抓住本质找特征.举一反三促能力——由一道数学例题所想到的
数学小论文：抓住本质 灵活解题
抓住本质灵活解题数学是一门有趣的学科，它不像语文和英语那样要死记硬背。
数学只要掌握了方法，就十分简单。
有些时候就是一种方法可以解决许多不同的题，只要掌握了这种题的方法，无论题目怎么变，都可以转化到这种方法上来，从而轻松面对。
那天在练习课上，许老师给我们出了一系列的关于圆的面积的题目。
顾老师首先在黑板上画了一个图（图1），告诉我们正方形的面积是7平方厘米，让我们求圆的面积。
我和我的同桌先想出了圆面积公式，但就是找不到半径是多少，思考了好一会，还是无从着手，这时老师提醒我们，仔细看看，这个正方形跟圆有什么联系？我睁大眼睛，马上发现正方形的边长不正是圆的半径吗？老师的提醒让我突然豁然开朗起来，既然告诉我们正方形的面积是7平方厘米，也就是说边长×边长=7平方厘米，那么半径×半径不也等于7平方厘米吗？也就是说r2=7，那么圆的面积就可以用3.14直接乘以7就可以了，这道题解决了，老师接着又画了两个图（图2、图3），把刚才的正方形换成了长方形、三角形，长方形和三角形的面积都是7平方厘米，还图 1 图2 图3是求圆的面积，这次我们一下就找到了解决问题的办法。
图2把长方形的面积除以2得到正方形的面积，图3把三角形的面积乘以2也得到正方形的面积，这样就都转化成了图1的方法，真是神奇呀！老师看我们有些兴奋，乘热打铁，又出了一题（图4），已知正方形的面积是48平方厘米，求内圆和外圆的面积。
这题可复杂多了，但我们还是一下子求出了内圆的面积，用正方形的面积除以4得到一个小正方形的面积(图5)，那内圆的面积就又转化为图1的方法了。
可是外圆的面积却有些困难，我左思右想还是没想到，这时我图4 图5 图6的同桌在图上把正方形的对角线连了起来，哈哈，真是得来全不费功夫，我一下子又找到了求外圆的方法（图6）,:两条对角线把正方形分成了4个相等的三角形，一个三角形的面积乘以2就又得到正方形的面积了，这个正方形的边长就是外圆的半径呀，外圆的面积我也很快求出来了。
在数学课堂中培养学生举一反三的能力
在小学数学教学中，学生才是唯一的主体,是我们教学的对象和重点。
当前的课程标准要求我们以学生为主体，挖掘学生的潜力，使学生积极去参加学习过程，积极思考，举一反三，提升自主学习能力。
那么如何在小学数学课堂中培养学生举一反三的能力呢？笔者在教学过程中做了以下实践。
一、深化基本概念的理解举一反三一直是数学课堂里强调的思维方式，而做到举一反三的前提是对基本概念有着深刻的理解和掌握。
千米和吨都是常用的计量单位，在生活、生产中有广泛的应用。
这一单元，很多都是概念性的东西，所以学生掌握得好不好，就在于他对千米和吨这两个单位是否有实际的感知。
在教学认识千米时，“1千米=1000米”这一知识点，绝大多数学生只要讲过一遍都能记住，但是当出现“10千米=（）米”的时候，有很多小朋友出错了，那么问题出在哪里呢？是学生没有真正理解这个1千米到10千米有着怎样的变化。
所以我把这道题单独拿出来当一道例题。
“10千米是（10）个1千米，而1千米等于1000米，所以10千米等于10×1000 =10000米。
”有了这样的思考过程，学生在做类似的题目时就不会再犯迷糊了。
强化单位间进率的实际意义，让学生抓住本质，不管题目怎么变，学生都能应对。
只有牢牢掌握基本概念，才能逐步培养起学生举一反三的能力。
有这样一道题：“沿100米长的跑道走一走，数数走了多少步？看看大约用了多长时间？照这样计算，走1千米大约有多少步？要用多长时间？”在常规的数学教学中，通常是教师讲解知识，让学生做训练，然后教师点评、辅导。
在这个过程中,教师更多注重的是对学生的教育，更注重知识的传授，而忽视了学生能力的培养，尤其是举一反三能力的培养。
传统的数学课堂都是在教室内进行，又有作业任务，所以我也想通过理论讲解来解决问题，但是一个班讲下来我觉得讲了跟没讲一样，效果甚微，反而浪费了学生的时间。
所以我决定单独拿一节课带学生到操场上去实践一下。
全班小朋友分成4组，按照题目要求进行实践活动。
举一反三的解题
举一反三的解题在日常生活中，我们时常需要解决各种各样的问题。
有时候，遇到一个棘手的问题，我们尝试各种办法却无法解决，自己卡在其中无法自拔。
这时候，举一反三的解题思路可以给我们带来启发和帮助。
举一反三是指从一个具体的问题中，发散思维去寻找与之相关的其他问题，并且通过类比或者比喻等方式，将相似之处互相映射，来解决问题的方法。
在解决问题时，我们可以通过以下几个步骤来实现举一反三的思维。
首先，我们需要找到一个具体的问题，也就是所谓的“本体”。
这个问题可以是我们遇到的真实问题，也可以是我们自己设定的一个虚拟问题。
无论如何，问题需要足够具体，以便我们可以深入了解它的特点和特征。
接下来，我们需要对这个问题进行分析和挖掘。
我们可以从各个角度入手，分析问题的原因、影响、解决方法等等。
这一步的目的是为了更加深入地理解问题本身，从而为后续的思考打下基础。
然后，我们可以开始举一反三了。
我们需要寻找与所面对问题相似或者相关的其他问题，可以是与问题表面现象相似的问题，也可以是与问题的根源相关的问题。
在找到这些问题之后，我们需要进行比较、归纳和总结，找出它们之间的共性和相似之处。
最后，我们需要将这些共性和相似之处应用到本体问题上，找到解决问题的方法。
这个过程需要我们发散思维，避免受到主观想法或者固有思维模式的限制。
有时候，我们需要跳出已知的范畴，大胆想象和尝试，才能找到解决问题的办法。
通过举一反三的思维，我们可以更加深入地理解问题本质，从不同的角度思考问题，找到新的解决办法。
这种思维方式可以帮助我们在生活和工作中更加灵活和高效地解决问题，是一种重要的思维方式。
总之，举一反三是一种非常有用的解题思路，可以帮助我们在面对问题时找到新的思路和方法。
我们需要通过具体的实践，不断锤炼和提升自己的举一反三能力，从而更好地应对各种挑战和机遇。
抓住本质 突出主线 让数学思维自然地流淌
抓住本质突出主线让数学思维自然地流淌——以“任意角的三角函数”“曲线与方程”教学设计为例浙江省台州市教育局教研室李昌官本次课题会安排了既是人教高中数学A版教材编者又扎根教学一线的4位专家教师分别上“任意角的三角函数”和“曲线与方程”课．他们对数学、数学教育独到而深刻的理解，给人留下了深刻的印象．人教社和一些师范大学专家对这4节课的讨论发言、同行的交流也给我以很大的启发．现结合这两节课的教学，谈谈自己对中学数学教学的一些看法．数学是思维的科学，它在培养和发展人的思维尤其是理性思维方面有自己独特的优势．而这种优势得以充分发挥的关键是数学教学要“抓住本质，突出主线，让数学思维自然地流淌”．即数学教学应在把握数学知识本质和知识发展主线的基础上，尽可能让学生自然地合理地提出问题、尽可能让学生自然地合理地解决问题、尽可能让学生自然地合理地拓展问题，而教师则在整个教学过程中为学生提供思维策略与思维方法的指导，为学生有效突破思维难点、利用思维难点提供帮助．一、数学课该如何自然地合理地提出问题数学的核心是问题和解，提出问题是解决问题的逻辑前提．由于提出问题在思维的主动性与深刻性、在对知识本质和结构的理解与把握等方面比解决问题有着更高的要求，因此提出问题有解决问题无法代替的教学功能．那怎样才能自然地合理地提出问题？第一，搞清楚数学问题来自哪里．事实上，数学问题来自两方面，一是数学知识内部发展所必然产生的问题，二是由日常生活和其他学科中提炼出来的数学问题．第二，要搞清楚数学问题该由谁提出，是教师还是学生．单纯的教师提出问题，学生解决问题，会极大地降低了数学教与学的品质与效益．通常情况下，理想的做法是教师创设问题产生的情境，由学生提出问题；或教师提出一个初始问题、元问题，再由学生提出要解决的具体问题．第三，搞清楚问题产生与形成的思维合理性在哪里．只有这样，学生才能在潜移默化中学会提出问题，进而学会探索和创造．而漫无边际地胡乱地提出问题并不能有效地发展学生的思维，因此教学中教师要通过揭示知识的内在联系与发展的必然性，引导学生自然地合理地提出问题，并有效地指导学生掌握提出问题的思维方法，促进他们思维能力的提高．以“任意角的三角函数”为例．由于锐角有三角函数并且能够解决诸多的问题，因此学生学了“角的概念的推广”后，应自然地提出这样的问题：任意角有没有三角函数？如果有，应该如何定义？以“曲线与方程”为例．学生前面已经学习了直线的方程、圆的方程等相关知识，并通过研究直线方程、圆方程来研究相关问题，而且学生也了解，解析几何最主要的任务就是通过研究曲线的方程来研究曲线的性质．但如果追根究底的话，这里就有一些深层次的问题：为什么能通过研究方程来研究曲线？这种研究的结果可靠吗？如果可靠，为什么可靠？怎样保证这种可靠性？此时曲线与方程又存在着怎样的内在联系？为了帮助和促进学生有效地提出问题尤其是提出有价值的问题，教师要突出知识形成与发展的大背景、大框架，居高临下地把握知识的本质和内在矛盾，让学生在“既见森林，又见树木；见森林才见树木”的状态下提出接近“研究水平的问题”．这样做的好处：一是促进学生从本质和源头上理解知识，从而使思维变得富有大气、灵气、才气．如上面围绕曲线与方程关系提出的问题，既有助于学生更好地理解解析几何的本质，也有助于学生深刻地理解曲线与方程关系的本质．二是可以为具有自主探究能力的学生提供探究的空间和平台．因为目标和任务明确后，就可以让“能飞的学生飞，能跑的学生跑，能走的学生走，不能跑不能走的学生跟着教师走”．事实上，现在课堂上“等待学习”“放慢学习”的现象非常普遍，学生自主学习20分钟可以解决的问题跟着教师学却要用45分钟．三是让学生明确思维的目标和方向，掌握思维的主动权．问题是思维的动力和路标．没有问题或只有思维含量很低的小问题，学生的思维必然无法超越教师的思维，也必然由于缺少动力和方向而处于被动状态．另外，为了使学生的学习更合乎其认知规律，更有利于其思维发展，课堂教学不宜机械地复习旧知识．许多情况下，先提出要解决的问题，再思考解决这个问题需要哪些相关知识，不仅能让学生明确复习的目的，更能给学生提供一个搜索相关知识并有效地利用已有知识的机会，从而使学习更接近真正意义上的探究，也变得更自然、更主动．二、数学课该如何自然地合理地解决问题问题解决是当前课堂教学中教师最为重视、也是做到最好的一个环节．实施新课程后，许多教师的过程意识、探究意识明显加强．但从更高的要求看，平时多数的课堂教学存在以下四个问题：一是重传授解决问题的方法而轻分析为什么要用这种方法、怎样想到用这种方法；二是不能有效地围绕着问题的本质展开讨论和探究，而在细枝末节上花过多的时间；三是回避思维难点而不是有效地突破和利用思维难点；四是解决问题的方法不自然不合理或搞不清其合理性在哪里．那如何才能自然地合理地解决问题？笔者以为，一要抓住问题本质，搞清楚知识形成与发展的背景及其与其它知识的联系；二要顺应知识形成与发展的轨迹，顺应学生的认知基础和认知特点，突出思维主线；三要揭示思维策略与方法的合理性与必然性．以“任意角的三角函数”为例．任意角的三角函数的本质是以角为自变量的函数，其概念建立的难点是转换思考问题的角度，突破用直角三角形定义三角函数的思维局限，把原来锐角三角函数定义中的三角形边的长度比转换为适用于任意角三角函数的坐标比．概念建立的方式是对原有的数学认知结构进行部分改组，进而形成新的数学认知结构．基于以上分析，对任意角三角函数概念建立环节的教学设计如下：（1）从锐角三角函数原有定义中寻找启发，探究新的定义方式．由于任意角的三角函数是锐角三角函数的基础上学习的，因此任意角三角函数的定义自然应在锐角三角函数定义中寻找启发．鉴于任意角的三角函数无法借助直角三角形来定义，因此必须寻找新的载体和工具来定义．仔细考察初中教材中锐角三角函数的定义，不难发现：虽然锐角三角函数是借助直角三角形来定义的，它的函数值大小却是由角的大小确定的，即无论把锐角放在放到怎样的三角形中或不放在三角形中，都不改变其函数值的大小．这就提醒我们，直角三角形只是定义锐角三角函数的载体与工具，而非锐角三角函数固有的属性和本质（注：强调这一点，既有利于突破用直角三角形定义三角函数的思维局限，也可为以后的用其它方式定义三角函数埋下伏笔）．既然如此，那完全可能用新的载体与工具来定义锐角三角函数．由直角三角形联想到平面直角坐标系和上节课在直角坐标系中讨论角，可以比较自然地想到把锐角放到直角坐标系中．这样就会发现：可以借助角终边上点的坐标来定义三角函数，并且这个新的定义与前面借助直角三角形的边来定义本质上是一样的．只不过，当在直角坐标系中锐角的终边上任取一个点P(x,y)，再作出直角三角形时，x、y有双重含义．即从几何角度看，它们表示直角三角形的边长；从代数角度看，它们表示点P的横坐标和纵坐标．由此，自然有（注：为表述方便，下面把原来的定义称为几何法定义，把借助于终边上点的坐标定义的三角函数称为坐标法定义．）（2）把锐角三角函数的坐标法定义推广到任意角三角函数．用坐标法定义三角函数后，三角函数概念的推广成为了可能，但这种推广分步进行可能更自然、更符合探究的实际，也更利于学生理解和掌握．如先把它推广到钝角，再推广到0°～360°角，然后再推广到任意角．由于学生对三角函数概念的学习和理解不可能一步到位，为了突出思维主线并分散难点，这里可以把用弧度制表示三角函数定义域的问题暂时回避．（3）搞清楚坐标法定义的科学性、合理性与优越性．尽管数学定义是一种人为的规定，但这种规定是以科学性与合理性为基础的．搞清楚定义的科学性、合理性、优越性，对学生学会数学概念学习进而学会自主建构数学概念具有非常重要的意义．对任意角三角函数，不难发现：①坐标法定义与几何法定义本质上是一致的．无论从数的角度看，还是从形的角度看，它们之间不存在任何矛盾（注：指出这一点，既可体现数与形内在的统一性，又可下面三角函数线的学习提前准备问题）．②几何法定义具有形象、直观、简洁等优点，而坐标法定义具有理性、精确、计算简便等突出优点．③坐标法定义适用于任意角，功能更强大，使用更便捷．它蕴含着三角函数周期性的特点，为用三角函数来刻画交流电、简谐振动、水波、潮汐、音乐等周而复始的现象奠定了基础．（4）明晰几何法定义与坐标法定义的联系与区别．由于任意角三角函数的本质是以角为自变量的函数，因此用函数观点考察其变化是自然的合理的．从函数的定义域、值域和对应法则三个要素看，后者的定义域由前者的锐角变成了任意角；后者的值域由前者的正实数扩大到了0和负实数（注：为避免分散学生的注意力，这里对定义域不作精确的讨论）；对应法则由前者的线段长度比变成了终边上点的坐标比．（5）对坐标法定义进行进一步优化或简化．由于点P是角终边上异于原点的任意点，并且三个函数值都不会随着点P的变化而变化，因此不妨取点P为角的终边与单位圆的交点，此时线段OP的长r=1．由此得到任意角三角函数的另一定义：．同时简要说明，两种坐标法定义不仅完全一致，而且各有特点和使用方便之时．以“曲线与方程”为例．“曲线的方程与方程的曲线”的本质是两者之间需要建立一种内在的等价对应关系，难点是用怎样的视角看待曲线与方程，才能使它们之间建立一一对应关系．概念建立的方式是概念形成，即在教学条件下，从大量具体例子出发，从学生已有经验的肯定例证中，以归纳的方式概括出一类事物的本质属性．基于这样的分析，对曲线的方程和方程的曲线这两个概念建立环节的教学设计如下：（1）明确研究的方向和目标．由于解析几何的本质是用代数的方法来研究几何问题，而这就带来一个关键性的问题：即怎样保证这种研究的有效性与可靠性．而要保证这种研究的有效性与可靠性，曲线与方程之间应该有一种内在的、“我就是你，你就是我”的等价关系．（2）探究等价关系的具体含义．等价关系的具体含义是什么？是曲线与方程之间存在一种一一对应关系，还是曲线上的点与方程的解之间存在一种一一对应的等价关系？原始的、朴素的、形象化的“你就是我，我就是你”的等价关系如何数学化、精确化？如何衡量、判断曲线与方程之间是否等价？按照化未知为已知、从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合等思维策略，自然地想到考察已经学过的直线方程、圆方程等概念，考察直线与直线方程、圆与圆方程之间的关系．不妨研究平分第一、第三象限的直线与方程x-y=0的关系，以点（a,b）为圆心、r为半径的圆与方程（x-a）2+(y-b)2=r2的关系．受轨迹、图形对称等相关知识的启发，把曲线看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹，把方程看作满足某种条件的解的集合，进而研究点的坐标与方程的解之间的关系．至此，不难得出：直线（或圆）上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是直线（或圆）上的点．更主要的是，在得出这个初步结论的过程中，实现了考察问题角度与思维方式的转化，即实现了由原来的从整体、宏观角度看问题（一般情况下，我们认为直线就是直线、圆就是圆，而不大容易想到把它们看作满足某种条件的点的集体；方程就是方程，而不大容易想到把它们看作满足某种条件的解的集合）到现在的从细节、微观角度看问题（即考察曲线上每一个具体的点和方程每一个具体的解）．实现了思维方式和看问题视角的变化后，我们很快会发现：原来直线（或圆）上点的坐标组成的集合与方程的解组成的集合是完全一样的．考虑到曲线的方程与方程的曲线两个概念比较抽象，为了夯实归纳的基础，同时为学生提供更多直观的、具体的、感性的认识，可以由学生自己再举一些例子进行辨析、讨论．（3）形成“曲线的方程与方程的曲线”两个概念．有了上面看问题视角的变化和多个具体的实例作基础，我们自然地通过归纳得出一般性的结论：如果曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，且以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点，那么方程f(x,y)=0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线．同时由于前面已经对问题产生的背景和曲线与方程之间的关系做了深刻的揭示，因此会较好地突破概念形成的难点和学生对概念理解的难点．（4）强化对“曲线的方程与方程的曲线”两个概念的理解．为此，可安排以下两组练习（也可让学生提出类似的问题或练习）：练习1 （1）以y轴为对称轴的等腰三角形的底边的方程是x=0吗？为什么？（2）到x轴的距离等于2的点的轨迹的方程是y=2吗？为什么？练习2 (1)写出表示下列图形(实线部分)的方程：(2)作下列方程所表示的图形：（练习1取自人教B版《普通高中课程标准实验教科书²数学》（选修2－1，2005年6月第1版），练习2取自上海桂思铭老师的上这节课时的课堂练习．）三、数学课该如何自然地合理地拓展问题一个问题解决之后，如何引导学生自然地合理地拓展问题，是当前数学教学的薄弱环节．问题引领教学，不仅应体现在课堂教学之初，也应体现和贯穿于整个课堂教学．只有在适当的时候用恰当的问题来不断地引导课堂教学，我们才能增加数学教学的思维含量，促进学生思维更好更快地发展．一般地，数学问题解决以后，可从两方面拓展问题：一是思考刚才获得的知识可以解决哪些问题．这里应该改通常获得新的数学概念或发现证明定理法则后“教师呈现问题，学生解决问题”为“学生提出问题，学生解决问题”；二是发现或提出相关的未解决的或需要进一步研究的问题，因为数学的发展是一个永无止境的过程．以任意角的三角函数为例．在获得任意角三角函数的概念后，可以引导学生提出以下问题：①我们可以运用这个概念解决哪些问题？如求已知角的三角函数值，求终边确定角的三角函数值，等；②三角函数既然是函数，那它们的定义域、值域分别是什么？它们又具有哪些性质？③既然、、的值都是由角的大小确定的，那么、、之间必然存在某种内在的联系，这种内在的联系又是什么？……以“曲线与方程”为例．在搞清楚曲线与方程的关系，得出曲线的方程与方程的曲线两个概念后，自然地会提出以下问题：①怎样判断或证明一个方程是不是某条曲线的方程，如“证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k”和前面的练习1．②如何根据已知条件求出曲线的方程？需要注意的是，现在学生的学习存在一个很大的误区，即学数学除了听教师讲，就是做练习．这对发展学生的思维、培养学生的探究能力和创新精神极为不利．因为练习中的思维基本上是再现性思维、模仿性思维，探究、创新的含量相当低．因此学生的数学学习不能只有接受性、模仿性学习，教师要为学生真正的探究学习、自主学习留出空间、搭建平台．四、数学课该如何让数学思维自然地流淌要让数学思维在教学中自然地流淌，除了前面所述的自然地合理地提出问题、自然地合理地解决问题、自然地合理地拓展问题外，还应做好以下几点：1．抓住本质、突出主线、突破难点．尽管做到这一点非常难，但我们还是要做坚持不懈的努力．具体地，一要从知识的源头出发思考所教知识的本质是什么．因为只有有效地把握了知识的本质，才能做到纲举目张．二要搞清楚数学知识发展的轨迹与思维主线．因为只有这样，才能站在整体的高度更好地把握和处理局部的问题．三要在学生的思维难点上多花时间，力求突破．因为思维难点是学生思维发展的磨刀石，思维的锋芒只有在思维的磨刀石上才能磨练出来．四要寻找数学知识背后原始、朴素的东西，力求有效突破难点．因为每一个形式化的数学概念都有其原始的朴素思想或基本要素，并且原始、朴素的东西往往更能给学生以启发和帮助．五是不在细枝末节上纠缠，甚至有的非本质问题可以暂时放一放或推后解决，如角用弧度表示后，三角函数就可理解为一个实数集到另一个实数集的对应关系；也不要在文字表述方面有过高的要求，如关于曲线与方程关系，初学时就不宜在文字的准确、精练、完整表达上花时间，而宜把注意力集中到对其本质的理解和把握上．2．鼓励并指导学生自己不断地提出问题．学生学数学与数学家研究数学相比，除了目的不同和学生的学习要依据课程标准、有教师指导帮助、有相应的巩固练习外，其思维的策略与方式应该是相同的．数学教学的最高境界就是象数学家一样研究数学．数学教学应为学生创设不断地提出问题、不断地解决问题的平台；教师的任务是保障学生的思维自由，不断地拓展学生的思维空间，而不是压缩学生的思维空间．3．强化数学方法论教学，提高学生的有效探究能力．教师要加强思维策略方法、数学思想方法的指导，切实提高学生自主探究能力和探究学习的效益．以“曲线与方程”为例，教师应揭示知识背后所蕴含的如下思想与方法：一是从已学过的、熟悉的直线的方程和圆的方程中寻找启发；二是遵循从特殊到一般，从具体到抽象的原则进行探究；三是通过辨析、讨论，用归纳、概括等方法获取结论，明确解决问题的思维方向；四是从数与形两方面思考问题，充分利用数形结合思想；五是从正反两方面认识事物、论证问题．只有切实加强数学方法论、思维论教学，“授人以渔”才能真正落到实处．总之，数学教学应抓住一切机会和环节，提高学生思维的主动性、深刻性和流畅性．愿我们共同牢记人教A版《普通高中课程标准实验教科书²数学》主编寄语中所说的“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的．如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味”，努力创造更自然、更合理、更有效的数学教学．参考文献：[1]人民教育出版社等．普通高中课程标准实验教科书²数学（A版）（必修4）[M]，2007.2[2]人民教育出版社等．普通高中课程标准实验教科书²数学（A版）（选修2-1）[M]，2007.2[3]人民教育出版社等．普通高中课程标准实验教科书²数学（B版）（选修2-1）[M]，2005.6[4]课题组．中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计研究与实践[J]．中学数学教学参考(上半月)，2008(7-10)[5]李昌官．数学教学应顺其自然、追求自然[J]．课程²教材²教法，2005（12）2009-04-09 人教网。
【教育资料】抓住数学本质 训练思维能力学习专用
抓住数学本质训练思维能力数学思维是对数学对象的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。
初中是数学的理念逐步由浅入深，数学的知识逐步由窄到宽，数学的探究逐步由易到难的重要转折时期。
为了适应这一变化，提高学生的数学素质，增强学生的数学思维能力就显得尤为重要。
那么，如何提高初中生数学思维能力呢？一、运用数学概念、思想和方法辨别数学关系，这是体现数学思维能力的基础。
理解和熟记数学概念，从而达到熟能生巧的目的，是对初中生的基本要求。
在教学过程中，教师应该强调说明概念是教学思维的基础，扎实的基础是构成数学知识大厦的根本，并从师生互动合作交流的观念出发，着重抓好两个方面：一方面，教师要鼓励学生提出问题，教师要耐心回答并把概念讲透。
讲出概念的来龙去脉，知道概念的适用范围；讲清概念的关键字，及字、词、句之间的内在联系；讲明概念的内涵和外延，此概念和彼概念的联系和区别；讲解概念在实际中的使用。
另一方面，要求学生要根据教师的讲解和自己的理解，把概念读通，读懂，读熟。
至少关键字、词、句不能记错，产生歧义。
同时应用概念做好习题，通过反复感知，反复回忆，反复运用等手段巩固概念的记忆。
应当明确，新课程标准提出有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，这毫无疑问是正确的。
但这一表述不是说不需要记忆，初中阶段的学习不能忽视记忆这一环节，在理解的基础上熟记数学概念是十分必要的。
二、会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括，会用归纳、演绎和类比进行推理，是体现数学思维能力的关键。
看一个学生数学思维能力究竟如何，在很大程度上是看他能否合理运用各种思维方式顺利解题。
一般学生在做数学题时，碰到比较直观的题目不存在问题，但碰到需要分析，比较，类推等的综合性题目，往往会感到无从下手。
这种情况很多是思维脉络不清晰引起的。
为此，在教学上教师要指导和引导学生及时归纳整理所学知识，并注意以下三点：一是归纳整理要注意连续性。
举一反三的范文
举一反三的范文课堂中的经典故事《盲人摸象》向我们阐述了“举一反三”的重要性。
能够运用抽象思维举一反三，是培养创新能力和解决问题的有效方法。
本文将结合具体案例，探讨举一反三的实际应用。
一、拓展视野：从具体到抽象“举一反三”首先要有广阔的视野。
我们需要从具体的细节中，寻找并发现相同或相似的规律或特点，通过归纳总结，得出更加一般化的结论，从而实现“举一反三”。
以数学课上的例子来说，当老师教授了一道求解一元二次方程的问题后，我们可以运用举一反三的思维，进一步探讨其他类型的二次方程的求解方法。
通过观察和总结，我们可以发现，求解一元二次方程的步骤与求解一元一次方程的步骤存在共通之处，但在具体操作上有所不同。
通过这种举一反三的思路，我们可以更好地理解和掌握各类方程的求解方法。
二、掌握抽象思维：从抽象到具体除了从具体到抽象，我们还需要具备从抽象到具体的能力。
抽象思维能力是指在面对实际问题时，能够提取和运用抽象概念，将其转化为具体问题的能力。
例如，在物理学中，当我们学习了牛顿第二定律的公式F=ma后，我们可以通过举一反三的思维，将这个公式应用到更多的实际问题中。
比如，当需要计算一个物体在斜面上滑动时所受的重力分量和摩擦力时，我们可以使用牛顿第二定律的公式进行求解。
通过将抽象的公式应用于具体的问题，我们能够更好地理解和应用物理学的知识。
三、解决问题：举一反三的实际应用除了学习中的应用，举一反三还可以在解决实际问题时发挥重要作用。
当我们面临一个难题时，可以通过观察和总结，找到相似的问题，从而借鉴已有的解决思路和方法。
比如，当我们遇到一个管理问题时，可以回顾过去解决的类似问题，提取其中的经验和教训，借鉴其中的成功经验，同时也寻找不同之处，找到更适合当前问题的解决方法。
通过举一反三的思维，我们能够快速找到解决问题的线索，并采取相应的措施。
四、创新思维：举一反三的启发举一反三不仅仅是解决问题的方法，更是培养创新思维的关键。
数学思考之道抓住关键问题的本质
数学思考之道抓住关键问题的本质数学思考之道：抓住关键问题的本质数学是一门抽象而又具有广泛应用价值的学科。
在解决数学问题的过程中，抓住问题的本质是非常关键的。
只有确定问题的核心，我们才能找到解决问题的途径，并得出正确的答案。
本文将讨论如何在数学思考中抓住关键问题的本质。
一、审题深入理解问题在解决数学问题之前，我们首先要仔细审题，并确保深入理解问题的要求。
通过仔细研读题目，我们可以找到问题的关键信息和条件。
在审题的过程中，我们要注意辨别问题的实质和表面现象。
有时候，问题背后隐藏着一些隐含的规律或者模式，只有深入理解问题，才能找到解决问题的线索。
二、定义问题关键点抓住问题的关键点是解决数学问题的基础。
在理解问题的基础上，我们需要明确问题的关键要素和条件。
通过定义问题的关键点，我们可以将复杂的问题简化为更容易解决的子问题。
关键点的确立需要我们对问题进行合理的归纳和整理。
例如，在解决几何问题时，我们需要确定问题中的主要条件，如已知的角度、长度等。
只有明确问题关键点，我们才能够从问题的宏观层面逐步深入解决问题。
三、寻找问题的本质问题的本质是问题中最重要的部分，它关乎到问题的解答是否正确。
在解决数学问题的过程中，我们要不断追问“为什么”和“怎么样”来寻找问题的本质。
例如，在解决方程问题时，我们可以通过将问题转化为图形、表格或者实际问题来理解方程的含义。
通过从不同角度思考问题，我们可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的有效方法。
四、运用适当的数学方法在抓住问题的本质之后，我们需要运用适当的数学方法来解决问题。
数学方法是解决问题的工具，也是将问题的本质与具体的数学知识相结合的手段。
在运用数学方法的过程中，我们要注意方法的选择是否与问题的本质相契合。
有时候，我们可以尝试不同的方法来解决同一个问题，从而得到更加深入和全面的理解。
五、验证与扩展在得出解决问题的答案之后，我们需要进行验证和扩展。
验证是确认我们的答案是否正确的过程，它可以通过代入原问题以及通过其他方法重新求解来完成。
对小学数学课堂教学中培养学生举一反三思维能力的几点思考
对小学数学课堂教学中培养学生举一反三思维能力的几点思考举一反三出自孔子的《论语·述而》：“举一隅，不以三隅反，则不复也。
”意思是说：我举出一个墙角，你们应该要能灵活的推想到另外三个墙角，如果不能的话，我也不会再教你们了。
后来，大家就把孔子说的这段话变成了“举一反三”这句成语，意思是说，学一件东西，可以灵活的思考，运用到其他相类似的东西上！姜堰市举一反三课题组课题研究最主要的目标成果是各学科形成具有普遍适用性的举一反三的教学模式，个人认为要达到这一目标任重道远，原因有二：一是各学科有自己的学科特点，同一学科也有不同的课型，同时教师、学生都存在个别差异，要形成教学模式要一个过程；二是初步形成教学模式后还需要一段时间去优化、完善，这也需要一个过程。
而举一反三实质是一种善于变通，能够融会贯通、触类旁通的思维能力，是学生终生学习必备的一种思维品质。
我们在研究中可以就如何培养学生举一反三思维能力多做研究，培养学生举一反三的思维能力，这个目标在一到两年的课堂实践中是可以实现的。
现就小学数学课堂教学中如何培养学生举一反三思维能力谈一谈自己个人的一些想法与大家交流，谈的不到或不对的地方欢迎大家批评指正。
一、培养学生举一反三思维能力应遵循的几条原则。
1．关爱学生，和学生平等对话爱是教育的基础，是教育的本质，教育学生关键就在于爱，表扬也好，批评也罢，只是形式不同而已，爱的本质是没有差别的。
一句话没有爱就没有教育。
课堂教学中教师要放下师道尊严的架子，相信学生、理解学生、尊重学生，关心、爱护每一位学生，树立和学生平等的意识，这样学生才会有一个良好的学习心境，认知活动和意志活动才会被调动起来。
这当中尤其是关爱每一位学生，说起来容易，做起来难，为什么随着年级的升高举手的同学越来越少，为什么有的学生毕业后叫你一声老师，你却想不起他叫什么，因为关注课堂进度、或者关注教学秩序的原因，我们板起了我们的面孔，我们潜意识里关注了少数优秀的学生，那些中等生几乎没有发言的机会，他们也就习惯了被遗忘，后进生害怕被老师批评，他们也不敢举手，课堂秩序好多了，可是学生思维却冻结了，又如何去举一反三。
抓本质：“一以贯之”促探究
抓本质：“一以贯之”促探究现行课堂教学常出现只关注局部知识教学而忽略知识整体的构建。
学生在学习中容易产生只见树木不见森林的感觉，学生无法感知数学知识框图和研究路径，无法体会知识内部关联性以及知识发生发现的过程。
学生被动接受知识，无法体会学习必要性。
如何改变这样的教学现象？章建跃博士提出数学教学应把培养数学研究基本思路作为核心目标之一。
下面笔者以浙教版九下2.1直线与圆的位置关系为例，阐述我对数学教学应把培养数学研究基本思路作为核心目标之一的理解。
1.理解数学1.1理解教参目标（1）了解三种直线与圆的位置关系；（2）了解圆的切线的概念以及掌握直线与圆的位置关系的定理。
”仅从字面上理解，似乎本节课的教学定位落在知识层面。
但基于一般科学研究1.2 教学价值判断下面我们来思考本节课蕴含的教学价值.（1）作为章节起始课,本节课不仅仅有新知识的教学任务，更应该承载搭建本章知识框图的重任，通过本节课学习，学生初步建立整章总体研究内容.（2）作为概念课，教师通过概念的形成过程，培养学生数学抽象能力，从而提升学生用数学的眼光观察世界的素养.（3）作为定理课，学生在经历定理的探究过程中，发展了数学推理能力，提升了用数学的思维思考世界的素养.（4）从本节课内容以及所处位置思考，本节课很好地体现了数学的前后一致、逻辑连贯、一以贯之的思维形式.1.理解学生基于本节课处于九下第二章的位置，在此之前学生已经具备比较充分的知识储备以及一定的研究经验. 我们可以从以下角度理解学情.2.1几何研究套路的一以贯之在本节课之前，学生已经学习了两直线位置关系、三角形与四边形的相关知识，学习了圆的基本性质。
也应该具备了几何研究的基本套路，即定义--性质--判定--应用。
不妨碍几何研究一以贯之的思维形式。
2.2位置关系判定方法的一以贯之本节课涉及到直线与圆的位置关系的判定与性质. 在此之前学生已经学习过以下位置关系：（1）两直线垂直的判定：借助垂直概念，通过由两直线相交形成的角为直角得到两直线的垂直. 通过定量化思路，由数量关系确定位置关系。
抓住本质特征进行应用题复习例谈
抓住本质特征进行应用题复习例谈作者：徐克英来源：《文理导航·教育研究与实践》 2014年第4期重庆市开县南门镇花林中心小学平顶完全小学徐克英应用题复习课的重要任务是引导学生将已学的知识进行梳理、归纳，提炼，使学生对所学应用题有深透的理解，从而更全面、更系统地掌握各类应用题的特征及解题规律，提高解题能力。
因此，复习课中教师如能抓住各类应用题的本质特征进行应用题教学，将会收到事半功倍的效果。
一、抓住特征，提高解题能力在应用题复习阶段的教学中，教师不能仅仅满足于学生对某道题的解答正确，更重要的是抓住各种类型题的本质特征，引导学生通过观察、分析、比较、归纳、总结出解题规律，才能使学生对教材融会贯通，灵活运用所学知识举一反三。
下面以“求比一个数多（少）几的应用题”复习为例作浅析。
第一步：找出该类题的本质特征。
抓住本质特征进行教学,首先，教师要弄清该类题的本质特征，“求比一个数多或（少）几的应用题”的本质特征是：谁多、谁少、求多的量还是求少的量。
第二步：练习。
在新授阶段，学生对这类题已有初步感知，因此，复习阶段教师可先出示所要复习的题型让学生练习，并抽生板演。
“求比一个数多（少）几的应用题”可设计以下练习内容：有25个苹果，梨比苹果少7个。
有多少个梨？有25个苹果，苹果比梨少7个。
有多少个梨？动物园有20只黑熊，黑熊比白熊多8只。
白熊有多少只？动物园有20只黑熊，白熊比黑熊多8只。
白熊有多少只？第三步：找出本质特征；总结解题规律。
当学生练习结束且都板演正确后，教师引导学生对以上四题进行比较、分析，找出这类题共同的本质特征，总结出这类题的解题规律。
“求一个数多（少）几”的应用题可分以下四步进行：1、找出每道题中含有“比”字的句子（关键句）。
（为便于分析，以下每步的教学过程均用符号标出）⑴梨比苹果少7个⑵苹果比梨少7个⑶黑熊比白熊多8只⑷白熊比黑熊多8只2、找出关键字中的两个量（“比”字前后各一个），并根据关键句的意思弄清谁多谁少，用符号等表明；少多少多⑴梨比苹果少7个⑵苹果比梨少7个多少⑶黑熊比白熊多8只⑷白熊比黑熊多8只3、找出所求问题，对照关键句弄清楚是求多的量还是求少的量，并标明（为清晰完整起见，下面写出板书的内容）少多⑴有25个苹果，梨比苹果少7个。
抓特点,握本质,寻求解题路径
型
赵 井俊
（ 海 县 城 头 中学 ， 苏 东 海 东 江 ２ ２０ ） ２ ３ ３
抓 特 点 ，握 本 质 ，寻 求 解 题 路 径
摘 要 ： 学 解 题 是 数 学 学 习 的 重 要 组 成 部 分 ， 培 养 数 在 学 生 的 思 维 能力 方 面 具 有 特殊 的功 能 。 掌握 正 确 的 思 维 方 法 ， 寻 求 正确 的解 题 途 径 ， 就 成 了数 学 学 习 的核 心 内客 。 者 结 也 作 合 自身 的教 学经 验 ， 绍 了数 学 解 题 的 方 法 。 介 关 键 词 ： 学 解题 换位 思考 逆 向思维 联 想法 变形 数 由 于学 生 在 数 学 方 面 经 常 受 思 维 定 势 （ 即思 维 的 固有 模 式 中 习 惯 性 ） 影 响 ， 常 习惯 于 抓 问 题 的 正 面 ． 已 知 条 件 的 常 从 人 手 ， 步 分 析 ， 得 结 论 。 在 很 多 情形 下 ． 助 于 快 速形 成 逐 求 这 有 正 确思 路 ， 而解 决 问 题 。 但 当 正 面 人 手 比较 困 难 时 ， 要 重 从 就 新 审 视 问 题 ， 另 辟 蹊 径 ， 变 解 决 问 题 的 角度 ， 往 往 可 以 若 转 则 打 破僵 局 、 难 为 易 ， 到 事 半 功倍 之效 果 化 收 换 位 思 考 。 本 质 找 相 传 数 学 家 苏 步 青 小 时候 ， 曾在 电 车上 碰 到一 位 有 名 的 外 国数 学 家 ， 位 数学 家给 他 出 了这 样 一 道 应用 题 。 这 例 １ 甲 乙两 人 同 时从 相 距 １ ０ 米 的 东 西 两 地 相 向 而 行 ． ： ０千 甲每 小 时走 ６ 米 ， 千 乙每 小 时走 ４ 米 。 甲带 着 一 只 狗 ， 千 狗每 小 时 走 １ 千米 ，这 只狗 同 甲一 道 出发 ，碰 到 乙后 立 刻 调 头朝 甲 ０ 走 ， 到 甲后 立 刻 调 头 朝 乙 走 ， 到 两 人 相 遇 ， 这 只 狗 一 共 碰 直 问 走了多少千米？ 苏 步青 很 快 就 给 出 了答 案 ： 一 共 走 了１ ０ 米 。 在这 里 狗 ０千 不 能 被 这 只 狗在 甲 乙两 人 之 间来 回走 （ 括 来 回多 少 次 ， 一 包 每 次 走 多 远 等 ） 蒙 蔽 ， 抓 住 问题 的 实 质 ． 已知 狗 的 速 度 的 所 要 在 前 提 下 ， 要 知 道 狗 走 的 时 间 就 可 以 求 出 狗 所 走 的 路 程 ， 狗 只 而 所 走 的 时 间就 是 甲 乙两 人 相 遇 的 时 间 ，不 需 要 分 段 求 出 时 间 再 逐 步 累加 ， 此 答 案 就能 很 快 求 出 。 因 观 察 问题 的特 点 ， 住 问 题 的 关 键 ， 能 够找 出最 佳 的解 抓 就 决 问 题 的方 法 。 二 、 向思 维 抓 特 点 逆 例２ 有 一 农 村 妇 女 ， 一 篮 鸡 蛋 到 集 镇 上 去 卖 ， 经 四 座 ： 提 路 桥， 每座 桥 上要 收鸡 蛋 总数 的一 半 再 加半 个作 为 过桥 费 ， 完 四 过 座 桥后 ， 正好 篮 中鸡蛋 为零 个 ， 问妇 女原先 篮 中 的鸡 蛋有 多 少？ 本 题 若从 条 件 思 考 ， 方 程 并 解 方 程 将 问 题 解 决 ， 显 麻 列 略 烦 ， 从 最 后 结 论 出 发 ， 向思 考 问题 ， 直 接 得 出答 案 ， 有 但 反 可 原
抓住问题本质渗透归纳类比数学思想
抓住问题本质渗透归纳类比数学思想作者：付培兵来源：《新教育时代·教师版》2016年第30期摘要：数学思想是数学的灵魂，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。
在小学数学教学中抓住数学问题本质，适时渗透数学思想方法，可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。
关键词：数学本质渗透归纳类比数学思想数学学习的好与坏，不在于学会了多少数学知识，做了多少数学习题。
我认为最重要的是要有数学方法和数学思想。
因为题是永远做不完的，是无限的。
一道题稍加变化，就成了另一道题，而数学方法是有限的。
真正学会一种方法，比做过几十道题、上百道题还要重要。
而我们的学生往往缺乏的就是数学方法、数学思想。
在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。
同时，也能为初中数学思想方法的学习打下较好的基础。
在小学阶段，数学思想方法主要有符号化思想、化归思想、归纳类比思想、分类思想、一一对应思想、数形结合思想等等。
以下以一道“和差问题”的片段教学为例，给出渗透归纳类比的数学思想的应用实例。
例如：果园里桃树和苹果树共有 98棵，桃树比苹果树多16棵，桃树和苹果树各有多少棵？（1）了解题意。
师：请你读读，你获得了哪些数学信息？（根据学生回答，呈现条件和问题）师：98棵、16棵分别表示什么意思？问题呢？师：看来这题是已知两个量的和与差，来分别求这两个量。
师：你打算用什么策略来解决这一题？（画图）都同意画图，那就在你的练习本上试着画出它的线段图。
（2）学会画图。
师：我们来欣赏一下老师随机选取的几位同学所画的图，你对这些图有什么评价？根据学生的回答强调：两个量要用两条线段表示，和谁比，就应该先画谁，要画出所有的条件和问题。
师：老师也画了一个，画的方法与你的比较一下。
高中数学学习中如何通过举一反三提高问题解决能力
高中数学学习中如何通过举一反三提高问题解决能力在高中数学学习过程中，学生们面临着各种问题和难题。
为了提高解决数学问题的能力，举一反三是一种非常有效的方法。
本文将阐述高中数学学习中如何通过举一反三提高问题解决能力，以及如何应用这一方法来提升数学水平。
一、举一反三的概念和作用举一反三是指通过一个已知的问题，引申出其他类似问题或类似解题思路的方法。
这种方法可以培养学生的思维能力，让他们更好地理解和掌握数学知识。
在数学学习中，举一反三起到了以下几个方面的作用：1.扩大问题的范围：通过举一反三，学生可以将问题从一个具体的情境中抽象出来，进而延伸到其他更一般化的问题。
这样一来，问题的范围就会扩大，学生也能够更全面地理解问题的本质。
2.提供不同的解题思路：通过举一反三，学生可以产生多种不同的解题思路。
这些思路可以是基于类比、类推、对称性等等。
通过尝试这些不同的思路，学生可以培养灵活的解题能力，提高解决问题的效率。
3.深化对数学知识的理解：举一反三可以帮助学生更深入地理解数学知识。
通过应用已学的概念和方法解决新问题，学生可以更好地掌握和应用数学知识，形成知识之间的联系。
二、如何通过举一反三提高问题解决能力要通过举一反三提高问题解决能力，学生可以尝试以下方法：1.发现问题的本质：当遇到一个问题时，首先要明确问题的本质。
通过分析问题的特点和要求，找出问题的核心点，从而更好地确定问题的解决方法。
2.寻找类似问题：在解决一个问题的过程中，学生可以借助已知问题的解决方法，尝试应用到其他类似的问题中。
通过比较已知和未知问题之间的共性和差异，学生可以发现解决新问题的思路和方法。
3.利用数学工具：在数学学习中，学生可以运用各种数学工具来辅助解题，如公式、定理、图表等。
当遇到问题时，学生可以思考是否可以运用这些工具来解决，进而提高问题解决的效率。
4.培养思维的灵活性：通过解决各种不同类型的问题，学生可以培养思维的灵活性。
他们可以尝试不同的解题思路，比较它们的优缺点，从而找到最适合自己的方法。
立表象 抓本质 强思维--一道“数梯形”题的启示
［摘要］对教学梯形的认识，多数教师都只是在向学生传递“只有一组对边平行的四边形，叫作梯形”这句概念。
由一道简单的数梯形题的低正确率，折射出学生对梯形本质理解上的欠缺、表象建立的单薄、思维方式的无序，而这都需要教师在课堂上积极落实教学活动，让学生多接触、多操作、多感悟。
［关键词］图形教学；表象；本质；强化思维［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2021）02-0021-02立表象抓本质强思维——一道“数梯形”题的启示浙江海宁市教师进修学校（314400）徐丹红一、检测中的意外之“低”在2018年浙江省教学质量检测小学数学卷（以下简称“省测”）中有一道选择题：右图是一个平面图形，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形。
那么图中共有（）个梯形。
A.1B.2C.3D.4之所以引起笔者的注意，是因为该题意外成为整个“省测”中得分率最低的一题：98个县（市），36000名学生，正确率仅17.4%。
以下是4个选项所占百分比统计图：25.33.917.453.2ABCD6050403020100百分比选项看似简单的一道题，正确率只有17.4%，怎么会这么低呢？对于大部分选B 的学生而言，究竟哪一个梯形是他们的盲区？这又是什么原因造成的？为此，笔者对本校五年级243名学生（未参加过“省测”）进行了测试，测试内容如下：右图是一个平面图形，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形。
那么图中共有（）个梯形。
A.1B.2C.3D.4请把这几个梯形记录下来：也许是因为增加了“请把这几个梯形记录下来”的任务，学生蒙对的可能性相对减少，导致正确率更低，仅15.6%，而选择B 的学生所占的比例比“省测”统计的更多。
以下是4个选项所占百分比统计图：80706050403020100ABCD1.611.515.670.8百分比选项二、数据后的学生之“因”笔者对参加测试的243名学生的答题情况作进一步细化分析、编号、归类：③①②选项选择A （11.5%）选择B（70.8%）选择C （15.6%）选择D（1.6%）空白未做（0.5%）记录内容①②③无记录①+②①+③②+③无记录或记录错误记录正确记录不全无记录或记录错误只记录了1个或2个人数131131201241018286441占该选项总人数百分比46.4%3.6%46.4%3.6%11.6%72.1%5.8%10.5%73.7%15.8%10.5%100%100%总人数281723841为了更直观，笔者以学生记录中出现的图形编号人次进行统计：B AEGFDCB AEGFDC 教例剖析图形编号①②③人次19762184百分比81.1%25.5%75.7%由此可见：74.5%的学生对于变式图形的判断存在困难，20%左右的学生对于由多个基本图形组合而成的图形判断或由基本图形旋转后位置发生改变的图形判断存在困难。
小学六年级数学第六单元《解决问题的策略》的教案：培养学生抓住问题本质,准确分析的能力
小学六年级数学第六单元《解决问题的策略》的教案：培养学生抓住问题本质，准确分析的能力》
一、教学目标：
1.培养学生抓住问题本质，准确分析的能力。
2.提高学生解决问题的能力。
二、教学方法：
1.讲授法
2.练习法
3.提问法
三、教学内容：
1.问题的本质
2.问题的分析方法
3.解决问题的策略
四、教学步骤：
1.导入新课
教师出示一道数学问题，让学生尝试解决。
并询问学生如何解决该问题。
2.引入新知
教师讲解问题的本质，引导学生分析题目中存在的问题，清楚问题的定义、范围和限制，找出问题解决的关键点。
3.培养问题的分析方法
教师分别介绍抽象思维、演绎思维、归纳思维和比较思维等分析问题的方法，归纳出适用于该问题的思考方法。
4.解决问题的策略
教师引导学生应用前述方法，解决数学问题。
教师分别讲解：举例法、数学模型法、归纳法、分析法、探究法、反序思考法、特例法等解决问题的策略。
五、课堂练习
1.学生独自解决若干道题目，师生共同讨论。
2.教师提供一道开放式问题，学生分小组进行讨论并列举可
能的解决方案。
3.教师布置课后作业，要求学生根据讲解和练习的训练，解决更多的问题。
六、教学效果评价
1.学生对问题分析的能力。
2.学生对解决问题的策略的掌握情况。
3.学生在解决数学问题中表现的情况。
抓住本质边“破”边“立”——《倍的认识》教学实践与反思
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另一种量的 2 倍。并且尽量画得 与众不同。
3.反馈交流。 （1）出示学生的各种画法。
（2）比 较 这 些 图 ：为 何 都 可 以说一种物体是另一种物体的 2 倍？
4.提炼。 师：只要一种物体的个数为 一份，另一种有这样的两份，都 可以说两份的物体个数是一份物 体个数的 2 倍。 师：一份的如果是 20 个、50 个、100 个，两份的分别是多少？ 师：一份的如果是 a 个，那么 两份的有多少个？ 生：b 个。 师 ：很 好 ，能 用 字 母 来 表 示 ，
二、着力构建 2 倍 1.课件把物体隐去，留下第一 行一个圈圈，第二行两个圈圈。 师：这两样比较的东西除了 作业纸上的这些，还可以是什么？ 生 ：还 可 以 是 铅 笔 、书 本 、男
生、女生…… 师：个数除了 1、2、3、4，还可
以是几个？ 生：5、6、7、8…… 2.画一画。 要求：画的两种量，一种量是
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数学能力培养
数也不一样，为什么都可以说第 二行的个数是第一行的 2 倍呢？
生 ：因 为 都 是 以 第 一 行 的 个 数为一份，第二行都有这样的 两份。
师 ：对 啊 ，不 管 什 么 物 体 ，有 几个，只要以第一行为一份，第二 行有这样的两份，都可以说第二 行的个数是第一行的 2 倍。
抓住共性举一反三
抓住共性举一反三
都奎征
【期刊名称】《中国校外教育（基教版）》
【年(卷),期】2009(000)002
【摘要】在中考思想品德试题中，有些试题与我们平曰考试的试题材料上有所不同，所设的问题也不一致，但仔细思考后发现，有很多原理或观点在做这些题时可以共用。
这就要求我们平时在做题时，要学会抓住共性，举一反三。
笔者以下面两题为例，作以说明。
（2006·安徽）在某校的校园网站上转载了这样一段报道：2006年“两会”代表和委员使用的16000支环保铅笔全部都是用废报纸经过处理后做成的，取代了传统的木铅笔。
此时，记者招待会的请柬使用的是再生纸；数千张专用的记者证也“变小”了……
【总页数】1页(P101)
【作者】都奎征
【作者单位】河北省衡水市争城县阜城镇中学,河北,衡水
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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在小学数学教学中培养学生举一反三思维能力的几点思考
在小学数学教学中培养学生举一反三思维能力的几点思考在小学数学教学中，培养学生举一反三的思维能力是十分重要的。
如何有效地培养学生的举一反三的思维能力是每个数学教师都需要认真思考和重视的问题。
下面就从几个方面谈谈在小学数学教学中如何培养学生举一反三的思维能力。
通过问题引导学生思考。
在教学中，老师可以通过提出一些有趣和具有启发性的问题来引导学生思考。
这些问题可以是有关数学概念的，也可以是与生活相关的实际问题。
通过这些问题，可以激发学生的思维，引导他们不断探索和发现问题的根本原因和规律。
学生在解决问题的过程中也能够培养自己的举一反三的能力，从而不断提高自己的思维水平。
注重实际运用与拓展。
数学是一门与实际生活密切相关的学科，因此在教学中，老师可以注重数学知识的实际运用，让学生将所学的知识与实际情况相结合，从而更好地理解和掌握所学的知识。
老师也可以通过拓展一些数学问题，让学生将所学的知识应用到拓展问题中去，从而培养他们的举一反三的能力。
比如在解决一个“举一反三”的问题时，可以要求学生将问题与其他相关的数学知识结合起来，从而丰富和拓展自己的思维。
营造良好的学习氛围。
在教学中，老师需要营造一个积极、乐观、鼓励思考的学习氛围，让学生能够敢于提出自己的疑问和见解，并且勇于探索和发现问题的规律。
老师还需要给予学生足够的自由度和空间，让他们在学习中能够充分发挥自己的想象力和创造力，培养他们的举一反三的能力。
在小学数学教学中，培养学生的举一反三的思维能力是十分重要的。
通过问题引导学生思考，鼓励学生多角度思考问题，注重实际运用与拓展，以及营造良好的学习氛围等方法，可以有效地培养学生的举一反三的能力，提高他们的思维水平。
希望每个数学教师都能够认真思考和重视这个问题，在教学中不断探索和实践，为培养学生的举一反三的思维能力而努力。
【这篇文章可以帮助小学数学教师更好地认识和了解如何培养学生的举一反三的思维能力，为他们的教学实践提供一些有益的启示和建议。
体悟本质，促进建联，方可举一反三
体悟本质，促进建联，方可举一反三发布时间：2021-09-17T08:19:53.980Z 来源：《素质教育》2021年7月总第386期作者：王靖[导读] 笔者参加六年级阅卷时发现这样一题错误率较高：4/9a=3/8b则a与b成不成比例？安徽省阜阳市清河路第一小学236000笔者参加六年级阅卷时发现这样一题错误率较高：4/9a=3/8b则a与b成不成比例？如果成，成什么比例？学生错误答案有以下几种情况：1.“不成比例”；2.“成”，但没写成什么比例；3.“成反比例”。
为什么会有那么多学生做错？症结在哪里？于是对以上错误的学生做了一次访谈。
写“不成比例”的学生说：它与学过的正比例、反比例模型一点不像，所以认为不成比例。
第二种错误的学生说法又分两种：一种说不知道成什么比例，但是既然题目说“如果成，成什么比例”，那一定是“成”的；另一种说法是：正比例两个量之间是相除，反比例两个量之间是相乘，这道题中没有别的运算关系，所以一定是成比例的，但是成什么比例，a和b在等号两侧，不知道该怎样判断；第三种错误的学生说：等式左右两侧都是乘法，反比例两个量之间是相乘，所以成反比例。
为了进一步了解学生的想法，我也对答对的学生进行了访谈，主要问了以下问题：你是怎样判断a和b成正比例的？为什么这样做？a和b的比是多少？结果61.3%的学生采用移项法，帮助完成判断。
理由是既然问题是问a和b两个量之间成不成比例，那么a与b要有运算关系，所以要把它们挪到同一侧，判断出成正比例，也就算出它们的比了。
这种方式中比算对的近一半，另一半是前项、后项的位置颠倒了。
还有48.7%的学生采用的是假设法，把它们的积假设为1，算出a、b的值，然后看它们是积一定还是商一定，从而判断a、b成什么比例，算出它们的比，这部分学生算出比的正确率是100%。
但当追问为什么积选择1，而不选择其它数，大部分学生说计算起来方便，再问选择其它数可不可以呢，只有极少数学生说可以，并能讲清其中的道理。
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２ ０ ０ × 三一 ： １ ０ ｏ 、 ／ ．
答： 山高 ＤＣ为 １ ０ ０ 、 ／ 丁 米．
应用 ２ ： 如图 ３ ， 某 船向正东航行 ， 在 Ａ处望 见某岛 Ｃ在 北偏 东６ ０ 。 方 向上 ， 前进 ６千米到达 Ｂ处 ， 测得该 岛 Ｃ在北偏东 ３ ０ ｏ 方 向上 ． 已知该 岛周 围 ６千米 内有 暗礁． 问该船继续 向正东航 行 ， 有
Ｄ
应用 １ ：如 图 ２ ，某 人在山顶上 Ｄ处 ，测 得地面 Ａ 的俯角 为
测量 中的应 用题 ， 借助 于结 论 ＝ —ｒ旦 一 广
ｔ ａ ｎ ａ ｔ ａ ｎ ／ ３
， 便 能轻松地解 决
问题． 由此可见 ， 在数学 的学 习中 ， 要注意抓住事物的本质 ， 抓住了
曰
Ｃ
题 目的特征 ， 看清了题 目的本质 ， 无 须去做多少 的题 目， 只要 不断
． ．
．
否大于小岛有暗礁 的范围 ６千米 ，若距离小 于或 等于 ６海里 ， 则
：
一： ５ ０ （
一 ＋ １ ） ．
有触礁 的危险 ， 若距离大于 ６千米 ， 则无危险．
Ｄ
Ｖ ３ —１
答： 电视塔 的高度是 ５ ０ （ 、 ／ ｊ 一 ＋ １ ） 米．
若 把此题上升到一般情况 ， 则题 目演变为 ： 如下图所示 ，一人在 Ａ处测得某 电视塔尖 Ｄ的仰角为 Ｏ ｌ ， 前 进Ｏ ｌ 米到达 处 ， 测得 电视塔 尖 Ｄ的仰角 为 ， 设塔底 ｃ与 Ａ、 在一条直线上 ， 求 电视塔的高度 ｈ ．
州
鱼
ｈ
二一 Ｊ—
３
一
工
ａ 二 ］二
ｔ ａ
， ４
ｎ
Ｂ
Ｃ
・ ． ．
：
６ ｘ
： ３ 、 ／ 丁 ５ ． １ ９ ６ ， ＜ ６ ．
ｔ ａｎ ａ
现举例应用如 下：
・ ． ．
若该船继续向正东航行 ， 有触礁 的危 险．
例题和应用 １ 、 ２都是很重要 的题 目， 在数 学测试 中经常 被考 ３ ０ ｏ 。 曰的俯 角为 ６ ０ 。 ． 已知 Ａ Ｂ ＝ ２ ０ ０米 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ在一条直线 上 ， 求 山 查到． 几个 题 目归结 为一 点 ： 题 目的本质未变 ， 所变 的仅仅是数 字 高Ｄ Ｃ ． 的改变 ， 角度表达 的改 变 ， 数学应用的改变 ． 这是一道 三角 函数 在
２ ０ １ ３年 ２月 ８日
学 科教 学
抓住本质 找特征 ９ 举 一 反 三 促 能 力
— —
由一道 数学例题所想 到的
文／ 张 弟 才
在数 学学习 中， 题 目形式不拘一格 、 千变万 化 ， 叙 述方式多种 多样 ． 然 而万变 不离其宗 ． 大 多数题 目在课本 中都能找 到原题 ． 如
在Ｒ ｔ ＡＢ ＤＣ中 ， Ｂ Ｃ ＝
’ ．
Ｃ 一 日Ｃ ４ Ｂ．
无触礁的危险？请说 明理 由．
分析 ： 该船会不会触礁 ， 关键是看小岛 Ｃ到直线 ＡＢ的距 离是
Ａ 曰
Ｃ
・ ．
．
、 ／ － ｘ ＝ ｌ Ｏ ０ ，
图 １
（ 、 ／ 一 ｌ ｋ＝ １ ０ ０ ，
盈锄Βιβλιοθήκη ５ ９ 解： 在Ｒ ｔ ＡＡ ＤＣ 在Ｒ ｔ ＡＢ ＤＣ
・ ．
Ｃ
图 ３
，
， ＡＣ ＝ Ｄ Ｃ 丽 － 一 ｈ
Ｉ ａｎ ． 一 ｑ 乙 ｔ ａｎ
解： 过点 Ｇ作 Ｃ Ｄ． Ｌ ＡＢ ， 垂足为 ｎ设 Ｃ Ｄ ＝ ｘ ， 根据题意 ， Ｃ ＡＤ ＝ ３ Ｏ ｏ ， Ｃ Ｂ Ｄ ＝ ６ ０ 。 ， 根据结论有 ：
总结 ， 归纳 分析 ， 找到 问题的本质 ， 就有 可能做 到举 一反 三 ， 收到
图２
解： 设 山高 Ｄ Ｃ为 米 ， 由题设 知 厶４ ＝ ３ ０ 。 ， ＡＤ Ｂ Ｃ ＝ ５ ０ 。 ， 根据 事半功倍 的效果 ． 结论有 ： ，
（ 作 者单 位
云 南省 文 山市教 育局教 科 室 ）
果我们 注意挖掘教材 ， 注意分析 比较 ， 注意寻找 其间存在的 关系 ， 不仅 可 以避 免走弯 路 ， 还 能激发学 生积极 思维 ， 培养 学生 的逻辑 思维 、 归纳总结的能力． 现举一例加以说 明． 例： 如图 １ ， 一人 在 Ａ处 测得某 电视塔尖 Ｊ 『 ）的仰 角为 ３ ０ 。 ， 前 进 １ ０ ０米到达 曰处 ， 测得 电视塔尖 Ｄ 的仰 角 为 ４ ５ 。 ， 设 塔 底 Ｃ与
６ ｔ ａ ｎ ３ ０ 。 ｔ ａ ｎ ６ ０ 。
Ｄ
＝ 一 Ｌ ｔ ａｎ Ｚ － ／ Ｊ
： 一
血
ｔ ａｎ
一 ／ Ｊ
６
—Ｉ ＿ — — 一 — 丁 — Ｔ
Ｃ 一 口 Ｃ：
一
．
．
一
． ．
一 石一 “ 。 ，
一 １ ） ＝ 。
，
３
： … 一 — — ：
． ・ ．
２ ０ ０
— Ｔ— —
一
ｌ ３
ｌ
２ ００
—
２ ０ ０
互 ～ —
３
：
一
、 ／ ３
、 ／ ，
、
Ｂ在一 条直线上 ， 求电视塔的高度 ．
解： 设塔 高 ＤＣ为 米 ，
在Ｒ ｔ ＡＡ Ｄ Ｃ中， Ａｃ ＝ ＿ ＝ 、 一 ．
Ｊ Ｄ