应用MATLAB建模实例---吊门过程仿真

程序1-1之抛射体轨迹函数
function [y,t]=paosheti1(x,alpha,v,g) % 函数返回抛射体轨迹及第一第一次落地飞行时间 y=x*tan(alpha)-x.^2*g/(2*v^2*(cos(alpha))^2); % 不考虑是直接进门还是落地后进门的轨迹 t=2*v*sin(alpha)/g; % 第一次落地前最大飞行时间 xmax=v*cos(alpha)*t; %第一次落地前最大飞行X向距离 n=length(x); for i=1:n if y(i)<0 %判断是落地后进门 xx=x(i)-xmax; y(i)=xx*tan(alpha)-xx.^2*g/(2*v^2*(cos(alpha))^2); %计算落地后进门的后半段轨迹 end end
空气阻力的情形之一的结果及分析改 进（二）
针对第三组数据，计算的最小角度为 1.268，守门员移动时间为2.7771秒，最 大角度是1.27，时间是2.8101秒； 结果仍有问题：反弹前后的两波高度一 样； 解决的办法是再考虑y方向也有空气阻力。
有空气阻力的情形之二 ——x、y方向均考虑空气阻力
kt
gt
2
)
飞行到球门线位置的时间TH：
1 kt x ( t ) v cos (1 e ) 1 ka t ln( 1 ) k k v cos x (t ) a
空气阻力的情形之一——程序2-1-1
clc,clear all v=30;g=10; h=2.44;H=3.2;a=20;b=5; k=0.4; l=a-b;L=a*1.01; %1.01表示进入门里 x=0:0.01:L; %对x采样 alpha=1.2:0.001:1.3; n=length(alpha); figure(1) for i=1:n; Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha(i))))/k; %计算球从射门到进球门的时间范围 T=Th*1.02; %球过球门线 t=0:0.01:T; %对时间采样 [x,y]=paosheti2(t,alpha(i),v,k,g); %计算求得飞行轨迹 TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha(i))))/k; %计算从射门到球员位置的时间 i1=floor(Th/0.01)+1; %计算球过球门线时刻的采样点序号 i2=floor(TH/0.01)+1; %计算球过守门员时刻的采样点序号 if y(i1)>=h | y(i2)<=H; %判定是否射门成功 success(i)=0; else success(i)=1; end plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on, plot(x,y), grid, hold off title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha(i),6) ,... ' 守门员的移动时间=',num2str(TH),' 成功=',num2str(success(i))]),pause end figure(2) plot(alpha,success);
空气阻力的情形之一——程序2-1-2
1 2 function [x,y]=paosheti2(t,alpha,v,k,g) y ( t ) vt sin gt 0 2 %返回抛物体轨迹（考虑空气阻力） 2 vt sin x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k; t g y=v*sin(alpha)*t-g*t.^2/2; n=length(t); t0=2*v*sin(alpha)/g; % 第一次落地前最大飞行时间 xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k; % 第一次落地前X向最大飞行 距离 vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); % 第一次落地X向飞行速度 vyt0=v*sin(alpha); % 第一次落地Y向飞行速度 vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2); % 第一次落地飞行速度大小 for i=1:n if t(i)>t0 % 判断是落地后进门 tt=t(i)-t0; % 计算落地后进门的后半段轨迹 x(i)=xt0+vt0*cos(alpha)*(1-exp(-k*tt))/k; y(i)=vt0*sin(alpha)*tt-g*tt^2/2; end end
程序2-1-2修改如下
function [x,y]=paosheti22(t,alpha,v,k,g) %返回抛物体轨迹（考虑空气阻力、反弹角度） x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k; y=v*sin(alpha)*t-g*t.^2/2; n=length(t); t0=2*v*sin(alpha)/g; % 第一次落地前最大飞行时间 xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k; % 第一次落地前X向最大飞行距离 vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); % 第一次落地X向飞行速度 vyt0=v*sin(alpha); % 第一次落地Y向飞行速度 vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2); % 第一次落地飞行速度大小 alpha1=atan(vyt0/vxt0); % 计算反弹角度 for i=1:n if t(i)>t0 % 判断是落地后进门 tt=t(i)-t0; % 计算落地后进门的后半段轨迹 x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt))/k; y(i)=vt0*sin(alpha1)*tt-g*tt^2/2; end end
初步结果
对于第一组数据，吊门成功的最小角度 1.53697（为弧度，下同），对应的时间大约 在4.9281秒，最大角度1.53787，对应的时间 是5.0627秒； 对于第二组数据，吊门成功的最小角度 1.51437，对应的时间大约在4.1374秒，最大 角度1.51587，对应的时间大约在4.2503秒； 对于第三组数据，吊门成功的最小角度 1.45718，对应的时间大约在4.4103秒，最大 角度1.46022，对应的时间大约是4.531秒。
有空气阻力的情形之一 ——仅x方向考虑空气阻力
假设只考虑x方向受空气阻力的影响； 假设空气阻力与速度成正比，比例系数为 k=0.4。 此时，x(t)满足如下的微分方程初值问题
k x 0 x x (0) 0 x ( 0 ) v cos
问题的解
飞行轨迹
y ( t ) vt sin x (t ) 1 k 1 2 v cos (1 e
应用MATLAB建模实例 ——数学也是一门技术
数学是一门技术 一个例子——足球比赛中的吊门问题 谈谈数学建模竞赛及培训
数学是一门技术
技术的定义
• 《辞海》：泛指根据生产实践经验和自然科 学原理而发展成的各种工艺操作方法与技能； 除操作技能外， 广义的还包括相应的生产工 具和其他物质设备，以及生产的工艺过程或 作业程序、方法。 • 《科学学辞典》和《科技辞典》：是为社会 生产和人类物质文化生活需要服务的，供人 类利用和改造自然的物质手段、智能手段和 信息手段的总和。
数学及其应用的特征
• 是一种智能形态的技术 • 在数学软件的平台上，又表现为 一般的物化形态
数学建模技术
• 指数学及其应用于解决实际问题的整 个过程 • 多样性、合理性、具体问题具体分析 • 艺术性
足球比赛中的吊门问题
考虑如下的因素：球与球门的距离为a，守 门员与球门的距离为b，球门高h，守门员最大 摸高H，球出脚的初速度为v，与水平方向的夹 角为alpha（称为初射角）．给定，h=2.44m， H=3.20m，v=30m/s，重力加速度g=10m/s2，针 对下列几组数据分别给出能吊门成功的相应初 射角范围，要求精度在小数点后第3位。 ·a=6m，b=1m； ·a=10m，b=3m； H h ·a=20m，b=5m。 alpha
b a
问题分析
先考虑最简单情形，即不考虑空气阻力 等…，此时，球的运动轨迹是抛物线， 如果守门员不动，总有合适的角度使吊 门成功。 这不是求一个角度值，而是求一个范围！ 通常的思路是把问题整理成两个方程求 根问题：一个方程是求吊门成功的最小 角度，一个方程是求吊门成功的最大角 度。 有可能落地弹入球门，要考虑反弹入门 的情况。
小结：最简情形之假设
不考虑空气阻力； 不考虑守门员在球运行过程中的移动； 球落地是完全弹性的，只考虑仅有一次触地反弹形 成的吊门情况； 只考虑越过守门员头顶的吊门，即出球点与守门员 连成一线延伸到球门这样一个直线方向，不考虑从 守门员侧面吊门的情况； 将球看作是数学上的一个点； 不考虑球的旋转，实际比赛时，旋转是很重要的！ 球的质量为一个单位。
初步结果分析——问题的再分析
遵循由简单到一般的建模原则，先考虑简单情形，得到 初步结果，以此为基础，发现问题、分析问题，找到求 解思路，并逐步将问题一般化，甚至可以发现逐步一般 化的顺序（还是由简到繁，先将哪些方面使之更一般化， 如空气阻力、守门员移动）； 结果有一定的合理性； 从近似计算角度分析，在允许的精度范围内，如上的 “作图——观察——调整”不失为一种求解方法； 相比球与守门员及与球门的距离，注意守门员移动的时 间，显然守门员有足够的时间移动，因此吊门是不会成 功的！ 原因在于将问题假设得过于简单化、理想化了！ 修改假设应是下一步必须考虑的。
α
h b

Baidu Nhomakorabea
x
2
a
最简情形——程序1-1
v=30;g=10; h=2.44;H=3.2;a=6;b=1; l=a-b;L=a*1.01; %1.01表示进入门里 x=0:0.01:L; %对x采样 i1=floor(a/0.01)+1; i2=floor((a-b)/0.01)+1; alpha=1.5368:0.00001:1.538; n=length(alpha); for i=1:n; [y,tfinal]=paosheti1(x,alpha(i),v,g); tH=l/(v*cos(alpha(i))); %从射门到球到守门员位置的时间 if y(i1)>=h | y(i2)<=H; success(i)=0; else success(i)=1; end plot(l,H,'r+',a,h,'r+'), hold on, plot(x,y), grid, hold off title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha(i),6) ,... ' 守门员的移动时间=',num2str(tH)]),pause end figure(2) plot(alpha,success)
kt
gt
2
)
飞行到守门员位置的时间tH：
1 kt x ( t ) v cos (1 e ) 1 kl t ln( 1 ) k k v cos x (t ) l
问题的解
飞行轨迹
y ( t ) vt sin x (t ) 1 k 1 2 v cos (1 e
直观分析
最简单情形，抛射体的运动轨迹为抛物线方 程如下 借助于使用方便的数学软件，可直观地看到 各种初射角对应的抛射体运动的轨迹图形。
x vt cos 1 y vt sin gt 2 y ( x ) x tan
2
H
g 2 v cos
2 2
空气阻力的情形之一的结果及分析改 进（一）
前面结果有问题，反弹后的角度不应该是alpha 了，应该以落地时的情况计算出新反射角。
alpha a tan( vy vx )
修改抛射体函数：将paosheti2(t,alpha,v,k,g)，换 成paosheti22(t,alpha,v,k,g)。