高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式 Word版含

合集下载

人教版高中数学选修4-5《3.2 一般形式的柯西不等式》

五. 当堂检测：
[练1](1)已知2 x 3 y 4z 10, 求x 2 y 2 z 2最小值;
(2)若9 x 2 12 y 2 5z 2 9, 求x 6 y 5z的最大值.
[练2]设x1 , x2 ,..., xn是正数, 求证 : 1 1 1 2 ( x1 x2 ... xn )( ... )n x1 x2 xn
三、归纳推理，形成新知：
3、三维形式的柯西不等式：
(a1b1 a2b2 a3b3 ) (a a a )(b b b )
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
当且仅当与共线时, 等号成立.
【探究】根据二维、三维形式的柯西不等式，若 ( a1 , a 2 , a 3 ,...,a n ), (b1 , b2 , b3 ,...,bn )
3.2一般形式的柯西不等式
选修4-5
一、温故知新：
1、柯西不等式的向量形式: 【定理2】设 , 是两个向量, 则| | | | | |
将平面向量的坐标 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )代入, 则上述不等式可化简为:
2、二维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 适用范围: 对任意实数都成立.
六.课堂小结: 基础三维形式知识：
一般形式
证明不等式
柯西不等式
求最值
基本思想方法： 1.探究方法：从特殊到一般. 2.思维方法：观察→归纳→证明. 七.课后作业: 1.巩固性作业:P41 习题3.2 第1,2, 4,6. 2.探究作业: 小组合作证明一般形式的柯西不等式.

高中数学选修4-5：32 一般形式的柯西不等式学案

3.2 一般形式的柯西不等式【学习目标】1. 掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条件2.基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值【自主学习】1. 三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？2. 一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件3. 结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用. 【自主检测】1. 已知,,0a b c > ，且1a b c ++=，则222a b c ++的最小值为＿＿＿＿ A.1 B.4 C. 13 D. 142. 设12,,,,n a a a R ∈，则22212n a a a n+++与12na a a n+++的大小关系为＿＿＿3. 若111,,0,1a b c abc>++=，则a b c ++的最小值是＿＿＿＿【典型例题】例1. 已知,,0a b c >，求证：()1. 9b c a a b c a b c b c a ⎛⎫⎛⎫++++≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222. 9a b c a b c abc ++++≥ ()2222222.b c c a a b abc a b c++≥++例2.(1)已知12,,,n a a a R ∈.求证：2211n ni i i i a n a ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑（2）已知1212,,,0,1n n a a a a a a >+++=.求证：2222231121223341112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --+++++≥+++++（3）已知1212,,,,,,,0n n a a a R b b b ∈>.求证：()222221231212312n n n na a a a a a ab b b b b b b +++++++≥+++例3.（1）已知22222212121,1n n a a a x x x +++=+++=，求1122n n a x a x a x +++的最大值（2）设,,,1a b c R a b c +∈++=，求222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值（3）若19x y z ++=,求函数2224916u x y z =+++++的最小值【课堂检测】1. 设12,,,,n a a a R ∈，则12naa a P n+++=与12111nnQ a a a =+++的大小关系为( )A. P Q >B. P Q ≥C. P Q <D. P Q ≤2. 设a,b,c ，d R +∈，且()1111P a b c d ab c d ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭，则P 的最小值为3. 已知491x y z ++=，则222x y z ++的最小值为4. 把一条长为m 的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四个正方形的面积和最小？【总结提升】1.由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，对不等式等号成立的条件更要对比来研究.2. 一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，形成一定的思维模式，在解决问题时才能灵活使用.。

人教版高中数学选修4-5第三讲第二节一般形式的柯西不等式教案1(2)

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

高二数学人教A版选修4-5课件：3.2 一般形式的柯西不等式

探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:由基本不等式得到 u=ax+by+cz≤5 是正确的,但这只
是能说明 u 的最大值有小于或等于 5 两种可能,并不能得出 u 的最大
值一定是 5.事实上,如果 u 的最大值为 5,错解中的三个不等式应同时
取“=”,于是 a=x,b=y,c=z,从而得出 a2+b2+c2=x2+y2+z2,即 t=5,这是不
=
��时,等号成立,此时
u=ax+by+cz
的最大值为
3,从
而 t 的最小值为 3.
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
12345
1.已知 x,y,z>0,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是(
.
解析:由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时,等号成立,所
以a2+4b2+9c2的最小值为12.
答案:12
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
x=251,y=-1,z= 159或
x=-151,y=-3,z=151
时等号成立.
∴25×1≥(x+y+z-2)2.

高中数学人教A版选修4-5配套课件：3-2《一般形式的柯西不等式》

课前自主学习
课堂讲练互动
解析
≥
1 4 9 利用柯西不等式，(x＋y＋z) x＋y＋ z
1 2 3 2 x· ＋ y· ＋ z· ＝36， x y z
1 4 9 1 2 12 1 1 2 ∴ ＋＋ ≥36，当且仅当 x ＝ y ＝ z ，即 x＝，y＝，z x y z 4 9 6 3 1 ＝2时等号成立．
课堂讲练互动
自学导引
1．三维形式的柯西不等式
设 a1 ， a2 ， a3 ， b1 ， b2 ， b3∈R ，则 (a ＋ a ＋ a)·(b ＋ b ＋ b)≥ (a1b1＋a2b2＋a3b3)2 .当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在时，等号成一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 立．
2 2 ＋ b
2 2 c
2 2 2 2 a· a＋ b· b＋ c· c ＝18.
2 2 2 ∴ ＋＋ ≥2. a b c
答案 2
课前自主学习课堂讲练互动
题型一利用柯西不等式证明不等式 2 2 【例 1】设 a，b，c 为正数且互不相等，求证：＋＋ a＋b b＋c 2 9 > . c＋a a＋b＋c
答案 C
课前自主学习
课堂讲练互动
2 2 2 3．设 a、b、c 是正实数，且 a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值 a b c 是________．
2 2 2 ∵(a＋b＋c)a＋b＋ c
2 2 2
解析
＝[( a) ＋( b) ＋( c) ]
≥

2 2 ＋ a
课前自主学习
课堂讲练互动
试一试：在空间向量中，有 |α||β|≥|α·β| ，据此推导三维的柯西不等式的代数形式．

高二数学人教A版选修4-5教案：3.1二维形式的柯西不等式 Word版含解析

3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．二、课时安排 1课时三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．五、教学过程（一）导入新课复习基本不等式。

（二）讲授新课教材整理二维形式的柯西不等式（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．【自主解答】设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p3＋q3·p ＋q ＝2p ＋q.又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x2＋y2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？【解】设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p2＋q2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1，即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4.所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．【自主解答】由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5，所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.【证明】根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a22－a ＋b22－b ＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a 2－a ＋2－b·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2，当且仅当2－a·b 2－b ＝2－b·a2－a，即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a22－a ＋b22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测 1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为()A.13B ．169C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是() A ．26B.6C ．6D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫45，－35 六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思。

人教A数学选修4-5同步学案：第三讲二一般形式的柯西不等式 Word含答案

二一般形式的柯西不等式学习目标 1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．知识点一三维形式的柯西不等式思考1类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？答案设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则|α|＝a21＋a22＋a23，|β|＝b21＋b22＋b23.∵|α||β|≥|α·β|，∴a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23≥|a1b1＋a2b2＋a3b3|，∴(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.思考2三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．梳理三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2,3)时等号成立．知识点二一般形式的柯西不等式1．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.2．柯西不等式等号成立的条件当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时等号成立.类型一利用柯西不等式证明不等式命题角度1三维形式的柯西不等式的应用例1 设a ，b ，c 为正数，且不全相等．求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c .证明构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得 (a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c .由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c . 因为题设中a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c.反思与感悟有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 证明由柯西不等式知，左边＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a b×b a＋b c×c b＋c a×a c 2＝(1＋1＋1)2＝9， ∴原不等式成立．命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用例2 设a 1，a 2，…，a n 为正整数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .证明由柯西不等式，得⎝⎛⎭⎫a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1(a 2＋a 3＋…＋a 1)≥⎝⎛⎭⎫ a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 12 ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，故a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 反思与感悟一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．跟踪训练2 已知a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1≥12.证明 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n a n ＋a 1×2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n a n ＋a 1[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋…＋(a n ＋a 1)]≥⎝⎛a 21a 1＋a 2·a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3·a 2＋a 3＋…⎭⎪⎫＋a 2na n ＋a 1·a n ＋a 12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝1， ∴a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2na n ＋a 1≥12. 类型二利用柯西不等式求函数的最值例3 (1)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝a (a 为常数)，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． (2)已知0＜x ＜1,0＜y ＜1，则函数f (x )＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2的最小值是________．答案 (1)a 214(2) 2解析 (1)∵(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝a 2，当且仅当1x ＝2y ＝3z 时取等号，即14(x 2＋y 2＋z 2)≥a 2，∴x 2＋y 2＋z 2≥a 214，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为a 214.(2)x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2≥[x －(x －1)]2＋[y －(y －1)]2＝2，故f (x )的最小值为 2.反思与感悟利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．跟踪训练3 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c ，又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝⎛⎭⎫a 2×2＋b3×3＋c ×12 ＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87，当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87.1．已知x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝2，则x ＋2y ＋3z 的最大值为( ) A ．27 B ．2 3 C ．4 D ．5 答案 C解析 ∵(x ＋2y ＋3z )2＝(1·x ＋2·y ＋3·z )2≤[12＋22＋(3)2][(x )2＋(y )2＋(z )2] ＝8(x ＋y ＋z )＝16(当且仅当x ＝14y ＝13z ＝14时取等号)，∴x ＋2y ＋3z ≤4.2．若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝1，则a ＋2b ＋3c 的最小值为( )A ．9B ．3 C. 3 D ．6 答案 A解析由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥(1＋1＋1)2＝9， ∴a ＋2b ＋3c 的最小值为9.3．设a ，b ，c ，d 均为正实数，则(a ＋b ＋c ＋d )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＋1d 的最小值为________．答案 16解析 (a ＋b ＋c ＋d )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＋1d＝[(a )2＋(b )2＋(c )2＋(d )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2＋⎝⎛⎭⎫1c 2＋⎝⎛⎭⎫1d 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c ＋d ·1d 2＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16，当且仅当a ＝b ＝c ＝d 时取等号．4．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13.。

新人教A版高中数学(选修4-5)《二维形式的柯西不等式》word教案

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii ini i i b a a b a 21)(.当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

人教A版高中数学选修4-5：第二讲柯西不等式教学案

第二讲柯西不等式一、内容及其解析本节课要学习的内容是柯西不等式的内容及应用，其关键是柯西不等式的应用。

学生已经掌握了一些形式优美而且具有重要应用价值的不等式（称为经典不等式），柯西不等式就是这样的不等式，通过本讲的学习，可以让学生领略这些不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养。

学习的重点是柯西不等式的内容及应用，解决重点的关键是认识柯西不等式的内容，并能将相关式子转化成柯西不等式的结构形式。

二、目标及其解析目标定位：1.理解掌握柯西不等式的内容与意义；2.会用柯西不等式证明不等式关系，求相关函数的最值。

目标解析：目标定位1就是指掌握不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+的结构特征与几何意义、向量意义。

目标定位2就是指能将要证不等式转化为柯西不等式的结构，从而能用柯西不等式证明不等式和求函数的最值。

三、教学过程设计问题1.什么是二维形式的柯西不等式？设计意图：让学生通过类比方法理解二维形式的柯西不等式的内容与意义，并能利用它证明不等式式、求函数的最值。

师生活动：1.探究：222(,)a b ab a b +≥为实数是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。

现在考虑乘积2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。

你能类比222(,)a b ab a b +≥为实数的推导过程，研究一下关于它的不等关系吗？2.总结：二维形式的柯西不等式是： 22222()()()a b c d ac bd ≥+++（a,b,c,d 都是实数，当且仅当ad=bc 时，等号成立）3.二维形式的柯西不等式的几何意义是什么？设(,),(,)OM a b ON c d ==，则由OM ON OM ON ⋅≥⋅可得： 2222a b c c dd a b +++≥；即 22222()()()a b c d ac bd ≥+++ 4.推论：（12222a bc cd d a b +++≥；（22222a b c c d d a b +++≥5.应用：例1.已知,a b 为实数，证明4422332()()()a b a b a b ++≥+ 例2.求函数()51102f x x x =-+-的最大值。

人教A版选修4-5 3.2 一般形式的柯西不等式学案

二一般形式的柯西不等式第10课时一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a 2b2＋a3b3)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2,3)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b2n＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．知识点一三维形式的柯西不等式的应用1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是( ) A．1 B. 3C．3 D．9解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)[(a)2＋(b)2＋(c)2]≥(a＋b＋c)2，∴(a＋b＋c)2≤3(a＋b＋c)＝3×1＝3，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．∴a＋b＋c的最大值为 3.答案：B2．(2019·安徽合肥一中月考)设a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋4c2＝1，则a＋b＋2c的最大值为( )A．5 B.10 2C．8 D.13 2解析：由柯西不等式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫122(a ＋b ＋4c 2)≥(a ＋b ＋2c )2，∴a ＋b ＋2c ≤52，当且仅当a ＝25，b ＝25，c ＝510时，等号成立，∴a ＋b ＋2c 的最大值为102，故选B.答案：B3．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2](12＋12＋12)≥[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x ＋y ＋z ＋1)2＝4，故(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43等号成立，当且仅当x －1＝y ＋1＝z ＋1，而又因x ＋y ＋z ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝－13，时等号成立z ＝－13.所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：证法一：因为(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13，所以[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x －2＝y －1＝z －a ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ＋23，y ＝1－a ＋23，z ＝a －a ＋23时有[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2＝(a ＋2)2成立．所以(a ＋2)2≥1成立，所以有a ≤－3或a ≥－1.证法二：若a ≤－3或a ≥－1不成立，那么－3<a <－1成立，则(a ＋2)2<1，而[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]·(12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2左面等号成立，当且仅当x －2＝y －1＝z －a ，又因为x ＋y ＋z ＝1，所以x －2＝y －1＝z －a ＝－a ＋23.故此时[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2＝(a ＋2)2<1，即(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2<13，与原命题矛盾．故假设错误，即a ≤－3或a ≥－1.知识点二一般形式的柯西不等式的应用4．(2019·广东梅州检测)已知a ，b ，c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B＝a ＋b ＋c 3，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B解析：因为(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c29，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，又a ，b ，c 均大于0，所以a ＋b ＋c >0，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，即A ≥B ，故选B.答案：B5．实数a i (i ＝1,2,3,4,5,6)满足(a 2－a 1)2＋(a 3－a 2)2＋(a 4－a 3)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 5)2＝1，则(a 5＋a 6)－(a 1＋a 4)的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 6D ．1解析：因为[(a 2－a 1)2＋(a 3－a 2)2＋(a 4－a 3)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a 2－a 1)×1＋(a 3－a 2)×1＋(a 4－a 3)×1＋(a 5－a 4)×2＋(a 6－a 5)×1]2＝[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2，所以[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2≤8，即(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)≤2 2.答案：B6．设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证： 1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.证明：∵x 1，x 2，…，x n 都是正数， ∴(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n·1x n 2＝n 2， ∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.一、选择题1．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是( )A. 2 B．1C．3 D．9解析：∵2x＋5y＝2x·1＋5y·1≤2x2＋5y2·12＋12＝1·2＝2，∴2x＋5y的最大值为 2.答案：A2．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为( )A．5 B．4C．4 5 D．－4 5解析：a·b＝(1,0，－2)·(x，y，z)＝x－2z，由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥[1×x＋0×y＋(－2)×z]2＝(x－2z)2，当a 与b共线时，等号成立．∴(x－2z)2≤5×16，∴－45≤x－2z≤45，即－45≤a·b≤4 5.∴a·b的最大值为4 5.答案：C3．若2x＋3y＋5z＝29，则函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值为( )A. 5 B．215C．230 D.30解析：由柯西不等式得u2＝(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)2＝(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2≤(12＋12＋12)(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)＝3(2x ＋3y＋5z＋11)＝3×(29＋11)＝120，∴u≤230，故选C.答案：C4．(2019·山东武城期中)已知a，b，c，d，e是满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16的实数，则e的最大值为( )A．3 B．4C．5 D.16 5解析：因为(a＋b＋c＋d)2≤4(a2＋b2＋c2＋d2)，所以(8－e)2≤4(16－e2)，解得0≤e≤165，所以e的最大值为165，故选D.答案：D5．(2019·辽宁沈阳二阶考试)已知a2＋b2＋c2＝1，若a＋b＋2c≤|x ＋1|对任意实数a，b，c恒成立，则实数x的取值范围是( ) A．x≥1或x≤－3 B．－3≤x≤1C．x≥－1或x≤3 D．－1≤x≤3解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)[12＋12＋(2)2]≥(a＋b＋2c)2，∵a 2＋b 2＋c 2＝1，∴(a ＋b ＋2c )2≤4，∴a ＋b ＋2c ≤2，又a ＋b ＋2c ≤|x ＋1|对任意实数a ，b ，c 恒成立，∴|x ＋1|≥2，解得x ≤－3或x ≥1，故选A. 答案：A 二、填空题6．设x ，y ，z 为正数，且x ＋2y ＋3z ＝7，则4x ＋2y ＋3z的最小值是__________．解析：∵(x ＋2y ＋3z )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2y ＋3z ≥(2＋2＋3)2＝49，∴4x ＋2y ＋3z ≥7.当x ＝2，y ＝z ＝1时取等号．答案：77．已知x 2＋y 2＋z 2＝14，则|x ＋2y ＋3z |的最大值是________．解析：∵(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)＝142，当且仅当x 1＝y 2＝z3时取等号．∴|x ＋2y ＋3z |≤14.答案：148．(2019·河北邢台训练)设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.解析：由柯西不等式知，25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36.当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取等号，∴a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，∴a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)，即25＝36k 2，∴k ＝56，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k x ＋y ＋zx ＋y ＋z＝k ＝56.`答案：56三、解答题9．设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解：由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22≥⎝⎛⎭⎪⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴|x ＋y ＋z |≤5，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5，即x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．10．(2019·皖江八校联考)若n 是不小于2的正整数，求证：47<1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n <22. 证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＋12n －2⎝ ⎛ 12＋14＋⎭⎪⎫ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 所求证不等式转化为47<1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <22. 由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n )]≥n 2，所以1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n≥n 2n ＋1＋n ＋2＋ (2)＝n 2n 3n ＋12＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47.又由柯西不等式，得 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n < 12＋12＋…＋12]n 项⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋12＋1n ＋22＋…＋12n2) <n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22. 综上所述，原不等式成立．。

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案：第三讲二一般形式的柯西不等式

二一般形式的柯西不等式对应学生用书P32名称形式等号建立条件三维形式柯设 a1， a2，a3， b1，b2， b3∈R，则 (a12＋当且仅当 b1＝ b2＝ b3＝ 0 或存在一个a22＋ a32)(b12＋ b22＋ b32)≥ (a1b1＋ a2b2＋西不等式实数 k 使得 a i＝ kb i( i＝ 1,2,3)2a3b3)一般形式柯设 a1，a2，a3，， a n，b1，b2，b3，，当且仅当 b i＝ 0(i＝ 1,2，， n)或存b n是实数，则 (a12＋ a22＋＋ a n2) ·(b12＋b22 在一个实数 k，使得 a i＝ kb i (i＝西不等式＋＋ b n2)≥ (a1b1＋ a2b2＋＋ a n b n)2 1,2，， n)[说明 ]一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的概括与推行，其特色可类比二维形式的柯西不等式来总结，左侧是平方和的积，右侧是积的和的平方．在使用时，重点是结构出切合柯西不等式的结构形式．对应学生用书P32利用柯西不等式证明不等式[例 1] 设 x1 ，x ，， x 都是正数，求证：1＋1＋＋1≥n22 n 1 2 n 1 ＋ x ＋＋ x .x[思路点拨 ] 依据一般柯西不等式的特色，结构两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．1 1 1[证明 ] ∵(x1＋ x2＋＋x n) x1 ＋x2 ＋＋x n＝ [(2 2 2 1 2 1 2＋＋1 2≥x1) ＋ ( x2) ＋＋ ( x n ) ] x1＋x2 x n1 1＋＋1 2＝ n2，x1·＋x2·x n·x1 x2 x n1 1＋＋1≥n2.∴ ＋x nx1 x2 x1＋ x2＋＋ x n柯西不等式的结构特色能够记为：(a1＋ a2＋＋ a n) ·(b1＋ b2＋＋ b n)≥ (a1 b1＋a2b2＋＋a n b n)2.此中 a i， b i∈R＋( i＝ 1,2，， n)，在使用柯西不等式时要擅长从整体上掌握柯西不等式的结构特色，正确地配凑出公式双侧的数是解决问题的重点．1．已知 a， b， c， d∈R＋，且 a＋ b＋ c＝ 1，求证：3a＋ 1＋3b＋ 1＋3c＋ 1≤ 3 2.证明：依据柯西不等式，有( 3a＋1＋3b＋ 1＋3c＋ 1)2≤(1＋ 1＋ 1)(3a＋1＋ 3b＋ 1＋ 3c＋ 1)＝ 18，∴ 3a＋ 1＋3b＋ 1＋3c＋ 1≤ 3 2.利用柯西不等式求最值[例 2](1)已知 x， y， z∈R＋，且 x＋ y＋z＝ 1.求1x＋4y＋9z的最小值．(2)设 2x＋ 3y＋5z＝ 29.求函数μ＝2x＋ 1＋3y＋ 4＋5z＋ 6的最大值．1 4 9 1 4 9[思路点拨 ] (1) 利用x＋y ＋z＝x＋y＋8 (x＋ y＋ z)．(2)利用 ( 2x＋1＋ 3y＋ 4＋5z＋ 6)2＝1× 2x＋ 1＋ 1× 3y＋ 4＋1×5z＋2 6) .[解 ] (1) ∵x ＋ y ＋ z ＝ 1，1 4 9 1 49(x ＋ y ＋ z)∴ ＋＋＝x ＋＋x y z y z ≥1232· x ＋· y ＋· zxyz＝ (1＋ 2＋ 3) 2＝36.y z当且仅当 x ＝ 2＝3，11 1即 x ＝6， y ＝ 3， z ＝ 2时取等号． 1 4 9所以 x ＋ y ＋ z 的最小值为 36.(2)依据柯西不等式，有( 2x ＋ 1·1＋ 3y ＋ 4·1＋ 5z ＋ 6·1)2≤ [(2x ＋ 1)＋ (3y ＋4) ＋ (5z ＋ 6)] ·(1＋ 1＋1)＝ 3× (2x ＋3y ＋ 5z ＋ 11) ＝ 3× 40＝ 120.故2x ＋1＋3y ＋ 4＋ 5z ＋ 6≤ 2 30，当且仅当 2x ＋ 1＝3y ＋ 4＝ 5z ＋ 6，即 x ＝376， y ＝289， z ＝ 2215时等号建立．此时 μ ＝ 2 30.max利用柯西不等式求最值时，重点是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号建立的条件．1 1 1 1的最小值为 ________．2．设 a ， b ， c ，d 均为正实数，则 (a ＋b ＋ c ＋ d) ·＋＋＋da b c1 1 1 1分析： (a ＋b ＋ c ＋ d) ·＋＋＋da b c2222121 2 1 2 1 2 ≥＝ [( a) ＋ ( b) ＋ ( c) ＋ ( d) ] · a ＋ b＋c ＋ d1 1 1 1 2＝(1＋1＋ 1＋ 1)2＝ 42＝ 16，a · ＋b · ＋c · ＋d ·a b c d当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ d 时取等号．答案： 163．已知： x ， y ，z ∈R ＋且 x ＋y ＋ z ＝ 2，则 x ＋ 2 y ＋ 3z 的最大值为 ( )A ．2 7B ． 2 3C ．4D ． 5分析： ∵(x ＋ 2 y ＋ 3z)2 ＝ (1× x ＋ 2 y ＋ 3· z)2 ≤(1 2＋ 22＋ ( 3) 2)[( x)2 ＋ ( y)2＋2]＝ 8(x ＋ y ＋ z)＝ 16.1 1 1 时取等号 .( z)当且仅当 x ＝ y ＝ z ＝443∴ x ＋ 2 y ＋ 3z ≤ 4.答案： C4．把一根长为 12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：如何截法，才能使围成的三个正方形面积之和 S 最小，并求此最小值．解：设三段绳索的长分别为 x ， y ， z ，则 x ＋ y ＋ z ＝ 12，三个正方形的边长分别为 x ， y ，4 4 zx 2 y 2z 2 1 2 2 24均为正数，三个正方形面积之和：S ＝ 4 ＋ 4 ＋ 4＝ 16(x＋ y ＋ z )．∵(12＋ 12＋ 12)( x 2＋ y 2＋ z 2)≥ (x ＋ y ＋ z)2＝ 122，即 x 2＋ y 2＋ z 2≥ 48.进而 S ≥ 1×48＝3. 16x y z当且仅当 1＝ 1＝1时取等号，又 x ＋ y ＋z ＝ 12，∴x ＝ y ＝ z ＝4 时， S min ＝3.故把绳索三平分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.对应学生用书 P33＋1＋ 1＋ 1＝ 1，则 a ＋ 2b ＋ 3c 的最小值为 ()1．若 a ， b ， c ∈R，且a 2b 3cA ． 9 B． 3 C. 3 D． 6分析：柯西不等式得 a＋2b＋ 3c＝ (a＋ 2b＋ 3c) 1＋ 1 ＋1≥ (1＋1＋ 1)2＝9，a 2b 3c∴a＋ 2b＋ 3c 的最小值为 9.答案：A2．已知 a1 2＋ a2 2＋＋ a n 2＝ 1，x1 2＋ x2 2＋＋ x n 2＝ 1，则 a1x1＋ a2x2＋＋ a n x n的最大值是 ( )A ． 1 B． 2C．3 D． 4分析： (a1x1＋ a2x2＋＋ a n x n)2≤ (a1 2＋ a2 2＋＋ a n 2)(x1 2＋ x2 2＋＋ x n 2)＝ 1× 1＝ 1，当x1 x2 x n且仅当a1＝a2＝＝a n＝ 1 时取等号．∴a1x1＋ a2x2＋＋ a n x n的最大值是 1.答案： A3．已知 a2＋ b2＋ c2＋ d2＝ 5，则 ab＋ bc＋cd＋ ad 的最小值为 ()A ． 5 B．－ 5C．25 D．－ 25分析： (ab＋ bc＋ cd＋ da) 2≤ (a2＋ b2＋ c2＋ d2) ·(b2＋ c2＋ d2＋ a2)＝ 25，当且仅当a＝ b＝ c 5＝d＝±2 时，等号建立．∴ab＋ bc＋ cd＋ bd 的最小值为－ 5.答案： B4． (湖北高考 )设 a， b， c，x， y， z 是正数，且a2＋ b2＋ c2＝ 10， x2＋ y2＋ z2＝ 40，ax＋by＋ cz＝ 20，则a＋b＋c＝ ( ) x＋y＋ z1 1A. 4B. 31 3C.2D.4分析：由柯西不等式得， (a2＋ b2＋ c2)( x2＋ y2＋ z2)≥ (ax＋ by＋ cz) 2＝ 400，当且仅当a＝b＝x yc 1 a＋ b＋ c 1 z＝2时取等号，所以有＝2.x＋y＋ z答案： C2 2 2获得最小值时， x ，y ，z 形成的点 (x ，y ，z)＝ ________.5．已知：2x ＋ 3y ＋ z ＝ 8，则 x ＋ y ＋ z (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 282 32 分析：由柯西不等式＋ 3 ＋ 1 )(x ＋ y ＋ z )≥ (2x ＋ 3y ＋ z) ，即 x ＋ y ＋ z ≥14＝ 7 .当且仅当 x 2＝ y3＝ z 时等号建立．又2x ＋ 3y ＋ z ＝ 8，解得： x ＝ 8， y ＝12， z ＝ 4，7 7 78 12 4 所求点为 7，7 ， 7 .答案： 87， 127， 746．设 a ， b ， c 为正数，则 (a ＋ b ＋ c) 4＋ 9＋36的最小值是 ________．a b c4 9 36分析： (a ＋b ＋ c) a ＋ b ＋ c＝ [(2＋ (2 2]2 2＋3 26 2a)b) ＋ ( c)a b＋c≥2 3 62a · ＋b · ＋c ·abc＝ (2＋ 3＋ 6) 2＝121.当且仅当a b c2＝ 3＝ 6＝ k(k 为正实数)时，等号建立．答案：1217．已知 a ， b ， c ∈ R ＋且a ＋b ＋c ＝ 6，则2a ＋2b ＋ 1＋2c ＋ 3的最大值为________．解析：由柯西不等式得： ( 2a ＋ 2b ＋ 1 ＋ 2c ＋ 3 )2 ＝ (1× 2a ＋ 1× 2b ＋ 1 ＋ 1× 2c ＋3) 2≤ (12＋ 12＋ 12)(2a ＋ 2b ＋1＋ 2c ＋ 3)＝ 3(2× 6＋ 4)＝ 48.当且仅当2a ＝ 2b ＋ 1＝ 2c ＋ 3，即 2a ＝ 2b ＋ 1＝2c ＋ 3 时等号建立．又 a ＋b ＋ c ＝ 6，∴a ＝ 83， b ＝ 136， c ＝ 76时，2a ＋2b ＋ 1＋2c ＋ 3获得最大值4 3.答案：4 38 ．在△ ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2 ＋ b 2 ＋211＋ 12c )2 ＋22 C ≥36R .sin Asin B sin证明： ∵ab csin A ＝ sin B ＝ sin C ＝2R ，2 2 21 1 1 ∴(a ＋ b＋ c ) sin 2A ＋ sin 2B ＋sin 2C≥ a ＋ b ＋ c2＝ 36R 2.sin A sin B sin C9．务实数 x ， y 的值使得 (y － 1)2＋ (x ＋ y － 3)2＋ (2x ＋ y －6) 2 取到最小值．解：由柯西不等式，得(12＋ 22＋ 12) ×[(y － 1) 2＋ (3－ x － y)2 ＋(2x ＋ y － 6)2 ]≥ [1×(y － 1)＋ 2×(3－ x － y)＋ 1×(2x ＋ y － 6)] 2＝1，即 (y － 1)2＋ (x ＋ y － 3)2＋ (2x ＋ y － 6)2≥1. 6y － 1 3－ x － y 2x ＋ y － 6当且仅当1＝ 2＝1，55即 x ＝ 2， y ＝ 6时，上式取等号．1此时有最小值 6.222210．已知实数 a ， b ， c ， d 知足 a ＋b ＋ c ＋ d ＝ 3， a ＋ 2b ＋ 3c ＋ 6d ＝5，求 a 的最值．有 (2b 2＋ 3c 2＋ 6d2) 12＋ 13＋ 16 ≥ (b ＋ c＋d)2，即 2b 2＋ 3c 2＋ 6d 2≥ (b ＋ c ＋ d)2，由条件可得， 5－ a 2≥ (3－ a)2，解得 1≤ a ≤ 2，当且仅当 2b ＝3c ＝ 6d 时等号建立，1 1 12 3 6代入代入b ＝ 1，c ＝ 1，d ＝ 1时， a max ＝ 2，2 3 6 b ＝ 1， c ＝ 2， d ＝1时， a min ＝1.3 3。

2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案3.2一般形式的柯西不等式导学案 Word版含解析

一般形式的柯西不等式
学习目标
.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．
.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.
一、自学释疑
根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究
探究．如何理解柯西不等式的结构特征？
探究．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为＝(＝…，)，可以吗？
名师点拨：
.三维形式的柯西不等式
三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对不等式等号成立的条件加深理解．
．一般形式的柯西不等式
定理称为柯西不等式的一般形式，它主要用来证明不等式和解决一些实际应用的最值问题．在使用柯西不等式时需要掌握一些方法技巧，如：巧拆常数，重新安排某些项的次序，
适当的拼凑项、添项等，以构造出符合柯西不等式的形式及条件，达到使用柯西不等式证明的目的．
对于许多不等式问题，应用柯西不等式来解往往简单快捷，要正确理解柯西不等式，只有掌握了它的结构特征，才能灵活应用.
【例】已知，，∈＋，
求证：≥.
【变式训练】已知，，∈＋，且＋＋＝.
求证：＋＋≥.
【例】设，，为正实数，且＋＋＝，求证：＋＋≤.
【变式训练】已知，，∈＋，且＋＋＝，求＋＋的最大值．。

人教A版选修4-5 第三章二一般形式的柯西不等式学案

二一般形式的柯西不等式1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式．2．会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题．1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，b i＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，3)时，等号成立．2设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况．( ) (2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来．( )(3)柯西不等式中的字母a ，b ，c ，…具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变．( )(4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知x ，y ，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．1B ．13C ．12D ．3答案：B3．设a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1B ． 3C ．3D ．9 答案：B4．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时，等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：12利用柯西不等式证明不等式(1)设a ，b ，c 为正数，求证a 2b ＋b 2c＋c 2a≥a ＋b ＋c . (2)设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 为正实数，求证：a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n. 【证明】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c )2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2. 因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a ＋b ＋c ＞0，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n (b 1＋b 2＋…＋b n )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋…＋a n b n ·b n 2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2.因为b 1，b 2，…，b n 为正实数，所以b 1＋b 2＋…＋b n >0.所以a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n.当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.1.已知正数a ，b ，c ，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明：构造两组数ab ，bc ，ca ；ca ，ab ，bc ，则由柯西不等式得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2·c 2a 2＋a 2b 2＋b 2c 2≥ab ·ca ＋bc ·ab ＋ca ·bc ，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .2．已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1. 求证：|a ＋b ＋c |≤ 3.证明：由柯西不等式，得(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3. 所以－3≤a ＋b ＋c ≤3，所以|a ＋b ＋c |≤ 3.用三维形式柯西不等式求最值设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．【解】因为(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3）2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫a ×3＋2b ×1＋3c ×132＝(3a ＋2b ＋c )2，所以(3a ＋2b ＋c )2≤13×⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13＝1323.所以3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a3＝2b 1＝3c 13时，等号成立．又a ＋2b ＋3c ＝13，所以当a ＝9，b ＝32，c ＝13时，(3a ＋2b ＋c )max ＝1333.利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值．解：根据柯西不等式，有(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2 ≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40 ＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230，当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax ＝230.1．对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．2．一般形式柯西不等式成立的条件由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0⇔f (x )min ＝0⇔a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0⇔b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n. 【规范解答】构造三维柯西不等式求最值(本题满分7分)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．【解】 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(3分) (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得(14a 2＋19b 2＋c 2)(4＋9＋1)≥(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. (5分)当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.(7分)(1)结合本题特征，用绝对值三角不等式求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值简单快捷非常方便，此外本题也可作出函数f (x )的图象，利用数形结合思想方法求解．(2)本题第(2)问的求解显然需要构造三维形式柯西不等式的条件及结构特点，因为现有的两组数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2，19b 2，c 2和(a ，b ，c )，因此需构造一组常数(4，9，1)才能符合三维柯西不等式的条件．1．若x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝1，求m ＝2x ＋2y ＋5z 的最大值．解：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)[(2)2＋(2)2＋(5)2]≥(2x ＋2y ＋5z )2，当且仅当x2＝y 2＝z5时，等号成立，所以－3≤2x ＋2y ＋5z ≤3，因此m 的最大值为3.2．已知α1，α2，…，αn是平面凸n边形的内角的弧度数，求证：1α1＋1α2＋…＋1αn≥n2（n－2）π.证明：由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn)(1α1＋1α2＋…＋1αn)≥(α1·1α1＋α2·1α2＋…＋αn·1αn)2＝n2.因为α1＋α2＋…＋αn＝(n－2)π，所以1α1＋1α2＋…＋1αn≥n2（n－2）π，当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝n－2nπ时，等号成立．。

新人教A版高中数学(选修4-5)《第三讲柯西不等式与排序不等式》word教案

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+22c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题. 第二课时3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→变式：y → 推广：(,,,,,)y b c d e f x a b c d e f R+=-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法（数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥. 3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B A C -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和)121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。

高中数学人教A版选修4-5学案：第3讲 2 一般形式的柯西不等式 Word版含解析

二一般形式的柯西不等式1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 三维形式的柯西不等式阅读教材P 37～P 38“探究”以上部分，完成下列问题．设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 22＋a 23)·(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当且仅当b 1＝b 2＝b 3＝0或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．已知x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．1 B.13 C.23 D ．2【解析】根据柯西不等式，x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1×x ＋1×y ＋1×z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13.【答案】 B教材整理2 一般形式的柯西不等式阅读教材P 38～P 40，完成下列问题．设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b i ＝0(i＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D.4【解析】 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x na n＝1时取等号，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用柯西不等式求最值已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c ＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c )＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2][(a )2＋(2b )2＋(3c )2]≥⎝⎛⎭⎪⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c 2＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2， ∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立，综上，当a ＝b ＝c ＝3时， a ＋2b ＋3c 取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【解】由柯西不等式，知(x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)．又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*)当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立， ∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198.运用柯西不等式求参数的取值范围已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0. 且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy ＝1. 又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12⎝⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32，当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立． ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32. 故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤λ恒成立时，应有λ≥32.因此λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围.【导学号：32750052】【解】由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ，由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， (2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[1,2]．[探究共研型]利用柯西不等式证明不等式探究 a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？【提示】不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a b a ＋c b ＋ac ≥9.【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab ，a 2＝bc ，a 3＝c a ，b 1＝ba ，b 2＝cb ，b 3＝ac ，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式，知 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c a 2]×[⎝⎛⎭⎪⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a c 2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c 2 ＝(1＋1＋1)2＝9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋bc ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥9.1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c＝(a＋2b＋3c)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋12b＋13c≥⎝⎛⎭⎪⎫a·1a＋2b·12b＋3c·13c2＝9.[构建·体系]一般形式的柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—三维形式—一般形式—一般形式的应用1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为()A．18 B．6C．－18 D.12【解析】|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18.∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a·b最小，最小值为－18.【答案】 C2．若a21＋a22＋…＋a2n＝1，b21＋b22＋…＋b2n＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的取值范围是()A．(－∞，2) B．[－2,2]C．(－∞，2] D.[－1,1]【解析】∵(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2≤4，∴|a1b1＋a2b2＋…＋a n b n|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n≤2，当且仅当a i＝12b i(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B. 【答案】 B3．(2014·陕西高考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．【解析】根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5. 【答案】54．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值为________.【导学号：32750053】【解析】由a ，b ，c 为正数， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝121，当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k >0)时等号成立．故(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值是121.【答案】 1215．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值．【解】由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评（十）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是() A．1 B. 3C．3 D.9【解析】由柯西不等式得[(a)2＋(b)2＋(c)2](12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2，∴(a＋b＋c)2≤3×1＝3，当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．∴a＋b＋c的最大值为 3.故选B.【答案】 B2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值为()【导学号：32750054】A．4 B．3 C．6 D.2【解析】 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 【答案】 D3．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD.不确定【解析】由柯西不等式知≥a 1＋a 2＋…＋a n ， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n ，即得a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n，∴P ≥Q .【答案】 B4．若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11 D.611【解析】 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋13≥2x ·12＋y ·1＋3z ·13＝(x ＋y ＋z )2＝1，∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611，即F ≥611，当且仅当2x ＝y ＝3z 时，取等号．【答案】 D5．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36 D ．48 【解析】 (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36. 【答案】 C 二、填空题6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，则(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是__________．【解析】由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2. ∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499， ∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499. 【答案】 4997．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．【答案】 128．设x ，y ，z ∈R ，若(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2＝4，则3x －y －2z 的取值范围是__________．又3x －y －2z 取最小值时，x 的值为__________．【解析】 [(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2][32＋(－1)2＋ (－2)2]≥(3x －3－y －2－2z )2,4×14≥(3x －y －2z －5)2， ∴－214≤3x －y －2z －5≤214，即5－214≤3x －y －2z ≤5＋214.若3x －y －2z ＝5－214，又x －13＝y ＋2－1＝z－2＝t ，∴3(3t ＋1)－(－t －2)－2(－2t )＝5－214， ∴t ＝－147，∴x ＝－3147＋1.【答案】 [5－214，5＋214] －3147＋1 三、解答题9．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x ＋4y ＋4z 2的最小值．【解】 (1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫x2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ·(y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y )≥x y ＋2z·y ＋2z ＋y z ＋2x·z ＋2x ＋z x ＋2y·x ＋2y ＝1，即3⎝⎛⎭⎪⎫x2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥1， ∴x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y≥13. (2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2，因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34，故4x ＋4y ＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x ＋4y ＋4z 2的最小值为3 2.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.【证明】由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a ，b ，c 大于0，∴f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c )≥(ax 1·ax 2＋bx 1·bx 2＋c )2 ＝(ax 1x 2＋b x 1x 2＋c )2 ＝[f (x 1x 2)]2＝[f (1)]2.又f (1)＝a ＋b ＋c ，且a ＋b ＋c ＝1， ∴f (x 1)·f (x 2)≥1.[能力提升]1．若2a ＞b ＞0，则a ＋4(2a －b )·b的最小值为( )A ．1B ．3C ．8D.12【解析】 ∵2a ＞b ＞0，∴2a －b ＞0， ∴a ＋4(2a －b )·b ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2a －b )＋b ＋8(2a －b )·b ≥12·33(2a －b )·b ·8(2a －b )·b＝3.当且仅当2a－b＝b＝8(2a－b)·b，即a＝b＝2时等号成立，∴当a＝b＝2时，a＋4(2a－b)·b有最小值3.【答案】 B2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则a＋b＋cx＋y＋z＝()A.14 B.13C.12 D.34【解析】由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当ax ＝by＝cz＝12时取等号，因此有a＋b＋cx＋y＋z＝12.【答案】 C3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则2a＋2b＋1＋2c＋3的最大值为________.【导学号：32750055】【解析】由柯西不等式得：(2a＋2b＋1＋2c＋3)2＝(1×2a＋1×2b＋1＋1×2c＋3)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3，即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．又a＋b＋c＝6，∴a＝83，b＝136，c＝76时，2a＋2b＋1＋2c＋3取得最大值4 3.【答案】4 34．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.【证明】由三角形中的正弦定理，得 sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2Ra ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2， ∴原不等式得证．。

数学人教A版选修4-5学案：第三讲二一般形式的柯西不等

二一般形式的柯西不等式1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥________________，当且仅当____________或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2,3)时等号成立．【做一做1－1】已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．1B.13C.12D ．3【做一做1－2】若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( )A ．3B ．32C ．18D ．9 2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥______________，当且仅当______________或存在一个数k ，使得a i ＝______(i ＝1,2，…，n )时，等号成立．尽可能地构造符合柯西不等式的形式．常用技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③改变结构；④添项．【做一做2】若a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案：1．(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2 b i ＝0(i ＝1,2,3)【做一做1－1】 B 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z )2＝1.∴x 2＋y 2＋z 2≥13，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．【做一做1－2】 B 由柯西不等式得：(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝3[3(a ＋b ＋c )＋3]，又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3×6＝18，∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．2．(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2 b i ＝0(i ＝1,2，…，n ) kb i 【做一做2】 C1．一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题．2．正确利用“1”剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应对“1”视而不见．题型一三维形式的柯西不等式【例1】已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋ac )≥9.分析：对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab ，a 2＝b c ，a 3＝c a ，b 1＝b a ，b 2＝c b，b 3＝ac，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证．反思：由a ，b ，c 构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出．题型二多维形式的柯西不等式【例2】已知a 1，a 2，…，a n 都是正实数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1.求证：a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1≥12.分析：已知条件中a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左边为a 1a 1＋a 2，a 2a 2＋a 3，…等数的平方和，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，应扩大2倍后再利用．本题还可以利用其他的方法证明．反思：通过本题不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用．题型三柯西不等式的综合应用【例3】设f (x )＝lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n xn ，若0≤a ≤1，n ∈N ＋且n ≥2，求证：f (2x )≥2f (x )．分析：由题目可获取以下主要信息：①已知f (x )的函数表达式．②变量的取值范围．③证明相关的不等式．解答本题的关键是将f (2x )≥2f (x )具体化，再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．反思：对于较为复杂的证明问题，可采用“分析法”进行推导，从而找到柯西不等式的结构特征．题型四易错辨析【例4】已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝9，ax ＋by ＋cz ≤t ，求t 的最小值．错解：求t 的最小值，即求u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值． ax ≤a 2＋x 22，by ≤b 2＋y 22，cz ≤c 2＋z 22，三式相加得：ax ＋by ＋cz ≤a 2＋x 22＋b 2＋y 22＋c 2＋z 22＝5，故u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值为5，从而t 的最小值为5.错因分析：基本不等式得到u ＝ax ＋by ＋cz ≤5是正确的，但这只是能说明u 的最大值有小于或等于5两种可能，并不能得出u 的最大值一定是5.事实上，如果u 的最大值为5，错解中的三个不等式应同时取“＝”，于是a ＝x ，b ＝y ，c ＝z 从而得出a 2＋b 2＋c 2＝x 2＋y 2＋z 2，即t ＝5，这是不可能的．产生错解的原因是对最值的概念及基本不等式中的等号成立的条件掌握不牢．答案：【例1】证明：由柯西不等式，知(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )＝[(a b )2＋(b c )2＋(c a)2]×[(b a)2＋(c b)2＋(a c)2] ≥(a b×b a＋b c×c b＋c a×a c)2 ＝(1＋1＋1)2＝9. ∴原不等式成立．【例2】证法一：根据柯西不等式，得不等式左边＝a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1＝[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＋(a n ＋a 1)]×[(a 1a 1＋a 2)2＋(a 2a 2＋a 3)2＋(a 3a 3＋a 4)2＋…＋(a n －1a n －1＋a n )2＋(a n a n ＋a 1)2]×12＝[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1＋a n )2＋(a n ＋a 1)2]×[(a 1a 1＋a 2)2＋(a 2a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1a n －1＋a n )2＋(a n a n ＋a 1)2]×12≥[(a 1＋a 2×a 1a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3×a 2a 2＋a 3)＋…＋(a n －1＋a n ×a n －1a n －1＋a n)＋(a n ＋a 1×a n a n ＋a 1)]2×12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2×12＝12＝不等式右边． ∴原不等式成立．证法三：因为a ∈R ＋，则a ＋1a ≥2，即a ≥2－1a .利用上面的结论，知a 21a 1＋a 2＝a 12×2a 1a 1＋a 2≥a 12(2－a 1＋a 22a 1)＝a 1－a 1＋a 24.同理，有a 22a 2＋a 3≥a 2－a 2＋a 34，…a 2n －1a n －1＋a n≥a n －1－a n －1＋a n 4，a 2na n ＋a 1≥a n －a n ＋a 14.以上式子相加整理，得a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1≥12(a 1＋a 2＋…＋a n )＝12.【例3】解：∵f (2x )＝lg 12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2xn ，∴要证f (2x )≥2f (x )．只要证lg 12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x n≥2lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n xn .即证12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2xn≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x n]2也即证n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ] ≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2，(*)∵0≤a ≤1，∴a ≥a 2，根据柯西不等式得 n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ]≥2222222(111){(1)(2)[(1)]()}x x x x n n a n ++++++-+⋅个……≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2，即(*)式显然成立，故原不等式成立．【例4】正解：求t 的最小值，即求u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值．由柯西不等式得： u 2＝(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝1×9＝9，u ＝ax ＋by ＋cz ≤3，故u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值为3，从而t 的最小值为3.1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1( ) A ．1B. 3C ．3D ．92．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3( )A ．3B ．13．设x ，y ，z ∈R,2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________． 4．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1的最大值为________．5．设x 1，x 2，x 3，…，x n 都是正实数，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝S .求证：2221212n n x x x S x S x S x +++---…≥1S n -.答案：1．B 由柯西不等式得[2＋2＋2](12＋12＋12)≥2，∴2≤3×1＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．2．D ∵(a 2＋b 2＋c 2)(1＋1＋1)≥(a ＋b ＋c )2＝9， ∴a 2＋b 2＋c 2≥3.a ＝b ＝c ＝1时等号成立．3．9 2x ＋2y ＋z ＋8＝02(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)＝－9. 考虑以下两组向量：u ＝(2,2,1)，v ＝(x －1，y ＋2，z －3)，由柯西不等式，得(u ·v )2≤|u |2·|v |2；即[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2≤(22＋22＋12)·[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2] 当且仅当x ＝－1，y ＝－4，z ＝2时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥2(9)9-＝9.由柯西不等式，得2＝(1＋1＋12 ≤(12＋12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1) ＝3[4(a ＋b ＋c )＋3]＝21. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．.5．分析：本题需要构造出S －x 1＋S －x 2＋…＋S －x n . 证法一：根据柯西不等式，得不等式左边＝211x S x -＋222x S x -＋…＋2n nx S x -＝[(S －x 1)＋(S －x 2)＋…＋(S －x n )]×1(1)n S -·(211x S x -＋222x S x -＋…＋2n nx S x -)＝1(1)n S -[2＋2＋…＋2]×[2＋2＋…＋2] ≥1(1)n S-[(×)＋(×)＋…＋(×2＝1(1)n S-(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝21(1)S n S⨯-＝1S n -＝不等式右边．∴原不等式成立．证法三：∵a ∈R ＋，则a ＋1a≥2， ∴a ≥12a-. ∴2i i x S x -＝1i x n -×(1)i i n x S x --≥1i x n -×[2－(1)i i S x n x --]＝21i x n -－2(1)i S x n --.i ＝1,2，…，n .n 个式子相加，有211x S x -＋222x S x -＋…＋2n nx S x - ≥121x n -＋221x n -＋…＋21n x n -－[12(1)S x n --＋22(1)S x n --＋…＋2(1)n S x n --]＝21S n -－2(1)nS Sn --＝1S n -.∴原不等式成立．。

人教版数学高二A版选修4-5素材3.2一般形式的柯西不等式

预习导航1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当且仅当b i＝0(i ＝1,2,3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2,3)时等号成立．【做一做1－1】已知x ，y ，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．1B ．13C ．12D ．3 解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)·(12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z )2＝1.∴x 2＋y 2＋z 2≥13，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立，即所求最小值为13. 答案：B【做一做1－2】已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．18D ．9解析：由柯西不等式得： (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝3[3(a ＋b ＋c )＋3]，又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3×6＝18，∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．答案：B2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．归纳总结尽可能地构造符合柯西不等式的形式．常用技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③改变结构；④添项．【做一做2】若a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1，b 12＋b 22＋…＋b n 2＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案：C。

2013届高二数学教案3.2《一般形式的柯西不等式》(人教A版选修4-5)

即：，
即：，
等号当且仅当，
即等号当且仅当时成立（当时，约定， 1，2，…，）。
如果（）全为0，结论显然成立。
三、应用举例：
例3已知a1,a2,…,an都是实数，求证：
分析：用n乘要证的式子，c，d是不全相等的实数，证明：a2+ b2+ c2+ d2> ab + bc + cd + da
3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求的最大值。
选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）
5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求的最小值。（08东莞二模）
6．已知x+y+z= ，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)
，其中等号当且仅当时成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：
二、讲授新课：
类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α||β|.将空间向量的坐标代入，可得到这就是三维形式的柯西不等式.
五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。
六、布置作业：P41习题3.2 2，3，4，5
七、教学后记：
教学札记
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？
定理4：（一般形式的柯西不等式）：设为大于1的自然数，（ 1，2，…，）为任意实数，则：