上海交大版大学物理第五章参考答案

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习题5
5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。

解：受力分析如图，可建立方程：
ma T mg 222=-┄①
ma mg T =-1┄②
2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④
βr a = ，2
/2J m r =┄⑤
联立，解得：g a 4
1=
，mg T 8
11=。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

解：（1）设杆的线密度为：l
m =
λ，在杆上取
一小质元d m d x λ=，有微元摩擦力：
d f d m g g d x μμλ==，
微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=， 考虑对称性，有摩擦力矩：
20
124
l
M g x d x m g l μλμ==
⎰；
（2）根据转动定律d M J J
dt
ω
β==，有：0
0t M d t Jd ω
ω-=
⎰⎰，
2
0114
12
m g l t m l μω-=-
，∴03l
t g
ωμ=。

或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，2
112
J m l =
，
T
有：03l
t g
ωμ=。

5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量
可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。

假设定滑轮质量为M 、半径为
R ,其转动惯量为2/2
MR
，试求该物体由静止开始下落的过程中，
下落速度与时间的关系。

解：受力分析如图，可建立方程：
m g T m a -=┄①
βJ TR =┄② a R β= ，2
12
J m R =
┄③ 联立，解得：22m g a M m
=+，2M m g T M m
=
+，
考虑到dv a dt
=
，∴0
22v t m g dv dt M m
=+⎰⎰
，有：22m g t v M m
=+。

5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M ，均
匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。

已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2MR J =，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？ 解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 A Ma T Mg =-1人
B a M g M T 442=
-
物
αJ R T R T =-21滑轮
由约束方程: αR a a B A ==和4/2
MR J =,解上述方程组 得到2
g a =.
解二：
选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v 为重 物上升的速度，注意到u 为匀速，
0d u d t
=，系统对轴的角动量为：
2
13()(
)4
4
2
M L M v R M u v R R M v R M u B A R
ω=
--+=
-()()
体人(物物体)
而力矩为：13M 4
4
M g R M g R M g R =-
+=
， 根据角动量定理dt
dL M =有：
)2
3(4
3MuR MvR dt d MgR -=，∴2
g a =。

5-5．计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。

解：设球的半径为R ，总重量为m ，体密度3
34m R
ρπ=
，
考虑均质球体内一个微元：2sin d m r d rd d ρθθϕ=， 由定义：考虑微元到轴的距离为sin r θ
2
(sin )J r d m θ=
⎰，有：
2220
(sin )sin R
J r r d rd d ππθρθθϕ=
⋅⎰⎰⎰
5
2
12[(1cos )cos ]5
R r
d π
πρθθ=⋅
⨯--⎰2
25
m R =。

5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数40/k N m =，当0θ=时弹簧无形变，细棒的质量kg 0.5=m ，求在0θ=的位置上细棒至少应具有多大的角速度ω，才能转动到水平位置？
解：以图示下方的三角桩为轴，从0
0~90θθ==时， 考虑机械能守恒，那么： 0θ=时的机械能为：
22
()(2)1123l
m g m l ω⋅
+（重力势能转动动能），
90θ=时的机械能为：
2
12
k x
有：2221112232
l
m g m l k x ω⋅
+=（） 根据几何关系：22215.1)5.0(+=+x ，得：128.3-⋅=s rad ω
5-7．如图所示，一质量为m 、半径为R 的圆盘，可绕O 轴在铅直面内转动。

若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C 和盘缘A 点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

解：（1）设虚线位置的C 点为重力势能的零点，
下降过程机械能守恒， 有：2
2
1ωJ mgR = ，而22
2
132
2
J m R m R m R =
+=
∴R
g 34=
ω 3
4Rg R v c =
=ω
2A v R ω==
（2）2
7
3
y F mg
mR mg ω=+=（重力）（向心力），方向向上。

5-8．如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和m 2的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为l 31
和
l 3
2．轻杆原来
静止在竖直位置。

今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心碰撞，求碰撞后小球的反弹速度和轻杆所获得的角速度。

解：设碰撞后小球的反弹速度为v ，轻杆所获得的角速度为ω。

根据角动量守恒，有：
2
20222(
)2()3
333
l
l m v l m v l m m ωω⋅=-⋅⋅
++⋅ 根据动能守恒，有：
2
2
2
2
0)3
1(221
)3
2(
2
1212
1ωωl m l m mv
mv +
+=
联立上述两个方程，可解得
0061,55
v v v l
ω=
=
5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中
心O 的竖直固定光滑轴转动。

开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。

(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为
2
2
1MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。

)
解：（1）利用角动量守恒：ωω2
2
2
1mR MR mvR +=
得：2(2)m v
m M R
ω=
+；
（2）选微分d m r d r d σθ=，其中：面密度2
M
R
σπ=
，
2
22π3
R f
M
M
g r d m gr
r dr M g R R
μμμπ=
==
⎰⎰
∴由f M t J ω⋅∆=⋅∆有：2
2
21(
)03
2
M g R t M R m R μω⋅∆=+-，
知：()224M m t R M g ωμ+∆=
将()22m M
m R
ω=
+v 代入，即得：32m v
t M g
μ∆=。

5-10．有一质量为
1m 、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。

另有一水平运动的质量为2m 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短。

已知小滑块在碰撞前后
的速度分别为1v 和2v
，如图所示。

求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

(已知棒绕O 点的转动惯量2
13
1l m J =
)
解：由碰撞时角动量守恒，考虑到1v 和2v
方向相反，以逆时针为正向，有：
2211221
3m v l m l m v l ω=
-，得：l
m v v m 1212)(3+=
ω 又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：
110
12
l f
m M
g x d x m g l l
μ
μ=
=
⎰
，利用f
d M
J
dt
ω-=，有：
2
10
011
31
2
t
m l d dt m g l
ωω
μ=-⎰⎰，得：21212()
23m v v l t g
m g
ωμμ+==。

5-11．如图所示，滑轮转动惯量为2m kg 01.0⋅，半径为cm 7；物体的质量为kg 5，用一细绳与劲度系数N/m 200=k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。

求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。

解：（1）设弹簧的形变量为x ，下落最大距离为m ax x 。

由机械能守恒：
2
m ax m ax 12
k x m g x =，有：
m ax 20.49m g x m k =
=；
（2）当物体下落时，由机械能守恒：2
2
2
1112
2
2
k x m v J m g x ω
++
=，
考虑到v R
ω=
，有：
2
2
2
2
1112
2
2
k x m R J m g x ωω+
+
=，
欲求速度最大值，将上式两边对x 求导，且令
0d d x
ω=，有：
2
1()22
d k x m R J m g d x
ωω
+
+⋅=，将
0d d x
ω=代入，有：)(245.0m k
mg x ==
，
∴当0.245x =m 时物体速度达最大值，有：
2
2
m ax
21
21()2m gx kx v J m r
-=+，代入数值可算出：max 1.31/v m s = 。

5-12．设电风扇的功率恒定不变为P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度ω成正比，比例系数的k ，并已知叶片转子的总转动惯量为J 。

（1）原来静止的电扇通电后t 秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ 解：（1）已知f
M
k ω=-，而动力矩ω
P
M =，
通电时根据转动定律有：f
d M M
J
d t
ω+=
代入两边积分有：
ωω
ωω
d k P J dt t ⎰
⎰
-=
2
，可求得：)1(2t
J k e k
P --=ω；
（2）见上式，当t →∞时，电扇稳定转动时的转速：ω=稳定；
（3）断开电源时，电扇的转速为0ω=
，只有f M 作用，那么：
d k J
d t
ωω-=，考虑到
d d d t
d ωωω
θ
=，有：0
k d d J
θ
ω
θω-
=
⎰⎰，
得：0J
k θω=
=。

5-13．如图所示，物体A 放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为μ，细绳的一端系住物体A ，另一端缠绕在半径为R 的圆柱形转轮B 上，物体与转轮的质量相同。

开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0ω绕其转轴转动。

试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A 的速度多大？物
体A 运动后，细绳的张力多大？ 解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A 和转轮B 、绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，
A Rmv J J +=ωω0，又R v A ω=，
2
21mR J =
03
1ωω=
⇒
（2）物体A 运动后，由牛顿定律：ma mg T =-μ （1）
对转轮B ，由定轴转动定律： βJ TR =-，（2）约束关系：βR a =（3） 可求出：13
T m g μ=。

5-14. 质量为m 的小孩站在半径为R 、转动惯量为J 的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。

平台和小孩开始时均静止。

当小孩突然一相对地面为v 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度ω为多少？
解：此过程角动量守恒：0m R v J ω+=，有： m R v J
ω=-。

5-15．以速度0v 作匀速运动的汽车上，有一质量为m （m 较小），边长为l 的立方形货物箱，如图所示。

当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A 边翻转。

试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱A 边所受的支反力。

解：（1）货箱对过A 点垂直于平面的转轴角动量守恒：
ωA J l mv =⋅
2
A J 为货箱对A 轴的转动惯量，结合平行轴定理可得：
2
2
2
3
2)2
2(
61ml l m ml
J A =
+=
代入解得：l
v 043=
ω
货箱翻转时，只受重力距作用，根据转动定律有：
2
223
l m g
m l β=，34g l
β=
；
（2）汽车刹车后停止瞬间，货箱以角速度ω绕A 轴转动，此时，质心角速度的切向和法向分量分别为：g l a t
C 8
232
2=
⋅=
β，l
v l a n C 2
02
32
292
2=
⋅=
ω
由质心运动定理：
45
cos 45cos n n x C C C x ma ma ma N -==-
45cos 45cos Ct C Cy y
ma ma ma mg N
n --==-
解得货物箱A 边所受的支反力为： )8
3329(
2
g l
v
m N x +
-=，)32985(
20
l
v
g m N y -
=
y
思考题
5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为
M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量1m 和2m 的物体 (1m <2m )，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？ 解：
a m T g m
111=- （1）
a m g m T 222=- （2） βJ r T T =-)(21 （3）
βr a = （4）
联立方程可得 1T 、2T ， 21T T > 。

5-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O 以角速度ω按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度ω怎样变化？ 答：增大
5-3．个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A ）机械能守恒，角动量守恒；（B ）机械能守恒，角动量不守恒； （C ）机械能不守恒，角动量守恒；（D ）机械能不守恒，角动量不守恒。

答：（C ）
5-4．在边长为a 的六边形顶点上，分别固定有质量都
是m 的6个质点，如图所示。

试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a 所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b 所示。

答：以Ⅰ为轴转动惯量 2
9ma J =；
以Ⅱ为轴转动惯量 2
3ma J =；
以Ⅲ为轴转动惯量 25.7ma J =。

5-5．如图a 所示，半径分别是1R 和2R 、转动惯量分别是1J 和2J 的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转
动，最初大圆柱体的角速度为0ω，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。

由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。

试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？ 答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。

由ωω201J J =，有小圆柱的最终角速度为： 2
1J J ωω=。

5-6．均质细棒的质量为M ，长为L ，开始时处于水平方位，静止于支点O 上。

一锤子沿竖直方向在d x =处撞击细棒，给棒的冲量为0I j。

试讨论细棒被球撞击后的运动情况。

答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。