平面向量数量积听课课件
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平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件(2024)
性质
数量积满足交换律、分配律和结合律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$， $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$， $(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
空间向量的数量积性质
满足交换律、分配律和结合律，且当两向量垂直时，其数量积为零。
2024/1/29
空间向量的数量积应用
在物理中，用于计算力在某一方向上的做功；在计算机图形学中，用 于计算光照强度等。
与平面向量的数量积比较
空间向量的数量积与平面向量的数量积在定义和性质上有很多相似之 处，但空间向量的数量积涉及三维空间，更为复杂和抽象。
6
02
平面向量的基本概念与性质
2024/1/29
7
向量的定义与表示方法
2024/1/29
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示，有向线段 的长度表示向量的大小，有向线 段的方向表示向量的方向。
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字母 加箭头表示，如$vec{a}$或 $vec{AB}$，其中起点为A，终点 为B。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与$vec{b}$共线的 充要条件是存在唯一实数$k$，
使得$vec{a} = kvec{b}$。
2024/1/29
9
向量的模与方向角
01
向量的模
向量的模定义为向量的长度，记作$|vec{a}|$，对于任意向量$vec{a}$
数量积满足交换律、分配律和结合律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$， $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$， $(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
空间向量的数量积性质
满足交换律、分配律和结合律，且当两向量垂直时，其数量积为零。
2024/1/29
空间向量的数量积应用
在物理中，用于计算力在某一方向上的做功；在计算机图形学中，用 于计算光照强度等。
与平面向量的数量积比较
空间向量的数量积与平面向量的数量积在定义和性质上有很多相似之 处，但空间向量的数量积涉及三维空间，更为复杂和抽象。
6
02
平面向量的基本概念与性质
2024/1/29
7
向量的定义与表示方法
2024/1/29
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示，有向线段 的长度表示向量的大小，有向线 段的方向表示向量的方向。
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字母 加箭头表示，如$vec{a}$或 $vec{AB}$，其中起点为A，终点 为B。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与$vec{b}$共线的 充要条件是存在唯一实数$k$，
使得$vec{a} = kvec{b}$。
2024/1/29
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向量的模与方向角
01
向量的模
向量的模定义为向量的长度，记作$|vec{a}|$，对于任意向量$vec{a}$
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
平面向量的数量积课件PPT
想一想 1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？ 提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一 个向量． 做一做 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×－ 22＝－12 2.
答案：－12 2
想一想 3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或 相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方 向不一定相同，故该等式不一定成立．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 向量数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60°，
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|cos 60° ＝3×6×12＝9.
【名师点评】 求两向量数量积的步骤是： (1)求a与b的夹角； (2)分别求|a|，|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用 “·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练
1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a 与b的夹角是60°时，分别求a·b.
a·b
(4)cos θ＝____|a_||_b|____.
(5)|a·b|___≤____|a||b|.
平面向量的数量积公开课ppt课件
积（或内积），记作a b ，即
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
平面向量数量积PPT教学课件_1
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
变式：已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4，a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4，且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行 的多种显微操作和处理技术，如胚胎移植、体 外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。 经过处理后获得的胚胎，还需要移植到雌性动 物体内生产后代，以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，求a b
变式：已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
排列紧密，形似桑椹
囊胚（内含囊胚腔） 内细胞团：发育成胎儿各组织
滋养层细胞：发育成胎膜和胎盘
原肠胚（内含原肠腔）
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1．试管动物技术是指：通过_人__工__操__作____使卵子和精子 在体__外__条__件__下___成熟和受精，并通过培养发育为早__期__胚__胎后 再经移植产生后代的技术。 2．这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
平面向量的数量积优秀PPT课件
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c
（ √）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=பைடு நூலகம்a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│ =│a││b││COSθ│
又│COSθ│ 1 所以│ a•b │ │a││b│
思考：在什么情况下取等号？ 0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
平面向量的数量积教学课件
注意向量的夹角和方向
总结词
平面向量的数量积不仅与向量的模长有关，还与向量 的夹角和方向密切相关。
详细描述
平面向量的数量积是两个向量夹角的余弦值与向量模 长的乘积。因此，向量的夹角和方向对数量积的计算 至关重要。当两个向量的夹角为90度时，它们的数量 积为0；当两个向量的夹角为180度时，它们的数量积 为负；当两个向量的夹角为锐角时，它们的数量积为 正。此外，当两个向量的方向相同时，它们的数量积 为正；当两个向量的方向相反时，它们的数量积为负 。
平行四边形的面积
总结词
平行四边形的面积等于两向量坐标对应 乘积的和。
VS
详细描述
设平行四边形ABCD的两条边AB和AD分 别对应于向量a和向量b，则平行四边形 的面积可以表示为S=|a||b|cos(π−θ)，其 中θ是向量a和向量b之间的角度。可以看 出，当向量a和向量b垂直时， cos(π−θ)=-1，此时面积最小，为0；当 向量a和向量b平行时，cos(π−θ)=1，此 时面积最大，为|a||b|。因此，平行四边 形的面积与两向量的长度和夹
交换律
01
02
03
交换律描述
两个向量的数量积不改变 ，即向量a和向量b的数量 积等于向量b和向量a的数 量积。
数学符号表示
若a = (x1, y1) ，b = (x2, y2)，则a·b = b·a。
交换律的意义
在解决平面向量数量积问 题时，可以任意调换两个 向量的位置，而不会改变 问题的结果。
注意向量的模长和坐标表示
要点一
总结词
要点二
详细描述
平面向量的模长和坐标表示是数量积计算的两种常用方法 ，需注意它们之间的区别和联系。
平面向量的数量积可以通过两种方法进行计算：一种是直 接使用向量的模长和夹角进行计算，另一种是使用向量的 坐标表示进行计算。在使用模长和夹角进行计算时，需要 注意向量的单位长度为1的限制，同时还要考虑向量的方向 。在使用坐标表示进行计算时，需要注意向量的起点是否 重合，以及坐标轴的方向和单位。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
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-1),所以 DE CB=1.又因为 DC =(1,0), 所以 DE DC=t≤1.
答案:1 1
=(t,-1), =(0, DE CB
【一题多解】解答本题,你知道还有几种解法?
方法一:选取{
=
}作为基底,设 0≤t≤1,则 AB,AD AE tAB ， DECB tAB AD AD
2 tABAD AD
=0+1=1.
=t≤1.
答案 1 AD AB DE DC :1 tAB
方法二:利用几何意义可知
=
DECB DEDA
DF.若 AE 则λ AF 1，
的值
命题角度2:根据向量数量积求最值 【典例4】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动 点.则 的值为________, 的最大值为________.
解：如图所示,以AB,AD所在的直线分别为 . x,y轴建立直角坐标系,设 E(t,0),0≤t≤1,则D(0,1),B(1,0),C(1,1),
(3)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a+b)·(a-b)=a2-b2.
②(a+b)2=a2+2a·b+b2.
③(a-b)2=___________. a2-2a·b+b2
3.必用技法 核心总结
看一看
(1)常用方法:基底法;坐标法. (2)常用思想:方程思想,数形结合思想,转化与化归思想. (3)记忆口诀:乘积结果为数量,坐标运算是良方. 横纵坐标分别乘,相加求和积充当.
【思考辨析】 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.( (2)若a·b=0,则必有a⊥b.( ) )
(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向
量.(
)
)
(4)若a·b<0,则向量a,b的夹角为钝角.(
【解析】(1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角 时结果为负. (2)错误.当a与b至少有一个为0时得不到a⊥b. (3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确. (4)错误.当a·b=-|a||b|时,a与b的夹角为π. 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
【规律方法】向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角θ 时,可利用定义法求解,即a· b= |a||b|cosθ . (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2.
【变式训练】 1.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点, 则
【互动探究】本例(2)中,当E是AB的中点时,试求
上的投影. DE在DC
悟· 技法 根据数量积求参数的值(范围)的一般思路 利用数量积求参数的值(范围):通常有两种运算法,一是基底法,二是坐标法,找准解 题目标,利用已知条件列出方程或方程组求解即可.
【基础自测】 (1）已知|a|=2,|b|=4,a与b的夹角θ =30°，求a· b的值.
(2)已知a=(1，－1)，b=(-1,2)，则(2a+b)·a=(
A．-1 B．0 C．1 D．2
)
（3）已知|a|=2,向量a与b的夹角是 的投影是 .
3 4
,则a在b上
(2)设向量 a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)， 若(a＋c)⊥b，则|a|＝__________.
③a·b≤_______. |a||b|
ab
(4)数量积的运算律: ①交换律:a·b=b·a. a·(λ b) (a·b) ②数乘结合律:(λ a)·b= λ _________= _________. ③分配律:a·(b+c)=__________. a·b+a·c
(5)平面向量数量积的坐标表示:
B.
C.0
D.-
3
【规律方法】平面向量数量积的两个应用
(1)求夹角大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得
ab (夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关 a b. 角度的问题
cosθ = (2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角, 数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向 量不共线时两向量的夹角为钝角.
a⊥b⇔a·b=0⇔__________
2.必备结论 教材提炼
记一记
a·b=0 (1)a与b为两非零向量,则a⊥b⇔_______. (2)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|. 当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|, 0 aa 0·a=__. |a|2或者|a|=_______, 特别地,a·a= ____
DA cosEDA DE cosEDA = DE =1. 设 DA
则
= AE t AB =|t|≤1. ， 答案 :1 1 DEDC DEAB DE 1 cosAED AE t AB
【加固训练】
1.设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a⊥(a-b),则x= .
2.(2013· 安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=
|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 .
命题角度1Leabharlann 利用平面向量数量积求参数的值 【典例3】(2014· 天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°, 点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λ 为 .
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ ,则
x1x2+y1y2
数量积 模 夹角
a·b=________ |a|＝_________
x1x 2＋y1y2 x12＋y12 x 2 2＋y2 2
x1x2+y1y2=0
x12＋y12
cos θ ＝_________________ 向量垂直的 充要条件
= AEBD
.
考点2 平面向量的垂直与夹角问题
【典例2】(1)(2014· 山东高考)已知向量a=(1, a,b的夹角为 ,则实数m=
(本题源于教材必修4P107例6) A.2
6
3
),b=(3,m).若向量
(
)
， OA 3， (2)(2015· 湖北高考)已知向量 OA AB 则 OA OB =______．
第三节 平面向量的数量积
研
【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 (1)向量的夹角: 填一填
定义 已知两个非零 向量a和b,作
=a，OB = OA
∠AOB 就 b,则______
图示
范围
共线与垂直 θ =0°或 θ = 180°⇔___ a∥
设 θ 是 a与 b
的 夹角,则θ 的 取值范围是 __________
180° ______ 0°≤θ ≤
_
_
b
θ =90° __,_______
是a与b的夹角
⇔a⊥b
(2)平面向量的数量积:
设两个非零向量a,b的夹角为θ ,则数量 定义
|a||b|cosθ ____________ 叫做a与b的数量积,记作
a· b 投影 _________叫做向量a在b方向上的投影, _________叫做向量b在a方向上的投影
|b|cosθ |a|cosθ
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方
几何 意义 向
|b|cosθ 上的投影_________ 的乘积
(3)数量积的性质: 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ 为a与b(或e)的夹角.则
①e·a=a·e= | _________. a|cosθ
ab ②cosθ =________.