2011年北京市朝阳区高三二模数学(理)试题及答案
北京市朝阳区高三数学第二次高考模拟考试(理) 新人教版
朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合1{ 2 }2x A x -=?-，{4, 2, 0, 1 }B =--，则A B I 等于（A ）{4,2,0,1}-- （B ）{2,0,1}- （C ）{4}- （D ）Æ（2）已知向量(1, 2)=a ，(3, 2)=-b ，如果k +a b 与3-a b 垂直，那么实数k 的值为（A ）19- （B ）13-（C ）119（D ）19 （3）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（A ）112 （B ）80 （C ）72 （D ）64（第3题图）（第4题图）俯视图 侧视图（4）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （5）已知平面a ，b ，直线l a ^，直线m b Ì，有下面四个命题：①a b∥Þl m ^ ② a b ^Þl m ∥③ l m∥Þa b ^④ l m ^Þa b ∥其中正确的命题是 （A ）①与② （B ）③与④ （C ）①与③ （D ）②与④（6）函数2()(2)e xf x x x =-的图象大致是（7）已知椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点. 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（A（B（C（D（8）已知函数222()(1)2f x a x bx b =--+（11b a -<-<）. 用()card A 表示集合A中元素的个数，若使得()0f x >成立的充分必要条件是x A Î，且()4c a r d A =Z I ，则实数a 的取值范围是（A ）(1, 2)- （B ）(1, 2) （C ）(2, 3) （D ）(3, 4)（A ） （B ） （C ） （D ）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）不等式组0,10,3260x x y x y ìïïï--íïï--ïïî≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 .（10）已知圆4cos :3sin x C y q q ì=+ïïíï=+ïî（q 为参数），直线:230l x y -+=，则圆心C 到直线l 的距离为 .（11）如右图，从圆O 外一点P 引两条直线分别交圆O 于点、A B ， 、C D ，且PA AB =，5PC =,9CD =，则AB 的长等于 .（12）如果1()nx x+展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 .（13）上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m .（14）已知数列{}n a 为等差数列，若m a a =，n a b =（1n m -≥，, m n *ÎN ），则m n nb maa n m+-=-. 类比等差数列{}n a 的上述结论，对于等比数列{}n b （0n b >，n *ÎN ）若m b c =，n b d =（n m -≥2，, m n *ÎN ），则可以得到m n b += .CB世博轴·A 中国馆120º三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）设函数()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0,]3x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值.(16)（本小题满分13分）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球.（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率； （Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率； ②求取出的红球数X 的分布列和均值（即数学期望）.(17)（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角 形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由(18)（本小题满分13分） 已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证：120x x +=．(19)（本小题满分13分）已知动点M 到点(1, 0)F 的距离，等于它到直线1x =-的距离． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段AB ，MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．(20)（本小题满分14分）已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设32n n n b a -=-，2(3)51n n n a c n +=-，若对于任意的*n ∈N ，不等式12031(1)(1)(1)nb b b +++≤恒成立，求正整数m 的最大值．（考生务必将所有题目的答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试答案（理工类） 2010.5一、选择题:三、解答题:(15)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6f x x x x π=-+sin 2(cos 2cossin 2sin )66x x x ππ=--3sin 222x x = )6x π=-，所以())6f x x π=-. …………5分所以函数()f x 的最小正周期为π． …………7分 （Ⅱ）由222()262k x k k p p p p p --+?Z ≤≤得，()63k x k k p pp p -+?Z ≤≤.又因为[0, ]x π∈，所以函数()f x 在[0,]p 上的递增区间为[0,]3π和5[, ]6ππ．…………13分 (16)（本小题满分13分） 解：（1）记“取出1个红球2个黑球”为事件A ，根据题意有12334144()()()77343P A C =⨯=；答：取出1个红球2个黑球的概率是144343. …………4分（2）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件B ，“第3次取出黑球”为事件C ，则321()767P B ⨯==⨯，3244()76535P BC ⨯⨯==⨯⨯，所以4()435(|)1()57P BC P C B P B ===.方法二：()3244(|)()3255n BC P C B n B ⨯⨯===⨯⨯. 答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是45. …………7分 ②随机变量X 的所有取值为0, 1, 2, 3.3343374(0)35C A P X A ⋅===，2134333718(1)35C C A P X A ⋅===， 1234333712(2)35C C A P X A ⋅===，3333371(3)35C A P X A ⋅===.所以418121459012335353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. …………13分 (17)（本小题满分14分） 解法一：证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE .因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE . …………4分（Ⅱ）由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^. 因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC . …………8分 （Ⅲ）解：连接OE ，由（Ⅱ）知BD SAC ⊥面.而OE SAC ⊂面, 所以BD OE ⊥. 又BD AC ⊥.所以EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，即45EOC ∠=︒. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，在SAC ∆中，2SA SC ==, AC =又因为12OC AC ==SO OC ⊥, 所以SOC ∆是等腰直角三角形.由45EOC ∠=︒可知，点E 是SC 的中点. 解法二：（Ⅰ）同解法一 …………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC 建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，) 0, 0A，()0, 0B ，()0, 0C ，()0, 0D .所以()0, 0AC =-，()0, 0BD =-. 设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒. 所以(, 0, )22E a ，(, )22BE a =. 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0, ()0.22y a x =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n . 易知()0, 0BD =-是平面SAC 的法向量. 因为(, 0, 1)(0, 0)02aBD a⋅=⋅-=-n ， 所以BD ⊥n ，所以平面BDE ⊥平面SAC . …………8分（Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =是平面SAC 的一个法向量. 由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 45OS 〈〉=︒=n ，2=，解得1a =. 所以点E 是SC 的中点. …………14分 (18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(, 0)(0, )-∞+∞．222()()a e ax f x x e ex-'=-=. 当0a =时，由2()0f x x'=>，解得0x >；当0a >时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0ex a<<； 当0a <时，由2()()0e ax f x ex-'=>，解得0x >，或e x a <． 所以当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞； 当0a >时，函数()f x 的递增区间是(0, )ea；当0a <时，函数()f x 的递增区间是(, )e a-∞，(0, )+∞． …………8分 （Ⅱ）因为222()()e x f x x e ex-'=-=， 所以以111(,())P x f x 为切点的切线的斜率为112()e x ex -； 以222(,())P xf x 为切点的切线的斜率为222()e x ex -． 又因为切线过点(0, )P t ，所以21111122()ln (0)x e x t x x e ex --+=-； 22222222()ln (0)x e x t x x e ex --+=-. 解得，221t x e += ，222t x e +=. 则2212x x =. 由已知12x x ¹所以，120x x +=． ……………………………13分(19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y ，|1|x +，化简得24y x =，所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．……4分（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为11(, )x y ，22(,)x y ，则点P 的坐标为1212(,)22x x y y ++． 由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠，由24, (1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 2242(24)416160k k k D =+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k+=+-=． 所以点P 的坐标为222(1, )k k+.由题知，直线2l 的斜率为1k -，同理可得点Q 的坐标为2(12,2)k k +-.当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--.所以，直线PQ 的方程为222(12)1k y k x k k +=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=.于是，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3, 0)E ．综上所述，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ． …………10分 （Ⅲ）可求的||2EF =，所以FPQ ∆面积121||(2||)2(||)42||||S FE k k k k =+=+≥. 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4．…………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112a =． 由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++.故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=． 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列. 所以512(1)(51)22n a n n =+-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：假设存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=， 则15151(51)2m n k -+-=-． 整理，得3225m n k +-=， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数, , m n k 不存在． …………9分（Ⅲ）313(51)21222n n n n b a n n --=-=--=+， 2(3)2(3)51351512n n n a n n c n n n ++-==⋅=+--．不等式12011131(1)(1)(1)n mb b b+++可转化为 111(1)(1)(1)b +++3121231111n n b b b bb b b b ++++=⋅⋅⋅4682235721n n +=⋅⋅⋅⋅⋅+． 设46822()35721n f n n +=⋅⋅⋅⋅⋅+， 则 (1)21()35721f n n f n n ⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅+2423n n +=+ 24124n n +=>===+. 所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大． 要使不等式12031(1)(1)(1)n b b b +++对于任意的*n ∈N 恒成立，只需min ()31m f n ≤即可． 因为min 4()(1)315f n f ===， 即43112448151515m ⨯==≤. 所以，正整数m 的最大值为8． …………14分。
2011朝阳高三三模数学理
朝阳区2010~2011学年度第二学期高三年级保温测试数 学 试 卷（理工类）（考试时间120分钟，满分150分） 2011.5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B I = （ ）A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ． ∅2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m//3．已知ξ～N (0, s 2)，若P (ξ >2) = 0.023，则P (-2≤ξ≤2) = （ ）A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9774．6的展开式中常数项是（ ）A ．-160B ．-20C ．20D ．1605．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．13B ．23C ．53D ．436．a ，b 为非零向量，“函数2()()f x x =+a b 为偶函数”是“⊥a b ”的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．非充非要条件7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．98．已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++= ，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．由直线x y =与曲线2x y =所围图形的面积=S ________．10．样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为________． 11．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是________．12．如图，已知⊙O 的直径5A B =，C 为圆周上一点，4=BC ，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则C D =________．正视图侧视图俯视图13．若直线l 的参数方程为31,545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则直线l 的斜率为________；在极坐标系中，直线m 的方程为sin()42πρθ+=，则点7(2,)4A π到直线m 的距离为________．14．已知点(4, 1)A 和坐标原点O ，若点(,)B x y 满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则OA OB ⋅ 的最大值是________． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）设函数()cos(2)6f x x π=+sin 2x +．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设A ，B ，C 为∆ABC 的三个内角，若AB=1，sinB=31，()22C f =，求AC 的长．16．（13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（Ⅰ）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； （Ⅲ）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率．开始a =2，i =1 i ≥2010i =i +1结束输出a是否lOADCB17．（13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA//平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM = tMC ，试确定t 的值．18．（13分）已知数列}{n a ，其前n 项和为237()22n S n n n N *=+∈．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n a 是等差数列；（Ⅱ）如果数列}{n b 满足n n b a 2log =，请证明数列}{n b 是等比数列，并求其前n 项和．19．（14分）已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为大于零的常数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线12y x =-平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．20．（14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b ab+=>>的长轴长为，离心率22=e ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点B （2，0）的直线l （斜率不等于零）与椭圆C 交于不同的两点E ，F （E 在B ，F 之间），且∆OBE 与∆OBF 的面积之比为12，求直线l 的方程．PABCD QM高三数学练习题参考答案 （理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）C （4）A （5）D （6）C （7）A （8）C 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）61（10） 2 （11）-1 （12）125（13）43-；2（14）11三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15（本小题共13分） 解：()cos(2)6f x x π=+sin 2x +=1cos 2cossin 2sinsin 22sin 2sin(2)66223x x x x x x πππ-+=+=+......3分（I ）令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，则5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数f(x)的单调递增区间为5[,]().1212k k k Z ππππ-+∈ .............6分（II）由已知()sin()3C f C π+==２２， ……………………………………………….8分因为40,333C C ππππ<<∴<+<所以233C ππ+=，3C π=，所以2. ……10分在∆ABC 中，由正弦定理，sin sin AC AB BC=，得1sin sin 92AB B AC C ⋅===. …..13分 16（本小题共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A . …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0，1，2，3.3463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分……………9分C(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ， ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ………………………………………………………13分 17（本小题共13分）证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ………………………………………1分∵BC ∥AD 且BC=12AD ，即BC //AQ ，∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点，又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // PA. ……………………………………………………………………2分 ∵ MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ， …………………………………3分 ∴ PA // 平面MBQ ． …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）∵AD // BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．……………………………………6分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB =90° 即QB⊥AD． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ………………………………………………7分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………………………………………………8分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………………………………………………9分 另证：AD // BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ ，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB =90° 即QB⊥AD． …………………………………6分 ∵ PA=PD ， ∴PQ ⊥AD ． …………………………………………………7分 ∵ PQ ∩BQ=Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ………………………………………………8分 ∵ AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． ……………………………………………………9分 （Ⅲ）∵PA=PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ⊥平面ABCD ．…10分（不证明PQ⊥平面ABCD 直接建系扣1分） 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n = ；(0,0,0)Q ，(0,0,P ，0)B，(0)C -．………设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =-，(1,)M C x y z=---，∵PM t M C = ，∴(1))(x tx y t yz t z =--⎧⎪=⎨⎪-=-⎩）， ∴ 111t x tyt z t ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩……12分在平面MBQ 中，0)Q B = ，(,111t Q M t t t=-+++ ，∴ 平面MBQ法向量为0,)m t =．∵二面角M-BQ-C 为30°，cos 302n m t n m ︒⋅===3t =．…………13分 18（本小题共13分）解：（Ⅰ）当1n =时，115a S ==， ……………………………………………………1分当2n ≥时，22137[(1)][(1)]22n n n a S S n n n n -=-=--+--37(21)3222n n =-+=+． ……………………………3分又15a =满足32n a n =+， ……………………………………………………5分 32()n a n n N *∴=+∈． ………………………………………………………6分∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+= (2,)n n N *≥∈，∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列． ……………………………7分（Ⅱ）由已知得2na nb = ()n N *∈， …………………………………………8分∵+1+13+12==2=2=82n n nna a -a n a nb b ()n N *∈， ……………………10分又11232a b ==， ∴数列}{n b 是以32为首项，8为公比的等比数列. …………12分∴数列}{n b 前n 项和为32(18)32(81)187nn-=--. …………………………13分19（本小题共14分） 解：2221()1'()x a x ax af x x x x x x----=+=-=(0x >) ………………………………..4分 （I ）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线1-2y x =平行，所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得 ……………………………………6分(II)当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立，这时()f x 在[1，2]上为增函数 min ()(1)1f x f a ∴==-. ………………………………………………….8分当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈对于(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a]上为减函数， 对于(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，min ()()ln f x f a a ∴==. …………………………………………………..11分当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立， 这时()f x 在[1，2]上为减函数，m in ()(2)ln 212af x f ∴==+-.综上，()f x 在[1，2]上的最小值为①当01a <≤时，m in ()1f x a =-,②当12a <<时，min ()ln f x a =，③当2a ≥时，m in ()ln 212a f x =+-.…………….14分20（本小题共14分）.解：（I ）椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a bya x，由已知得22222c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……..3分解得 1,1a b c ===∴所求椭圆的方程为1222=+yx. ………………………………………………… 5分(II)由题意知l 的斜率存在且不为零，设l 方程为2(0)x my m =+≠ ①，将①代入1222=+yx，整理得22(2)420m y m y +++=，由0>∆得2 2.m > ………….……………….……….7分设),(11y x E ，),(22y x F ，则1221224222m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩②. …………………………8分由已知，12OBEOBF S S ∆∆=， 则||1||2BE BF =由此可知，2BF BE =，即212y y =. …………………………………………….10分 代入②得，12212432222m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去1y 得222221629(2)2m m m ⋅=++ 解得，2187m =，满足22.m >即7m =±. ………………………………………………………….13分所以，所求直线l的方程为71407140x x --=+-=或. …….14分。
2011年北京市各城区数学二模试题汇总 注意：是5个城区的哦!!
xyO π2π1-1丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B)第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x > (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B) (C) (D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D)椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 486．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+(B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交(B) 直线l 与线段P 2P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交OO O O x xxxyyyy1 11 1111 18．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 (A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D)[3,)+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是． 10．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知 ∠D =46°，则∠A =．11．函数2cos sin y x x x =-的最小正周期为，最大值 为．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．13．如果执行右面的程序框图，那么输出的a =___．14．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．OA 1A 2 A 3 A 4B 1 B 2 B 3 B 4 AB正视图侧视图俯视图A三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4，S 5=35． （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n a n b e =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.（本小题共14分）张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35．（Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8，E 是线段AD 的中点．沿BD 将△BCD 翻折到△BC D '，使得平面BC D '⊥平面ABD ． （Ⅰ）求证：C D '⊥平面ABD ； （Ⅱ）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D BE C '--的余弦值．12A B D E C ' C18.（本小题共13分）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值．19.（本小题共14分）已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．（ⅰ）求抛物线P 的方程；（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．20.（本小题共13分） 用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈，定义51(,)[]i f m k ==∑，集合{N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值；（Ⅲ）求证：在数列{}n a中，不大于m 00(,)f m k 项．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2011.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)-2. 已知全集R,U =集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为 A {1}B.{0,1} C. {1,2}D. {0,1,2} 3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间 A ．1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,3) 4.若直线l 的参数方程为13()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为A ．45-B ．35-C ．35D ．455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是7．若椭圆1C ：1212212=+b ya x（011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b ya x（022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是A ．②③④B. ①③④C ．①②④D.①②③8. 在一个正方体1111A B C D A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足M Q λ=的实数λ的值有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.主视图左视图B ACDA1D 1A 1C 1B DCBOPNQ10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 . 11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++， 其中26a =-，则实数m 的值为；12345a a a a a ++++的值为.12．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .13．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+=(,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = .14. 已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假： ①()f x 是偶函数；②()1f x <；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题共13分）已知函数2()coscos f x x x x ωωω=(0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程.16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ)用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望. 17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）； （II ）求函数()f x 的单调区间.19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -= 12k = ，，3,.(Ⅰ)若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；A D OC PBE(Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（理工类）2011.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知全集U =R ，集合{|021}xA x =<<，3{|log 0}B x x =>，则U ()A B I ð=（A ）{|1}x x >（B ）{|0}x x >（C ）{|01}x x <<（D ）{|0}x x <（2）设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“1>yx”的 （A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为（A ） 8 （B ） 4（C）D（4）已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数a 的值为（A ）1 （BC ）2（D ）4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从正视图1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 （A ）120个（B ）80个（C ）40个（D ）20个（6）点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是 （ABC ）2 （D ）2（7）已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是棱1BB ，1DD 上的动 点，且1BE D F λ==1(0)2λ<≤．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则αβ+的最小值（A ）不存在（B ）等于60︒（C ）等于90︒（D ）等于120︒（8）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0 ．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11SSλ=，22S S λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为（A ）32（B ）12（C ） 1 （D ）2 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.（9）已知复数z 满足1iz i =-，则z =. （10）曲线C ：cos 1,sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为.（11）曲线233y x =-与x 轴所围成的图形面积为________.(12)已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a =；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a =.(13)如图，PA 与圆O 相切点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=，PA =1PC =，则PB =；圆O 的 半径等于．(14)已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()23x f =，ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值.（16）（本小题满分13分）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E (X ).（17）（本小题满分13分）在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如图1）. 将此长方形沿1CC 对折，使二面角11A CC B --为直二面角，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（如图2）.（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ； （Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值.(18)（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1[, 2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数)(x f 的极值点.(19)（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为2．过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求BM BN ⋅的取值范围；（Ⅲ）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值．(20)（本小题满分14分）对于正整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0r b <≤.特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3,,23}A =⋅⋅⋅.（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191 (091)q r r =+<≤，试求,q r 的值；图（1）（Ⅱ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；（Ⅲ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，|b a ，则称B 为“和谐集”.求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科）2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2-（D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是 （A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A（B（C ）2（D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8 （C ）87（D ）77．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k（A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个（D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）最小值为15 （B ）最小值为5 （C ）最大值为15（D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在中，若2B A =，:a b =A =_____. 10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O 2OP =，则PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.ABC ∆设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗. 则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_____；② 若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A B D O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.M（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： ①12m A A A A = ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. （Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++ 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
朝阳区高考二模数学理试题目及答案word精品文档9页
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（理工类）2019.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U=R，集合A={x︱0<2x<1},B={x︱log3x>0},则A∩(C U B)=(A){x︱x>1} (B){x︱x>0} (C){x︱0<x<1} (D){x︱x<0}（2）设x,y∈R那么“x>y>0”是“xy>1”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为（A）8 （B）4 （C）43（D）3（4）已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为(A)1 (B)3(C)2 (D)4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。
现从1,2,3, 4,5, 6 这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（A）120个（B）80个（C）40个（D）20个（6）点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A（0,–1）的距离与到直线x=–1的距离和最小值是（A）5（B）3（C）2 （D）2（7）已知棱长为1的正方体ABCD–A1 B1 C1 D1中，点E,F分别是棱BB1 ，DD1上的动点，且BE=D1 F=λ（0＜λ≤12）。
2011年朝阳区高三二模数学(文、理)试卷及答案无水印
2011届高考二模数学试卷文科数学命题人：胡全新 何春阳注意：本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设合集{0,1,2,3,4},{0,3,4},{1,3},()U U A B C A B === 则= （ ）A ．{2}B ．{1，2，3}C ．{1，3}D ．{0，1，2，3，4}2．在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的14，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（ ） A ．80B ．0.8C ．20D ．0.23．一组数据4，5，12，7，11，9，8，则下面叙述正确的是 （ ） A ．它们的中位数是7，总体均值是8 B ．它们的中位数是7，总体方差是52 C ．它们的中位数是8，总体方差是528D ．它们的中位数是8，总体方差是5274．在区间[,]22ππ-上随机取一个,sin x x 的值介于1122-与之间的概率为（ ）A ．13B ．2π C ．12D ．235．已知实数m 是2，8的等比中项，则双曲线221yx m-=的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．3D ．26．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,P A l A ⊥为垂足，如果直线AF 斜率为3-，那么|PF|=（ ）A ．43B ．8C ．83D ．167．若0,0,4a b a b >>+=且，则下列不等式恒成立的是 （ ）A ．112a b> B ．111ab+≤ C ．2ab ≥ D ．228a b +≥8．若函数s i n ()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的 图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且O MO N ⋅=（O 为坐标原点），则A= （ ） A ．6π B ．712π C ．76π D ．73π二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分35分。
2011年北京市各区二模试题分类解析(6)：数列
六、数列1、（2011昌平二模理6）. 已知等差数列{}n a 的公差为3，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（D ）A ．9B ．3C ． -3D ．-92、（2011东城二模理5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ D ）（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 3、（2011顺义二模理4）.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于（D ）A 21+B 21-C 223+D 223-4、（2011西城二模理7）．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k （ B ）（A ）有3个（B ）有2个（C ）有1个（D ）不存在 5、（2011西城二模理14）.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_120____； ②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是__(21,2),k k k -∈*N ___. 6、（2011昌平二模文3）数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足13n n a a +=+，且38a =，则10S 等于（ A ）A ．155B ． 160C ．172D ．240 7、（2011丰台二模文4）已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a =(C) (A) 12-(B) 23-(C)35(D)528、（2011顺义二模文4）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则7698a a a a ++等于(C)A 21+B 21-C 223+D 223- 9、1(2011朝阳二模理12)已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a =43 ；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a = 221n n - 2、（2011海淀二模理13）已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) .3、（2011东城二模文14）已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，那么a = 2 ；若对于任意的*N n ∈，总存在*N m ∈，使得 3n m b a =+成立，则n a = 5n-34、（2011海淀二模文13）已知数列}{n a 满足，11=a 且)(1n n n a a n a -=+（*n ∈N ），则2a ；n a =__n_.5、（2011西城二模文9） 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为__3___.6、（2011西城二模文14）数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n = ，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<；③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0i a <.其中正确的命题是__①③____.（写出所有正确命题的序号） 解答1（2011昌平二模理20）. (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足125a =，且对任意n *∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+． (Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(Ⅱ）试问数列{}n a 中()1k k a a k *+⋅∈N 是否仍是{}n a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由． （Ⅲ）令21(5),3n nb a =+证明：对任意2*,2n b n n N b ∈>都有不等式成立.解: （Ⅰ）111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， ……1分所以11132n n a a +-=， ……. 2分 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列． ……3分 （II ）由（Ⅰ）可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=，所以232n a n =+．…… 4分 ()122243231292110k k a a k k k k +⋅=⋅=+++++ …….5分22921622k k =+++22372322k k =++⋅+． …… 7分因为()2213723122k k k k k k +++=+++， …… 8分当k *∈N 时，()12k k +一定是正整数，所以23722k k ++是正整数．(也可以从k 的奇偶性来分析)所以1k k a a +⋅是数列{}n a 中的项，是第23722k k ++项． …… 9分(Ⅲ)证明：由（2）知：232n a n =+，21232(5)(5)4332n n n b n a +=+=+=+…..10分下面用数学归纳法证明：422(4)n n +>+对任意*n N ∈都成立。
北京市朝阳区2011年第二学期高三综合练习(一)
北京市朝阳区2011年第二学期高三综合练习（一）数学（理科）（朝阳一模）（时间：120分钟总分： 150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小 题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合},,2{{},,|{2R x x y y N R x x y y M ∈+==∈==则=N M ( )),0.[+∞A ),.(∝+-∞B ∅.C )1,1()4,2.(- D2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从这两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 ( )8,8.A 6,10.B 7,9.C 4,12.D3．极坐标方程θρcos 4=化为直角坐标方程是 ( )4)2.(22=+-y x A 4.22=+y x B 4)2(.22=-+y x C 4)1()1.(22=-+-y x D4．已知}{n a 是由正数组成的等比数列，n s 表示 }{n a 的前n 项和．若,144,3421==a a a 则10s 的值是( )511.A 1023.B 1533.C 3069.D5．函数)2(cos 2π+=x y 的单调递增区间是 ( )Z k k k A ∈+),2,.(πππ z k k k B ∈++),,2.(ππππZ k k k C ∈+),2,2.(πππ z k k k D ∈++),22,2.(ππππ6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于 ( )126.A 33.B 46.C 332.D7．如图，双曲线的中心在坐标原点0，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是 ( )77.A 775.B 147.C 1475.D 8．定义区间（a ，b ），k ，b ），（a ，b]，k ，b]的长度均为,a b d -=多个区间并集的长度为各区间长度之和．例如， )2,1()5,3[的长度.3)35()12(=-+-=d 用][x 表示不超过x 的最大整数，记 ],[||x x x -=其中.R x ∈设=)(x f ,1)(|,|][-=⋅x x g x x 若321,,d d d 分别表示不等式),()(x g x f > 方程),()(x g x f =不等式)()(x g x f <解集区间的长度，则当20110≤≤x 时，有 ( )2008,2,1.321===d d d A 2009,1,1.321===d d d B2003,5,3.321===d d d C 2006,3,2.321===d d d D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．复数,1,321i z i z -=+=则21z z等于 10.在二项式6)2(+x 的展开式中，第四项的系数是11.如下图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且.4=若 ,AE y AF x AD +=则实数=x =y ,12.执行下图所示的程序框图，若输入,2.5-=x 则输出y 的值为13.如下图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点 E.已知=∠===D B C EC AE CD BC ,2,32=∠C A B 则,30 ，AC 的长是14.对于各数互不相等的整数数组n i i i i n （),,,,(321 ⋅是不小于3的正整数），对于任意},,,3,2,1{,n q P ∈ 当P q <时，有,q P i i >则称q P i i ,是该数组的一个“逆序”，一个数据中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组(2，4，3，1)中的逆序数等于____；若数组,,(21i i ),,3n i i 中的逆序数为n ，则数组),,,(11i i i n n -中的逆序数为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写在文字说明，演算步骤或证明过程：15.（本小题共13分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知⋅-=432cos C (I)求sinC ；(Ⅱ)当C=2a ，且73=b 时，求a ．16.（本小题共13分）如图，在四棱雉P- ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且=∠=∠PAD ABC BC AD ,// ,90 侧面PAD ⊥底面ABCD.若BC AB PA ==.21AD = (I)求证：CD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)侧棱PA ⊥是否存在点E ，使得BE∥平面PCD? 若存在，指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)求二面角A-PD-C 的余弦值．17．（本小题共13分）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进 4个球且最后．2个球都投 进者获奖，否则不获奖，已知教师甲投进每个球的概率都是⋅32 (I)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ， 求X 的分布列及数学期望；(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；(Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙 在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（本小题共13分）已知函数>-+=a x a xZ x f (2ln )().0 (I)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线与直线2+=x y 垂直，求函数)(x f y =的单调区间； (Ⅱ)若对于),0(+∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，试求a 的取值范围；(Ⅲ)记).()()(R b b x x f x g ∈-+=当1=a 时，函数)(x g 在区间].,[1e e -上有两个零点，求实数b的取值范围．19．（本小题共14分）已知A （-2，0），B(2，O)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△APB 面积的最大值为.32（I ）求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直 线PF 的位置关系，并加以证明．20.（本小题共14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为),3,,,3,2,1,(≥=n n k m a nk 公差为,m d 并且*,,,,32ln r n n a a a a 成等差数列．(I)证明212211,,3(1P P n m d p d p d m ≤≤+==是m 的多项式），并求21P P +的值； (Ⅱ)当3,121==d d 时，将数列}{m d 分组如下：),(1d ),,,,,(),,,(98765432d d d d d d d d …（每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为m m c c ()(4),0>求数列}*2{m c d 的前挖项和n s . (Ⅲ)设N 是不超过20的正整数，当N n >时，对于(Ⅱ)中的,n s 求使得不等式n n d S >-)6(501成立的所有N 的值.。
朝阳高三二模数学理含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试 （理工类）2018．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{log 1}A x x =>，{}1B x x =≥，则A B U = A ．(1,2] B ．(1+)∞， C ．(1)2， D ．[1+)∞， 2．在ABC △中，π=1,==6AB AC C ∠，则B ∠= A ．4π B ．4π或2πC ．43π D ．4π或43π 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为A ．10B ．13C ．40D ．1214．在极坐标系中，直线:cos sin 2l ρθρθ+=与圆:2cos C ρθ=的位置关系为A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离5．如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅u u u r u u u r=A ．)sin(βα-B ．)sin(βα+C ．)cos(βα-D ．)cos(βα+ 6．已知函数22,,(),,x x a f x x x a ⎧≥=⎨<⎩则“0a ≤”是“函数()f x 在[0,)+∞上单调递增”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校象棋社团组织中国象棋比赛．采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为A ．4B ．5C ．6D ．78．若三个非零且互不相等的实数123,,x x x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称123,,x x x 成一个“β等差数列”.已知集合{}100,M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为A ．25B ．50C ．51D ．100第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．计算21=(1i)+______． 10．双曲线22(0)x y λλ-=≠的离心率是_____；该双曲线的两条渐近线的夹角是______． 11．若31()n x x -展开式的二项式系数之和为8，则n =____，其展开式中的含31x项的系数为______．（用数字作答）12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥底面和三个侧面中，直角三角形个数是___．13．已知不等式组0,2,1(1)y x y y k x ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩在平面直角坐标系xOy 中所表示的平面区域为D ，D 的面积为S ，则下面结论：①当0k >时，D 为三角形； ②当0k <时，D 为四边形；③当13k =时，4S =； ④当103k <≤时，S 为定值．其中正确的序号是______．14．如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x正视图侧视图俯视图弧度，且始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2π，a ∈R . （Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[0,]2x π∈时，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 16．(本小题满分13分)某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和．根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（Ⅰ）若从交通得分前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？ （只写出结果） 17．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ．△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==；在梯形ABCD 中，AB DC P ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===．（Ⅰ）求证：//AB 面PDC ；（Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值；（Ⅲ）在线段AP 上是否存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ？请说明理由．18．(本小题满分13分)已知函数2()e 2x f x x ax ax =++()a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为30x y +=，求a 的值； （Ⅱ）当102a -≤<时，讨论函数()f x 的零点个数． 19． (本小题满分14分)已知抛物线2:2C y x =．（Ⅰ）写出抛物线C 的准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（Ⅱ）过点(2,0)且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B ,且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ．（ⅰ）求点M 的坐标；（ⅱ）求OAM ∆与OAB ∆面积之和的最小值． 20． (本小题满分13分)若无穷数列{}n a 满足：存在*(,,)p q a a p q p q =∈>N ，并且只要p q a a =，就有(1,2,3,p i q i a ta i ++==L ；t 为常数），则称{}n a 具有性质T ．（Ⅰ）若{}n a 具有性质T ，且3t =，12454,5,1,5a a a a ====，78936a a a ++=，求3a ；（Ⅱ）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2nn S b =+（b ∈R ），证明存在无穷多个b 的不同取值，使得数列{}n a 具有性质T ；（Ⅲ）设{}n b 是一个无穷数列，数列{}n a 中存在p q a a =*(,,)p q p q ∈>N ，且*1cos ()n n n a b a n +=∈N ．求证：“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1,{}n a a 都具有性质T ”的充分不必要条件．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）2018．5三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sin cos )1222a πππ+-=． 即2(10)1a ⨯+-=，解得1a =．又()2sin (sin cos )1f x x x x =+-22sin 2sin cos 1x x x =+-sin 2cos2x x =-)4x π=-由222242k x k πππ-+π≤-≤+πk (∈)Z ，得322244k x k ππ-+π≤≤+π，所以388k x k ππ-+π≤≤+π， 所以函数()f x 的单调递增区间是3[,88k k k ππ-+π+π](∈)Z ． ……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π=-．当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，所以sin(2)124x π-≤-≤．所以1()f x -≤≤当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-． 因为不等式()f x m ≥恒成立等价于()m f x ≤最小值， 所以 1m ≤-．故实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ……13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图可知，交通得分前5名的景点中安全得分大于90分的景点有3个． 故从交通得分前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35．……3分 （Ⅱ）由图可知，景点总分前6名的景点中安全得分不大于90分的景点有2个． 设从景点总分前6名的景点中任取3个，安全得分不大于90分的个数为ξ，则ξ的取值为0,1,2．所以343641(0)205C P C ξ====； 122436123(1)205C C P C ξ====；21243641(2)205C C P C ξ====．故ξ的分布列为所以130121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……10分 （Ⅲ）12x x >． ……13分17．(本小题满分14分) 证明：（Ⅰ）因为AB DC P ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面， 所以//AB 平面PDC ． ……3分（Ⅱ）取BC 中点F ，在PBC △中，因为PB PC =，所以PF BC ⊥.又易知5,AC AB ==所以AF BC ⊥.又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC I 平面=ABCD BC ， 所以PF ⊥平面ABCD ．所以PF AF ⊥．以F 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．在梯形ABCD 中，因为AB DC P ，AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =，AF =又因为3PB =，所以2PF =．于是有(0,0,2),(0,P A B C ．所以FA =u u u r，(AB =-u u u r，2)PB =-u u u r．因为AF ⊥平面PBC，所以FA =u u u r是平面PBC 的一个法向量．设平面PBA 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m即0,20.z ⎧-+=⎪-=所以2,2.y x z =⎧⎪= 令2y =，则=m ．所以cos ,FA <>=u u u r m ． 由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --． ……9分 （Ⅲ）因为5,3AB DC ==，且(AB =-u u u r ，所以35CD AB =-u u u r u u ur ．所以25AD AB BC CD AB BC =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2((0,(5=-+-=．设平面ADP 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,AD AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即11110,20.y z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩所以11112,.x y z =-⎧⎪= 令12x =，则(2,=-n ．假设线段AP 上存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ，且设([0,1])AH AP λλ=∈u u u r u u u r．所以((,0,2)AH AP λλλ==-=-u u u r u u u r．所以(,0,2)),)BH BA AH λλλ=+=+-=-u u u r u u u r u u u r． 因为BH ⊥平面ADP ，所以//BH u u u rn ．=λ不存在． 所以假设不成立，故线段AP 上不存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ．……14分 18．(本小题满分13分)解：由题意可知()(1)(e 2)xf x x a '=++．（Ⅰ）因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为30x y +=，所以(0)0,f =(0) 3.f '=- 由0e 23a +=-得2a =-． ……4分 （Ⅱ）当102a -≤<时，令()(1)(e 2)0x f x x a '=++=得1x =-或ln(2)x a =-． ①当ln(2)1a -<-，即1(,0)2ea ∈-时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(ln(2),1)a --上单调递减，在(,ln(2))a -∞-和(1,)-+∞上单调递增．又因为2(ln(2))ln (2)0f a a a -=-<， (0)0f =，所以函数()f x 有一个零点． ②当ln(2)1a -=-，即12ea =-时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(,+)-∞∞上单调递增． 又因为(0)0f =，所以函数()f x 有一个零点． ③当1ln(2)0a -<-<，即11(,)22ea ∈--时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(1,ln(2))a --上单调递减，在(,1)-∞-和(ln(2),)a -+∞上单调递增．又因为22(2)2e +442e0f a a ---=--=-<，1(1)ef a -=--，2(ln(2))ln (2)0f a a a -=-<，(0)0f =，所以当11(,)e 2e a ∈--时，此时1(1)0e f a -=--<，函数()f x 有一个零点；当1ea =-时，此时(1)0f -=，函数()f x 有两个零点；当11(,)2e a ∈--时，此时1(1)0ef a -=-->，函数()f x 有三个零点．④当ln(2)0a -=，即12a =-时，显然函数()f x 有两个零点．综上所述，（1）当1(,0)e a ∈-时，函数()f x 有一个零点；（2）当11{,}e 2a ∈--时，函数()f x 有两个零点；（3）当11(,)2ea ∈--时，函数()f x 有三个零点． ……13分 另外的解法提示：()(e 2)xf x x ax a =++，易知(0)0f =.即可考虑()e 2x g x ax a =++的零点.19．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意可知，抛物线的准线方程为12x =-． 抛物线C 的焦点到准线的距离为1． ……4分（Ⅱ）由已知设直线:(2)l y k x =-，显然0k ≠；11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x ≠.由22,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2240ky y k --=． 所以122y y k+=, 124y y =-． （ⅰ）因为点,B D 关于x 轴对称，所以22(,)D x y -．所以直线AD 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得11211212211212()()x y y y x x x y x y x y y y y +--+==++2212211212122()2y y y y y y y y +===-+． 所以(2,0)M -． ……10分（ⅱ）记OAM ∆与OAB ∆面积分别为OAM S ∆，OAB S ∆，设(2,0)P则11211+()22OAM OAB S S OM y OP y y ∆∆=⨯+⨯+ 122y y =+≥==当且仅当212y y =，即12y y ==mOAM ∆与OAB ∆面积之和的最小值是． ……14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质T ，且3t =，525a a ==，所以633,a a =7433,a a ==85315,a a ==96339,a a a ==由78936a a a ++=，得3315936,a ++=所以32a =，经检验符合题意. ……3分 （Ⅱ）证明：因为无穷数列{}n a 的前n 和为n S ，且2n n S b =+，所以12a b =+，当2n ≥时，11222n n n n a --=-=．若存在()p q a a p q =>，则1q =.取122(,p b p -=-∈N 且2p ≥，p 为常数),则112p p a a -==，对12p t -=，有111122(1,2,3,)p i p p i i i a a ta i +--+++====L ，所以{}n a 具有性质T ，且b 的不同取值有无穷多个． ……8分 （Ⅲ）证明：当{}n b 为常数列时，有n b m =（常数），*1cos ()n n a m a n +=∈N , 对任意的正整数1a ，因为存在p q a a =，则由cos cos p q m a m a =，必有11p q a a ++=，进而有(1,2,3,p i q i a a i ++==L ），这时1t =，(1,2,3,p i q i a ta i ++==L ）， 所以{}n a 都具有性质T ．所以，“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1,{}n a a 都具有性质T ”的充分条件． 取,21,20,2n n k b k n k *π⎧=-⎪=∈⎨⎪=⎩N （），，对任意正整数1a ，由11cos (2,)n n n a b a n n --=≥∈N 得，2111cos cos 2a b a a π==，因为1a 为正整数，所以20a ≠，且12a a ≠. 322cos 0a b a ==，433cos 2a b a π==，…， 即，当3n ≥时，0,21,,22,2n n k a k n k *=+⎧⎪=∈⎨π=+⎪⎩N （）． 对任意,p q ，则,p q 同为奇数或同为偶数.① 若,p q 同为偶数，则(1,2,3,)p i q i a a i ++==L 成立；② 若,p q 同为奇数，则(1,2,3,)p i q i a a i ++==L 成立.所以对于任意,p q 满足p q a a =，则取1t =，1p i q i a a ++=⨯.故{}n a 具有性质T ，但{}n b 不为常数列，所以“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1,{}n a a 都具有性质T ”的不必要条件． 证毕 ……13分。
北京市朝阳区年高三二模数学理科答案
（Ⅰ）由已知得 f (x) 2e2x1 a ．
……………14 分
因为曲线在点处的切线与直线 x ey 1 0 垂直，
所以 f (0) e ．所以 f (0) 2e a e ．
所以 a e ．
……………3 分
（Ⅱ）函数的定义域是， f (x) 2e2x1 a ．
所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的
概率估计为 P 60 20 80 2 . 200 200 5
……………5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取 1 人，其参加社区服务时间不少于 90
2 小时的概率为 .
5
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0．
(8km)2 4(3 4k 2 )(4m2 12) 0 ，化简得 3 4k 2 m2 ．
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则
x1
x2
8km 3 4k 2
，
x1x2
4m2 12 3 4k 2
．
若 OA 2OB OA 2OB 成立，
2 2
k
k 1
k
由Tk
x1k r x2r ，得 Tk 1
x x k 1r r
1
2
x1
x1k r x2r x2k 1 ．
r0
r0
r0
即 Tk 1
x1Tk
xk 1 2
．
所以 Tk x1Tk1 x2k ， x2Tk x1x2Tk 1 x2k 1 ．
所以 Tk1 x1Tk (x2Tk x1x2Tk1) (x1 x2 )Tk x1x2Tk1 ．
则 FG = (x1, y1 1, z1) ． 由（Ⅱ）可知平面 EDF 的一个法向量是 n = (1, 1, 3)
北京朝阳高考二模数学理高中教育文档
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类)第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合}{|230A x x =∈-R ≥，集合}{2|320B x x x =∈-+<R ，则A B = （ ）．A ．3|2x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩≥B ．3|22x x ⎧⎫<⎨⎬⎭⎩≤C ．}{|12x x <<D ．3|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ）．A ．33log log a b <B ．11()()44a b >C ．11a b< D ．22a b <3．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）．A ．}{1,2,3,4,5B ．}{1,2,3,4,5,6C ．}{2,3,4,5D ．}{2,3,4,5,64．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=（ ）．A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π35．已知命题:p 复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题:q 0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（ ）．A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧(P )M NDCBA 6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）．A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．(1,3]D ．[3,)+∞7．某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．煤（吨） 电（千度） 纯利润（万元）1箱甲产品 31 2 1箱乙产品11 1若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（ ）． A ．60万元 B ．80万元 C ．90万元 D ．100万元8．如图放置的边长为1的正PMN △沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当PMN △沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（ ）． A ．8π3 B ．16π3C ．4πD ．5π第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b __________．10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___________．（用数字表示）11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =，过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点．则•AC BC =___________．12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是_________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24n n S a =-*()n ∈N ，则n a =_________；数列{}2log n a 的前n 项和为_____________．ODMCBA14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()≤f x M ，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数① 1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()x f x x=；④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2π3A =，3b =，ABC △的面积为1534． （I ）求边a 的边长；（II ）求cos 2B 的值．16．（本题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（I ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （II ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，,E F分别为PA,BD中如图，在四棱锥P ABCD点，2===．PA PD ADEF平面PBC;（I）求证：//（II）求二面角E DF A--的余弦值；（III）在棱PC上是否存在一点G,使GF⊥平面EDF?若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数21()e 1,x f x ax a +=-+∈R ．（I ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()1f x …成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到到右顶点的距离为1． （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）是否存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知12,x x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数,m t ∈Z ，设120nn r rn r T x x -==∑（*n ∈N ）．（I ）用,m t 表示1T ，2T ; （II ）求证：543T mT tT =--;（III ）求证：对任意的*n ∈N ，n T ∈Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5一、选择题（满分40分）题号1 2 34 5 6 7 8 答案B C C DDACB二、填空题（满分30分）题号 9 10 11121314答案2380- 382383 12n +(3)2n n + ②③三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，11533sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =．……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=得，73sin 32B =， 所以33sin 14B =． 所以271cos 212sin 98B B =-=．……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P27125 54125 36125 8125 因为ξ~2(3)5B ，，所以26355E ξ=⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ．……………4分（Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD 面=ABCD AD ， 所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．OxyzFA BC DP E E P DCBAF因为2PA PD AD ===，所以3OP =，则(,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，(0,0,3)P ，13(,0,)22E ，(0,1,0)F ． 于是(0,2,0)AB = ，33(,0,)22DE = ，(1,1,0)DF = ． 因为OP ⊥面ABCD ，所以(0,0,3)OP = 是平面FAD 的一个法向量．设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 所以00000,330,22x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,3.y x z x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 令01x =则=(1,1,3)--n ． 所以315cos ,535OP OP OP ⋅-<>===⋅⋅ n n n． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A 的余弦值为155．…10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ， 则111=(,1,)FG x y z - ．由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,3)--n ．因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λ n ． 于是，111,1,3x y z λλλ=-=-=-，即111,1,3x y z λλλ==-=-．又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线． 因为(1,2,3)PC =-- ，111(+1,2,)CG x y z =- ， 所以11112123x y z +---==． 所以113123λλλ+-----==，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立．……………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =．……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞．（2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． 综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞； 当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．……………8分 （Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ．“当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立” 等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．” 设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．” 212(21)e ()x x g x x+-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数； 令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数． 所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =． 所以22e a ≤．又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞．……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时，可得11ln 0222a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， 所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<． 由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数， 所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值， 且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a a f a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a a a -+≥， 解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分） （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=． 解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=- 成立.理由如下： 由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=- 成立， 即2222OA OB OA OB +=- ，等价于0OA OB ⋅= ．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+． 将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->， 解得，234m >． 又由227121212m k =+≥，2127m ≥， 从而2127m ≥，2217m ≥或2217m ≤-． 所以实数m 的取值范围是22(,21][21,)77-∞-+∞ ．……………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120n n r r n r T xx -==∑，所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑． 222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑．…………3分（Ⅱ）由120k k r r k r T x x -==∑，得 545455512112214200r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑． 即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立． （2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由120k k r r k r T xx -==∑，得111112112200k k k r r k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑． 即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数． 即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120n n r r r x x -=∑的值都是整数．………13分。
高考数学 答案
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.。
2011年北京市各区二模试题分类解析(12)圆锥曲线
此时AS的方程为 ， ,
所以 ,要使 的面积为 ，
只需点T到直线AS的距离等于 ，
所以点T在平行于AS且与AS距离等于 的直线 上
设 ，则由 ，解得
1当 时，由 得
由于 ，故直线 与椭圆C有两个不同交点
② 时，由 得
由于 ，故直线 与椭圆C没有交点
综上所求点T的个数是2.…
所以 （此时直线 经过定点 ，与椭圆有两个交点），
所以
.……………12分
设 ，
则 .
所以当 时， 取得最大值 .
8、（2011昌平二模文19）(本小题满分14分)
已知椭圆C: 的左焦点为 （-1，0），离心率为 ，过点 的直线 与椭圆C交于 两点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（II）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、 B两点，线段AB的垂直平分线与 轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
则 ， ，………………………………………10分
， ．
所以 ………………………………………12分
．
所以 为定值 ．…
11、（2011丰台二模文19）（本小题共14分）
已知椭圆C的长轴长为 ，一个焦点的坐标为(1,0)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．
设 ，
则 ，………………13分
当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 .………………14分
方法二：不妨设直线 的方程 .
由 消去 得 ，………………6分
设 ， ，
则有 ， . ①………………7分
因为以 为直径的圆过点 ，所以 .
由 ，
北京市朝阳区高三数学第二次综合练习试题 理 (朝阳二模)新人教A版
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则U AB ð=A ．{}04x x ≤< B ．{}04x x <≤ C ．{}10x x -≤≤ D ．{}14x x -≤≤ 2.复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限3.已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为A ．6B ．32 D ． 344.在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠ 等于A ．60或120B ．120C ．150D ．30或150 5.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,4x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4ρθπ=+，则直 线l 和曲线C 的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 6.下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ，=a ，2(1),λ=-b ，(11)-，=c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-；:r 若111adx =x⎰（1a >），则e =a . 其中所有的真命题是A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r 7.直线y x =与函数22,,()42,x m f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取 值范围是A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[2,)+∞D ．(,1]-∞- 8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A. 1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.二项式25(+ax 展开式中的常数项为5，则实数a =_______.10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______.11.若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 .（第10题图）12.如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ．若CD =则AB =_______， EF =_________．13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加 投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件.当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）14.在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *+++=+∈，则此数表中的 第5行第3列的数是 ；记第3行的 数3，5，8，13，22， ⋅⋅⋅ 为数列{}n b ，则数列 {}n b 的通项公式为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分）已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M . （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ， 求()f A 的取值范围．16. （本小题满分13分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望.第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 …17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ， =4,=2,=1AB AE EF .（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ； （Ⅱ）求证：⊥AF 平面EBC ； （Ⅲ）求二面角--A FB D 的余弦值. 18. （本小题满分14分）已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤． 19. （本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(A，B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且 PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围. 20．（本小题满分13分） 已知数列12:,,,n n A a a a (,2)n n ∈≥*N 满足01==n a a ，且当n k ≤≤2()*N k ∈时，1)(21=--k k a a ，令1()nn i i S A a ==∑．（Ⅰ）写出)(5A S 的所有可能的值； （Ⅱ）求)(n A S 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=？若存在，求出数列n A ；若不存在，说明理由．E CBDMA F北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学答案（理工类） 2012.5二、填空题：9. 1 10. 13 11.1212. 3 ，3 13. 2**32100,020,,160,20,,N N x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈=⎨->∈⎩16 14. 16，121n n a n -=++三、解答题：15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由()12(cos 21)22f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上， 所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=， 解得12m =. ……5分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()84P A C +==.答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584.…4分 （Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739281()843C C P B C ===.答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13. ……8分 （Ⅲ）X 的取值为2,3,4,5.12212222391(2)21C C C C P X C +===， 12212424394(3)21C C C C P X C +===，12212626393(4)7C C C C P X C +===， 1218391(5)3C C P X C ===. ……11分所以X 的分布列为X 的数学期望234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……13分17. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN //AB ，又14CM AC =，所以14MN AB =.又EF //AB 且14EF AB =，所以EF //MN ，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形，所以EM //FN .又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以//EM 平面FBC . ……4分（Ⅱ）因为⊥EA 平面ABCD ，⊥AB AD ，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz .由已知可得(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F .显然=(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB . 则=0,=0⋅⋅AF BC AF EB ， 所以,⊥⊥AF BC AF EB .即,⊥⊥AF BC AF EB ，故⊥AF 平面EBC .EDCM AF BN（Ⅲ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，由已知得，=(0,4,0),=(3,0,-2)BC FB ，=(4,4,0)-BD . ……9分 因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . 由已知可得⊥AB BC 且=EA AB A ，所以⊥BC 平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量. 设平面DFB 的一个法向量是()n =x,y,z .由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪⎨=⎪⎩y x,z x, 令2=x ，则(2,2,3)n =.所以cos <,n n n⋅>==⋅BC BC BC 由题意知二面角A-FB-D 锐角，故二面角A-FB-D . ……14分 18. （本小题满分14分）解：（I ）()f x 的定义域为{|0}x x >.()()22210a a f x x x x '=-+>.根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=，解得1a =-或32a =. ……3分 （II ）()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x+--+'=-+==>. （1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<. 所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减. （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-；由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-.所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. ……9分 （III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a =-=-+-=---.2()ln(2)3ln(2)22g a a aa a -'=-+-=---， 令()0g a '=，得21e 2a =-.当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：2e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点. 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222最大值g a g =-=--⨯---2222131e ln e e e 222=-+=.所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立. ……14分19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y 12=-，整理得221(2x y x +=≠. 所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2x y x +=≠. ………5分 （II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0. ………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+.设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+， 所以2222(,)2121k kQ k k -++. ………9分由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++. 令0x =解得21212P k y k k k==++. .………10分当0k >时，因为12k k +≥04P y <≤=； 当0k <时，因为12k k +≤-04P y >≥=-………12分 综上所述，点P纵坐标的取值范围是[. .………13分 20．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有： （1）01210,,,,.此时5()=4S A ；（2）01010,,,,.此时5()=2S A ； （3）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（4）01210,,,,.---此时5()=4S A -； （5）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（6）01010,,,,.--此时5()=2S A -； 所以，)(5A S 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分（Ⅱ）由1)(21=--k k a a ，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（n k ≤≤2，k ∈*N ），因为11n n n a a c ---=，所以 11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++11221n n a c c c c --==+++++．因为01==n a a ，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,,n c c c -是由21-n 个1和21-n 个1-构成的数列．所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．则当121,,,n c c c -的前21-n 项取1，后21-n 项取1-时)(n A S 最大， 此时)(n A S 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=．证明如下：假设121,,,n c c c -的前21-n 项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则 121,,,n c c c -的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤， 112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t =． 所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑． 所以)(n A S 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前21-n 项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，121,,,n c c c -的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则21(1)()2()4tn i ii n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()ti i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2-n 是奇数，而12()tiii n m =-∑是偶数，因此不存在数列nA ，使得4)3()(2-=n A S n ． ……13分。
2011北京朝阳中考二模数学(含解析)
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五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．若 △ABC 和 △ADE 均为等边三角形， M 、 N 分别是 BE 、 CD 的中点． （1）当 △ADE 绕 A 点旋转到如图①的位置时，求证： CD BE ， △AMN 是等边三角形； （2）如图②，当 EAB 30 ， AB 12 ， AD 2 3 时，求 AM 的长．
1 6 4 3 2 1 4 5 3
8．如图（甲） ，扇形 OAB 的半径 OA 6 ，圆心角 AOB 90 ，C 是弧 AB 上不同于 A 、 B 的动点， 2 E O B 于点 E ， 过点 C 作 CD OA 于点 D ， 作C 连结 DE ， 点 H 在线段 DE 上， 且 EH DE ． 设 3 EC 的长为 x ， △CEH 的面积为 y ，图（乙）中表示 y 与 x 的函数关系式的图象可能是（ ） ．
1 16．解： （1）令 y 0 ，则 x 3 0 ，解得 x 6 ． 2 ∴ A(6 , 0) ．
令 x 0 ，则 y 3 ． ∴ B(0 , 3) ． （2）∵点 P 在直线 y ∴ P(2 , 2) ． ∴过点 P 的反比例函数图象的解析式为 y 17． （1）证明：连接 AH ， 依题意，正方形 ABCD 与正方形 AEFG 全等，
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图(甲)
A．
B．
图(乙)
C．
D．
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．若二次根式 2 x 4 有意义，则 x 的取值范围是 10．若等腰三角形两边长分别为 2 和 5 ，则它的周长是
． ． ．
11．若关于 x 的一元二次方程 kx2 2 x 1 0 有实数根，则 k 的取值范围是
数学_2011年北京市朝阳区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2011年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合A ={x|0<2x <1}，B ={x|log 3x >0}，则A ∩(∁U B)=( ) A {x|x >1} B {x|x >0} C {x|0<x <1} D {x|x <0}2. 设x ，y ∈R ，那么“x >y >0”是“xy >1”的（ ）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条D 既不充分又不必要条件3. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为8，则侧视图的面积为（ ）A 8B 4C 4√3D √34. 已知随机变量X 服从正态分布N(a, 4)，且P(X >1)=0.5，则实数a 的值为（ ） A 1 B √3 C 2 D 45. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ） A 120个 B 80个 C 40个 D 20个6. 点P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到点A(0, −1)的距离与到直线x =−1的距离和的最小值是( )A √5B √3C 2D √27. 已知棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BB 1，DD 1上的动点，且BE =D 1F =λ(0<λ≤12)．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则α+β的最小值（ ）A 不存在B 等于60C 等于90D 等于1208. 已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF // BC ，实数x ，y 满足PA →+xPB →+yPC →=0．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S =λ1，S 2S =λ2，S3S=λ3．则λ2⋅λ3取最大值时，2x +y 的值为（ ）A 32 B 12 C 1 D 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 已知复数z 满足iz =1−i ，则z =________．10. 曲线C:{x =cosθ−1y =sinθ+1（θ为参数）的普通方程为________．11. 曲线y =3−3x 2与x 轴所围成的图形面积为________．12. 已知数列{a n }满足a 1=2，且a n+1a n +a n+1−2a n =0，n ∈N ∗，则a 2=________；并归纳出数列{a n }的通项公式a n =________．13. 如图，PA 与圆O 相切点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知∠BPA =30∘，PA =2√3，PC =1，则PB =________；圆O 的半径等于________．14. 已知函数f(x)=ax 2+(b +1)x +b −1，且a ∈(0, 3)，则对于任意的b ∈R ，函数F(x)=f(x)−x 总有两个不同的零点的概率是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知函数f(x)=2sinx ⋅sin(π2+x)−2sin 2x +1(x ∈R)．（1）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间； （2）若f(x02)=√23，x 0∈(−π4,π4)，求cos2x 0的值．16. 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响． （1）求该产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利−80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E(X)．17. 在长方形AA 1B 1B 中，AB =2AA 1=4，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点（如图1）．将此长方形沿CC 1对折，使二面角A 1−CC 1−B 为直二面角，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点（如图2）．（1）求证：C 1D // 平面A 1BE ；（2）求证：平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B ；（3）求直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值． 18. 设函数f(x)=lnx +(x −a)2，a ∈R ．（1）若a =0，求函数f(x)在[1, e]上的最小值；（2）若函数f(x)在[12，2]上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；（3）求函数f(x)的极值点． 19. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点A(2, 1)，离心率为√22．过点B(3, 0)的直线l与椭圆C 交于不同的两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM →⋅BN →的取值范围；（3）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为k AM 和k AN ，求证：k AM +k AN 为定值．20. 对于正整数a ，b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a ＝bq +r ，0≤r <b ．特别地，当r ＝0时，称b 能整除a ，记作b|a ，已知A ＝{1, 2, 3, ..., 23}．(Ⅰ)存在q ∈A ，使得2011＝91q +r(0≤r <91)，试求q ，r 的值；(Ⅱ)求证：不存在这样的函数f:A →{1, 2, 3}，使得对任意的整数x 1，x 2∈A ，若|x 1−x 2|∈{1, 2, 3}，则f(x 1)≠f(x 2)；(Ⅲ)若B ⊆A ，card(B)＝12（card(B)指集合B 中的元素的个数），且存在a ，b ∈B ，b <a ，b|a ，则称B 为“和谐集”．求最大的m ∈A ，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．2011年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. B3. C4. A5. C6. D7. C8. A9. −1−i10. (x +1)2+(y −1)2=1 11. 4 12. 43,2n 2n −113. 12,7 14. 1315. 解：（1） f(x)=2sinx ⋅cosx −2sin 2x +1… =sin2x +cos2x… =√2sin(2x +π4)．… 故函数f(x)的最小正周期T =2π2=π．…令2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2(k ∈Z)，…可得2kπ−3π4≤2x ≤2kπ+π4，即kπ−3π8≤x ≤kπ+π8，k ∈z ，所以，函数f(x)的单调递增区间为[kπ−3π8，kπ+π8](k ∈Z)．…（2）解法一：由已知得f(x02)=sinx 0+cosx 0=√23，… 两边平方，可得1+sin2x 0=29，所以，sin2x 0=−79． …因为x 0∈(−π4,π4)，所以2x 0∈(−π2,π2)， 所以，cos2x 0=√1−(−79)2=4√29．… 解法二：因为x 0∈(−π4,π4)，所以x 0+π4∈(0,π2)．… 又因为f(x02)=√2sin(2⋅x 02+π4)=√2sin(x 0+π4)=√23， 解得 sin(x 0+π4)=13．…所以，cos(x 0+π4)=√1−(13)2=2√23．… 所以，cos2x 0=sin(2x 0+π2)=sin[2(x 0+π4)]=2sin(x 0+π4)cos(x 0+π4) =2⋅13⋅2√23=4√29．… 16. 解 （1）记“该产品不能销售”为事件A ，则P(A)=1−(1−16)×(1−110)=14．所以，该产品不能销售的概率为14．…（2）由已知，可知X 的取值为−320，−200，−80，40，160．… P(X =−320)=(14)4=1256，P(X =−200)=C 41⋅(14)3⋅34=364， P(X =−80)=C 42⋅(14)2⋅(34)2=27128， P(X =40)=C 43⋅14⋅(34)3=2764，P(X =160)=(34)4=81256．…所以X 的分布列为E(X)=−320×1256−200×364−80×27128+40×2764+160×81256=40 所以，均值E(X)为40．…17.（1）证明：由已知，将长方形AA 1B 1B 沿CC 1对折后，二面角A 1−CC 1−B 为直二面角，因为在长方形AA 1B 1B 中，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点，所以CC 1⊥BC ，CC 1⊥AC ．即∠ACB 是二面角A 1−CC 1−B 的平面角． 所以∠ACB =90∘．所以BC ⊥AC ． 所以CA ，CB ，CC 1两两垂直．以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．… 因为AB =2AA 1=4，且D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点，所以C 1(0, 0, 2)，D(1, 1, 2)，A 1(2, 0, 2)，B(0, 2, 0)，E(0, 0, 1)．… 所以C 1D →=(1,1,0)，A 1B →=(−2,2,−2)，BE →=(0,−2,1)． 设平面A 1BE 的法向量为n =(x, y, z)， 所以{n ⋅A 1B →=0n ⋅BE →=0所以{−2x +2y −2z =0−2y +z =0令y =1，则z =2，x =−1． 所以n =(−1, 1, 2)．…又因为C 1D →⋅n =(1,1,0)⋅(−1,1,2)=0． 所以C 1D →⊥n ．又因为C 1D ⊄平面A 1BE ， 所以C 1D // 平面A 1BE ．…（2）证明：由（1）知A(2, 0, 0)，A 1(2, 0, 2)，B(0, 2, 0)，AA 1→=(0,0,2)，AB →=(−2,2,0)． 设平面AA 1B 1B 的法向量为m =(x, y, z)，所以{m ⋅AA 1→=0m ⋅AB →=0所以{2z =0−2x +2y =0令y =1，则x =1，z =0，所以m =(1, 1, 0)．… 由（1）知，平面A 1BE 的法向量为n =(−1, 1, 2)． 所以m ⋅n =(1, 1, 0)⋅(−1, 1, 2)=0．所以m ⊥n ．所以平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B ．…（3）解：由（1）知，B(0, 2, 0)，C 1(0, 0, 2)．所以BC 1→=(0,−2,2)． 又由（1）知，平面A 1BE 的法向量为n =(−1, 1, 2)．…设直线BC 1与平面A 1BE 所成角为θ，则sinθ=|cos <n,BC 1→>|=|n⋅BC 1→|n|⋅|BC 1→||=2√2⋅√6=√36． 所以直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值为√36．… 18. 解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)．… 因为f′(x)=1x +2x >0，所以f(x)在[1, e]上是增函数，当x =1时，f(x)取得最小值f(1)=1． 所以f(x)在[1, e]上的最小值为1．… （2）解法一：f′(x)=1x +2(x −a)=2x 2−2ax+1x设g(x)=2x 2−2ax +1，…依题意，在区间[12，2]上存在子区间使得不等式g(x)>0成立．…注意到抛物线g(x)=2x 2−2ax +1开口向上， 所以只要g(2)>0，或g(12)>0即可．…由g(2)>0，即8−4a +1>0，得a <94，由g(12)>0，即12−a +1>0，得a <32， 所以a <94，所以实数a 的取值范围是(−∞,94)．…解法二：f′(x)=1x +2(x −a)=2x 2−2ax+1x，…依题意得，在区间[12, 2]上存在子区间使不等式2x 2−2ax +1>0成立． 又因为x >0，所以2a <(2x +1x )．…设g(x)=2x +1x ，所以2a 小于函数g(x)在区间[12, 2]的最大值．又因为g′(x)=2−1x 2，由g′(x)=2−1x 2>0，解得x >√22； 由g′(x)=2−1x 2<0，解得0<x <√22． 所以函数g(x)在区间(√22，2)上递增，在区间(12，√22)上递减． 所以函数g(x)在x =12，或x =2处取得最大值． 又g(2)=92，g(12)=3，所以2a <92，a <94所以实数a 的取值范围是(−∞,94)．… （3）因为f′(x)=2x 2−2ax+1x，令ℎ(x)=2x 2−2ax +1①显然，当a ≤0时，在(0, +∞)上ℎ(x)>0恒成立，这时f ′(x)>0，此时，函数f(x)没有极值点； … ②当a >0时，（1）当△≤0，即0<a ≤√2时， 在(0, +∞)上ℎ(x)≥0恒成立， 这时f ′(x)≥0，此时，函数f(x)没有极值点； … （2）当△>0，即a >√2时， 易知，当a−√a 2−22<x <a+√a 2−22时，ℎ(x)<0，这时f ′(x)<0； 当0<x <a−√a 2−22或x >a+√a 2−22时，ℎ(x)>0，这时f ′(x)>0； 所以，当a >√2时，x =a−√a 2−22是函数f(x)的极大值点；x =a+√a 2−22是函数f(x)的极小值点．…综上，当a ≤√2时，函数f(x)没有极值点； 当a >√2时，x =a−√a 2−22是函数f(x)的极大值点；x =a+√a 2−22是函数f(x)的极小值点．…19. 解：（1）由题意得{4a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2c a =√22.，解得a =√6，b =√3．故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y =k(x −3)， 由{y =k(x −3)x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2−12k 2x +18k 2−6=0．因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，所以△=144k 4−4(1+2k 2)(18k 2−6)=24(1−k 2)>0，解得−1<k <1．设M ，N 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则x 1+x 2=12k 21+2k 2，x 1x 2=18k 2−61+2k 2，y 1=k(x 1−3)，y 2=k(x 2−3)． 所以BM →⋅BN →=(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2 =(1+k 2)[x 1x 2−3(x 1+x 2)+9]=3+3k 21+2k 2=32+32(1+2k 2)．因为−1<k <1，所以2<32+32(1+2k 2)≤3．故BM →⋅BN →的取值范围为(2, 3]． （3）由（2）得k AM +k AN =y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(kx 1−3k −1)(x 2−2)+(kx 2−3k −1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=2kx 1x 2−(5k +1)(x 1+x 2)+12k +4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k(18k 2−6)−(5k+1)⋅12k 2+(12k+4)(1+2k 2)18k 2−6−24k 2+4(1+2k 2)=−4k 2+42k 2−2=−2．所以k AM +k AN 为定值−2．20. （1）因为2011＝91×22+9，所以q ＝22，r ＝9．（2）证明：假设存在这样的函数f:A →{1, 2, 3}，使得对任意的整数x ，y ，若|x −y|∈{1, 2, 3}，则f(x)≠f(y)．设f(1)＝a ，a ∈{1, 2, 3}，f(2)＝b ，b ∈{1, 2, 3}，由已知a ≠b ，由于|3−1|＝2，|3−2|＝1，所以f(3)≠f(1)，f(3)≠f(2)．不妨令f(3)＝c ，c ∈{1, 2, 3}，这里c ≠a ，且c ≠b ，同理，f(4)≠b ，且f(4)≠c ，因为{1, 2, 3}只有三个元素，所以f(4)＝a ．即f(1)＝f(4)，但是|4−1|＝3，与已知矛盾． 因此假设不成立，即不存在这样的函数f:A →{1, 2, 3}，使得对任意的整数x ，y ，若|x −y|∈{1, 2, 3}，则f(x)≠f(y)．(Ⅲ)当m ＝8时，记M ＝{7+i|i ＝1, 2, ..., 16}，N ＝{2(7+i)|i ＝1, 2, 3, 4}记P ＝∁M N ，则card(P)＝12，显然对任意1≤i <j ≤16，不存在n ≥3，使得7+j ＝n(7+i)成立．故P 是非“和谐集”，此时P ＝{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23}．同样的，当m ＝9，10，11，12时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”．因此m ≤7． 下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”．设B ＝{a 1, a 2, ..., a 11, 7}，若1，14，21中之一为集合B 的元素，显然为“和谐集”． 现考虑1，14，21都不属于集合B ，构造集合B 1＝{2, 4, 8, 16}，B 2＝{3, 6, 12}，B 3＝{5, 10, 20}，B 4＝{9, 18}，B 5＝{11, 22}，B ′＝{13, 15, 17, 19, 23}．以上B 1，B 2，B 3，B 4，B 5每个集合中的元素都是倍数关系．考虑B ′⊆B 的情况，也即B ′中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B1，B2，B3，B4，B5这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．综上所述，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7．。