数g x =sin x -x 0<x <π2 ，g x =cos x -1<0,0<x <π2恒成立，所以， g x =sin x -x <g 0 =0即sin x <x 在0,π2上恒成立.所以，sin0.04-121+x -1<sin x -121+x -1=sin x -12x <x -12x =x x -12 <0(注：0.04<x <0.09,0.2<x <0.3<0.5)所以，b >a >c 故选：C3.(2022·湖北襄阳·高二期末)设a =34e 25，b =25e 34，c =35，则( )A.b <c <a B.a f 34，即可判断出a>b.记g x =e x-2x,0<x<1，推理判断出b>c.【详解】a b=34e2525e34=e2525e3434.记f x =e xx,0<x<1，则f x =e x x-1x2<0，所以f x =e x x在0,1上单调递减.所以f 25 >f34 ，所以a>b.b-c=25e34-35=25e34-2×34.记g x =e x-2x,0<x<1，则g x =e x-2.所以在x∈0,ln2上，g x <0，则g x 单调递减；在x∈ln2,1上，g x >0，则g x 单调递增；所以g x min=g ln2=e ln2-2×ln2=21-ln2>0，所以g 34 >g x min>0，即b-c=25e34-2×34>0.所以b>c.综上所述：c<b<a.故选：C4.(2022·福建宁德·高二期末)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )A.e a-e b<ln a-ln bB.b ln a<a ln bC.b a>e a-bD.sin a-sin ba-b<1【答案】D【解析】由题设有a>b>0，分别构造y=e x-ln x、y=ln xx、y=xe x、y=x-sin x，利用导数研究在x∈(0,+∞)上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由2a>2b>1，即a>b>0，A：若y=e x-ln x且x∈(0,+∞)，则y =e x-1x，故yx=12=e-2<0，yx=1=e-1>0，即y 在12,1上存在零点且y 在(0,+∞)上递增，所以y在(0,+∞)上不单调，则e a-ln a<e b-ln b不一定成立，排除；B：若y=ln x x且x∈(0,+∞)，则y =1-ln xx2，所以(0,e)上y >0，y递增；(e,+∞)上y <0，y递减；故y在(0,+∞)上不单调，则ln aa<ln bb不一定成立，排除；C：若y=xe x且x∈(0,+∞)，则y =e x(x+1)>0，即y在(0,+∞)上递增，所以ae a>be b，即ba<e a-b，排除；D：若y=x-sin x且x∈(0,+∞)，则y =1-cos x≥0，即y在(0,+∞)上递增，所以a-sin a>b-sin b，即sin a-sin ba-b<1，正确.故选：D5.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))设a=e1.01，b=3e，c=ln3，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】分析可得a>2，b∈(1,2)，c∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，利用导数可得f(x)的单调性，根据函数单调性，可比较ln3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得a=e1.01>e1>2，b=3e∈(1,2)，c=ln3∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，则f (x)=1x-1e=e-xxe≤0，所以f(x)在[e,+∞)为减函数，所以f(3)<f(e)，即ln3-3e<ln e-ee=0，所以ln3<3e，则e1.01>3e>ln3，即a>b>c.故选：D6.(2022·重庆南开中学高二期末)已知a=65ln1.2，b=0.2e0.2，c=13，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】A【解析】b=0.2e0.2=e0.2ln e0.2，令f x =x ln x，利用导数求出函数f x 的单调区间，令g x =e x-x-1，利用导数求出函数g x 的单调区间，从而可得出e0.2和1.2的大小，从而可得出a,b的大小关系，将b,c两边同时取对数，然后作差，从而可得出b,c的大小关系，即可得出结论.【详解】。

导数与函数中构造函数的技巧

导数与函数中构造函数的技巧导数是微积分中一种重要的概念，它描述了函数在特定点上的变化率。

对于一个函数而言，它在不同点上的导数的值可以告诉我们函数的增长趋势以及拐点的位置等信息。

因此，研究导数的性质和计算方法对于函数的研究及应用有着重要的意义。

在构造函数的过程中，我们可以利用导数的性质和计算技巧来简化函数的表达形式，优化函数的性质或满足特定的需求。

下面是一些在构造函数时常用的技巧：1. 构造连续可导的函数：我们可以通过利用已知函数的性质以及导数的计算法则来构造连续可导的函数。

例如，我们可以通过将两个不同的函数分段组合成连续的函数，如$f(x)=\begin{cases} x^2, &x<0 \\ e^x, &x \geq 0 \end{cases}$。

在$x=0$处$f(x)$是连续的，并且在$x=0$处的导数也存在。

2. 构造可导函数的绝对值函数：对于函数$f(x)$，我们可以通过构造一个可导函数$g(x)$，使得$，f(x)，=g(x)$。

一种常用的方法是将$f(x)$平方后开根号得到$g(x)$，即$，f(x)，=\sqrt{f(x)^2}$。

这样，我们可以避免绝对值函数在$x=0$处的不可导性质。

3.利用导数的零点和极值点：函数的导数的零点和极值点可以帮助我们确定函数的拐点和极值。

因此，在构造函数时，我们可以利用导数的零点和极值点来确定函数的一些性质。

例如，如果我们想要构造一个具有单调递增性质的函数，可以考虑函数的导数始终大于等于零。

4.构造具有特定增长性质的函数：对于给定的正数$a$和$b$，我们可以通过构造函数$f(x)=a^x$或$f(x)=x^b$来满足特定的增长性质。

例如，如果我们想要构造一个具有指数增长性质的函数，可以选择$f(x)=2^x$，它的导数始终大于零，说明函数的增长率不断增加。

5. 构造可导函数的逆函数：对于可导函数$f(x)$，我们可以通过构造它的逆函数来满足特定的需求。

合理构造函数解导数问题(精华)

构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

一、移项法构造函数【例1】已知函数x x x f −+=)1ln()(，求证：当1−>x 时，恒有x x x ≤+≤+−)1ln(111分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(−+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。

【解】1111)(+−=−+=′x xx x f ∴当01<<−x 时，0)(>′x f ，即)(x f 在)0,1(−∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(−，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞−上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1−>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤−+x x ∴x x ≤+)1ln(（右面得证），现证左面，令111)1ln()(−+++=x x x g ，22)1()1(111)(+=+−+=′x xx x x g 则当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′−∈x g x x g x 时当时，即)(x g 在)0,1(−∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞−上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1−>x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥−+++x x ∴111)1ln(+−≥+x x ，综上可知，当xx x x ≤+≤−+−>)1ln(111,1有时【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数构造函数法332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题，即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F −=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明：)(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。

高中数学合理构造函数解导数问题

合理构造函数解导数问题构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

例1：〔2009年某某市高三第三次模拟试卷22题〕函数()()ax x x ax x f --++=231ln .(1) 假设32为()x f y =的极值点，某某数a 的值； (2) 假设()x f y =在[)+∞,1上增函数，某某数a 的取值X 围； (3) 假设1-=a 时，方程()()xbx x f =---311有实根，某某数b 的取值X 围。

解：〔1〕因为32=x 是函数的一个极值点，所以0)32(='f ，进而解得：0=a ，经检验是符合的，所以.0=a〔2〕显然(),2312a x x ax ax f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且01≥+ax a 。

同时a x x --232此函数是31<x 时递减，31>x 时递增，故此我们只需要保证()02311≥--++='a a af ，解得：.2510+≤≤a 〔3〕方法一、变量分离直接构造函数解：由于0>x ，所以：()2ln xx x x b -+=32ln x xx x -+=()2321ln x x x x g -++='()xx x x x x g 1266212---=-+=''当6710+<<x 时，(),0>''x g 所以()x g '在6710+<<x 上递增；当671+>x 时，(),0<''x g 所以()x g '在671+>x 上递减；又(),01='g ().6710,000+<<='∴x x g 当00x x <<时，(),0<'x g 所以()x g 在00x x <<上递减；当10<<x x 时，(),0>'x g 所以10<<x x 上递增；当1>x 时，(),0<'x g 所以()x g 在1>x 上递减；又当+∞→x 时，(),-∞→x g()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-+=-+=41ln ln ln 232x x x x x x x x x x x g当0→x 时，,041ln <+x 那么(),0<x g 且()01=g ∴b 的取值X 围为(].0,∞-()xx x x x x g 1266212---=-+=''，()2321ln x x x x g -++='，()32ln x x x x x g -+=方法二、构造：()2ln x x x x G -+=()()()xx x x x x x x x x x x G 112121221122-+-=---=++-=-+=' 0>x 10<<∴x ()0>'x G 从而()x G 在()1,0上为增函数；(),0,1<'>x G x 从而()x G 在()+∞,1上为减函数 ()()01=≤∴G x G 而0>x ()0≤⋅=∴x G x b 0≤∴b分析点评：第〔3〕问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。

2024高考数学常考题型导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造()xxx f ln =比较大小此函数定义域为()+∞,0，求导()2ln 1x xx f -='，当()e x ,0∈时，()0>'x f ，故()x f 为增函数，当()+∞∈,e x 时，()0<'x f ，故()x f 为减函数，当e x =时，()x f 取得极大值为()ee f 1=，且()()222ln 42ln 244ln 4f f ====，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若1ln 2ln 3,,e 23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】A 【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数()ln xf x x=，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：1ln e ln 2ln 4ln 3,,e e 243a b c =====，设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -'==，则e x >时，()0f x '<，故()f x 在()e,∞+上单调递减，则()()()3e 4f f f >>，即ln e ln 3ln 4e34>>，所以a c b >>．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（）A ．a c b <时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增,故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====,2e 42e << ,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）①ln 32<；②ln π<；③15<；④3e ln 2>．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()ln x f x x =，然后通过导数计算出函数()ln xf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()ln xf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，e x >时，()0f x '<，所以函数()ln xf x x=在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以当e x =时()f x 取得最大值1e，ln 322ln 2ln 22<⇔⇔，2e <<可得()2ff <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；ln 2ln 4152ln1524<⇔<⇔<<，因为函数()ln xf x x=在()e,+∞上递减，所以()4f f<，故③正确；因为e >，所以(()e f f <，ln ee <1e <，则3e <即3e ln 2<④错误，综上所述，有2个正确.故选：B ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 55ln a a =，ln 66ln b b =，ln 77ln c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，函数()F x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为765e >>>，所以()()()765f f f <<，因为a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 5ln 5a a =，ln 6ln 6b b =，ln 7ln 7c c=，所以()()()f a f b f c >>，所以a b c >>，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设ln 28a =，21e b =，ln 612c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据a 、b 、c 算式特征构建函数()2ln xf x x =，通过求导确定函数单调性即可比较a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()2ln x f x x =，则()42ln 0x x xx x f x '-==⇒=因此()2ln xf x x =在)∞+上单调递减，又因为ln 2ln 4(4)816a f ===，22ln e1=(e)e e b f ==，ln 612c f ===，因为4e >>>a b c <<．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若ln212ln3,,29e a b c ===，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】令()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a 、c ，即可得解；【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max ln e 1e e e f x f ===，所以1e ln22>又94ln22ln39ln 24ln 3ln 2ln 3ln 512ln 91029181818----===>所以ln22ln329>，即b a c >>.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设24ln 4e a -=，ln 22b =，c =，则（）A ．a b c <，可得21ln ()x f x x -'=，所以()0f x '>有0e x <<，则(0,e)上()f x 递增；()0f x '<有e x >，则(e,)+∞上()f x 递减；又2e 43e 2>>>，故c a b >>.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1ln 32）43ln 34<e （3）ee ππ>.三个不等式中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】【分析】根据题目特点，构造函数()ln x f x x =，则可根据函数()ln xf x x=的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，令()0,f x '>解得0e x <<，令()0,f x '<解得e x >，故()ln xf x x=在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,+∞单调递减，所以，（1）ff <ln 3>，则正确；（2）()43e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即4343lne ln33e <，即43e ln 34⋅>，则错误；（3）()()πf e f >，即e e e e e e ππππππln ln ln ln ln ln >⇒>⇒>，所以，e e ππ>，则正确故选：C.4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若ln 33a =，1eb =，3ln 28c =，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A 【解析】【分析】设函数ln (),(0)xf x x x=>，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 递减，当e x =时，函数取得最小值，由于e 38<<，故lne ln 3ln 8e 38>>，即b a c >>，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，33，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】e e π3【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln xf x x=的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e .函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<；函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<；函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<，八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln xf x x=，求导得()21ln xf x x -'=，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，即ln 3ln π3π>，即πln 33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>，则八个数中最大的数是π3.故答案为：e e ；π3．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设24ln41,,e ea b c -===,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设ln ()(0)xf x x x=>，则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2(2)2c f ===，又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>.故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，判断01x <<时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b 的大小，即可得答案.【详解】由ln ln ln 0e a a b cb c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a <<，所以e 1>>a a ，所以ln ln e a aa a>，故()()ln ln ln e =>∴>a a b a f b f a b a ，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx证明：设()1--=x e x f x，所以()1-='xe xf ，所以当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，所以()x f 为减函数，当当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，所以()x f 为增函数，所以当0=x 时，()x f 取得最小值为()00=f ，所以()0≥x f ，即1+≥x e x2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x=+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知910a =，19eb -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+≠，从而得到11b a>，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到111ln 1010<和c a >，即可得到答案.【详解】解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，0,0a b >>，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln 1101010<-=，又1011011lnln ln ln1011101110c a -=+>+==，所以c a >，故b a c <<.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知0.01e a =， 1.01b =，1001ln 101c =-，则（）．A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->，在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以e 1(0)0x x f -->=，即e 1x x >+，0x >，∴0.01e 1.01>，又ln1.010>，∴ln1.01e 1ln1.01>+，即1001.011ln 101>-，所以a b c >>．故选：C ．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若8ln 7a =，18=b ,7ln 6c =，则（）A ．a c b <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可比较得出a 、b 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c 、a 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，则()221110x f x x x x -'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()10f x f >=，则88781ln 1ln 077878f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，即a b >，78lnln 67> ，因此，b a c <<.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A 【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设ln1.01a =， 1.0130e b =，1101c =，则（）A ．a b c <），证明ln 1≤-x x ，令 1.01x =，排除选项A,B,再比较,a b 大小，即得解.【详解】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，所以max ()(1)0,ln 10,ln 1f x f x x x x ==∴-+≤∴≤-，令 1.01x =，则 ln a x =，30e x b =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x ≤-，1ln 1x x -≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除选项A ，B.下面比较,a b 大小，由ln 1≤-x x 得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c a b <<.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-，设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>，所以115sincos 55>，故c a >综上，c a b >>故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x =+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知1ln 22a a -=，1ln 33b b -=，e ln e cc -=，其中12a ≠，13b ≠，e c ≠，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c a b <，并求()f x '，利用函数()f x 的图象去比较a b c 、、三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得11ln ln 22a a -=-，11ln ln 33b b -=-，ln e ln e c c -=-，构造函数()()ln 0f x x x x =->，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，函数()f x 的大致图象如图所示．因为()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()e f c f =，且12a ≠，13b ≠，e c ≠，则由图可知1b a >>，01c <<，所以c a b <<．故选：A ．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设 1.01e a =，3eb =，ln 3c =，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】可判断 1.012e a =>，e32b =<，ln 32c =<，再令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解： 1.012e a =>，e 32b =<，ln 32c =<，令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，11()0e e e x f x x x-'=-=<，故()f x 在[e ，)∞+上是减函数，故()()e 3f f <，即3ln 30e-<，故 1.013l e e n 3<<，即c b a <<，故选：D ．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知ln 32a =，1e 1b =-，ln 43c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件构造函数ln ()e)1xf x x x =≥-，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数ln ()(e)1x f x x x =≥-，求导得()211ln ()1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--，则()210,(e)xg x x x -'=<≥，故()11ln g x x x =--，(e)x ≥单调递减，又()111ln101g =--=，故()0,(e)g x x <≥，即()0,(e)f x x '<≥，而e 34<<，则(e)(3)(4)f f f >>，即1ln 3ln 4e 123>>-，所以b a c >>，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设110a =，ln1.1b =，910ec -=，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可比较,a c 的大小，再构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出,a b ，从而可比较出三个数的大小【详解】因为e x y =在R 上为增函数，且9110-<-，所以9110e e --<，因为11e 10-<，所以9101e 10-<，即a c <，令()ln(1)f x x x =-+（0x >），得1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，令0.1x =，则0.1ln1.1>，即1ln1.110>，即a b >，所以b a c <<，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A ．c a b <>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈时，e 1xx x x<-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)上单调递增，1)x ∀∈，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c a b <<.故选：A 【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>.【详解】2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π306f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且ππ30124f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--，()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln 81ln 8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln 98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若0.2e a =，b =ln 3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】B 【解析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln 3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0.20.21 1.2e a b >+=>=，0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln 3.2c =，∵()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，∴ 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x xx g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+，∴()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.1211.613950--=+>+=>=++，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<<，∴ 1.1c b >>，故a c b >>.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式()e 10xx x >+>与()21ln (1)1x x x x ->>+进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a =0.9，b =9ln e10c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，()g x x =-.【详解】令()ln 1f x x x =--，因为11()1x f x x x'-=-=所以，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以(0.9)0.9ln 0.91(1)0f f =-->=，即90.9ln 0.91ln(e)10>+=，a c >；令()g x x =()1g x '=-所以，当114x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0.9)(1)g g <，即0.90<，0.9a b <.综上，c a b <<.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知ln 3a π=，2b =，1sin 0.042c ⎫=-⎪⎪⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数得出,a b 大小，又0c <即得出结论.【详解】构造函数()()()2ln 212ln 1f x x x x x =--=-+，则a b f -=，()1210f x x ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立，则()y f x =在()1,+∞上单调递减，故()10a b f f -=<=，则0b a >>，()π103x x =+>，则()π30121100433.x .-+-=>=，由对于函数()πsin 02g x x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，()πcos 1002g x x ,x ⎛⎫'=<<< ⎪⎝⎭-恒成立，所以，()()sin 00g x x x g =<=-即sin x x <在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.所以，1sin0.04sin sin 02x x x ⎫<=<-<⎪⎭（注：004009020305.x .,...<<<<）所以，b a c >>故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设253e 4a =，342e 5b =，35c =，则（）A ．b c a < ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断出a b >.记()()e 2,01xg x x x =-<<，推理判断出b c >.【详解】24452533e23e 542e e 534a b ==.记()()e ,01x f x x x =<<，则()()2e 10x xf x x -'=<，所以()e xf x x =在()0,1上单调递减.所以2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >.433422e e 5325354b c ⎛⎫-= ⎪⨯⎝--⎭=.记()()e 2,01x g x x x =-<<，则()e 2xg x '=-.所以在()0,ln 2x ∈上，()0g x '<，则()g x 单调递减；在()ln 2,1x ∈上，()0g x '>，则()g x 单调递增；所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20g x g ==-⨯=->，所以()min 304g g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即3422e 0534b c ⨯⎛⎫-> ⎪⎝⎭=-.所以b c >.综上所述：c b a <<.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知a ，R b ∈，且221a b >>，则（）A ．ln ln a b a b -<-e eB ．ln ln b a a b <C ．e a b ba->D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D 【解析】【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e xy x'=-，故12|20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除；B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除；C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除；D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设 1.01e a =，3eb =，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】分析可得2a >，(1,2)b ∈，(1,2)c ∈，令()ln ,[e,)e xf x x x =-∈+∞，利用导数可得()f x 的单调性，根据函数单调性，可比较ln 3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得 1.011e e 2a =>>，3(2e 1,)b =∈，ln 3(1,2)c =∈，令()ln ,[e,)exf x x x =-∈+∞，则11e ()0e ex f x x x -'=-=≤，所以()f x 在[e,)+∞为减函数，所以(3)(e)f f <，即3eln 3ln e 0e e-<-=，所以3ln 3e<，则 1.013e ln 3e >>，即a b c >>.故选：D6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知212ln 204a a -=>，22122ln 0eb b --=>，221ln 303c c -=>，则（）A ．c b >>，对三个式子变形可得2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e eb b -=-，2211ln ln 33c c -=-，设函数()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=.由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x <，得01x <<,则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为211101e 43<<<<，所以222b a c >>,所以c a b <<.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知01x y z ∈、、（，），且满足2e 2e x x =，3e 3e y y =，4e 4e z z =，则（）A ．x y z <<B ．x z y<<C ．z y x<<D ．z x y<<【答案】C 【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到ln ln22x x -=-，ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.根据式子结构，构造函数()ln m x x x =-，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由2e 2e x x =得2ln ln2,x x +=+即ln ln22x x -=-.同理得：ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.令()ln ,m x x x =-则()111xm x x x-=-='.故()m x 在()0,1上单调递增，1∞+（，）上单调递减.所以z y x <<.故选：C.。

导数中的构造函数

【解析】构造 F (x ) = xf (x ) ，则 F ' (x ) = f (x ) + xf ' (x ) ，当 x < 0 时，f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为奇函数， ∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减. 根据 f (-4) = 0 可得F (-4) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x ) > 0 的解集为(-∞,-4) ⋃ (0,4) .❀❀❀思路点拨：出现“ + ”形式，优先构造 F (x ) = xf (x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用 f (x ) 进行抽象函数构造1、利用 f (x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x ), f (x ) ；这类形式是对u ⋅ v , u型函x v数导数计算的推广及应用，我们对u ⋅ v , u的导函数观察可得知， u ⋅ v 型导函数中v体现的是“ + ”法， uv型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u ⋅ v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造 u，我们根据得出的“优先”原则，看一看v例 1，例 2.【例 1】 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f (x ) + xf '(x ) < 0 ，且f (-4) = 0 ，则不等式 xf (x ) > 0 的解集为【例 2 】设 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且 f (1) = 0 ，当 x < 0 时，有xf ' (x ) - f (x ) > 0 恒成立，则不等式 f (x ) > 0 的解集为x n出现 xf ' (x ) - nf (x )形式，构造函数 F (x ) =f (x ). 结论：出现nf (x ) + xf ' (x ) 形式，构造函数 F (x ) = x n f (x ) ；； xf ' (x ) - nf (x ) x n +1f ' (x ) ⋅ x n - nx n -1 f (x ) = x 2n '， F (x ) = f (x ) x n F (x ) = F (x ) = x n f (x ) ， F ' (x ) = nx n -1 f (x ) + x n f (x ) = x n -1[nf (x ) + f ' (x )] ； xn 然后利用F (x ) = f (x ) ❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x ) - nf (x )”形式，优先构造函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.xf (x ), f (x )是比较简单常见的 f (x ) 与 x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，x不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.我们根据得出的结论去解决例 3 题【例 3】已知偶函数 f (x )(x ≠ 0) 的导函数为 f ' (x ) ，且满足 f (-1) = 0 ，当 x > 0 时， 2 f (x ) > xf ' (x )，则使得 f (x ) > 0 成立的 x 的取值范围是xf ' (x ) - f (x ) > 0 ，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) > 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递增.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为奇函数，∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减.根据f (1) = 0 可得 F (1) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 f (x ) > 0 的解集为(-∞,-1) ⋃(1,+∞).f '(x ) ⋅ x - f (x ) ，当 x < 0 时， x 2 '，则 F (x ) =f (x ) x 【解析】构造 F (x ) = 然后利用函数的单调F (x ) = f (x ) x❀❀❀思路点拨：出现“ ”形式，优先构造性、奇偶性和数形结合求解即可.【变式提升】设函数 f (x ) 满足 x 3 f ' (x ) + 3x 2f (x ) = 1+ ln x ，且 f (则 x > 0 时， f (x ) （） A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值C 、既有极大值又有极小值D 、既无极大值也无极小值e ) = 1 ，2e且 f (-2) = 0 ，则不等式 xf (2x ) < 0 的解集为.【例 4】设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，在(-∞,0) 上有2xf ' (2x ) + f (2x ) < 0 ，然后利用积分、函数的性质求解即可. x n❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x ) + nf (x ) ”形式，为n = 3时情况，优先构造 F (x ) = f (x ) ，xf ' (x ) - 2 f (x ) < 0 ，可以推出 x > 0 ，F ' (x ) < 0 ，F (x ) 在(0,+∞) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 2 为偶函数，所以 F (x ) 为偶函数，∴ F (x ) 在 (-∞,0) 上单调递增.根据f (-1) = 0 可得 F (-1) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 f (x ) > 0 的解集为(-1,0)⋃(0,1).f '(x ) ⋅ x - 2 f (x ) ，当 x > 0 时， x 3'，则 F (x ) = f (x ) x 2 【解析】构造 F (x ) = 【解析】构造 F (x ) = xf (2x ) ，则 F ' (x ) = 2xf ' (x ) + f (2x ) ，当 x < 0 时， F ' (x ) = 2xf ' (x ) + f (2x ) < 0，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为奇函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为偶函数，∴ F (x ) 在(0,+∞) 上单调递增. 根据 f (-2) = 0 可得 F (-1) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (2x ) < 0 的解集为(-1,0) ⋃ (0,1) .❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x ) + nf (x ) ”形式，优先构造 F (x ) = xf (2x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意 f (-2) = 0 和 F (x ) 的转化.（2）利用 f (x ) 与e x 构造；f (x ) 与 e x 构造，一方面是对 u ⋅ v , uv函数形式的考察，另外一方面是对(e x ) = e x 的考察.所以对于 f (x ) ± f ' (x ) 类型，我们可以等同xf (x ), f (x ) 的类型处 x理，“ + ”法优先考虑构造 F (x ) = f (x ) ⋅ e x，“ ”法优先考虑构造 F (x ) = f (x ) ex .【例 5】已知 f (x ) 是定义在(-∞,+∞) 上的函数，导函数 f ' (x ) 满足 f ' (x ) < f (x ) 对于 x ∈ R 恒成立，则（）A 、 f (2) > e 2 f (0), f (2014) > e 2014 f (0)B 、 f (2) < e 2 f (0), f (2014) > e 2014 f (0)C 、 f (2) > e 2 f (0), f (2014) < e 2014 f (0)D 、 f (2) < e 2 f (0), f (2014) < e 2014 f (0)同样e x f (x ), f (x )是比较简单常见的 f (x ) 与e x 之间的函数关系式，如果碰e x我们根据得出的结论去解决例 6 题.enx 2、出现 f ' (x ) - nf (x ) 形式，构造函数 F (x ) =f (x ). 结论：1、出现 f ' (x ) + nf (x ) 形式，构造函数 F (x ) = e nx f (x ) ；； f ' (x )e nx - ne nx f (x ) = [ f ' (x ) - nf (x )] e 2nx e nx ， 'F (x ) =f (x ) e nx F (x ) = F (x ) = e nx f (x ) ， F ' (x ) = n ⋅ e nx f (x ) + e nx f ' (x ) = e nx [ f ' (x ) + nf (x )]；函数 f ' (x ) 满足 f ' (x ) < f (x )，则 F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在 R 上单调递减，根据单调性可知选 D.，导 f ' (x ) - f (x ) e xe xf ' (x ) - e x f (x ) = e 2 x '形式，则 F (x ) = f (x ) e x 【解析】构造 F (x ) = 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.ex ❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x ) - f (x ) < 0 ”形式，优先构造 F (x ) = f (x )，然后利用【例 6】若定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f ' (x ) - 2 f (x ) > 0, f (0) = 1，则不等式 f (x ) > e 2 x 的解集为则不等式 f (x ) > e 2 x - 2 的解集为(x -1)[ f '(x )- f (x )] > 0 ， f (2 - x ) = f (x )e 2-2 x ，则下列判断一定正确的是（）（A ） f (1) < f (0)（B ） f (2) > e 2 f (0)（C ） f (3) > e 3 f (0)（D ） f (4) < e 4 f (0)【变式提升】若定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f ' (x ) - 2 f (x ) - 4 > 0, f (0) = -1， e2 xf (0) = 1，则 F (0) = 1， f (x ) > e 2 x ⇔ f (x ) > 1 ⇔ F (x ) > F (0) ，根据单调性得 x > 0 . 导函数 f ' (x ) 满足 f ' (x ) - 2 f (x ) > 0 ，则 F ' (x ) > 0 ， F (x ) 在 R 上单调递增. 又∵ ， f ' (x ) - 2 f (x ) e2 x e 2 x f ' (x ) - 2e 2 x f (x ) = e 4 x '形式，则 F (x ) = f (x ) e 2 x 【解析】构造 F (x ) = 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. e 2 x ❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x ) - 2 f (x ) < 0 ”形式，优先构造 F (x ) = f (x ) ，然后利用【例 7】已知函数 f (x )在 R 上可导，其导函数为 f '(x )，若 f (x )满足： e 2 x e2 x ❀❀❀思路点拨：利用通式构造函数时考虑- 4如何转化.构造函数 F (x ) =f (x ) - 2函数 f ' (x ) 满足(x -1)[ f ' (x ) - f (x )] > 0 ，则 x ≥ 1时 F ' (x ) ≥ 0 ， F (x ) 在[1,+∞) 上单调递增 . 当 x < 1 时 F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在 (-∞,1] 上单调递减 . 又由 f (2 - x ) = f (x )e 2-2 x ⇔ F (2 - x ) = F (x ) ⇒ F (x ) 关于 x = 1对称，根据单调性和图像，可知选 C.，导 f ' (x ) - f (x ) e xe xf ' (x ) - e x f (x ) = e 2 x '形式，则 F (x ) =f (x ) e x 【解析】构造 F (x ) = 的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.ex ❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x ) - f (x ) ”形式，优先构造 F (x ) = f (x )，然后利用函数. f ' (x ) cos x + f (x ) s in x cos 2 x ' , F (x ) = f (x ) cos x F (x ) = F (x ) = f (x ) cos x , F ' (x ) = f ' (x ) cos x - f (x ) s in x ；； f ' (x ) sin x - f (x ) cos x sin 2 x ', F (x ) = f (x ) sin x F (x ) = F (x ) = f (x ) s in x , F ' (x ) = f ' (x ) sin x + f (x ) cos x ； , )（3）利用 f (x ) 与sin x , cos x 构造.sin x , cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.根据得出的关系式，我们来看一下例 8【例 8 】已知函数y = f (x )对于任意的x ∈ (- π π满足 2 2f '(x )cos x + f (x )sin x > 0 （其中 f '(x )是函数 f (x )的导函数），则下列不等式不成立的是（）A 、 π πππf ( ) < f ( ) 3 4 B 、f (- ) < f (- )3 4C 、 f (0) < π2 f ( )4D 、 f (0) < π2 f ( )3【变式提升】定义在 (0,π) 上的函数，函数 f 2' (x ) 是它的导函数，且恒有化后可知选 B.2 2π π'( ) ( ) 满足 f ' x cos x + f x sin x > 0 ，则F (x ) > 0 ，F (x ) 在(- , ) 上单调递增.把选项转'，导函数 f (x ) f ' (x ) cos x + f (x ) s in x cos 2x ' 形式，则 F (x ) = f (x ) cos x【解析】构造 F (x ) = 然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.cos x❀❀❀思路点拨：满足“ f '(x )cos x + f (x )sin x > 0 ”形式，优先构造 F (x ) = f (x )2 23 2 3 f (x ) < f ' (x ) tan x 成立，则（）π π πA 、 f ( ) > 4f ( ) 3 B 、 f (1) < 2 f ( ) sin16 π π π πC 、 f ( ) > 6 f ( ) 4D 、 f ( ) < 6f ( )3（二）构造具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.【例 9】α,β∈[- π π，且αsin α- βsin β> 0 ，则下列结论正确的是（）, ]2 2A 、α> βB 、α2 > β2C 、α< βD 、α+ β> 0【变式提升】定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (1) = 1 且对∀x ∈ R , f ' (x ) < 则不等式 f (log 2， 2 x ) > log 2 x +1 的解集为 . 2则 f ' (0) = （）A 、26B 、29C 、212D 、215【例10】等比数列{a n }中，a 1 = 2，a 8 = 4，函数 f (x ) = x (x - a 1 )(x - a 2 )...(x - a 8 ) ，，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可.22 t +1 2 f (t ) > ❀❀❀思路点拨：构造函数 F (x ) = f (x ) - 1 x 2 ，令t = log x ，然后原不等式等价于 2f ' (x ) ≥ 0， f (x ) 单调递增；x ∈[- π,0) 时导函数 f ' (x ) < 0， f (x ) 单调递减.有∵ f (x )2为偶函数，根据单调性和图像可知选 B. π'【解析】构造 f (x ) = x sin x 形式，则 f (x ) = sin x + x cos x ， x ∈[0, ] 时导函数❀❀❀思路点拨：构造函数 f (x ) = x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x ) sin x - f (x ) cos x ”形式，优先构造 F (x ) = f (x )，然后sin x利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.2⎪ = 8 ⎭1+1 ⎛ | 0 - 2 - 2 ⎫2为(0,-2) ，所以(a - c )2+ (b - d )2的最小值为⎝ d -11- c = 1 ⇒ d = 2 - c ⇒ g (x ) = 2 - x ；由 f ' (x ) = 1- 2e x = -1，得 x = 0 ，所以切点坐标xa 1 ⇒b = a - 2e 进而 ⇒ f (x ) = x - 2e ；又由b a - 2e a = 【解析】由 ❀❀❀思路点拨：把(a -c )2 + (b -d )2 看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可.❀❀❀思路点拨：构造函数 f (x ) = 2x 2 - 5 ln x ， g (x ) = -x ，然后利用两点之间的距离公式和数形结合思想求解即可.) )【例 11】已知实数a , b , c 满足a - 2e a b= 1- cd -1 = 1，其中e 是自然对数的底数，那么(a - c )2 + (b - d )2 的最小值为( )A 、8B 、10C 、12D 、18【变式提升】已知实数a , b 满足2a 2 - 5 l n a - b = 0 ，c ∈ R ，则的最小值为【课后作业】设函数 f (x ) 在 R 上的导函数 f ' (x ) ，在 (0,+∞) 上f ' (x ) < sin 2x ，且∀x ∈ R ，有 f (-x ) + f (x ) = 2 sin 2 x ，则以下大小关系一定正确的是（）f (5π 4π πA 、 ) < f ( )6 3B 、 f ( ) < 4f (π)C 、 f (- 5π< 6f (- 4π 3 D 、 f (- π> 4f (-π)8 1 2 f ' (x ) = g (x ) + xg ' (x ) ，∴ f ' (0) = g (0) = a ⋅ a ⋅...⋅ a = (2 ⨯ 4)4 = 212，故选 C.【解析】令 g (x ) = (x - a 1 )(x - a 2 )...(x - a 8 ) 形式，则 f (x ) = xg (x ) ，❀❀❀思路点拨：构造函数 f (x ) = xg (x ) ，然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可.(a - c )2 + (b + c )2)构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。

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