2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系学案文

2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系学案文[知识梳理]1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系2．三种距离3．常用的直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.[诊断自测] 1．概念思辨(1)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (2)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A2P 89A 组T 1)若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)、斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C.23D.32答案 A解析 由于直线l 与经过点(－2,1)的斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2.因为直线l 的斜率k 1＝1－(－1)－a －2－(a －2)＝－1a ，所以－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，所以a ＝－23.故选A.(2)(必修A2P 101A 组T 11)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 B解析 求出两条直线的交点坐标为(1,0)，任取l 1上一点(2,2)，求出其关于直线x －y －1＝0的对称点为(3,1)，之后利用两点式求出l 2的方程为x －2y －1＝0.故选B.3．小题热身(1)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当l 1∥l 2时，得－a 2＝－1a ＋1，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，当a ＝1时，易知l 1∥l 2，∴“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.(2)(xx·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0答案 D解析 由题意得直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点坐标为(1,1)，又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1对称的点为(3,0)，所以由直线方程两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.故选D.题型1 两直线的平行与垂直典例1 已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2D ．－1或2分类讨论法．答案 D解析 若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.故选D.典例2 已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．分类讨论法．答案 1或0解析 l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. 方法技巧研究两直线平行与垂直关系的解题策略1．已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.2．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．冲关针对训练1．(xx·宁夏银川九中模拟)已知b ＞0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3答案 B解析 由已知两直线垂直，得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b ＞0，∴ab ＝b ＋1b.由基本不等式得b ＋1b≥2b ·1b＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，∴(ab )min ＝2.故选B. 2．(xx·西安模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．答案 25解析 由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.题型2 两条直线相交及距离问题典例1 (xx·福建厦门联考)“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件直接求满足条件的C 的取值再判定．答案 B解析 点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.典例2 已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．画出直线y ＝－12x ＋2，分析直线系y ＝kx ＋2k＋1动态思考．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12解析如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4，0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA <k <k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.方法技巧求过两直线交点的直线方程的方法1．直接法(1)先求出两直线的交点坐标．(2)结合题设中的其他条件，写出直线方程． (3)将直线方程化为一般式． 2．直线系法(1)设过两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.(2)利用题设条件，求λ的值，得出直线方程． (3)验证A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0是否符合题意． (4)得出结论．冲关针对训练(xx·钦州期末)直线l 过P (1,2)，且A (2,3)，B (4，－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是( )A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0D ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0 答案 C解析 由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点，①AB 的斜率为3＋52－4＝－4，当直线l ∥AB 时，l 的方程是y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y－6＝0.②当直线l 经过线段AB 的中点(3，－1)时，l 的斜率为2＋11－3＝－32，l 的方程是y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0.故所求直线的方程为3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0. 故选C.题型3 对称问题角度1 对称问题的求法(多维探究)典例 (xx·沧州模拟)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．此类问题用方程组法．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 解析 设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.[结论探究1] 本例中条件不变，求直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式， 得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.[结论探究2] 本例中条件不变，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解 在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度2 对称问题的应用典例 (xx·冀州市校级模拟)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83D.43光线反射问题．根据光线反射原理转化为点关于直线对称问题．答案 D解析 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示． 则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0， 所以P 点关于BC 的对称点为P 2(4,4－m )， 根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上， 所以kP 1D ＝kP 2D ， 即4343＋m ＝43－4＋m 43－4， 解得m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．所以m ＝43.故选D.方法技巧1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点的对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．见角度1典例．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．冲关针对训练(xx·石家庄期末)设定点A (3,1)，B 是x 轴上的动点，C 是直线y ＝x 上的动点，则△ABC 周长的最小值是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D.10答案 B解析 作出点A (3,1)关于y ＝x 的对称点A ′(1,3)，关于x 轴的对称点A ″(3，－1)，连接A ′A ″，交直线y ＝x 于点C ，交x 轴于点B ， 则AC ＝A ′C ，AB ＝A ″B ， ∴△ABC 周长的最小值为|A ′A ″|＝(1－3)2＋(3＋1)2＝2 5.故选B.1.(xx·山西长治模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2019π2－2α的值为( ) A.45B ．－45C ．2D ．－12答案 B解析 由题意知tan α＝2，又α∈[0，π)，∴sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2019π2－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2α＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－45，故选B.2．(xx·天山期末)直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，则过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋3y －2＝0B ．3x ＋2y －2＝0C ．3x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y ＋2＝0答案 A解析 ∵直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)， ∴把P (2,3)代入两直线得2a 1＋3b 1＝2和2a 2＋3b 2＝2，过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＝2即2x ＋3y －2＝0，故选A. 3．(xx·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案 －3解析∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －bx 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.(经检验满足题意)．∴a ＋b ＝－3.4．(xx·山西太原质检)光线从A (－4，－2)点射出，射到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解 作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋21＋2.即10x －3y ＋8＝0.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(xx·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m＝2或－3.故选C.2．(xx·清城一模)已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为P (1，p )，则m －n ＋p 的值是( )A ．24B ．20C ．0D ．－4答案 B解析 ∵直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，∴m －4×25＝－1，∴m ＝10，直线mx ＋4y －2＝0即5x ＋2y －1＝0，垂足(1，p )代入得，5＋2p －1＝0，∴p ＝－2. 把P (1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，可得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20，故选B.3．过点P (1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝0答案 A解析 要使过点(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO 垂直．由k OP ＝2－01－0＝2，则直线l 的斜率为－12，所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即为x ＋2y －5＝0.故选A.4．(xx·贵州六校联盟联考)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》 一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标是( )A ．(－4,0)B ．(0，－4)C ．(4,0)D ．(4,0)或(－4,0)答案 A解析 当顶点C 的坐标是(－4,0)时，三角形重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，在欧拉线上，对于其他选项，三角形重心都不在欧拉线上．故选A.5．(xx·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)答案 C解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)， 即3x ＋y －10＝0.与y ＝2x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.6．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C解析 由正弦定理，得a sin A ＝bsin B.∵两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1·k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，∴两直线垂直．故选C.7．(xx·聊城三模)已知两点A (－m,0)和B (2＋m,0)(m >0)，若在直线l ：x ＋3y －9＝0上存在点P ，使得PA ⊥PB ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,4)C ．[3，＋∞)D ．[4，＋∞) 答案 C解析 设P (x ，y )，则k PA ＝yx ＋m，k PB ＝yx －2－m，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －9＝0，y x ＋m ·yx －2－m＝－1，消去x 得4y 2－163y ＋63－m 2－2m ＝0，由题意得⎩⎨⎧m >0，Δ＝(－163)2－4×4×(63－m 2－2m )≥0，解得m ≥3.故选C.8．(xx·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为( )A ．4x －3y ＋9＝0B ．4x ＋3y ＋9＝0C ．3x －4y ＋9＝0D ．3x ＋4y ＋9＝0答案 A 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79.∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.故选A.9．(xx·湖南岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( )A.92B.94 C ．1 D ．9答案 B解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又因为Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.10．(xx·四川高考)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 A解析 设l 1是y ＝－ln x (0<x <1)的切线，切点P 1(x 1，y 1)，l 2是y ＝ln x (x >1)的切线，切点P 2(x 2，y 2)，l 1：y －y 1＝－1x 1(x －x 1)，①l 2：y －y 2＝1x 2(x －x 2)，②①－②得x P ＝y 1－y 2＋21x 1＋1x 2，易知A (0，y 1＋1)，B (0，y 2－1)， ∵l 1⊥l 2，∴－1x 1·1x 2＝－1，∴x 1x 2＝1，∴S △PAB ＝12|AB |·|x P |＝12|y 1－y 2＋2|·|y 1－y 2＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1＋1x 2＝12·(y 1－y 2＋2)2x 1＋x 2x 1x 2＝12·(－ln x 1－ln x 2＋2)2x 1＋x 2 ＝12·[－ln (x 1x 2)＋2]2x 1＋x 2 ＝12·4x 1＋x 2＝2x 1＋x 2， 又∵0<x 1<1，x 2>1，x 1x 2＝1，∴x 1＋x 2>2x 1x 2＝2，∴0<S △PAB <1.故选A. 二、填空题11．(xx·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.12．(xx·南昌模拟)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．答案 －13或－79解析 由题意及点到直线的距离公式，得 |－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.13．(xx·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________．答案 y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0解析 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a＝2或a ＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.14．(xx·南京期末)在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是________．答案 6x －8y ＋1＝0解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ， ∴6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.B 级三、解答题15．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大． 解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)．16．(xx·深圳质检)如图所示，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值． 解 (1)证明：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋2x 0(x 0>0)，则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1，即|PM |·|PN |为定值． (2)直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得x ＝y ＝x 0＋12x 0.所以|OM |＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋12x 0.连接OP ，S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2x 0＋12·1x 0·2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.17．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.18．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值． 解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.。