Dijkstra算法简介
dijkstra算法
Dijkstra算法(Dijkstra算法)由荷兰计算机科学家Dikstra于1959年提出,因此也称为Dikstra算法。
从一个顶点到其余顶点的最短路径算法解决了权利图中的最短路径问题。
Dijestela算法的主要特征是从起点开始,采用贪婪算法的策略。
每次,它都会遍历最接近且未访问过的顶点的相邻节点,直到起点为止。
Dijkstra的算法通常以两种方式表示,一种使用永久和临时标签,另一种使用OPEN和CLOSE表,两者都使用永久和临时标签。
请注意,该算法不需要图形中的负边缘权重。
1.首先,引入一个辅助数组(向量)D,其中每个元素D代表当前找到的Dijkstra运行动画过程Dijkstra运行动画过程从起点(即源点)到其他每个顶点的长度。
例如,D = 2表示从起点到顶点3的路径的相对最小长度为2。
这里的重点是相对的,这意味着D在算法执行期间近似于最终结果,但不一定相等执行期间的长度。
2. D的初始状态为:如果存在一个从to的弧(即,存在一个从to的连接边),则D是弧上的权重(即,从to的边的权重);否则,将D设置为无穷大。
显然,长度为D = Min {D | ∈V}是从起点到顶点的最短路径,即()。
3.那么,下一个最短的长度是?即找到与从源点到下一顶点的最短路径长度相对应的顶点,并且该最短路径长度仅次于从源点到顶点的最短路径长度。
假设子短路径的终点是,则可以想象路径是()或()。
它的长度是从PI到PI的弧上的权重,或者是D加上从PI到PI的弧上的权重。
4.通常,假定S是从源点获得的最短路径长度的一组顶点,则可以证明下一条最短路径(令其终点为)是arc()或仅从源点穿过中间的S顶点,最后到达顶点。
因此,具有较短长度的下一个最短路径长度必须为D = Min {D | ∈v-s},其中D是arc()上的权重,或者D(∈S)和arc(,)上的权重之和。
该算法描述如下:1)让圆弧代表圆弧上的重量。
如果弧不存在,则将弧设置为无穷大(在这种情况下为MAXCOST)。
dijkstra算法
Dykstra算法(Dijkstra算法,也翻译为Dijkstra算法)由荷兰计算机科学家Azhel dykstra于1956年提出。
Dykstra算法使用广度优先搜索来解决加权有向图的单源最短路径问题。
此算法有很多变体。
dykstra的原始版本找到两个顶点之间的最短路径,但是更常见的变体将顶点固定为源节点,然后找到从顶点到图中所有其他节点的最短路径,从而得到最短的路径树。
该算法通常用于路由算法中或作为其他图形算法的子模块。
例如,如果图形中的顶点表示城市,而边缘上的权重表示城市之间的行驶距离,则该算法可用于查找两个城市之间的最短路径。
该算法的输入包括加权有向图G和G中的源顶点S。
我们用v表示g 中所有顶点的集合。
每个图中的边都是由两个顶点组成的有序元素对。
(u,v)表示存在一条从顶点u到v的路径。
我们用E表示G中所有边的集合,并且边的权重由权重函数w定义:E→[0,∞] 。
因此,w(u,v)是从顶点u到顶点v的非负权重。
边缘的权重可以想象为两个顶点之间的距离。
两点之间的路径权重是路径上所有边的总权重。
给定v中有顶点s和t,Dijkstra算法可以找到从s到t权重最低的路径(例如,最短路径)。
该算法还可以找到从一个顶点S到图形中任何其他顶点的最短路径。
最初的dykstra算法不使用最小优先级队列,时间复杂度为(其中图的顶点数)。
Fibonacci堆实现的dykstra算法的时间复杂度是(边
数是)(Fredman&Tarjan 1984)。
对于没有负权重的有向图,这是目前已知最快的单源最短路径算法。
Dijkstra算法
最短路径—Dijkstra算法Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。
注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述:在无向图G=(V,E) 中,假设每条边E[i] 的长度为w[i],找到由顶点V0 到其余各点的最短路径。
(单源最短路径)2.算法描述1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S 中只有一个源点,以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤:a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
Dijkstra算法描述
Dijkstra算法描述目录一、算法概述1二、算法原理及计算12.1算法原理12.2计算过程22.3改良的算法〔Dijkstra-like〕分析5三、源码分析6四、接口调用7一、算法概述Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法是典型的单源最短路径计算算法,用于解决源点到所有结点最短路径计算的问题,它采用了分治和贪心〔动态规划的特殊形式〕的思想搜索全局最优解。
本系统采用了主流、开源的JAVA图论库——Jgrapht来解决源点到终点间所有可能路径输出的问题,它的核心计算引擎采用了一种Dijkstra-like算法,由经典的Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法演化和改良而来。
二、算法原理及计算2.1算法原理Dijkstra算法思想为:设(,)= 是带权有向图,V代表图中顶点集合,E代G V E表图中含权重的边集合。
将全部顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合,用S表示〔初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径,就将该路径的终点参加到集合S中〕;第二组为其余待确定最短路径的顶点集合,用U表示。
按最短路径长度的递增次序依次把U集合的顶点逐个参加到S集合中,约束条件是保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U 中任何顶点的最短路径长度。
算法的终止条件是集合U为空集,即集合U的顶点全部参加到集合S中。
2.2计算过程以图1为例讨论Dijkstra算法的计算过程,即计算某源点到网络上其余各结点的最短路径,设源点为①,逐步搜索,每次找出一个结点到源点①的最短路径,直至完成所有结点的计算。
图1 带权有向图记()D v为源点①到某终点v的距离,是源点①到终点v某条路径的所有链路长度之和。
记(,)l w v 是源点w到终点v的距离。
Dijkstra算法归纳如下:S=,U是其余未确〔1〕初始化,令S是已求出最短路径的顶点集合,{}U=,可写出:定最短路径的顶点集合,{}(1,)()l v D v ⎧=⎨∞⎩(1-1) 公式1-1中,(1,)l v 是源点①与终点v 的直连路径长度,而∞代表源点①与终点v 不相连,初始化结果如表1所示;〔2〕遍历集合U 中的所有结点v 并计算[]min (),()(,)D v D w l w v + 。
迪杰斯特拉算法介绍
迪杰斯特拉算法介绍迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,⽤于计算⼀个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展(⼴度优先搜索思想),直到扩展到终点为⽌。
基本思想通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
此外,引进两个集合S和U。
S的作⽤是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度),⽽U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时,S中只有起点s;U中是除s之外的顶点,并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。
然后,从U中找出路径最短的顶点,并将其加⼊到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。
然后,再从U中找出路径最短的顶点,并将其加⼊到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。
... 重复该操作,直到遍历完所有顶点。
操作步骤(1) 初始时,S只包含起点s;U包含除s外的其他顶点,且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如,U中顶点v的距离为(s,v)的长度,然后s和v不相邻,则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k",并将顶点k加⼊到S中;同时,从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。
之所以更新U中顶点的距离,是由于上⼀步中确定了k是求出最短路径的顶点,从⽽可以利⽤k来更新其它顶点的距离;例如,(s,v)的距离可能⼤于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。
单纯的看上⾯的理论可能⽐较难以理解,下⾯通过实例来对该算法进⾏说明。
迪杰斯特拉算法图解以上图G4为例,来对迪杰斯特拉进⾏算法演⽰(以第4个顶点D为起点)。
初始状态:S是已计算出最短路径的顶点集合,U是未计算除最短路径的顶点的集合!第1步:将顶点D加⼊到S中。
此时,S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。
dijkstra算法
Dijkstra算法是荷兰计算机科学家Dijkstra在1959年提出的,因此也称为Dijkstra算法。
它是从一个顶点到其他顶点的最短路径算法,解决了加权图中最短路径的问题。
Dijkstra算法的主要特征是它从起点开始使用贪婪算法策略。
每次,它遍历最近的顶点的相邻节点,直到起点延伸到终点,该节点才被访问。
算法思路
该算法是根据路径长度的递增顺序生成的
顶点集V分为两组
(1)S:一组计算的顶点(最初仅包含源点V0)
(2)V-s = t:一组不确定的顶点
T中的顶点以递增顺序添加到,以确保:
(1)从源点v0到S中其他顶点的长度不大于从v0到t的任何顶点的最短路径长度
(2)每个顶点对应一个距离值
S中的顶点:从v0到顶点的长度
t中的顶点:从v0到顶点的最短路径长度,仅包括s中的顶点作为中间顶点
基础:可以证明,t中从v0到VK的直接路径的权重是从v0到VK的直接路径的权重,或者是从v0到VK的路径权重之和,即通过S中的顶点。
(可以通过相反的证明方法证明)
寻找最短路径的步骤
算法步骤如下:
G = {V,E}
1.初始条件为s = {V0},t = V-s = {其他顶点},相应的顶点距离值以t为单位
如果存在<V0,VI>,则D(V0,VI)是<V0,VI> arc的权重如果没有<V0,VI>,则D(V0,VI)为∞
2.从t中选择一个具有与S中的顶点关联的边且权重最小的顶点W,并将其添加到s
3.修改t中其余顶点的距离值:如果将W添加为中间顶点,则缩短了从v0到VI的距离,然后修改了距离值
重复上述步骤2和3.直到s包含所有顶点,即w = VI。
dijkstra算法
迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的,因此又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有权图中最短路径问题。
迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始,采用贪心算法的策略,每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点,直到扩展到终点为止。
定义Dijkstra算法一般的表述通常有两种方式,一种用永久和临时标号方式,一种是用OPEN, CLOSE表的方式,这里均采用永久和临时标号的方式。
注意该算法要求图中不存在负权边。
迪克斯特拉算法原理1.首先,引入一个辅助数组(vector)D,它的每个元素D表示当前所找到的Dijkstra算法运行动画过程从起始点(即源点)到其它每个顶点的长度。
例如,D[3] = 2表示从起始点到顶点3的路径相对最小长度为2。
[1] 这里强调相对就是说在算法执行过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于长度。
[3]2.D的初始状态为:若从到有弧(即从到存在连接边),则D为弧上的权值(即为从到的边的权值);否则置D为∞。
显然,长度为D = Min{ D | ∈V } 的路径就是从出发到顶点的长度最短的一条路径,此路径为()。
3.那么,下一条长度次短的是哪一条呢?也就是找到从源点到下一个顶点的最短路径长度所对应的顶点,且这条最短路径长度仅次于从源点到顶点的最短路径长度。
假设该次短路径的终点是,则可想而知,这条路径要么是(),或者是()。
它的长度或者是从到的弧上的权值,或者是D加上从到的弧上的权值。
4.一般情况下,假设S为已求得的从源点出发的最短路径长度的顶点的集合,则可证明:下一条次最短路径(设其终点为)要么是弧(),或者是从源点出发的中间只经过S中的顶点而最后到达顶点的路径。
因此,下一条长度次短的的最短路径长度必是D = Min{ D | ∈V-S },其中D要么是弧()上的权值,要么是D(,∈S)和弧(,)上的权值之和。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题,其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法,本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法,其基本思想是从起点开始,逐步扩展到其他节点。
具体而言,Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点,以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时,S集合为空,dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来,重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合:1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u;2. 将u加入S集合;3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离:如果从起点出发经过u可以得到更短的路径,则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合,并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后,根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时,需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点,并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列,因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例:```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中,adj数组用于存储图的邻接表,dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
迪杰斯特拉(dijkstra)算法
初 始 时
dist path
1 0 C1
2 4 C1,C2
3 8 C1,C3
4 maxint
5 maxint
6 maxint
第一次:选择m=2,则s=[c1,c2],计算比较dist[2]+GA[2,j]与dist[j]的大小(3<=j<=6)dist path源自1 02 43 7
4 8
5 10
6 maxint
求从C1到各顶点的最短路径
9 4 2
C3
C6
4 2 6
C5
C4
4 3
8
C2
4
C1
Procedure dijkstra(GA,dist,path,i); {表示求Vi到图G中其余顶点的最短路
径,GA为图G的邻接矩阵,dist和path为变量型参数,其中path的基类型为集合} begin for j:=1 to n do begin {初始化} if j<>i then s[j]:=0 else s[j]:=1; dist[j]:=GA[i,j]; if dist[j]<maxint then path[j]:=[i]+[j] else path[j]:=[ ]; end; for k:=1 to n-2 do begin w:=maxint; m:=i; for j:=1 to n do {求出第k个终点Vm} if (s[j]=0) and (dist[j]<w) then begin m:=j;w:=dist[j];end; if m<>i then s[m]:=1 else exit; {若条件成立,则把Vm加入到s中,否则 退出循环,因为剩余的终点,其最短路径长度均为maxint,无需再计算下去}
Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解1最短路径算法在日常生活中,我们如果需要常常往返A地区和B地区之间,我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中,那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径. 算法具体的形式包括:(1)确定起点的最短路径问题:即已知起始结点,求最短路径的问题.(2)确定终点的最短路径问题:与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同,在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
(3)确定起点终点的最短路径问题:即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径。
(4)全局最短路径问题:求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”,有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有:Dijkstra算法、A*算法、Bellman—Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法.本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
2Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等.2。
2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
Dijkstra算法(狄克斯特拉算法)
Dijkstra 算法Dijkstra 算法(狄克斯特拉算法) 算法(狄克斯特拉算法)目录[隐藏]• • • • • o •1 2 3 4 5Dijkstra 算法概述 算法描述 虚拟码 时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献[编辑]Dijkstra 算法概述Dijkstra 算法 算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉(Dijkstra)于 1959 年提出的,因此 又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法, 解决的是有向图中最短 路径问题。
其基本原理是:每次新扩展一个距离最短的点,更新与其相邻的点的距离。
其基本原理是:每次新扩展一个距离最短的点,更新与其相邻的点的距离。
当所有边 权都为正时,由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点, 权都为正时,由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点,所以这个点的距离永远不会再 被改变,因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理, 被改变,因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理,用 Dijkstra 求最短路的图不能有 负权边,因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离,有可能就破坏了已经更新的点距离 负权边,因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离,有可能就破坏了已经更新的点距离 不会改变的性质。
不会改变的性质。
举例来说,如果图中的顶点表示城市,而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G,以及 G 中的一个来源顶点 S。
我 们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。
每一个图中的边,都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。
我们以 E 所有边的集合,而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。
Dijkstra算法
Dijkstra算法定义G=(V,E),定义集合S存放已经找到最短路径的顶点,集合T存放当前还未找到最短路径的顶点,即有T=V-SDijkstra算法描述如下:(1) 假设用带权的邻接矩阵edges来表示带权有向图,edges[i][j]表示弧<Vi, Vj>上的权值。
若<Vi, Vj>不存在则置edges[i][j]=∞(计算机上用一个允许的最大值代替)。
S为已经找到的从Vs出发的最短路径的终点集合,它初始化为空集。
那么,从Vs出发到图上其余各顶点(终点)Vi可能达到的最短路径长度的初值为:D[i]=deges[s][i] Vi∈V(2) 选择Vj,使得D[j]=Min{D[i]|Vi∈V-S},Vj就是当前求得的一条从Vs出发的最短路径的终点。
令S=S∪{Vj}(3) 修改从Vs出发到集合V-S上任一顶点Vk可达的最短路径长度。
如果D[j]+edges[j][k]<D[k]则修改D[k]为D[k]=D[j]+edges[j][k]重复操作(2)(3)共n-1次。
由此求得从Vs到图上其余各顶点的最短路径。
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。
Dijkstra一般的表述通常有两种方式,一种用永久和临时标号方式,一种是用O PEN, CLOSE表方式,Drew为了和下面要介绍的A* 算法和D* 算法表述一致,这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。
其采用的是贪心法的算法策略大概过程:创建两个表,OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的节点,CLOSED表中记录已访问过的节点。
Dijkstra算法
Dijkstra算法(重定向自Dijkstra 法)Dijkstra算法(狄克斯特拉算法)Dijkstra算法概述Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉(Dijkstra)于1959 年提出的,因此又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有向图中最短路径问题。
其基本原理是:每次新扩展一个距离最短的点,更新与其相邻的点的距离。
当所有边权都为正时,由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点,所以这个点的距离永远不会再被改变,因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理,用Dijkstra求最短路的图不能有负权边,因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离,有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。
举例来说,如果图中的顶点表示城市,而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G,以及G中的一个来源顶点S。
我们以V表示G中所有顶点的集合。
每一个图中的边,都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。
我们以E所有边的集合,而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。
因此,w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。
边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。
任两点间路径的花费值,就是该路径上所有边的花费值总和。
已知有V中有顶点s及t,Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。
这个算法也可以在一个图中,找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。
算法描述这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。
初始时,源点s的路径长度值被赋为0(d[s]=0),同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大,即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径(对于V中所有顶点v除s外d[v]= ∞)。
当算法结束时,d[v]中储存的便是从s到v的最短路径,或者如果路径不存在的话是无穷大。
dijkstra算法公式
dijkstra算法公式
Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法。
它的主要目标是找到一个节点到图中所有其他节点的最短路径。
算法的公式可以表示为:
1. 创建一个包含所有节点的集合Q,并将起始节点标记为0。
2. 初始化一个距离数组dist,用于存储每个节点到起始节点的最短距离。
将起始节点的距离设为0,其余节点的距离设为无穷大。
3. 当Q集合非空时,执行以下步骤:
a. 从dist数组中选择距离最小的节点u,并将其从Q中移除。
b. 遍历u的所有邻居节点v,计算节点v到起始节点的距离new_dist。
如果new_dist小于dist[v],则更新dist[v]为new_dist。
4. 重复步骤3,直到Q集合为空。
在实际应用中,Dijkstra算法的实现通常使用优先队列来选择最小距离节点,以提高算法的效率。
算法的核心思想是不断更新节点的最短距离,直到找到所有节点的最短路径。
除了计算最短路径之外,Dijkstra算法还可以用于解决其他问题,例如图的连通性问题和网络流量优化问题等。
然而,需要注意的是,Dijkstra算法只适用于没有负权边的图。
如果图中存在负权边,那么需要使用其他算法,如Bellman-Ford算法或SPFA算法来解决最短路径问题。
总之,Dijkstra算法是一种非常实用的算法,它能够解决最短路径问题,并在实际应用中发挥重要作用。
通过理解和掌握Dijkstra算法的公式,我们可以更好地应用它来解决各种实际问题。
Dijkstra算法图文详解
Dijkstra算法图⽂详解Dijkstra算法Dijkstra算法算是贪⼼思想实现的,⾸先把起点到所有点的距离存下来找个最短的,然后松弛⼀次再找出最短的,所谓的松弛操作就是,遍历⼀遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近,如果更近了就更新距离,这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。
问题引⼊:指定⼀个点(源点)到其余各个顶点的最短路径,也叫做“单源最短路径”。
例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。
下⾯我们来模拟⼀下:这就是Dijkstra算法的基本思路:接下来是代码:已经把⼏个过程都封装成了基本模块:#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#define Inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int map[1005][1005];int vis[1005],dis[1005];int n,m;//n个点,m条边void Init (){memset(map,Inf,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++){map[i][i]=0;}}void Getmap(){int u,v,w;for(int t=1;t<=m;t++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(map[u][v]>w){map[u][v]=w;map[v][u]=w;}}}void Dijkstra(int u){memset(vis,0,sizeof(vis));for(int t=1;t<=n;t++){dis[t]=map[u][t];}vis[u]=1;for(int t=1;t<n;t++){int minn=Inf,temp;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vis[i]&&dis[i]<minn){minn=dis[i];temp=i;}}vis[temp]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(map[temp][i]+dis[temp]<dis[i]) {dis[i]=map[temp][i]+dis[temp]; }}}}int main(){scanf("%d%d",&m,&n);Init();Getmap();Dijkstra(n);printf("%d\n",dis[1]);return 0;}。
dijkstra算法平均最短路径公式
Dijkstra算法(Dijkstra's algorithm)是一种用来确定图中起点到其他每个顶点的最短路径的算法。
它是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪克斯特拉(Edsger W. Dijkstra)在1956年提出的,是广泛应用于计算机科学和工程领域的重要算法之一。
1. 问题描述在一个带权重的有向图中,每一条边都有一个权重值,表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。
给定一个起点,我们希望找到从起点到其他每个顶点的最短路径。
2. Dijkstra算法原理Dijkstra算法的基本原理是通过每次选择具有最小路径长度的顶点来逐步确定最短路径。
算法的具体步骤如下:1)初始化:将起点到其他每个顶点的最短路径长度初始化为无穷大,起点的最短路径长度初始化为0。
2)选择起点:选择起点作为当前顶点。
3)更新路径长度:对于当前顶点的每一个邻接顶点,如果通过当前顶点到达邻接顶点的路径长度小于目前已知的最短路径长度,则更新最短路径长度。
4)选择下一个顶点:从尚未确定最短路径的顶点中,选择具有最小路径长度的顶点作为当前顶点。
如果所有的顶点都已经确定了最短路径,算法结束;否则继续执行步骤3。
5)重复步骤3和步骤4,直到所有的顶点都确定了最短路径。
3. 算法的实现Dijkstra算法可以使用不同的数据结构来实现,包括数组、优先队列(如最小堆)等。
这里以使用数组和最小堆为例介绍算法的实现。
3.1 使用数组实现使用一个数组dist[]来存储当前起点到每个顶点的最短路径长度,初试化为无穷大。
使用一个数组visited[]来标记每个顶点是否已经确定了最短路径。
使用一个数组parent[]来记录每个顶点的前驱顶点。
具体实现步骤如下:1)初始化dist[]为无穷大,起点的dist值为0。
2)重复以下步骤n次,其中n为顶点数:a)选择dist[]中值最小且对应的顶点未被确定最短路径的顶点u。
b)标记顶点u为已确定最短路径。
dijkstra算法介绍
dijkstra算法介绍
Dijkstra算法是一种贪心算法,用于解决带权重的有向图或无向图中的单源最短路径问题。
所谓单源最短路径问题,就是从图中的一个固定顶点(称为源点)出发,找到到达图中其它顶点的最短路径。
Dijkstra算法的基本思想是,利用一个距离数组或者优先队列来记录从源点到各个顶点的最短距离,并不断更新这个数组或队列直到找到源点到目标顶点的最短路径。
具体的算法流程如下:
1. 初始化:将源点的距离置为0,其余点的距离均设为无穷大。
2. 选择未标记节点中距离目前路径最短的节点X(第一次为源点),并将该节点标记为已访问。
3. 更新从X出发能到达的未标记节点的距离:若当前源点到节点Y的距离加上节点Y到节点Z的距离小于源点到节点Z的距离,则更新节点Z的距离。
4. 重复执行第2和第3步,直到所有节点都被标记或无法再标记为止。
5. 最后得到的距离数组中,每个元素表示源点到目标节点的最短距离。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogV),其中V为节点数,E为边数。
该算法
具有贪心的性质,每次选择当前距离最短的节点往前推进,因此可以得到最优解。
但算法的前提条件是图上不存在负权边,否则可能出现计算出错的情况。
[算法]Dijkstra算法(带权有向图最短路径算法)
[算法]Dijkstra算法(带权有向图最短路径算法)⼀、带权有向图⼆、算法原理1)由于我们的节点是从1-6,所以我们创建的列表或数组都是n+1的长度,index=0的部分不使⽤,循环范围为1-6(⽅便计算)。
2)循环之前,我们先初始化dis数组和mark数组: dis数组中保存我们需要求的开始点(start),到其余所有点的最短路径。
初始化的时候,只初始化到⾃⼰能够直接到的节点的距离,不能直接到的距离初始化为max_int(即sys.maxsize)。
mark保存节点的状态,如果已经被计算过,则状态为True,还未被计算过,则为False3)开始循环,注意,我们只循环[1,n]的范围。
index==0不纳⼊循环。
4)N==1时,找到所有Dis元素中,对应mark元素为False的元素。
找出其中最⼩值为10,对应的index为3,也就是节点3。
然后在weight数组中,找到3能直接到的节点(且对应mark也要为False),这⾥找到3能直接到4号节点,且权重为50。
此时判断dis[3]+50<dis[4],如果成⽴,则使⽤dis[3]+50更新dis[4]。
由于dis[4]等于max_int,所以dis[4]被更新为60。
5)N==2时,找到所有Dis元素中,对应mark元素为False的元素。
找出其中最⼩值为30,对应节点5。
然后在weight数组中,找到5能直接到的节点(且对应mark也要为False),为4号和6号节点,且权重为20和60。
此时判断dis[5]+20<dis[4],结果成⽴,所以dis[4]更新为50。
同理dis[6]被更新为90。
6)N==3时,找到所有Dis元素中,对应mark元素为False的元素。
找出其中最⼩值为50,对应节点4。
然后在weight数组中,找到4能直接到的节点(且对应mark也要为False),为6号节点,且权重为10。
此时判断dis[4]+10<dis[6],结果成⽴,所以dis[6]更新为60。
dijkstra算法 数学表达式
dijkstra算法数学表达式
摘要:
1.Dijkstra 算法的概述
2.数学表达式在Dijkstra 算法中的应用
3.Dijkstra 算法的实际应用案例
正文:
【1.Dijkstra 算法的概述】
Dijkstra 算法是一种用于寻找最短路径的算法,由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra 在1956 年提出。
它适用于有向图和无向图,但不适用于存在负权边的图。
Dijkstra 算法的基本思想是每次选择距离起点最近的节点进行扩展,直到找到终点为止。
【2.数学表达式在Dijkstra 算法中的应用】
在Dijkstra 算法中,数学表达式主要应用于计算节点之间的距离和路径。
其中,最常用的数学表达式是勾股定理,用于计算两点之间的距离。
另外,Dijkstra 算法还需要使用到一些优先队列的数据结构,如堆(heap),用于选取距离起点最近的节点进行扩展。
【3.Dijkstra 算法的实际应用案例】
Dijkstra 算法在实际中有广泛的应用,例如在社交网络中寻找好友之间的最短路径、在物流行业中寻找货物的最优配送路线等。
以社交网络为例,通过Dijkstra 算法,我们可以找到两个用户之间的最短路径,从而为用户提供更加精确的好友推荐服务。
总之,Dijkstra 算法是一种高效寻找最短路径的算法,它借助数学表达式和数据结构来实现。
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cout<<endl;
cout<<"距离为:"<<lowcost[i]<<endl;
}
}
system("pause");
return 0;
}
--------------------------------------------------程序测试-----------------------------------------------------
edgeNode *link; //与其相连的边的尾节点链表指针
};
struct Queue
{
int no; //队列中节点序号
int cost; //以此为尾节点的边的权值
};
//优先队列
Queue priQue[MAX];
//节点数组
vexNode adjlist[MAX];
(1:a) (4:d) (2:b) (3:c)
距离为:9
从点a开始到d的最短路径为:
(1:a) (4:d)
距离为:5
从点a开始到e的最短路径为:
(1:a) (4:d) (5:e)
距离为:7
请按任意键继续. . .
{
num +=1;
priQue[num].no = no;
priQue[num].cost = cost;
int i = num;
while(i>1&&priQue[i/2].cost>priQue[i].cost)
{
Queue temp = priQue[i];
priQue[i] = priQue[i/2];
int v1,v2;
for(i=1;i<=e;i++)
{
cout<<"请输入边"<<i<<"的起始节点与尾节点序号:";
cin>>v1>>v2;
p1 = (edgeNode*)malloc(sizeof(edgeNode));
p1->no = v2;
cout<<"此边的权值:";
cin>>p1->cost;
using namespace std;
//边尾节点信息结构体
struct edgeNode
{
int no; //尾接点序号
int cost; //边权值
edgeNode *next; //其下一条邻接边尾节点指针
};
//节点信息结构体
struct vexNode
{
char info; //节点名称
// 单源最短路径Dijkstra算法实现.cpp : Defines the entry point for the console application.
//
#include "stdafx.h"
#include<iostream>
#define MAX 200
#define Infinity 655wcost[v0] + p->cost<lowcost[p->no])
{
lowcost[p->no] = lowcost[v0] + p->cost;
parent[p->no] = v0;
heap_insert(priQue,num,p->no,lowcost[p->no]);
{
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cout<<"请输入节点"<<i<<"的名称:";
cin>>adjlist[i].info;
adjlist[i].link = NULL;
lowcost[i] = Infinity;
parent[i] = i;
}
edgeNode *p1;
请输入案例的个数:1
请输入节点数:5
请输入边数:10
请输入节点1的名称:a
请输入节点2的名称:b
请输入节点3的名称:c
请输入节点4的名称:d
请输入节点5的名称:e
请输入边1的起始节点与尾节点序号:1 2
此边的权值:10
请输入边2的起始节点与尾节点序号:1 4
此边的权值:5
请输入边3的起始节点与尾节点序号:2 3
}
p = p->next;
}
queue = heap_extract_min(priQue,num);
v0 = queue.no;
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
mincost = 0;
cout<<"从点"<<adjlist[v].info<<"开始到"<<adjlist[i].info<<"的最短路径为:"<<endl;
//指定源点到节点i的最短路径花费
int lowcost[MAX];
//指定源点到节点i路径中,节点i的前驱节点序号
int parent[MAX];
//建立图邻接表
void createGraph(vexNode *adjlist,int *parent,int * lowcost,const int n,const int e)
cout<<endl;
cout<<"从哪个节点开始:";
int v0;
cin>>v0;
int v =v0;
lowcost[v0] = 0;
cout<<endl;
Queue queue;
for(i=1;i<n;i++)
{
edgeNode *p = adjlist[v0].link;
else
{
print_it(parent,adjlist,parent[v]);
cout<<"("<<v<<":"<<adjlist[v].info<<") ";
}
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int cases;
cout<<"请输入案例的个数:";
num -=1;
keep_min_heap(priQue,num,1);
return min;
}
//打印指定源点带序号为i的点的最短路径
void print_it(int *parent,vexNode *adjlist,int v)
{
if(parent[v] == v)
cout<<"("<<v<<":"<<adjlist[v].info<<") ";
p1->next = adjlist[v1].link;
adjlist[v1].link = p1;
}
}
//当插入节点到优先队列时,保持队列优先性
void keep_min_heap(Queue *priQue,int &num,const int k)
{
int l = 2*k;
int r = 2*k + 1;
priQue[i/2] = temp;
i = i/2;
}
}
//取出优先队列的队头元素
Queue heap_extract_min(Queue *priQue,int &num)
{
if(num<1)
return priQue[0];
Queue min = priQue[1];
priQue[1] = priQue[num];
cin>>cases;
while(cases--)
{
int n,e;
cout<<"请输入节点数:";
cin>>n;
cout<<"请输入边数:";
cin>>e;
//队列中的元素,初始为0
int num = 0;
int i;
//创建邻接表
createGraph(adjlist,parent,lowcost,n,e);
请输入边9的起始节点与尾节点序号:5 1
此边的权值:7
请输入边10的起始节点与尾节点序号:5 3
此边的权值:6
从哪个节点开始:1
从点a开始到a的最短路径为:
(1:a)
距离为:0
从点a开始到b的最短路径为:
(1:a) (4:d) (2:b)
距离为:8
从点a开始到c的最短路径为:
int smallest = k;