1.3 线段的垂直平分线(原卷版)
1.3线段的垂直平分线(2)
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且
这一点到三角形三个顶点的距离相等．
点拨：要证明三条直线相交于一
怎样证明这个 结论呢? 点，只要证明其中两条直线的交
点在第三条直线上即可
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三 角形三个顶点的距离相等． 已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P, 求证：点P也在AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC
这样的等腰三角形只有两个，并且它 们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 所以满足这一条件的三角形是唯一确 定的。 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
例3.已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作 这个等腰三角形
a
点和直线的位置关系有几种？
①点在直线上 ②点在直线外 Nhomakorabea过一点作已知直线的垂线：
①过直线上一点作已知直线的垂线 ②过直线外一点作已知直线的垂线
1.3 线段的垂直平分线 (2)
回顾
思考
C
1.线段的垂直平分线的性质定理和
判断定理。
2.线段的垂直平分线的作法。
A D
B
1.如图，在△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°，AB的 垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E， 求证：AE=2CE．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的 垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发 现同样的结论?与同伴交流．
①经过已知直线上的一点作已知直线的垂线 已知:直线AB和AB上一点C 求作:AB的垂线,使它经过点C.
A
C
B
②经过已知直线l外一点作已知直线的垂线 已知:直线l和l外一点C 求作:l的垂线,使它经过点C.
C
l
P26 习题1.8 第2题
1.3线段的垂直平分线
回顾 思考 线段的垂直平分线
我们曾经利用折纸的方法得到:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
你能证明这一结论吗?
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB.
P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
M P
分析:要证明PA=PB,
1.3线段的垂直平分线
第１课时
驶向胜利 的彼岸
• 1. 掌握线段垂直平分线的性质定理和判 定定理的证明方法．
• 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线．
• 3、会用线段垂直平分线的性质定理和 判定定理进行计算或证明。
1.什么是线段垂直平分线？
垂直 并且 平分 一条线段的直线称为这条 线段的垂直平分线，简称 中垂线 .
这条线段的垂直平分线上.
P
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条
线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上).
A
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?
你能根据上述定
M
理和逆定理，说出
线段的垂直平分线
A
AE
B D
E BD C
2.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且 BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
巩固练习 ２
挑战自我
3.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如
果AC=5cm,BC=4cm,则△BDC的周长为
_９__cm__。
C
P
Байду номын сангаас
M
1.3 线段的垂直平分线(2)三角形的垂心
B
复习回顾
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. 距离相等 M 如图, 如图 ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN ⊥ 是 上任意一点(已知 已知), 上任意一点 已知 ∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点距离 相等). 相等
P
C N
B
老师提示: 老师提示 这个结论是经常用来证明两条线
引入新知
命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点 命题 三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点
基本想法是这样的:我们知道 两条直线相交只有一个交点 基本想法是这样的 我们知道,两条直线相交只有一个交点 要 我们知道 两条直线相交只有一个交点.要 想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第 想证明三条直线相交于一点 只要能证明两条直线的交点在第 三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 三条直线上即可 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 如图,在 如图 在△ABC中,设AB,BC的垂直平 中设 的垂直平 A 分线相交于点P,连接 连接AP,BP,CP. 分线相交于点 连接 在线段AB的垂直平分线上 ∵点P在线段 的垂直平分线上 在线段 的垂直平分线上, 的中点,). ∴PA=PB (或AB的中点 或 的中点 P 同理,PB=PC. 同理 B ∴PA=PC. ∴点P在线段 的垂直平分线上, 在线段AB的垂直平分线上 在线段 的垂直平分线上 的垂直平分线相交于一点. ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点 的垂直平分线相交于一点 想一想:若作出 若作出∠ 的角平分线 结论是否也可以得征? 的角平分线,结论是否也可以得征 想一想 若作出∠P的角平分线 结论是否也可以得征
1.3 线段的垂直平分线(含答案)-
1.3 线段的垂直平分线练习【同步达纲练习】一、判断(4分×6=24分)( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形.( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.( )4.四边形ABCD 中共有一点P ，使PA=PB=PC=PD ，则∠A+∠C=180°.( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.二、选择题(5分×6=30分)1.到三角形三个顶点距离相等的是( )A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点2.线段AB 外有两点C ，D(在AB 同侧)使CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( )A.90°B.100°C.110°D.120°3.BD 为CE 的中垂线，A 在CB 延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( )A.17°B.34°C.68°D.136°4.O 为△ABC 三边中垂线的交点，则O 称为△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )A ．钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形6. 如图,△ABC 中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC 的中垂线交AC 于E.交AB 于D ，则图中60°的角共有( )A ．6个 B.5个 C.4个 D3个三、填空(5分×6=30分)1.△ABC 中，AB=AC ，P 为形内一点，PB=PC ，则P 在 的中垂线上，P 还在∠ 的平分线上.2.△ABC 中，AB=AC=14，腰AB 的中垂线交AC 于D ，△BCD 周长为4cm,则BC= .3.△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°,AB 中垂线交BC 于E ，则BCBE = . 4.正△ABC 内一点O 到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= .5.△ ABC 的边AC 、BC 的中垂线交于AB 上一点O ，且OC=BC ，则∠A= .6.若PA=PB ，DA=DB ，则PD 是AB 的 .四、解答(8分×2=16分)1.△ABC 中，∠C=90°,AB 的中垂线交AB 于D ，AC 于E.且∠EBC=40°,求∠A 及∠BED2.已知O 为等边三角形三边中线交点，求证BO 与CO 的中垂线必三等分BC.【素质优化训练】1.AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AC,交AB 于E.过E 作AD 的垂线交BC 延长线于F(图3.14-8),求证21（∠BAC+∠AFC ）=90°-∠B.图3.14-82.如图，△ABC 中，AB=AC ，AE ∥BC,D 为直线AE 上任一点.求证DB+DC ＞2AB.【同步达纲练习】一、× × × √ × √二、D B C A C B三、1.BC,BAC 2.10 3.1∶3 4.120° 5.30° 6.中垂线四、1. ∠C=180°, ∠EBC=40°∴∠BEC=50°又AE=BE∴∠A=25° ∠DEB=65°2.提示：设CB 中垂线交BC 于D ，OC 中垂线交BC 于E ，连OD ，OE. ∴OD=BD OE=EC. 再证∠BOC=120° ∠BOD=COE=30°∴∠DOE=60° ∠ODE=60°∴OD=OE=DE 得BD=DE=EC.【素质优化训练】1. AD 为角平分线，DE ∥AC∴∠EAD=∠EDA EF 为中垂线∴∠ADF=∠ADF=∠B+∠BAD∴∠CAF=∠B ∠BAC+∠CAF+∠AFC+∠B=180° ∴21(∠BAC+∠AFC)=90°-∠B.2.延长BA 至F ，使BA=AF ，连FD ，AD ∥BC,AB=AC ∠FAD=∠ABC=∠ACB=∠DAC.AF=AC △FAD ≌△CAD FD=DC ，FD+DB ＞FB∴DB+DC ＞2AB.。
1.3 线段的垂直平分线(1)-
理由是什么？ PA=PC
3.已知∠BAC=120 °, ∠C=30 ° ,DE是线段AC的垂 直平分线,求∠1多少度?
A
1
E
B
D
C
4.等腰△ABC中,ED是AB的垂
直平分线. AB = AC = 18cm,
BC = 10cm .
A
求: △BCD
的周长.
E
D
B
C
线段的垂直平分线(中垂线)的概念
线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等(中垂线的性质)
垂直平分线:垂直并且平分
一条线段的直线称为这条线段 的垂直平分线,或中垂线.
MA ? MB
Ｃ M
A
NA ? NB
Ｏ
N Ｄ
经过再 次对折 同学们 手中的 白纸可 以得到
B…
MA = MB
Ｃ M
A
NA = NB
Ｏ
N Ｄ
B
画板 中垂演线示上
其它点呢？
线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的 距离相等.
课前思考
线
段
复习提问
的
回忆 提问
垂
动动手
直
平
新课讲授
定义
分
画板演示
线
练习与小结
重点性质
三鑫学校为了方便学
生的生活，计划在三栋宿
A
舍A、B、C之间修建一个
购物中心,试问,该购物中
心应建于何处,才能使得
它到三栋宿舍的距离相等。
B
C
什么样的图形叫做轴对称图形?
线段是轴对称图形吗?
A
B
线段是轴对称图形吗? 如果是, 它的对称轴是哪一条直线呢?
和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上
1.3线段的垂直平分线(2)
A
P C
议一议
挑战自我
已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三
角形吗? 如果能,能作出几个所作出的三角形都全等吗?
已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作
出等腰三角形吗?能作几个?
驶向胜利 的彼岸
做一做P29 2
1.已知一个等腰三角形底边及底边上的高,求作这 个等腰三角形. 已知:如图线段 a, h. a
第一章
三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（2）
三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
已知：如图在△ABC中，边AB垂直平分 线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证:边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PC. 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB (或AB的中点,). B 同理,PB=PC. ∴PA=PB=PC. ∴点P在线段AB的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.
2.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨 论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的 垂线？
图 24.4.10
作法：
图 24.4.10 (1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直 线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线另一侧 画弧． (3)以点B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画 弧，交前一条弧于点D． (4)经过点C、D作直线CD．
h
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h..
驶向胜利 的彼岸
1.如图，点C在直线l上，试过点C画 出直线l的垂线．
能否利用画线段垂直平分线的方法解 图 24.4.8 决呢？试试看，完成整个作图．
1.如图，点C在直线l上，试过点C画 出直线l的垂线．
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的长为半径 24.4.8 画弧，交直线l于点图 A、 B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线一侧画弧; (3)以点D为圆心，以同样的长为半径在直线的 同一侧画弧，两弧交于点D； (4)经过点C、D作直线CD． 直线CD即为所求．
八年级数学下册试题一课一练1.3《线段的垂直平分线》-北师大版(含答案)
1.3《线段的垂直平分线》一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，∠C ＝70°，分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠DAC 的度数为( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°2．如图，△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为( )A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°3．如图，已知△ABC (AC ＜BC )，用尺规在BC 边上确定一点P ，使得PA +PC =BC ，则下列四种不同的作图方法中，正确．．的是( ) A ．B ．C ．D ．4．如图，长方形ABCD 中∠DAC ＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于1212( )A ．34°B ．44°C ．56°D ．68°5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，交于点D ，连接，若的周长为，，则的周长为( )A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，AB ＞BC ，分别以顶点A 、B 为圆心，大于AB 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M 、N ，作直线MN 交边CB 于点D ．若AD ＝5，CD ＝3，则BC 长是( )A ．7B ．8C ．12D ．137.如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，垂足为E ，交BC 边于D 点，若AC ＝5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，则BC 的长为( )ABC ∆A B 12AB M N MN BC AD ADC ∆107AB =ABC∆714172012A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm8.如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于( )A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm9.如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在( )A．△ABC三边的中线的交点上B．△ABC三内角平分线的交点上C．△ABC三内高线的交点上D．△ABC三边垂直平分线的交点上，我们知道按如图所作10.如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF GH的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )．A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线11.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧MN的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②CD是△ADC的高；③点D在AB的垂直平分线上；④∠ADC=61°．其中正确的有( ).A．1个B．2个C．3个D．4个12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD ⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有( )A．4个B．3个C．2个D．1个13.已知锐角∠AOB如图，(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；(2)以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；(3)连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )A ．∠BOG ＝∠AOBB ．若CG ＝OC ，则∠AOB ＝30° C ．OF 垂直平分CGD ．CG ＝2FG14.如图，△ABC 中，AC ＝BC ，直线l 经过点C ，则( )A ．l 垂直ABB ．l 平分ABC ．l 垂直平分ABD ．不能确定二、填空题 1.如图，分别以线段的端点和为圆心大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至， 的度数为__________．2.如图，在中，分别以点A 和点C 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ；作直线MN 分别交BC 、AC 于点D 、点E ，若，的周长为13cm ，则的周长为________.AB A B 12AB l l C 25CAB ∠=︒AC M BCM∠ABC ∆12AC 3AE m =ABD ∆ABC ∆3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S：S△ABC＝_____．△AED4．如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.5．如图，△ABC 中，∠BAC＝108°，E，G 分别为AB，AC 中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．三、解答题1.已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．(1)尺规作图：在AB边上找一点D使得DB＝DC(要求：不写作法，保留作图痕迹)；(2)求∠ADC．2.如图，在的边上求作点，做得与的面积相等．(保留作图痕迹，不写作法)3.如图，已知△ABC ，点 P 为 BC 上一点．(1)尺规作图：作直线 EF ，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC 于 E ，交直线 AB 于 F ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)连接 PE ，AP ，AP 交 EF 于点 O ，若 AP 平分∠BAC ，请在(1)的基础上说明 PE =AF ．4.如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，用圆规分别以A 、C 为圆心，大于AC 的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M 、N ，作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ． ABC BC D ABD △ACD△(1)根据作法判断直线DE为线段AC的线；(2)连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．5.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．(1)求BC的长；(2)分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．6．如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.(1)求∠BAD的度数；(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．8.已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
北师大版数学八年级下册：1.3 线段的垂直平分线 同步练习(附答案)
3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为（）A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（）A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB第6题图第7题图7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是（）A．P是AC的垂直平分线与AB的交点B．P是BC的垂直平分线与AB的交点C．P是∠ACB的平分线与AB的交点D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为．10．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6 cm，且△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为（）A．13 cm B．19 cmC．10 cm D．16 cm第11题图第12题图12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．第13题图第14题图14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在（）A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是（）A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD．过点P作直线AB的垂线6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝ ；(2)AE EC ；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于 ．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点（ ） A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连接CD. 下列说法不一定正确的是（ ）A ．∠BDN ＝∠CDNB ．∠ADC ＝2∠B C ．∠ACD ＝∠DCB D ．2∠B ＋∠ACD ＝90°A 村 ·B 村 ·C 村 ·11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则（）A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．参考答案：第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为(B)A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为30°．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB ＋∠B ＝90°. 又∵∠AED ＋∠EAB ＝90°， ∴∠CAB ＝∠AED.6．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有(A) A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB第6题图 第7题图7．如图，已知△ABC ，AB ＞AC ＞BC ，边AB 上存在一点P ，使得PA ＋PC ＝AB.下列描述正确的是(B)A ．P 是AC 的垂直平分线与AB 的交点 B ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点 C ．P 是∠ACB 的平分线与AB 的交点D ．P 是以点B 为圆心，AC 长为半径的弧与边AB 的交点8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：点D 在AB 的垂直平分线上．证明：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠ABD. ∴DA ＝DB.∴点D 在AB 的垂直平分线上．9．在△ABC 中，AB ＝AC ，边AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C 的度数为20°或70°．10．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA ＝EB ；②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；③若EA ＝EB ，则直线EP 是线段AB 的垂直平分线；④若PA ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC ＝6 cm ，且△ABD 的周长为13 cm ，则△ABC 的周长为(B)A ．13 cmB ．19 cmC ．10 cmD ．16 cm第11题图 第12题图12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，将AB 边沿AD 折叠，发现B 点的对应点E 正好在AC 的垂直平分线上，则∠C ＝30°．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为76．第13题图 第14题图14．(2020·南京)如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝78°．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，E 是BD 的垂直平分线与AB 的交点，DE 交AC 于点F.求证：点E 在AF 的垂直平分线上．证明：∵E 是BD 的垂直平分线上的一点， ∴EB ＝ED. ∴∠B ＝∠D.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD垂直平分BC.(2)选择A，证明：由(1)，得AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.∴∠BAF＝∠ADE.∴DE＝AE.选择B，线段DE，AC，BE之间的等量关系为DE＝BE＋AC.证明：由(1)，得AF⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.∴∠BAF＝∠EDA.∴AE＝DE.∵AE＝EB＋AB，AB＝AC，∴DE＝BE＋AC.第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是(D) A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在(A)A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是(D)A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD ．过点P 作直线AB 的垂线6．如图，点E ，F ，G ，Q ，H 在一条直线上，且EF ＝GH ，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG 的垂直平分线．下列说法正确的是(A)A ．l 是线段EH 的垂直平分线B ．l 是线段EQ 的垂直平分线C ．l 是线段FH 的垂直平分线D ．EH 是l 的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝90°；(2)AE ＝EC ；(填“＝”“＞”或“＜”) (3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于7．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．解：已知：A ，B ，C 三点不在同一直线上． 求作：作一点P ，使PA ＝PB ＝PC. 如图所示，点P 即为所求的点．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点(D) A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.下列说法不一定正确的是(C)A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．解：作法：(1)作线段AD＝a；(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，CN＝BN.∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)＝180°－(2∠A＋2∠B)＝180°－2(180°－∠ACB)＝60°.(2)∵AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周长为15 cm，∴AB＝15 cm.(3)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝70°.又∵∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝40°.【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.∴∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°.(2)∵△APQ周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12，即BC＋2PQ＝12.∵BC＝8，∴PQ＝2.。
1.3 线段的垂直平分线课件(第1课时)
探究新知
结论 线段垂直平分线的判定定理
文字语言：
P
到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
∟
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
作用1：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
作用2：判断一条直线是否是线段的垂直平分线.
探究新知
素养考点 2 线段垂直平分线的判定定理
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC和△APQ全等．
（3）不能．由（1）（2）知，只有直角三角形的两个锐角满足30°、60°，才能 通过折叠将一个直角三角形分成三个全等的小三角形．
巩固练习 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线.
O
B D
E CA
巩固练习
已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
例 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一
点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定 一条直线）.
A
1.3、线段的垂直平分线(一)
3．趁热打铁，让学生明确要能自己用直尺和圆规画出优美的图形，或者在实际中应用画图解决问题，必须从最基本的开始，先学习如何用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线，让学生在充满好奇心的状态下进入作图的内容。
二、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
1．引导学生回忆第二节课学过的关于互逆命题和互逆定理的知识，让学生说出自己收集的数学上的互逆命题和互逆定理。
2．把学生的答案分成两类：一类是“如果…那么…”形式的，一类是非“如果…那么…”形式的。对于简单的情形，不予以过多阐释，对于非“如果…那么…”形式的命题，要求给出这组互逆命题的学生跟同学们讲清楚他是怎么想的。
6．提升学生的几何认识：由证明过程可以看出，两组对应线段分别相等，那么这个事实的几何意义是什么呢?
7．让学生总结出线段垂直平分线的性质定理，进而告诉学生：命题中说线段垂直平分线上的任一点到线段两个端点的距离都相等，但是在证明过程中，我们只是随机地选了几种情况来证明，这并不影响命题的正确性，因为我们所选的点是任意的。借此向学生渗透等价类的性质与选取的代表无关的思想。
3．体会把较难或没有解决的问题转化归结为简单的或已经解决的问题的数学思维方法。
4．认真听讲，积极思考，体会转化归结的数学思想方法，知道用此方法可以找非“如果…那么…”形式命题的逆命题，并对操作步骤有所了解。同时，也对线段垂直平分线定理的逆定理认识更清楚了。
5．因为有原命题的铺垫，比较顺利地完成老师的要求。
3．按照要求写出已知求证，明确题意，积极思考命题的证法，与同学讨论交流思路，在交流中既学到别的同学的证法，又对自己的证法进一步完善和改进。
1.3 线段的垂直平分线(1)(含答案)-
1.3 线段的垂直平分线（一）◆基础训练一、选择题1．三角形中，一条边的垂直平分线恰好经过三角形的另一个顶点，那么这个三角形一定是（）．A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形2．已知直线a是线段AB的垂直平分线，C，D是直线a上的两点，则∠CAD与∠CBD•的关系是（）．A．∠CAD>∠CBD B．∠CAD<∠CBD C．∠CAD与∠CBD互补 D．∠CAD=∠CBD 3．如图，Rt△ABC的斜边AB的中点为E，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=•1：•7，•则∠BAC=（）． A．70° B．60° C．48° D．45°二、填空题4．在△ABC中，AB的中垂线与AC所在直线相交所成的锐角为50°，则∠B的大小为_______．5．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，•如果BC=16cm，那么△AEG的周长为_______，∠EAG=_______．三、解答题6．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC•的延长线于点E，连接AE、DF，求证：（1）DF∥AC；（2）∠B=∠EAC．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC于E，使CE=CD．求证：点D在线段BE的垂直平分线上．◆能力提高一、填空题8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，MN垂直平分AB，则∠NBC=•______，•∠BNC=______．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB•于E，DB=10，则CD=________．二、解答题10．如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，∠B=22.5°，AB的中垂线DN交BC于D，DF•⊥AC 于F，交AE于M．求证：EM=EC．◆拓展训练11．如图，在△ABC中，BD，CF分别是高，M为BC的中点，N为DF的中点.求证：•MN⊥DF．答案1．B 2．D 3．C 4．70°或20° 5．16cm 20°6．（1）证∠FDA=∠DAC即可．（2）∠B=∠ADE-∠BAD=∠DAE-∠DAC=∠EAC．7．可证∠DBE=∠E=30°，得DB=DE．8．15° 100° 9．10．连接AD得∠ADE=45°，则AE=DE，再证△AEC≌△DEM．11．连接DM，FM，∵在Rt△CFB中M为BC中点，∴FM=12BC．同理DM=12BC．∴FM=DM，∴MN⊥DF．。
1.3 线段的垂直平分线 (1)
37．（2020 秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC，AM ⊥BC 于点 M 交 BE 于点 G，AD 平分∠MAC，交 BC 于点 D，交 BE 于点 F．求证：线段 BF 垂直平分线段 AD．
38．（2020 秋•虎林市期末）如图，△ABC 中，∠BAC＝80°，若 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC． （1）求∠PAQ 的度数． （2）若△APQ 周长为 12，BC 长为 8，求 PQ 的长．
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与 BC 的交点，连接 AD．若 CD＝2，BD＝4，则 AC 的长为（ ）
A．4
B．3
C．2 3
D． 3
21．（2020 秋•滦州市期末）如图，在△ABC 中，∠ACD＝20°，∠B＝45°，BC 的垂直平
分线分别交 AB、BC 于点 D、E，则∠A 的度数是（ ）
A．60°
41．（2019 秋•晋江市期末）如图，在△ABC 中，点 E 是 BC 边上的一点，连接 AE，BD 垂
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直平分 AE，垂足为 F，交 AC 于点 D，连接 DE （1）若△ABC 的周长为 18，△DEC 的周长为 6，求 AB 的长； （2）若∠ABC＝29°，∠C＝47°，求∠CDE 度数．
AC 于 D，交 BC 于 E，D 为垂足，CE＝10 cm，则 AB＝（ ）
A．4 cm
B．5
C．6 cm
D．不能确定
3．（2020 秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC 中，AB 边的中垂线 DE，分别与 AB、AC 边交
于点 D、E 两点，BC 边的中垂线 FG，分别与 BC、AC 边交于点 F、G 两点，连接 BE、
(试题1)1.3线段的垂直平分线
1.3线段的垂直平分线练习一、精心选一选，慧眼识金！1．已知MN是线段AB的垂直平分线．C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的关系是（）A．∠CAD＞∠CBD B．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＜∠CBD D．不能确定2．到平面上三点A，B，C距离相等的点（）A．只有一个B．有二个C．三个或三个以上D．一个或没有3．已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是（）A．24cm和12cm B．16cm和22cmC．20cm和16cm D．22cm和16cm4．如图1，△ABC中，∠A=124°，BC边上的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，BD分∠ABC为两部分．若∠ABD∶∠DBC=3∶2，则∠C=（）A．24°B．16°C．30°D．8°5．如图2所示，已知在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB+DB与DE之间的关系是（）A．AB+DB＞DE B．AB+DB＜DEC．AB+DB=DE D．非上述答案二、耐心填一填，一锤定音！6．已知线段AB和点C，D，且CA=CB，DA=DB，则直线CD是线段AB的．7．如图3，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC=．8．△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于点E，若△BEC的周长是30cm，且AB=2BC，则腰长为．9．在锐角三角形ABC中，∠A=60°，AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，则∠BOC=．10．如图4，△ABC中，∠ABC=135°，MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，那么△NBF 是三角形．三、用心做一做，马到成功！11．如图5所示，已知DE 为△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于点E ，且AC =5，BC =8，求由点A ，E ，C 组成的三角形的周长．12．如图6，△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，AB 的垂直平分线交AD 于点O ，交AB 于点E ．求证：点O 在AC 的垂直平分线上．13．如图7，△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，求证：AD =12DC ．参考答案：一、1．B 2．D 3．D 4．B 5．C二、6．垂直平分线 7．15 8．20cm9．120° 10．直角 三、11．13．12．连接OB ，OC 再证OB =OC =OA ．13．证明略．。
第一章 1.3 线段的垂直平分线(1)
解：连接 AE，BE，过 E 作 EG⊥BC，交 BC 的延长 线于 G. ∵D 是 AB 的中点，DE⊥AB， ∴DE 垂直平分 AB， ∴AE＝BE.
∵∠ACE＋∠BCE＝180°， ∠ECG＋∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠ECG. 又∵EF⊥AC，EG⊥BC， ∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC， ∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG.
在 Rt△AEF 和 Rt△BEG 中， AEEF＝ ＝BEEG， ∴Rt△AEF≌Rt△BEG(HL)， ∴AF＝BG.
设 CF＝CG＝x，则 AF＝AC－CF＝12－x， BG＝BC＋CG＝8＋x， ∴12－x＝8＋x， 解得 x＝2， ∴AF＝12－2＝10.
∵AC＝CB， ∴△ACD≌△CBF. ∴CD＝BF. ∵CD＝BD＝12BC， ∴BF＝BD. ∴△BFD 为等腰直角三角形．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°. ∵∠FBD＝90°，∴∠ABF＝45°. ∴∠ABC＝∠ABF，即 BA 是∠FBD 的平分线． ∴BA 是 FD 边上的高线，BA 又是边 FD 的中线， 即 AB 垂直平分 DF.
12．点 P 是△ABC 内一点，PG 是 BC 的垂直平分线，∠PBC＝ 12∠A，BP、CP 的延长线交 AC、AB 于 D、E，求证：BE ＝CD.
证明：过点 B 作 BF⊥CE，交 CE 的延长线于点 F， 过点 C 作 CM⊥BD 于点 M. 则∠PFB＝∠PMC＝90°. ∵PG 是 BC 的垂直平分线， ∴PB＝PC.
一、选择题 1．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以 B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径 作弧，两弧相交于 M，N 两点；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD. 若 CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB 的
1.3 线段的垂直平分线(1)
1.3线段的垂直平分线（1）学习目标：1.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理，并能够运用此定理进行简单的计算与证明。
2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。
学习过程：一自学指导1、什么是线段的垂直平分线？你会画线段的垂直平分线吗？2.演示：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？（课本26页）二、合作交流；1想一想：你能写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明吗？2.阅读P27做一做，然后用尺规作出右图已知线段AB的垂直平分线CD，并说明 A B 为什么CD是线段AB的垂直平分线？3.反思：你会用尺规作图确定已知线段的中点吗？三练习拓展1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC= CAD BE2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC= 。
3、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是。
4、A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?5.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．四归纳总结：1、我的收获2、我不明白的问题。
线段垂直平分线的有关作图(分层作业)(原卷版)
13.1.3 线段垂直平分线的有关作图夯实基础篇一、单选题：1．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线。
则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④2．下列选项中的尺规作图，能推出P A=PC的是（）A．B．C．D．3．已知点P在ABC的边BC上，且满足P A＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（）A．B．C．D．4．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使P A＋PC＝B C．则下列四种不同方法的作图中正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△AB C中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（）A．5B．6C．7D．86．如图，在△AB C中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为()A．5B．6C．7D．87．在△AB C中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接B D．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．70°二、填空题：8．如图，在△AB C中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为．9．如图，在平行四边形ABC D中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是．10．如图，在已知的△AB C中，按以下步骤作图：若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为°．①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接C D．11．如图，在Rt△AB C中，∠C=90°，∠A=30°，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN分别交AB，AC于点E，D，若AD=8，则AB的长为.12．如图，在△AB C中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接C D.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为．13．如图，在△AB C中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接A D．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为三、解答题：14．已知点M在直线l上，A、B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图：①过点M作直线l的垂线；②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A、B两点的距离相等．（注意：要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹并给出结论）15．已知∠AOB，点M、N，在∠AOB的内部求作一点P．使点P到∠AOB的两边距离相等，且PM=PN（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．16．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=33°，则∠CAD=°．17．作图题：要求保留作图痕迹，不写作法（1）作线段AC的垂直平分线，分别交AC、BC于E、F.在直线EF上找一点P，使得点P到射线AB，AC的距离相等.（2）若AB＝6，BC＝8，连接AF，求△ABF的周长.能力提升篇一、单选题1．下面三个基本作图的作图痕迹．关于三条弧①，②，③，有以下三种说法，⑴弧①是以点O 为圆心，以任意长为半径所作的弧；⑵弧②是以点A 为圆心，以任意长为半径所作的弧；⑶弧③是以点O 为圆心，以大于12DE 的长为半径所作的弧． 其中正确说法的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 2．如图，在 ABC ∆ 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和 C 为圆心， 以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N ；②作直线 MN 交 AC 于点 D ，连接 BD ．若 6AC = ， 2AD = ，则 BD 的长为 ()A ．2B ．3C ．4D ．63．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=（ ）A ．68°B ．56°C ．28°D ．34°二、填空题：4．如图，在Rt △AB C 中，∠B =90°，按如下步骤作图：①分别以点B 、C 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ； ②作直线MN 交AC 于点D ，③连接BD ， 若AC =8，则BD 的长为5．如图，△AB C 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于 12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为 ．6．如图，在 ABC ∆ 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和 C 为圆心，以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N ；②作直线 MN 交 AC 于点 D ，连接 BD .若 6AC = ，2AD = ，则 BD 的长为 .7．如图，已知钝角 ABC ∆ ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以 C 为圆心， CA 为半径画弧①；步骤2：以 B 为圆心， BA 为半径画弧②；步骤3：连接 AD ，交 BC 延长线于点 H ；下列结论：①BH 垂直平分线段 AD ；②AC 平分 BAD ∠ ；③12ABC SBC AH =⋅ ；④AH DH ＝ .其中一定正确的有 （只填序号）三、解答题：8．如图：△AB C 中，AC ＞A B ．（1）作AB 边的垂直平分线交BC 于点P ，作AC 边的垂直平分线交BC 于点Q ，连接AP ，AQ ．(尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法)（2）在(1)的条件下，若BC ＝14，求△APQ 的周长．9．如图，在 ABC 中， AM 平分 BAC ∠ ．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），作 BC 的垂真平分线 HG ，与 BC 相交于点 H ，与 AM 相交于点 G ；（2）在（1）条件下，连接 BG ， CG ， BAC ∠ 和 BGC ∠ 有何数量关系？并证明你的结论．。
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第一单元
第3课时线段的垂直平分线
一、选择题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
2．如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，BC=8cm ，AC=5cm ，则△ADC 的周长为（ ）
A ．14cm
B ．13cm
C ．11cm
D ．9cm
3．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF 的度数为（ ）
A ．48°
B ．36°
C ．30°
D ．24°
4．如图，已知直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 上一点，且CE=EB ，ED ⊥CB 于D ，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A ．AE=BE
B ．CE=21AB
C ．∠CEB=2∠A
D ．AC=2
1AB
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）
A、80°
B、70°
C、60°
D、50°
6.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）
A、6
B、5
C、4
D、3
7.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：
（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）
A、两人都正确
B、两人都错误
C、甲正确，乙错误
D、甲错误，乙正确
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）
A、AE=BE
B、AC=BE
C、CE=DE
D、∠CAE=∠B
9.如图，AC=AD，BC=BD，则有（）
A、AB垂直平分CD
B、CD垂直平分AB
C、AB与CD互相垂直平分
D、CD平分∠ACB
10.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）
A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上
二、填空题
11．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．
12．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC 的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．
13.如图:已知,在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE
的周长等于_________ ．
14.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是．
三、解答题
15.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE
与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2-GE2=EA2．
16.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．。