导数解曲线公切线问题

导数解曲线公切线问题 Prepared on 24 November 2020

导数解公切线专题

1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594

y ax x =+-都相切，则a 等于

A ．1-或25-64

B ．1-或214

C ．74-或25-64

D ．74-或7 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．

3.求曲线y =x 3+x 2－2x 在点A (1,0)处的切线方程. 变式：求曲线y =x 3+x 2－2x 过点A (1,0)的切线方程.

1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594

y ax x =+-都相切，则a 等于

A ．1-或25-64

B ．1-或214

C ．74-或25-64

D ．74-或7 1.设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为

320003()y x x x x -=-

即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032

x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564

a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594

y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．

【答案】1ln2-

考点：导数的几何意义.

3.求曲线y=x3+x2－2x在点A(1,0)处的切线方程. 解：∵y′=3x2+2x－2,

∴切线斜率k= y′|x=1=3.

∴切线方程为y=3(x－1)，

即 3x－y－3=0.

变式：求曲线y=x3+x2－2x过点A(1,0)的切线方程. 解设切点P（x0, x03+x02－2x0），

∵y′=3x2+2x－2，

∴切线斜率k=3x02+2x0－2.

∴切线方程为

y－（x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－2)(x－x0) .

∵点A在切线上，

∴0－（x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－2)(1－x0)．即x03－x02－x0+1=0．

·

A

O x y

故 (x0－1)2 ( x0+1）=0．

解得x0=－1 或x0= 1 ．

∴当x0=－1时，切线方程为x+y－1=0；当x0=1时，切线方程为３x－y－３=0．综上，曲线过点A（1，0）的切线方程为 3x－y－3=0，或x+y－1=0.