1.3 直线运动

2
中学物理与大学物理的区别之一，由特殊到一般
例1-6 一人在离地36.0m的高处，以初速
v0 11.8m s1
竖直向上抛出一小球，忽略空气
阻力。求：
（1）在抛出后1s、2s、3s末小球的位置
和速度；
（2）小球所能到达的最高点的位置和所
经历的时间； （3）小球落地时的速度和所经历的时间。
已知：v0 11.8m s1
dx d x 说明:(1)x(t ), x, dt , dt 2 是各物理量在坐标轴上
2
的投影(坐标),本身有正有负(指向沿x轴正向还是
负向),与矢量的模是有区别的
(2)由于直线运动的特殊性,在直线运动中,
r , r ,v , a 的方向就取决于投影的正负,故可将 其当做标量处理,用正负表示方向.
初始条件： t 0时 ,v v 0 得C1 V0
所以，v at v 0 , 此式即为中学学过的变速直线运动的速 度公式，这里我们用积分的方法了
dx 再利用v v0 at , 积分得 dx (v0 at )dt dt 1 2 即x v0t at C2 2
1-3直线运动
１.在直线运动中各物理量的表示:
质点做直线运动,它的运动轨道即为一条直线.描述运动 的物理量如位置矢量、位移矢量、速度、加速度都在一条 直线上。 为研究方便，取黑板平面为参考系，在参考系上选取坐 标系OX,如图所示
0
v
x
位置矢量 r (t ) x(t )i 位移矢量 r xi d r dx 速度矢量 v i dt dt dv d 2 r d 2 x 加速度矢量 a 2 2 i dt dt dt
dx dx v i v dt dt 改写dx vdt 积分得x vt C 其中， v : 恒量 ; C : 积分常数
初始条件：t 0, x x0 代入x vt C 由此可得： C x0
所以 x v x0 或 x x0 v t 运动方程
x : 位置矢量在x轴上的投影；x x0位移矢量在x方向的投影
4 一般直线运动（加速度为任意值）的运动方程
例：一质点沿x轴运动，加速度为4t (m / s 2 ).当t 0时，物体静止于x 10米处， 试求质点在任一时刻的速度及运动方程
解：先求速度和时间的函数关系： dv 利用a 4t , 求得v 2t 2 , 积分常数C1 0 dt 再求x和t的函数关系： dx 2 3 利用V 2t ＝ , x t 10, 积分常数C2 10 dt 3
t0
t
t
O
t0
t
t
（a）
v -t 图
（b） s-t 图
3.匀变速直线运动方程
x x0 运动特征： a 恒矢量；初始条件：t 0时, v v 0
dv dv 要求出 r (t ),即x(t )，仿上，将矢量做标量 处理，有 a a dt dt
dv 利用a 恒量，积分，得v at C1 dt
15 25 45
v / (m s 1 )
由于梯形OABC面积等于三角形DEF面积，
平均速度为零
a 9.8m s2
解：建立坐标轴选抛出点作为坐标系原点， 把 y 轴的正方向选定为竖直向上
1 2 y v 0t gt 2 v v 0 Байду номын сангаасt
将初始条件代入
y 11.8t 4.90t 2 v 11.8 9.80t
y 11.8t 4.90t 2 v 11.8 9.80t
（1） 将t=1s、2s、3s分别代入上两式
t=1s时 t=2s时 t=3s时
y 11.8 1 4.90 12 6.9m v 11.8 9.80 1 2.0m s 1
抛出点上方 向上
y 11.8 2 4.90 22 4.0m 抛出点上方 v 11.8 9.80 2 7.8m s1 向下
y 11.8 1.20 4.90 1.20 7.1m
2
（3） 落地点 y 36m
36.0 11.8t 4.90t 2
解得
t 4.16s 代入
v 11.8 9.80 4.16 28.9m s1
例1-7 一辆汽车沿笔直的公路行驶，速 度和时间的关系曲线如图所示。 （1）试说明图中OA、 AB、BC、CD、DE、EF 等线段各表示什么运动？
2.匀速直线运动方程
运动特征: v 恒矢量 求运动方程,就是要找出位置矢量和时间的函数关系
r (t ) ? x(t ) ?
选取坐标系如上图:设质点沿x轴正向运动,初始时刻 位于 x0 处 根据质点的运动特征求解方程
v 恒矢量 初始条件 t 0时, x x0
一维运动可以当做标量处理,因而有
t0 t
1 x(t ) x0 [v 0 a(t t0 )]dt x0 v 0 (t t0 ) a (t t0 ) 2 t0 2
t
2 v 2 v0 2a( x x0 )
v
阴影面积表示 t t0 内位移
斜率就是加速度 a
v
v0

O
t0
t
t
v -t 图
v / (m s 1 )
5
O
A B C 1015 2025 30 D 40 45 50 F 60
t/s
-5 -10
E
（2）根据图中的曲线与数据，求汽车在
整个行驶过程中所走过的路程、位移和平
均速度。
解：（1） OA：匀加速直线运动；
AB：匀速直线运动； A B 5 BC：匀减速直线运动； F C D O 10 20 30 40 50 60 t / s CD：静止； -5 DE：反方向匀加速直线 -10 E 运动； EF：反方向匀减速直线运动； （2）路程 梯形OABC面积 三角形DEF面积 200m
这是一种处理问题的方法.对一般运动,我们只要 知道了其运动特征,就可以应用积分的办法将运动
方程求解出来
匀速直线运动
运动方程
x(t ) x0 v dt x0 v(t t0 )
t0 t
t
x(t ) x0 v dt x0 vt
0
v
v
x
x
x0
x
x0
x
O
t0
t
t
O
y 11.8 3 4.90 32 8.7m 抛出点下方 v 11.8 9.8 3 17.6m s 1 向下
y 11.8t 4.90t 2 v 11.8 9.80t
（2） 在最高点处，小球速度为零。
v 0 11.8 t 1.20s g 9.80
初始条件：t 0时, x x0 得C2 x0 1 2 1 2 则：x v 0t at x0 或x x0 v 0t at 2 2
匀变速直线运动
运动方程
v v0 x x0 ， 已知 t=0 时，
v (t ) v 0 a dt v 0 a(t t0 )