第六章 控制系统的校正分析

第六章控制系统的校正分析学习要求基本内容：校正的基本概念：校正概念，校正实质，校正方法，校正方式。

校正装置及特性：相位超前校正、相位滞后校正、相位滞后-超前装置。

利用根轨迹法确定串联校正装置。

利用频率特性法确定串联校正装置。

反馈校正：反馈校正的作用，反馈校正装置的设计复合控制：含给定量顺馈校正的复合控制，含扰动量前馈校正的复合控制，复合控制举例。

教学要求了解控制系统校正的概念、校正的实质、校正的方法、校正方式。

熟悉串联相位超前校正、相位滞后校正、相位滞后-超前校正装置及特性。

重点掌握利用频率特性法确定串联校正装置参数的方法。

简单了解反馈校正、前馈校正及复合控制。

校正设计：确定校正环节的结构、参数、及连接方式。

校正方式:校正环节在系统中的位置和连接方式。

第一节概述为什么要校正？原系统性能不尽如意。

怎样校正？用校正装置也称校正环节或补偿器。

一.校正方式：四种Gc (s )Go (s )H (s )特点：最常用,校正环节加在系统能量最小的地方,容易实现.G 原=G/(1+GH) G 校=G c G/(1+G c GH)1.串联校正串联并联局部反馈前馈2.并联校正较少应用!!Gc (s )G 1(s )G 2(s )H (s )G 校=G 2(G c +G 1)/[1+(G c +G 1)G 2H]3.局部反馈校正俗称并联校正特点：常用输入信号功率不用放大G 1(s)G 2(s)G c (s)H(s)4.前馈校正G 1(s)G 2(s)G D (s)G d (s)H(s)G D (s)G d (s)G 1(s)G 2(s)H(s)可测扰动前馈设定值前馈扰动前馈一：扰动前馈二：设定值前馈具体采用何种方式，依情况而定，前馈一般不单独使用，总包含反馈。

G D (s)G 1(s)G 2(s)H(s)二.校正环节特性只要可实现，可以任意设计。

常见的：串联校正环节（超前、滞后、超前—滞后）；局部反馈（比例、比例—微分）；前馈（比例、比例—微分、惯性）；反馈校正不需要放大器，可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响串联校正串联校正装置有源参数可调整在性能指标要求较高的控制系统中，常常兼用串联校正和反馈校正三.校正环节的实现用物理装置:电,液,气,机,微机常用电气校正装置：无源网络和有源调节器。

见表6-1,表6-2.无源网络：只用电阻、电容就可以实现。

简单而特性有限。

有源调节器：用运放，特性更宽、更纯粹，如：比例—微分、纯粹超前，比无源网络的超前环节好。

若用微机更好，非线性也可校正。

四.校正环节的设计方法用根轨迹法的试探法用频率特性法的试探法以计算机为辅助工具。

第二节串联校正典型环节特性1.典型超前校正：传递函数：(α>1)频率特性:[1+(αΤω)2]/[1+(Τω)2]相频：Μ(ω)=√幅频：(α>1)TsTss G c ++=11)(α0)(>−=ωωαωφarctgT T arctg jT jT j G c ωωαω++=11)(一.超前校正环节特性：Bode 图为高通滤波器ωmφmωωL(ω)φ(ω)1/T1/(αT)20lg αTm αω1=10lg αnext1.典型滞后校正环节二.滞后校正环节特性[1+(Τω)2]/[1+(αΤω)]Μ(ω)=√幅频：(α>1)TsTssGcα++=11)()(<−=ωαωωφTarctgarctgTjTjTjGcωαωω++=11)(相频：传递函数：频率特性:(α>1)ωmφmωωL(ω)φ(ω)1/T 1/(αT)20lg αBode 图具有高频衰减作用1.典型滞后—超前校正环节：(β>1)传递函数：频率特性:略)1)(1()1)(1()(2121++++=s T s T s T s T s G cββ三. 滞后—超前校正环节特性奈氏图Bode 图1/(βT 2)1/T 21/T 1β/T 1ω1= √(T 1T 2)ImRe 1ωω=∞ω= ω190º-90º0ºL(ω)滞后起作用超前起作用G c (s )=ΚΡ(1+T d s+ )也是一种超前—滞后校正环节在传统控制理论中分析不多。

T i s1超前滞后四.PID控制器第四节用频率法设计串联校正当系统的性能指标用相位裕量和增益裕量等频域指标表示时，用频率特性法设计串联校正环节更方便。

设计要点：使开环频率特性成为低频段：高、斜，以保证稳态精度中频段：有一定宽度(以-20db/dec穿越0分贝线)，以保证合适的PM和GM高频段：斜，增益小，以使系统噪声影响小设计方法：一、典型超前校正环节的频率特性法设计二. 典型滞后校正环节的频率特性法设计三、典型滞后—超前校正环节的频率特性法设计一.典型超前校正环节的频率特性法设计目的：以超前校正补相角，中频段产生足够超前角 步骤：1.据稳态误差要求确定开环K2.绘Bode图3.测原系统PM和GM，求所需超前角ϕm4.计算α1+sin ϕm 1-sin ϕmα=Ts Ts s G c ++=11)(α5. 图解ωmωm ：校正后的增益穿越频率ωc ’定为超前校正环节相角最大的地方. 它在未校正系统的ωc 右侧, 距横轴−10lg α处的原L (ω)线上做垂线与横轴的交点。

6.求参数TT=1/[ωm √α]7.画校正后的Bode图，检验是否满足要求例：设G 0(s)=4K/[s(s+2)]求ΚV =20(1/s )PM >50°G Μ>10dB 的校正环节解:lim sG 0(s)= lim 4Ks/[s(s+2)]=2K=K v =20K=10, G 0(s)=40/[s(s+2)]±做原系统的Bode 图0-180s →0s →0ωc ω’c1738G 06.2db= 20log √αϕm =50°−17°+β=33°+β=33°+5°=38°β----考虑ωc 右移后相角的减少α=(1+sin ϕm )/(1-sin ϕm )=4.1作图解得ωm =9 rad/s作法：在0 db线下10lg α处作水平线，与20log|G 0 |的交点对应的ω值即为ωm 或ω’c测得PM=17°不满足要求GM=∞满足要求计算α0-180ωc ω’c1738G 0G 0 G c6.2db= 20log √αT = 1/[ωm √α]=1/[9√(4.17)]=0.0541+ αTs 1+TsGc(s)=1+0.225s 1+0.054s =穿越频率从6.3 rad/s 提高到9 rad/s PM 17°→50°见尼氏图6-20，Mr9dB →1.3dB 超调大大减小校核性能指标分析：超前校正的影响1.增加ωc 附近的正相角，故PM ↑2.减少ωc 附近的十倍频程3.增大频带宽度4.减少阶跃响应的超调量5.不影响系统的稳态误差2.比例—积分（PI ）环节特性：G c (s )=ΚΡ(1+)G c (j ω)=ΚΡ(1+)=ΚΡ(1-j)Μ(ω)=ΚΡ√1+()2φ(ω)=-arctg 当ω→0时，有最大的相位滞后角-90°Τi s1Τi j ω1Τi ω1Τi ω1Τi ω12.比例—微分（PD ）环节特性：（实现超前校正）ωωL(ω)φ(ω)1/T 90°20lgKp 比上一环节更超前Gc (s )=ΚΡ(1+Τds)Gc (j ω)=ΚΡ(1+Τdj ω)Μ(ω)=ΚΡ√1+(Τd ω)2φ(ω)=arctg Τd ω第三节用根轨迹法设计串联校正环节系统的动态性能取决于它的零极点分布。

用根轨迹法可直观表示原系统的闭环根轨迹和加入串联校正环节后的系统根轨迹，使校正的系统的根轨迹通过期望的主导极点，可得到期望的系统闭环性能。

这就是用根轨迹设计串联校正环节的概念。

奈氏图：φm(α-1)/2(α+1)/2αI m (ω)R e (ω)最大超前角和相应的角频率由d φ(ω)/d ω=0导出φm =sin -1[(α-1)/(α+1)]ωm =1/(T √α)设计步骤：1). 据给定性能指标标出期望主导极点2). 绘原系统的根轨迹3). 据改造根轨迹的差距确定校正环节结构4).确定校正环节的参数（零极点）5).绘校正后系统的根轨迹并校核主导极点是符合要求6).若不满意重新设计，返回步骤3)设计技术1).期望主导极点的确定：据标准二阶系统与性能指标的关系算出初步主导极点位置。

注意对非标准二阶系统的修正。

2).选择校正环节的类型：需使根轨迹左移选超前环节需使根轨迹右移选滞后环节稳态精度足够但动态性能不好，选超前环节稳态精度不足但动态性能好，选滞后环节单独超前校正或滞后校正不行，选超前—滞后3).如何确定零极点据幅值条件、相角条件及设计经验3.5/t s ζ=0.6,Mp=10%, θ=127º一.典型超前校正环节根轨迹法设计1). 超前角的计算设已确定期望闭环主导极点s 1,2当加入超前校正环节后使Gc (s )根轨迹通过s 1 点，则据相角条件有超前角计算公式：ϕ=∠G c (s 1)=±(2k +1)180°−∠G o (s 1)因为∠G c (s 1)+∠G o (s 1)=±(2k +1)180°k =0,1,2…当G c (s )==αZc=1⁄αT P c =1⁄T ∠G c (s 1)=∠(s +Ζc )–∠(s +Pc )1+αΤs 1+Τs2. 零极点Z c 、P c 的确定已知期望极点s 1=σ+j ωd 和超前角ϕ,则有计算公式Z c =ωn |G 0(s)|sin(ϕ+γ)/sin θ式中θ=π-γ-δδ=cos -1ζγ=ctg -1(csc ϕ/|G 0(s)|-ctg ϕ)P c =ωn sin(ϕ+γ)/sin(θ-ϕ)α= P c /Z cT=1/ P c 期望主导极点：r-ζωn ωn √(1-ζ2)δωn σ=-ωn cos δωd =ωn sin δs 1公式推导：开环传函：G(s)=G 0(s)G c (s)=G 0(s)α(s+Z c )/(s+P c )若s 1为闭环极点，据根轨迹的幅值条件有|G(s 1)|= α|G 0(s 1)||(s 1+Z c )|/|(s 1+P c )|=1据斜三角形边角关系: b/a=sinB/sinA 有r r οθ1θ2θϕγδωn -P c -Z cs 1S 平面A B a b c对∆Ζc Οs 1 sin γ/sin δ=Z c /|s 1+Z c |对∆P c Οs 1 sin(ϕ+γ)/sin δ=P c /|s 1+P c |两者相比sin(ϕ+γ)/sin γ=P c |s 1+Z c |/{Z c |s 1+P c |}=α|s 1+Z c |/|s 1+P c |=1/|G 0(s 1)|因为sin(ϕ+γ)=sin ϕcos γ+cos ϕsin γ所以sin(ϕ+γ)/sin γ= sin ϕcos γ/sin γ+cos ϕ= 1/|G 0(s 1)|ctg γ=csc ϕ/|G 0(s 1)|-ctg ϕγ=ctg -1[csc ϕ/|G 0(s 1)|-ctg ϕ]利用斜三角形边角关系：Z c = ωn sin γ/sin θ= ωn |G 0(s)|sin(ϕ+γ)/sin θθ=π-γ-δδ=cos -1 ζ由斜三角形∆P c Οs 1可导出sin(ϕ+γ)/sin(θ-ϕ)=P c /ωn 或写成P c = ωn sin(ϕ+γ)/sin(θ-ϕ)σ=-ωn cos δj ωd =j ωn sin δα= P c /Z c T=1/ P c例6-1：设G 0(s)=K/[s(s+5)(s+20)]求t s ≤0.7(s )Μp ≤25% Κv ≥12(1/s )时的超前校正参数α和T.解：先由无零点二阶标准系统的性能关系，算出期望极点.由M p =exp{-ζπ/√(1-ζ2)}=0.25可求得ζ=0.4 (0.4917)由[1/√(1-ζ2)]exp{-ζωn t s }=∆=0.02可求得t s ={ln(1/∆)+ln[1/ √(1-ζ2)]}/(ζωn )={4+ln[1/ √(1-ζ2)]}/(ζωn )求超前角：ϕ=-180°-G 0(s 1)=-180°-( s 1+ s 1+5+ s 1+20)=-180°+113.5°+94.2°+45°=72.7°因为ϕ<90°,选典型超前校正环节即可。