均值不等式的应用(习题-标准答案)
均值不等式的应用(上课用)
利用均值不等式求最值的解题技巧
【典例】(2010·四川高考) 设a＞b＞c＞0，则
1 1 2 2a 10ac 25c 的最小值是( ab a a b
2
)
(A)2
(B)4
(C)2
5
(D)5
【创新点拨】拆、拼、凑的典范： 本题求多个和式的最小值，故可选用均值不等式，为 了使积为定值，故需对原式进行配凑，关键点在于使 目标出现 的形式.
【变式训练】
设 0, ，求函数 y sin cos2 的最大值 ————. 2
3 3．⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 2x ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 2 x 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2
2
x 【例3】函数 f ( x ) 的最大值为 x x 1
( )
2 (A) 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(B)
1 2
2 (C) 2
(D)
1 3
【变式训练】 求函数 f ( x )
x 的最大值 . x x 8
2
利用均值不等式求最值2:和定积最大
【例4】设 0, ，求函数 y sin 2 cos 的最大值 . 2
4 【例1】已知a ＞ 2,求 a 2 +a 的取值范围.
【审题指导】利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、 二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.常用的方法为： 拆、凑、代换、平方.
8 【例2】求函数 y 2 x 2 ( x 0) 的最小值 . x
【变式训练】
8 求函数 y 2 x ( x 0) 的最小值 . x
1均值不等式的应用(求最值)
一正,二定, 一正,二定,三相等
(2)先变形再利用均值不等式求函数最值 先变形再利用均值不等式求函数最值: 先变形再利用均值不等式求函数最值 (3)取不到等号时用函数单调性求最值 取不到等号时用函数单调性求最值: 取不到等号时用函数单调性求最值
2 3.已知 已知x<0，求函数 f ( x ) = x + 的最大值 的最大值. 已知 ， x −2 2 1 1 + 4 已知 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u = 且 求 x y
的最小值． 运用均值不等式求最值 直接运用均值不等式求最值 1 2 例1 (1 ) 求 y = 8 x + x ≠ 0 )的 最 小 值 并 2 ( 2x 求 出 相 应 的 x值 。
一不正 常用a + b ≤ −2 ab(a < 0, b < 0) ,
二 定需 形 拆 凑 不 , 变 ： 拼 合
三 等常 单 性 不 , 用 调
(4)多次运用均值不等式求最值时必须保证等号成立的 多次运用均值不等式求最值时必须保证等号成立的 条件完全相同。 条件完全相同。
因此f(x)≤ 1 − 2 6 因此
当且仅当 号成立。 号成立。
3 2x = x
3 ，即 x = 2
2
时，式中等
由于x>0，所以 ， 由于
6 x= 2
，式中等号成立， 式中等号成立，
6 ，此时 x = 2
因此 f ( x)max = 1 − 2 6
。
3 ( x > 2) ， ２．已知函数 f ( x) = x + x−2 求函数的最小值． 求函数的最小值．
（完整版）均值不等式专题20道-带答案
（完整版）均值不等式专题20道-带答案均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．若则的最⼩值是__________．2．若,且则的最⼤值为______________.3．已知，且，则的最⼩值为______．4．已知正数满⾜，则的最⼩值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最⼩值是______．6．设正实数满⾜，则的最⼩值为________7．已知，且，则的最⼩值是________8．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值是______9．已知，函数的值域为，则的最⼩值为________．10．已知，，且，则的最⼩值为__________．11．若正数x，y满⾜，则的最⼩值是______．12．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值为______．13．若，，，则的最⼩值为______．14．若，则的最⼩值为________.15．已知a，b都是正数，满⾜，则的最⼩值为______．16．已知，且，则的最⼩值为______．17．已知点在圆上运动，则的最⼩值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最⼩值为____．19．已知正实数，满⾜，则的最⼤值为______.20．已知，，则的最⼩值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利⽤基本不等式求解的最⼩值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题考查基本不等式求解和的最⼩值问题，关键是能够利⽤对数相等得到的关系，从⽽构造出符合基本不等式的形式. 2．【解析】【分析】先平⽅，再消元，最后利⽤基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最⼤值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最⼤值为，综上的最⼤值为【点睛】本题考查利⽤基本不等式求最值，考查基本分析求解能⼒，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利⽤代数式的恒等变换和利⽤均值不等式的应⽤求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满⾜，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】由题意可得经过圆⼼，可得，再+利⽤基本不等式求得它的最⼩值．【详解】圆，即，表⽰以为圆⼼、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆⼼，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最⼩值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应⽤，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最⼩值为8.【点睛】在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最⼩值是【点睛】由已知分离，然后进⾏1的代换后利⽤基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满⾜，则当且仅当且即，时取得最⼩值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是进⾏分离后利⽤1的代换，在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利⽤基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成⽴，所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题主要考查⼆次函数的图象与性质，以及基本不等式的应⽤，属于中档题. 在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另⼀边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应⽤，否则会出现错误.10．【解析】【分析】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利⽤基本不等式求最值,将所求式运⽤“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题. 11．【解析】【分析】利⽤乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满⾜，则，，当且仅当时取等号，故的最⼩值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应⽤属基础题．12．2【解析】【分析】利⽤“1”的代换，求得最值，再对直接利⽤基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满⾜，，，当且仅当，即，时，取等号，的最⼩值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应⽤，熟记不等式应⽤条件，多次运⽤基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最⼩值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最⼩值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运⽤，注意运⽤“1”的代换，考查化简运算能⼒，属于基础题．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利⽤，可得到最⼩值，要注意等号取得的条件。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则时取“=”） *a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab 2?*a?ba2?b2ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。
平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。
x?5 x2?7x?10的值域。
例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。
xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.428B.C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是 abaa?b1234 11.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2*a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y4x?2?14x?5的最大值。
最新均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
高中数学《均值不等式及其应用》针对练习及答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C ． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1 BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．4 BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6CD针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ） A ．114ab+≤、 B≥ C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916a b +≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①① C ．①①① D ．①①①14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A ．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 215．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．2717．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2+20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（ ）针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A．B ．3+C ．2+ D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C D30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）． A ．13 B ．12 C ．25 D ．1632．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ） A ．12 B ．2 C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ） A ．12 B ．14CD35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥ B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】 【分析】均值不等式使用首要条件都为正数．排除BD ，A 选项可取等号． 【详解】A 选项，()()()222221110a b a b a b +---=-++≥，故A 不正确；B 、C 选项的不等式，只有0,0a b >>时才成立，所以不正确；D 选项, 作差法()22022a b a b ab -+⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，所以正确选项为D ． 【点睛】均值不等式的使用“一正二定三相等”，缺一不可． 2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>> 【答案】C 【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】因为0a b >>，所以2a ba +>b ，又根据基本不等式可得，2a b+>所以2a ba b +>>>. 故选：C.3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解. 【详解】A. 2224()2a b ab a b ab +-=--不一定大于等于零，所以该选项错误；B. 4a a +，当a 取负数时，显然40a a +<，所以44a a+≥错误，所以该选项错误；C. 22122a a ++≥+，当且仅当221a +=时成立，由于取得条件不成立，所以221222a a ++>+，如0a =时，22152422a a ++=<+，所以该选项错误；D. 224a a +≥，当且仅当a =.所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C 【解析】设图中直角三角形的边长分别为a ，b ，正方形面积，根据图象关系，可得222ab a b ≤+即可得答案. 【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a ，b ，则四个直角三角形的面积为1422a b ab ⨯⨯⨯=，正方形的面积为222a b =+， 由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积， 所以222ab a b ≤+，当且仅当a b =时等号成立，所以对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+【答案】A 【解析】本题可根据11112abab得出211a b≤+a b+≥2a b +≤，最后根据222a bab +≥2a b+≥，即可得出结果. 【详解】 因为111122a ba b ab，当且仅当a b =时取等号， 所以211ab≤+a b =时取等号，因为a b +≥a b =时取等号， 2a b+≤，当且仅当a b =时取等号， 因为222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号， 所以()22222222a b a b aba b +≥++=+，即22224a b ab 2a b +，当且仅当a b =时取等号，综上所述，2112a b a b+≤≤+a b =时取等号， 故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的相关性质，主要考查基本不等式通过转化得出的其他形式，考查运算能力，考查转化与化归思想，是简单题.针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．116【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得2x y +≥即1≤， 解得18xy ≤，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，取等号， 故选：C.7．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1B C ．3D ．5【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式求得mn 的最大值. 【详解】依题意m n +=所以252m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当m n =.故选：D8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．54【答案】D 【解析】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等，结合25a b +=即可得解. 【详解】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等， 又25a b +=，此时54b =. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，以及基本不等式的取等条件，属于基础题.9．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A．4 BC ．D 【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式来求得最小值. 【详解】 依题意21a b -=，2213239b a ba-⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭122a b =-=时取等号． 故选：C10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6 CD 【答案】B 【解析】 【分析】直接由基本不等式可得． 【详解】3236m n +≥⨯=，当且仅当33m n ==时取等号，所以3m n +的最小值为6，故选：B针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ）A ．114a b+≤ B +≥C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥【答案】B 【解析】 【分析】根据条件结合基本不等式进行求解. 【详解】由题意，()1124baa b a b a b⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故选项A 错误；2≥=12a b ==时，等号成立，故选项B 正确；2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则2212a b +≥，故选项C 错误；()222124a b ab a b ab a b +⎛⎫+=+≤= ⎪⎝⎭，故选项D 错误. 故选：B.12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4 B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 4【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可 【详解】解： 0x >，0y >，且2x y +=，对于A ，()221222242x y x y xy x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取等号，所以A 正确，对于B ，因为2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1x y ==时取等号，即xy 有最大值1，所以B 错误，对于C ，因为224x y +≥==，当且仅当1x y ==时取等号，即22x y +有最小值4，所以C 错误，对于D ，因为22()4x y x y =+++=，当且仅当1x y ==时取等号，即4，所以D 错误，故选：A13．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916ab+≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断解：对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以1a b =+≥12a b ==时取等号，得104ab <≤，所以①错误，对于①，由①可知，104ab <≤，所以()1ln ln 4ab ≤，即ln ln 2ln 2a b +≤-，所以ln ln 0a b +<，所以①正确，对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()19199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9a b b a =即13,44a b ==时取等号，所以①正确，对于①，因为222()21a b a ab b +=++=，所以2212a b ab +=-，由①可知，104ab <≤，所以1122ab -≥，所以2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，所以①正确，故答案为：D14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2【答案】C 【解析】由基本不等式得1ab ≤，根据各选项结合已知条件即可判断正误. 【详解】由0a >，0b >，2a b +=，得2()14a b ab +≤=当且仅当a b =时等号成立， 222()22a b a b ab +=+-≥，124a b b --=，111b a -=->-，即124a b->， 222log log log ()0a b ab +=≤，24a b =++0>2≤，故选：C15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤【答案】C【分析】ab 范围可直接由基本不等式得到，22a b +可先将a b +平方再利用基本不等式关系．【详解】解：由0a ，0b ，且4a b +=，∴242a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时取等号而2222216()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当2a b ==时取等号228a b ∴+．故选：C ． 【点睛】本题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方．针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．27【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】11443333129152427b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当49ab ab =，即19a =，b ＝6时，等号成立，故13b a+的最小值为27 故选：D17．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的代换求34x y +的最小值，注意等号成立条件. 【详解】11123134(34)((13)31)(13555y x x y x y x y x y +=+++≥++=5=，当且仅当2x y =时等号成立，①34x y +的最小值是5. 故选：C18．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．400【答案】D 【解析】 【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为1919362b aa b++，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由,0,191a b a b >+=，①1191191919()(19)362362400b a a b ab a b a b +=++=++≥+，当且仅当a b =时等号成立. ①119a b+的最小值为400. 故选：D19．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ） A．2 B ．3 C ．2D ．2+【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，3132122a b ab b a+=⇒+=，①313()2222222a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭b =且32a b ab +=时等号成立，①a b +的最小值为2+ 故选：D ．20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（ ） A．6 B ．9 C ．D ．18【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得(1)1a b +-=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：0a >，1b >，且2a b +=，10b ->∴且(1)1a b +-=，∴4141()[(1)]11a b a b a b +=++--- 4(1)4(55291b a b a b -=+++-， 当且仅当4(1)1b aa b -=-，即23a =43b =时取等号， 故411ab +-的最小值为9； 故选：B针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式2a b ab +．(0,0)a b >>和关系式的恒等变换的应用求出结果．【详解】解：用基本不等式要满足“一正二定三相等“．A ．选项中x 的正负不确定．同样的，C ，选项中3log x 和log 3x 取值不一定大于0．B ．当(0,)x π∈时，sin (0x ∈，1]sin 0x ⇒>，40sin x>， 4sin sin x x=时sin 2x ⇒=不符合，所以也不能用基本不等式，不满足三相等， D ．0x e >，40x e ->且4244x x x x e e e e --+=，当且仅当4x x e e -=即2x ln =时取等号． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：直接利用基本不等式的性质的应用和用基本不等式要满足“一正二定三相等“．的条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为2 【答案】A 【解析】 【分析】A.2≥，所以该选项正确； B. 函数的最小值不是1，所以该选项错误； C. 函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 【详解】解：A.2≥，当且仅当1x =时等号成立，所以该选项正确；B. 11111111x x x x +=++-≥=++，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是1，所以该选项错误；C. 1222x x +≥，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0,0lg x x <<，所以1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 故选：A23．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥ 【答案】D 【解析】当0a <时，10a a+<，选项,A B 不成立；当0a >时，10a a+>，选项C 不成立；11||||a a a a+=+，由基本不等式可得选项D 成立. 【详解】取1a =-时，12a a+=-，可判断选项A,B 不正确； 取1a =时，12a a+=，可判断选项C 不正确； 因为1,a a同号，11=||||2a a a a++≥， 当且仅当1a =±时，等号成立，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题. 24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．9【答案】D【解析】先将函数解析式化为9333y x x =-++-，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】 因为3x >，所以993333933y x x x x =+=-++≥==--， 当且仅当933x x -=-，即6x =时，等号成立. 故选：D. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 25．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求解，注意“一正二定三相等”的条件. 【详解】解：因为()0,4x ∈，所以44y x x=+≥=，当且仅当42x x ==时等号成立，所以函数有最小值4，由于定义域为开区间，故无最大值. 故选：B针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．2+D ．5 【答案】B【解析】【分析】 将函数化简变形为221(1)3(1)33()(1)3111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++---，然后利用基本不等式求解即可【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以221(1)3(1)33()(1)333111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++≥=---，当且仅当311x x -=-，即1x =+时取等号，所以函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为3+ 故选：B 27．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ） A．1+B ．2 C ．4 D ．6【答案】C【解析】【分析】 由20x ->，而()4222f x x x =-++-，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出a 的值.【详解】 由题意，20x ->，而()()()22222424422222x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---26≥=，当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立，所以4a =.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ） A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D【解析】【分析】 构造基本不等式()1()33f x x x =-+-即可得结果. 【详解】①72x ≥，①30x ->，①()()22316101()=32333x x x f x x x x x -+-+==-+≥---， 当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2. 故选：D.【点睛】 本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.29．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bc a b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．2D 【答案】A【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12=， 当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c+++的最大值为12． 故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x ===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =；根据椭圆定义知：12210MF MF a +==，21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF =时取等号）， 12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选：C.32．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】D【解析】【分析】 依据三点共线得到关于x y 、的等式，再依据均值定理去求1111x y +++的最小值 【详解】因为G 是①ABC 的重心，所以()()211(0,0)323AG AB AC xAM y AN x y =⨯+=+>> 由于M ､G ､N 共线，所以11133x y +=，即3x y += 所以()1111111111211511511y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭14255⎛+= ⎝≥（当且仅当1111y x x y ++=++即32x y ==时取等号） 故选：D33．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．43 【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得到3a b +=，再利用基本不等式可求出结果.【详解】 因为()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭233311(1)(1)(1)33ax x bx x x =-----， 3(1)x -的展开式的通项公式为313(1)k k k k T C x -+=⋅-，0,1,2,3k =,所以221333311(1)(1)233a Cb C C ⋅⋅--⋅⋅--=，即3a b +=， 因为0,0a b >>，所以1111()3a b a b a b ++=+⋅1(2)3b a a b =++14(22)33≥+=， 当且仅当32a b ==时，等号成立.故选：D 34．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ）A ．12B ．14 CD【答案】A【解析】【分析】依据重要不等式去求解cos cos αβ的最大值【详解】①tan tan 1αβ=，sin sin cos cos ,αβαβ∴=()22222sin cos sin cos 11cos cos sin cos sin cos cos cos .2242ααββαβααββαβ++∴=⋅⋅=⇒≤（当且仅当tan tan 1αβ==时等号成立），故选：A.35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+ 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式可得321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，再利用基本不等式判断A ，利用特殊值判断B ，根据完全平方数的非负性判断C ，根据下标和性质判断D ；【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，所以321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，所以237221a q q a =≥++，当且仅当221q q =，即1q =±时取等号，故A 正确； 所以461a a q q +=+，当0q <时460a a +<，故B 错误；()2276212110a a q q q -+=-+=-≥，故C 正确； 19191921919511a a a a a a a a a a a +++===+⋅，故D 正确； 故选：B。
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 222. 若a,b?R，则时取“=”）*a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?*a?ba2?b2?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。
平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。
x?5 x2?7x?10的值域。
例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。
xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34ab11?的最小值为ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是abaa?b123411.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y 的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??）?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2；x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时，y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
完整版)均值不等式测试题(含详解)
完整版)均值不等式测试题(含详解)解析：将不等式化简为x2-x+1/4+1/4≥1，即(x-1/2)2≥3/4，当x≤1/2-√3/2或x≥1/2+√3/2时，不等式成立，选项B符合条件。
3．C解析：2x+8y=2(x+4y)，由于x+3y-1=0，所以2x+8y=2(x+4y)=(x+3y-1)+5y+1≥2√15，故最小值为2√15，选项C符合条件。
4．B解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有|(mx+ny)|≤√(m2+n2)(x2+y2)，代入已知条件得到|(mx+ny)|≤√3，故mx+ny的最大值为3，选项B符合条件。
5．B解析：将选项B化简为(a-b)2(a2+b2+ab)≥0，显然成立，其他选项均不成立。
6．A解析：将选项A化简为(x+1/x+2)2≥4，即(x2+1+2x/x)2≥4，由于x>0，故(x2+1+2x/x)2≥(2(x2+1))/x≥4，故选项A成立。
7．A解析：将2a+b+c表示为a+(a+b+c)，代入已知条件得到a(a+b+c)+bc=4-2(a+b+c)，化简得到(a+b+c-2)2=4-23，故a+b+c的最小值为3-1，选项A符合条件。
填空题：8．最大值为2，当x=1时取得。
9．最小值为2，当x=2时取得。
10．最小值为2，当x=1时取得。
11．最大值为4，当x=2时取得。
解答题：12．由于点A在直线mx+ny+1=0上，所以loga(3)-1=-(mx+ny)/a，化简得到mx+ny=-a(loga(3)-1)，代入mn>0得到a>1/3，且mn=a2>0，故m=n=a/√2，所以m+n=√2a，最小值为2√2.13．设购买次数为n，则每次购买x=400/n吨，总运费为4n万元，总存储费用为4x=1600/n万元，总花费为4n+1600/n，根据均值不等式，有4n+1600/n≥2√(4n×1600/n)=80，即n≥4，故购买次数至少为4，每次购买100吨。
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 222. 若a,b?R，则时取“=”）*a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?*a?ba2?b2?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。
平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。
x?5 x2?7x?10的值域。
例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。
xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34ab11?的最小值为ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是abaa?b123411.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y 的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??）?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2；x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时，y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
均值不等式 含答案(训练习题)
课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94.4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”． 2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12， 又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14， ∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2. 7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2， 当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． 故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4] ＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元． 【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。
均值不等式及其应用(针对练习)(原卷版)
第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析1． ,a b R ∈，下列不等式始终成立的是A ．()2221a b a b +>--B ．22a b ab +≥C ．2a b+≥D ．22a b ab+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a b a b +>>>C ．2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（）A ．224a b ab+≥B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）A．2112a b a b+≤≤≤+B．2112a ba b+≤≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤≤+针对练习二均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（）A ．1BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值.A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．4BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（）A ．3B ．6CD针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（）A ．114ab+≤、B+≥C ．221a b +≥D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（）A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 有最小值413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论①14ab >；②ln ln 0a b +<；③1916a b +≥；④2212a b +≥.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（）A ．222a b +≥B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2+≤15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（）A ．3ab ≤B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（）A ．13B ．19C ．21D ．2717．若正数,x y 满足315xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119ab+的最小值为（）A ．100B ．300C ．800D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．220．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（）针对练习五对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（）A ．4y x x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．34log log 3x y x =+D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（）A的最小值为2B ．11x x ++的最小值为1C ．122x x+的最小值为2D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是A ．12a a+>B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（）A ．有最大值5，无最小值B ．无最大值，有最小值4C ．有最大值5和最小值4D ．无最大值和最小值针对练习六分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1针对练习七均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．1632．如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则1111x y +++的最小值为（）A ．12B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．2C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A ．12B ．14C．2D．435．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（）A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+。
均值不等式的应用(习题+标准答案)
均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式应用题
均值不等式应用题在数学中，均值不等式是一种常用的数学工具，常用于证明数学不等式或者解决数学问题。
均值不等式有很多种形式，其中最常见的包括算术平均数和几何平均数的关系、柯西-施瓦茨不等式、夹逼准则等。
本文将通过几个具体的应用题目，来展示均值不等式在解决实际数学问题中的重要性和有效性。
应用题一：设实数a、b、c均大于1，且满足abc=1，求证：a+b+c≥3。
解析：由已知条件abc=1，可得a=1/bc。
则要证明a+b+c≥3，即证明1/bc+b+c≥3。
根据均值不等式，对1/bc，b，c进行取平均数得到：(1/bc+b+c)/3 ≥ (1/bc * b * c)^(1/3) = 1即1/bc+b+c≥3，得证。
应用题二：已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，求证：a^2+ b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac。
解析：要证明a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac，即证明(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0。
根据均值不等式，对(a-b)^2，(b-c)^2，(c-a)^2进行取平均数得到：((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)/3 ≥ ((a-b)(b-c)(c-a))^(2/3)化简得(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0，得证。
应用题三：已知实数x、y、z均为正数，且满足x^2 + y^2 + z^2 = 1，求证：xy + yz + zx ≤ 1/3。
解析：要证明xy + yz + zx ≤ 1/3，即证明3(xy + yz + zx) ≤ 1。
根据均值不等式，对xy，yz，zx进行取算术平均数得到：(xy + yz + zx)/3 ≤ ((x^2 + y^2 + z^2)/3)^(1/2) = (1/3)^(1/2)即xy + yz + zx ≤ 1/3，得证。
通过以上三个具体的应用题目，我们可以看到均值不等式在解决实际数学问题中的广泛应用和重要性。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，2?3?1 ??3?1?5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
均值不等式方法及例题
均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。
解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
∵∴当且仅当，即时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离 例3. 求的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。
∴的值域为。
评注：分式函数求最值，通常化成g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换 例4. 已知，求的最小值。
解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。
解法2：将分子中的1用代换。
评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元 例5. 求函数的最大值。
解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时， 当且仅当，即时取等号故。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方例6. 求函数的最大值。
解析：注意到的和为定值。
又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
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、均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） }若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x'解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， [5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
(评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
"当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t=时,459y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
例：求函数224y x =+的值域。
24(2)x t t +=≥，则224y x =+2214(2)4x t t t x =+=+≥+￥因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是 .，分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： b a 33和都是正数，ba 33+≥632332==⋅+b a b a当ba33=时等号成立，由2=+b a 及ba33=得1==b a 即当1==b a 时，ba33+的最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
错解．．：0,0x y >>，且191xy +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在19xy+≥条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
} 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22。
同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12 ， x 1＋y 2＝x2·1＋y 22＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y22分别看成两个因式： >x ·12 ＋y22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab `令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2＝ 2 3x ＋2y ＝2 5}解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5 变式: 求函数15()22y x <<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。
故max y =。
~评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。