2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(数学理)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（北京卷）数学（理科）考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷､答题卡规定填写自己的姓名､座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名､座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整､笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．､草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4. 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一､选择题（共8小题，每小题5分，共40分｡在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设全集U=R ，{|}A x N x =∈≤≤110，{|}B x R x x =∈+-=260，则图中阴影表示的集合为（ ）A ．{|}x x ≤≤12B ．{|}x x ≤≤13C ．{|}x x -≤≤32D ．{|}x x -≤≤232．复数=+-+ii i 34)43()55(3（ ） A ．510i 510-- B ．i 510510+C ．i 510510-D ．i 510510+-3．已知两条直线1l ∶0ax by c ＋＋＝，直线2l ∶0mx ny p ＋＋＝，则an bm ＝是直线21//l l 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．圆的极坐标方程是2cos ρθθ=+，则其圆心的极坐标是（ ）A ．(2)3π，B ．(2)6π，C ．(1)3π，D ．(1)6π， 5．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ）A ．按从小到大排列的三个数B ．按从大到小排列的三个数C ．求三个数中最大的数D ．求三个数中最小的数6．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）A B C D7．在复平面中，已知点A （2，1），B （0，2），C （-2，1），O （0，0）．给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②； ③；④． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知数列}{n a 的前n 项和为)15(21-=n n S n ，+∈N n ，现从前m 项：1a ，2a ，…，m a 中抽出一项（不是1a ，也不是m a ），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是（ ） A ．第6项 B ．第8项 C ．第12项 D ．第15项 第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二､填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．给出下列4个命题：①函数m ax x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是m=0；②若函数)1lg()(+=ax x f 的定义域是}1|{<x x ，则1-<a ；③若2log 2log b a <，则1lim=+-∞→n n n n n b a b a （其中+∈N n ）； ④圆：0541022=-+-+y x y x 上任意点M 关于直线25=--a y ax 的对称点，M '也在该圆上．填上所有正确命题的序号是________．10．长为l (0<l<1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．11．设(,sin )a α=34 ，(cos ,)b α=13 ，且a b ⊥ ，则tan α= ． 12．若x ､y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+009382y x y x y x ，，，则y x z 2+=的最大值为________．13．有A ､B ､C ､D ､E 五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A ､B 两位同学去问成绩，教师对A 说：“你没能得第一名”．又对B 说：“你得了第三名”．从这个问题分析，这五人的名次排列共有________种可能（用数字作答）． 14．已知：||2a =u r ，||b =r a b r r 与的夹角为45°，要使-b a a l r r r 与垂直，则λ=__________． 三､解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题共13分） 已知a r =（αcos ，αsin ），b r =（βcos ，βsin ），a r 与b r之间有关系式ka b kb +=-r r r ，其中k>0．（1）用k 表示a b r r g ；（2）求a b r r g 的最小值，并求此时，a r 与b r 的夹角θ的大小．16．（本小题共14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，M ，N 分别为11B A ，BC 之中点．（1）试求AB AA 1，使011=⋅CB B A ．（2）在（1）条件下，求二面角M AC N --1的大小．17．（本小题共13分）定义在（-1，1）上的函数)(x f ，（i ）对任意x ，∈y （-1，1）都有：)1()()(xy y x f y f x f ++=+； （ii ）当∈x （-1，0）时，0)(>x f ，回答下列问题． （1）判断)(x f 在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由． （2）判断函数)(x f 在（0，1）上的单调性，并说明理由． （3）若21)51(=f ，试求)191()111()21(f f f --的值． 18．（本小题共13分） 已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工． （1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码； （2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差； 59625770368981 （3）在（2）的条件下．从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率． 19．（本小题共13分）在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22，一曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且保持||||PB PA +的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）直线l ：t x y +=与曲线E 交于M ，N 两点，求四边形MANB 的面积的最大值．20．（本小题共14分）已知等差数列}{n a 的首项为a ，公差为b ；等比数列}{n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，+∈N b ，且32211a b a b a <<<<．（1）求a 的值；（2）若对于任意+∈N n ，总存在+∈N m ，使n m b a =+3，求b 的值；（3）在（2）中，记}{n c 是所有}{n a 中满足n m b a =+3，+∈N m 的项从小到大依次组成的数列，又记n S 为}{n c 的前n 项和，n T }{n a 的前n 项和，求证：n S ≥n T )(+∈N n ．2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（北京卷）数学（理科）一､选择题1-5 ABBAD 6-8 BCB二､填空题9．①④ 10．24l 11．94-12．7 13．18 14．2三､解答题15．解：（1）由已知1||||==b a ． ∵||3||b a b a k k -=+， ∴222||3||b a b a k k -=+． ∴)1(41k k +=⋅b a ．（2）∵0k >，∴1142⋅≤⋅=a b ． 当21=⋅b a 时，112cos 2a b θ==⋅．∴θ=60°．16．解：（1）以1C 点为坐标原点，11A C 所在直线为x轴，C C 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设b B A =11，a AA =1（a ，∈b （0，+∞）．∵三棱柱111C B A ABC -为正三棱柱，则1A ，B ，1B ，C 的坐标分别为：（b ，0，0），b 21(，b 23，)a ，b 21(，b 23，)0，（0，0，a ）． ∴A 1b 21(-=，b 23，)a ， B 1b 21(-=，b 23-，⎪⎭⎪⎬⎫=-=⇒⋅⋅.01121)2211B A b a B A a 又，2221==⇒=⇒b a AB A A a b ． （2）在（1）条件下，不妨设b=2，则2=a ， 又A ，M ，N 坐标分别为（b ，0，a ），（b 43，b 43，0），（b 41，b 43，a ）． ∴332||==b AN ，3||1=N C ． ∴3||||1==N C AN 同理||||1M C AM =． ∴△N AC 1与△M AC 1均为以1AC 为底边的等腰三角形，取1AC 中点为P ， 则1AC NP ⊥，NPM AC MP ∠⇒⊥1为二面角M AC N --1的平面角，而 点P 坐标为（1，0，22）， ∴21(-=，23，)22． 同理21(=，23，)22-．∴PN PM ⋅⇒=-+-=0214341PN PM ⊥．∴∠NPM=90°⇒二面角M AC N --1的大小等于90°．17解：（1）令0)0(0=⇒==f y x ，令y=-x ，则)(0)()(x f x f x f -⇒=-+)()(x f x f ⇒-=在（-1，1）上是奇函数．（2）设1021<<<x x ，则)1()()()()(21212121x x x x f x f x f x f x f --=-+=-，而021<-x x ，0)1(01102121212121>--⇒<--⇒<<x x xx f x x x xx x ．即当21x x <时，)()(21x f x f >．∴f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）由于)31()5215121()51()21()51()21(f f f f f f =⨯--=-+=-，)41()111()31(f f f =-，)51()191()41(f f f =-， ∴1212)51(2)191()111()21(=⨯==--f f f f ．18．解：（1）由题意，第5组抽出的号码为22．因为22=5×（5-1）+2所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，12，47（2）因为10名职工的平均体重为1(81707376787962656759)10x =+++++++++71=所以样本方差为： 222222222221(101257896412)10s =+++++++++52= （3）从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法： （73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81），（79，81）． 故所求概率为：42105P == 19．解：（1）以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系． ∵∴动点轨迹为椭圆，且2=a ，c=1，从而b=1． ∴方程为1222=+y x ． （2）将y=x+t 代入1222=+y x ，得0224322=-++t tx x ． 设M （1x ，1y ）､N （2x ，2y ）， ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+>--=∆⋅⋅③②①322340)22(34162212122t x x t x x t t ，， 由①得2t <3． ∴∴t=0时，362=大S ．20．解：（1）∵b a ab b a a 2+<<+<，a ，+∈N b ，∴⎩⎨⎧+<<+.2，b a ab ab b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->.121b b a b b a ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+<-+>.122111b a b a ， ∴⎩⎨⎧<>41a a ，．∴a=2或a=3（a=3时不合题意，舍去）．∴a=2．（2）b m a m )1(2-+=，12-⋅=n n b b ，由n m b a =+3可得12)1(5-⋅=-+n b b m ．∴5)12(1=+--m b n ．∴b=5（3）由（2）知35-=n a n ，125-⋅=n n b ，∴32531-=-=-⋅n n m b a ．∴3251-=-⋅n n C ．∴n S n n 3)12(5--=，)15(21-=n n T n ． ∵211==T S ，922==T S ．当n ≥3时，]121212[52---=-n n T S n n n ]12121)11[(52---+=n n n ]12121)1[52321---++++=n n C C C n n n 0]121212)1(1[52=----++>n n n n n ． ∴n n T S >．综上得n n T S ≥)(+∈N n ．高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！。