命题综合能力检测1

答案：C
9．若 x、y∈R 且 x2＋y2＝0，则 x、y 全为 0”的否命题 是( ) A．若 x、y∈R 且 x2＋y2≠0，则 x、y 全不为 0 B．若 x、y∈R 且 x2＋y2≠0，则 x、y 不全为 0 C．若 x、y∈R 且 x、y 全为 0，则 x2＋y2＝0 D．若 x、y∈R 且 xy≠0，则 x2＋y2≠0
解析：“若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”， “全为 0”的否定应为“不全为 0”．
答案：B
(
10．设 x∈R，则(1－|x|)(1＋x)>0 成立的充要条件是 ) A．－1<x<1 B．x<－1 或 x>1 C．x<1 D．x<1 且 x≠－1
x≥0 解析：由 1－x1＋x>0 x<0 由 2 1＋x >0
证明：假设 a、b、c 都是奇数， 那么 a2、b2、c2 一定也都是奇数． ∴a2＋b2 为偶数． ∴a2＋b2≠c2，这与已知 a2＋b2＝c2 矛盾． 故假设不成立，即 a、b、c 不可能都是奇数．
20．(本小题满分 12 分)在直角坐标系中，求点 P(2x＋3 2x－3 2 －x ， )位于第四象限的充要条件． 2－x
解析：对①，逆命题“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是 真命题；对②，否命题“不相似的三角形的周长不相等”是 假命题；对③，Δ＝4b2－4(b2＋b)≥0，即 b≤0，∴b≤－1 时，方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题； 对④，p∨q 假时，p，q 一定均假， ∴④正确．故①③④正确．
第一章 综合能力检测
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1．命题“有的函数没有解析式”的否定是( ) A. 有的函数有解析式 B. 任何函数都没有解析式 C. 任何函数都有解析式 D. 多数函数有解析式
解析：特称命题的否定为全称命题．
答案：C
2．下列命题及其逆命题都是真命题的是( A．若 x2＝x，则 x＝1 B．若 a＝b，则|a|＝|b| C．若 a3＝b3，则 a＝b D．若 x＝10，则 lg|x|＝1
16．(2011· 济宁高二检测)有下列四个命题：①“若 xy＝ 1，则 x、y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相 等”的否命题；③“若 b≤－1，则方程 x2－2bx＋b2＋b＝0 有实根”的逆否命题；④若 p∨q 为假命题，则 p，q 均为假 命题． ①③④ 其中真命题的序号是________.(把所有正确命题的序号 都填上)
)
解析：由于 f(x)＝x3 是 R 上的增函数， 所以 f(a)＝f(b)时，a＝b，反之成立．
答案：C
3．若“p∧q”与“(┐p)∨q”均为假命题，则( A. p 真 q 假 B. p 假 q 真 C. p 与 q 均真 D. p 与 q 均假
)
解析：“p∧q”为假，则 p，q 中至少有一假； “(┐p)∨q”为假，则┐p，q 均为假． ∴p 真，q 假．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 10 分)写出下列命题的逆命题、否命题 和逆否命题，并判断其真假： (1)∀x，y∈R，若 xy＝0，则 x＝0； (2)已知向量 a，b，若 a⊥b，则 a· b＝0.
解：(1)原命题为假命题． 逆命题：“∀x，y∈R，若 x＝0，则 xy＝0”(真命题)． 否命题：“∀x，y∈R，若 xy≠0，则 x≠0”(真命题)． 逆否命题：“∀x，y∈R，若 x≠0，则 xy≠0”(假命题)． (2)原命题为真命题． 逆命题：“已知向量 a，b，若 a· b＝0，则 a⊥b”(假命题)． 否命题：“已知向量 a，b，若 a 不垂直 b，则 a· b≠0”(假命 题)． 逆否命题：“已知向量 a，b，若 a· b≠0，则 a 不垂直 b”(真 命题)．
得 0≤x<1；
得 x<0 且 x≠－1，
故 x<1，且 x≠－1.
答案：D
11. 命题 p：关于 x 的不等式(x－2) x2－3x＋2≥0 的解 集为{x|x≥2}，命题 q：若函数 y＝kx2－kx－1 的值恒小于 0， 则－4<k≤0，那么不正确的是( ) A. “綈 p”为假命题 C. “p 或 q”为真命题 B. “綈 p”为真命题 D. “p 且 q”为假命题
14. (2011· 泰兴高二检测)若“∀x∈R，x2－2x－m>0” (－∞，－1) 是真命题，则实数 m 的取值范围是___________．
解析：由 Δ＝(－2)2－4(－m)<0 得 m<－1.
15. (2011· 通州高二检测)给出如下三种说法： ①四个实数 a，b，c，d 依次成等比数列的必要而不充 分条件是 ad＝bc. ②命题“若 x≥3 且 y≥2，则 x－y≥1”为假命题． ③若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题． ①② 其中正确说法的序号为________． 解析：对①，a，b，c，d 成等比数列，则 ad＝bc，反 之不一定，故①正确；对②，令 x＝5，y＝6，则 x－y＝－1， 所以该命题为假命题．故②正确；对③，p∧q 假时，p，q 至少有一个为假命题，故③错误．
解析：A、B 为全称命题，但 A 为假命题；B 是真命题．
答案：B
7．关于命题：“∃数列{an}，{an}既是等差数列，又是 等比数列”的说法正确的是( ) A．是特称命题并且是假命题 B．是全称命题并且是假命题 C．是特称命题并且是真命题 D．是全称命题并且是真命题
解析：非零常数列既是等差数列，又是等比数列．
1 解得 a＝0 或 a≥ . 2 a<0 1 ，此时 a 无解． 当 p 假 q 真时，得 0<a<2 1 综上所述，实数 a 的取值范围是{a|a＝0 或 a≥ }． 2
18．(本小题满分 12 分)写出下列命题的“┐p”命题，并 判断它们的真假． (1)p：∀x，x2＋4x＋4≥0. (2)p：∃x0，x2－4＝0. 0
解：(1)┐p：∃x0，x2＋4x0＋4<0 是假命题． 0 ┐ (2) p：∀x，x2－4≠0 是假命题．
19．(本小题满分 12 分)用反证法证明：若 a2＋b2＝c2， 则 a、b、c 不可能都是奇数．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．(2010· 安徽高考)命题“存在 x∈R，使得 x2＋2x＋5 ＝0”的否定是对ห้องสมุดไป่ตู้何 x∈R，都有 x2＋2x＋5≠0 _________________________________.
解析：该命题的否定是“对任何 x∈R， 都有 x2＋2x＋5≠0”．
2x－3 解：P(2x＋3－x ， )位于第四象限 2－x
2 2 2x＋3－x >0 －1<x<3 x－3x＋1<0 ⇔2x－3 ⇔ ⇔ 3 2x－3x－2>0 x>2或x<2 2－x <0
3 ⇔－1<x< 或 2<x<3. 2 2x－3 ∴点 P(2x＋3－x ， )位于第四象限的充要条件是－ 2－x 3 1<x< 或 2<x<3. 2
∵┐p 是┐q 的必要非充分条件， ∴┐q⇒┐p，且┐p ┐q. 则{x|┐q} ┐p}，而{x|┐q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}， {x| {x|┐p}＝∁RA＝{x|x≤3a，或 x≥a(a<0)}， ∴{x|－4≤x<－2} {x|x≤3a，或 x≥a(a<0)}， 3a≥－2 a≤－4 2 则 或 ，即－ ≤a<0 或 a≤－4. a<0 a<0 3
22．(本小题满分 12 分)已知命题 p：f(x)＝|x＋a|在[0， ＋∞)上是增函数；命题 q：点 O(0,0)与点 P(1,1)在直线 y＝ a(x＋1)的两侧．若 p∧q 为假，p∨q 为真，求实数 a 的取值 范围．
解： ∵f(x)＝|x＋a|在[－a， ＋∞)上是增函数， p 为真， 若 应有[0，＋∞)⊆[－a，＋∞)，∴－a≤0，即 a≥0. 1 若 q 为真，应有 a(2a－1)<0，解得 0<a< . 2 由 p∧q 为假，p∨q 为真可知，p 与 q 一真一假． a≥0， 当 p 真 q 假时，得 1 a≤0或a≥2，
解析：∵不等式(x－2) x2－3x＋2≥0 的解集是{x|x≥2 或 x＝1}， 假； y＝kx2－kx－1<0 恒成立时， 且 Δ<0 ∴p 当 k<0 或 k＝0，∴－4<k≤0，∴q 真． ∴p 或 q 真，p 且 q 假，┐p 真，┐q 假，故选 A.
答案：A
12． 若 函 数 f(x)、 g(x)的 定 义 域 和 值 域 都 是 R， 则 f(x)>g(x)(x∈R)成立的充要条件是( ) A．有一个 x∈R，使得 f(x)>g(x) B．有无数多个 x∈R，使得 f(x)>g(x) C．对 R 中任意的 x，都有 f(x)>g(x)＋1 D．R 中不存在 x，使得有 f(x)≤g(x)
2
21． (本小题满分 12 分)设 p： 实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0， 其中 a<0，q：实数 x 满足 x2－x－6≤0，或 x2－2x－8>0， 且┐p 是┐q 的必要非充分条件，求 a 的取值范围．
解：设 A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)} ＝{x|3a<x<a(a<0)} B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0 或 x2＋2x－8>0} ＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0} ＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4 或 x>2} ＝{x|x<－4 或 x≥－2}．