第1章统计学基础知识

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数据的特征数可分为4大类，即描述集中位 置的特征数、分散程度的特征数、分布状 况的特征数和两变量线性相关的特征数。 主要介绍10个特征数，分别是算术平均数、 几何平均数、中位数、极差、方差、标准 差、偏度、峰度、协方差和相关系数。 在介绍特征数之前，先给出求和算子和画 图的概念。 本章所说的一组数据如果不作特别说明， 则既可以指一个总体，也可以指一个样本。
i 1 i 1 j 1

(5) 两组观测值相应求和的双重累加和等于 它们各自双重累加和的和。
( x
i 1 j 1
T
T
ij
yij ) xij yij
i 1 j 1 i 1 j 1
10
T
T
T
T
累计求和算子的运算规则
(6)
两组不同单下标观测值积的双重累 计求和等于它们各自累计求和的乘积。
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检查对方差概念的理解。(1)对于生产线
上的产品来说，希望产品的物理量参数， 如重量、长度等指标的方差大，还是方 差小? (2)仪仗队人员身高值，和某个班 级中学生的身高值数据，哪个方差大? 求方差的EViews操作：EViews计算的是 样本方差，打开数据组窗口，点击View 键，选Descriptive Statistics/ histogram and Stats功能。计算结果中Std. Dev.(标 准差)的平方就是方差的值。
度的定义是
1 N xi 3 S ( ) N i 1
若分布是以μ对称的，则偏度为零。
如
xi 服从正态分布或t分布(对称分布， 大小相互抵消)，S=0；若分布是右偏 倚的(均值较小)，偏度S>0；若分布是 左偏倚的(均值较大)，则偏度S<0。
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样本偏度：对于单峰分布数据，样本
组窗口，点击View键，选Descriptive Statistics/histogram and Stats功能。 计算结果中的mean就是算术平均数的 值。
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算术平均数的性质
观测值的和等于其平均数与观测值 n 个数的乘积, xi nx 。 i 1 (2) 一组观测值与其算术平均数离差和 等于零，即 ( x x ) 0 。 (3) 一组观测值与某一定值 A的离差平 n 2 ( x A ) 方和 i 的值以 A x 时为最 i 1 小。
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注意: (1) 频数、频率直方图展示的分布特征是一样的， 只不过前者纵轴表示频数，后者纵轴表示频率。 (2) 当观测值正巧等于组边界值时，注意不要在相 邻两组重复记录。记录组频数的规则是组下限值 包括在本组内，组上限值不包括在本组内。 (3) 同样一组数据由于分组数不同，所画频数(频 率)直方图的特征会不一样。实际中应该选择一个 最合适的分组数，以便充分展示数据的分布特征。 一般分组数在5-15之间。 (4) 画直方图的EViews步骤是，打开单数据组窗 口，点击View/descriptive Statistics & Tests/Histogram and Stats功能。
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3、折线图
折线图：把观测点按序号或时间顺序用直 线连接起来的图形。 对于截面数据，横轴表示观测值的序号， 纵轴表示观测值。对于时间序列数据，横 轴表示时间，纵轴表示观测值。时间序列 折线图也称时间序列图。 在Eviews中画一组数据的折线图，点 Quick-Graph，输入要显示折线图的变量名， 选择折线图即可。或在命令窗口plot

x1 x2 ... xN 1 N xi N N i 1
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算术平均数：一组数据，如果是样本，
{x1,x2,…,xn} ，容量为n，则算术平均 数定义为：
x1 x2 ... xn 1 n x xi n n i 1
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算术平均数的EViews操作：打开数据
本)的数量特征的数值称作特征数。平 均数、中位数、方差等都是一组数据 的特征数。 累计求和算子：对于T个观测值 {x1,x2,…,xT}，累计求和可以简化地表 示为: T
x1 x2 ... xT xi
i 1
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累计求和算子的运算规则

(1) 观测值倍数的累加和等于观测值累加和 T 的倍数。 T
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T
累计求和算子的运算规则

(4) 用双下标表示的T×T个观测值的累加和 可以用双重累加和符号表示为：
T T T
( x11 x12 ... x1T ) ( x21 x22 ... x2T ) ... ( xT 1 xT 2 ... xTT ) ( xi1 xi 2 ... xiT ) xij
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比如某银行分理处共有20486个活期存
款储户。如果要研究这20486个储户在 某个时点的存款额，那么这20486个存 款额就是一个总体，存款额的总体容 量是20486，而每一个存款额是一个个 体。比如从中随机抽取20个存款额数 据，则这20个存款额数据构成一个随 机样本。样本容量是20。
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特征数：用于描述一组数据(总体或样
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对于分组数据，中位数的计算

一共20名婴儿，中位数应在第10名婴儿的位置， 前两组的累积频数为5，而第3组频数为8，确定 中位数在第3组内的第5名婴儿处，这时中位数＝ 3000+300×5÷8＝3187.5。
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8、极差
前面介绍了描述集中位置的3个特征数，
下面介绍描述分散程度的特征数，包括 极差(全距)，方差，标准差等。 设有两组数据{8, 9, 10,11, 12}和{6,8, 10,12,14}。两组数据算术平均数相等， 但分布情况却有差异。对于一组数据只 用描述集中位置的特征数进行研究是不 够的，还应引入表示分散程度的特征数。
kx k x
i 1 i i 1
i

(2) 两组观测值相应求和(或差)的累加和等 于它们分别求累加和后再相加(或相减)。
(x y ) x y
i 1 i i i 1 i i 1 T T T i

(3) T个常数k求和等于该常数k与T的乘积。
k kT
i 1
.......... .n为奇数 x( n 1) / 2 .......... M d xn / 2 x( n / 2) 1 ......... n为偶数 2
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例3：假设5名同学的成绩分别为87、
90、92、95、98，则中位数为第3个 成绩，即92；若又加入一名同学，其 成绩为100，则中位数为第3和第4个的 成绩的平均值，即(92+95)/2。
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10、标准差
由方差的定义可以发现，方差值的测量
单位是原数据测量单位的平方。比如， 一组数据的测量单位是厘米，其方差的 单位是(厘米)2，人们当然希望测量单位 能恢复为厘米。方差由每个离差平方计 算而成，当然可以通过求算术根把运算 还原，于是引出标准差概念。标准差也 分总体标准差和样本标准差两种。
第1章 统计学基础知识
计量经济学
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本章内容
第1 节
数据的特征数 第2节 总体特征数的点估计与区间估计 第3节 相关分析
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第1节 数据的特征数



1、基本概念与累计求和算子的运算规则 2、直方图 3、折线图 4、散点图 5、算术平均数 6、几何平均数 7、中位数 8、极差 9、方差 10、标准差 11、偏度 12、峰度 13、协方差
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总体标准差：

2
1 N 2 ( x ) i N i 1
样本标准差：
n 1 2 s s2 ( x x ) i n 1 i 1
标准差考察的也是一组数据的平均离
散程度，而且测量单位与观测值的测 量单位相同。
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11、偏度
总体偏度：对于单峰分布数据，总体偏

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1、基本概念与累计求和算子运算规则
总体：研究对象的全体称为总体。常
用{x1,x2,…,xN}、{y1,y2,…,yN}等表示。 个体：组成总体的每个基本单位称为 个体。常用xi或yi等表示。
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总体容量：总体中所含个体的个数。
总体{x1,x2,…,xN}中的N表示总体容量。 样本：总体中抽出若干个体组成的集 体称为样本。常用{x1,x2,…,xn} 、 {y1,y2,…,yn}等表示。 样本容量：样本中所含个体的个数称 样本容量，样本{x1,x2,…,xn}中的下标n 表示样本容量。

1 ( xi )2 N i 1
2

总体方差定义的是一组数据对其均值的平均 离差平方和。方差考察的是一组数据的平均 离散程度。由于方差的计算公式中用到了每 一个观测值，从而克服了极差的缺点。
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样本方差：对于不分组数据
{x1,x2,…,xn} ，样本方差是
n 1 2 2 s ( xi x ) n 1 i 1

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4、散点图
散点图：用两个变量的成对观测值画
出的观测点图。 通过散点图可以分析两个变量之间是 否存在某种关系。如果存在关系，那 么这种关系是线性的，还是非线性的， 也可以通过散点图进行初步观察。
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5、算术平均数
平均数、中位数都是描述一组数据集中位 置的特征数。 对于不分组数据，均值和算术平均数分别 定义如下： 均值：一组数据，如果是总体，用 {x1,x2,…,xN}表示，容量为N，则均值μ定 义为：
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例1：20个新生儿体重值(克)数据见表。画20 个新生儿体重值的频数(频率)直方图。
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首先把这20个新生儿体重值按从小到大顺 序排列，知最小值是2440克，最大值是 3860克。把观测值的取值范围分成5组， 如2400－2700、2700－3000、3000－ 3300、 3300－3600、3600－3900。记录 这20个观测值分别落在这5个组内的频数 (个数)，结果分别是2, 3, 8, 5, 2。用每组 频数除以总数20，得组频率值分别是0.10、 0.15、0.40、0.25、0.10。用上面的结果 制成频数(频率)分布表。
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7、中位数
算术平均数虽然对一组数据有代表性，
但当数据分布不对称时，算术平均数 的代表性很差。在数据分布不对称时， 使用中位数评价一组数据的特征更好 些。
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中位数定义(不分组数据情形)：一组n
个观测值，按数值大小排列如下， {x1,x2,…,xn} ，处于中央位置的观测值 称作中位数。用Md表示。
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例2：中国2001至2004年每年人口增长率如 下表，求该期平均增长率。
年度 2000 2001 2002 2003 2004 人口增长率 —— 1.00695 1.00645 1.00601 1.00587
r k r1r2 rk 4 1.006951.006451.00601 1.00587 1.00632
x y x y
i 1 j 1 i j i 1 i j 1
T
T
T
T
j
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2、直方图
直方图分频数直方图和频率直方图两
类。 直方图用横轴表示观测值，并把横轴 分成若干个区间(每个区间的宽度称作 组距)；用纵轴表示落在相应区间内的 观测值频数(个数)或频率，并用矩形 (长条形)表示组频数或组频率的图形。
(1)
n i 1 i
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6、几何平均数
当数据是以环比形式给出时，用算术
平均值求平均数是不合理的。应该用 几何平均数求该组数据的平均比值和 平均增长率。 几何平均数定义：一组环比数据 {r1,r2,…,rk}，个数(或称容量)为k，则 几何平均数 r k r1r2 rk 。对于环比数 据，几何平均数具有代表性。
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极差定义：设一组数据为{x1,x2,…,xn}
，
则极差R＝xmax-xmin。 其中xmax、xmin分别表示该组数据中的 极大值和极小值。极差也称全距，表 示一组数据的最大取值范围。
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9、方差
方差分总体方差和样本方差。 总体方差：对于不分组数据{x1,x2,…,xN}，总 体方差: N