化简三角函数式,应注意四变化
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数式化简
三角函数式化简孙小龙所谓三角函数化简，就是灵活运用公式，对复杂的三角函数式进行变形，从而得到较为简单的三角函数式以便于进行问题讨论，所以三角函数式的化简是研究复杂三角函数式的基础。
下面我们一起深入探究如何进行三角函数式化简。
方法引导三角函数式化简通常是最让人头疼的一类题型，因为化简没有明确的方向，很难继续进行。
其实化简只要遵守“三看”原则，即能顺利化简。
一是看角，二是看名，三是看式子的结构和特征。
（1） 看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；如倍角关系、半角关系、互余关系、互补关系等；（2） 看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化；（3） 看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形应用这些公式。
另外，根据式子的特点，还可以使用辅助角公式。
了解了化简原则之后，下面我们开始化简了。
例一 化简f(x)=2cosxsin(x+3π)－3sin 2x+sinxcosx分析：首先先看角，式子中的角度不统一，所以首要任务是统一角度，根据式子的结构特点和π3的特殊性，可以运用两角和的正弦公式将式子展开f (x )=2cos x sin(x +3π)-3sin2x +sin x cos x−−−−−→用三角公式展开2cos x (sin x cos3π+cos x sin 3π)-3sin2x +sin x cos x= 2sin x cos x +3cos2x -3sin 2x第一步化简完成后，再次观察式子的结构特点，每一个单项式都是二次的，所以再运用降幂公式把式子变为一次式2sin x cos x +3cos2x -3sin2x −−−−→降幂公式sin2x +3cos2x继续运用辅助角公式进行彻底化简sin2x +3cos2x −−−−→辅助角公式2sin(2x +3π).例二 化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 分析：我们还是先从角度入手，分子上角度统一，分母角度不统一，但仔细观察发现分母中两个角呈互余关系，再看函数名的特点，我们可以运用诱导公式进行化简;分子上仔细观察结构，提出12，可以得到完全平方式42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+诱导公式及完全平方式→ 12(4cos x−4cos x+1)242cot(π4+x)sin （π4+x ）2=（2cos x−12）24sin(π4+x)cos(π4+x) 统一角度后，分析式子的结构特点，运用降幂公式进行化简 （2cos x−12）24sin(π4+x)cos(π4+x)降幂公式→ 2cos 2x22sin(π2+2x)=2cos 2x 22cos 2x= 12cos 2x 我们可以通过两个例题发现化简题目中透露出来的隐藏信息，这就是三角函数式化简要求 最终形式：正弦型函数（通常情况） 化简方法： 1、切割化弦； 2、降幂公式；3、用三角公式转化出现特殊角；4、 异角化同角；5、异名化同名；6、高次化低次；7、辅助角公式；8、分解因式。
第25讲三角函数式的化简与三角恒等式的证明
例
1
化简：
4
cos tan cos2
4 tan(
sin )cos2(
)
返回 继续
22
42 42
解:
原式＝ cos 4sin cos
sin
4sin( ) cos( )
22
42 42
=
cos 2sin
2
sin sin(
)
2
(3)函数种类要最少;(4)分母不含根号;
(5)能求值的要求值.
常用的方法有:直接应用公式、切割化弦、 异名化同名、异角化同角。
例 2 求证： tan2 x cot2 x 2(3 cos 4x) .
返回
1 cos 4x
提示：证明三角恒等式的基本思路是：
观察等式两端的特点及差异，从解决某 一差异入手，通过“一致变形”，应用 化繁为简，左右归一的思想方法，使等 式两端“异”化“同”。
求证:tan=3tan(+)
待证式子变一变！ （化切为弦）
已知条件变一变！（活用角变换）
化异为同，洞察联系。
分析
答案
例
1
化简：(
sin )cos2(
)
返回
22
42 42
提示:化简结果的要求一般是:
(1)项数最少; (2)次数要最低;
(sin2 x cos2 x)2 2sin2 x cos2 x 1 sin2 2x
1 1 sin2 2x 2
1 sin2 2x
4
4
8 4 sin2 2x 2 sin2 2x
右边=
4
2
三角函数式的化简和证明
简单的三角恒等变换——化简与证明学习目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明． 学习重点：三角函数的有关公式的灵活应用和一些简单的变性技巧.学习过程一、知识清单1.证明了cos()a b -= ®cos()a b += ®cos()2p a -= ，cos()2p a += ®sin()a b += sin()a b -= ®tan()a b += ，tan()a b -= 2. cos (+)a b = ®cos 2a = = = sin()a b += ®sin 2a = tan()a b += ®tan 2a =3.倍角的相对性sin a = ，cos a = ，tan a =4.要掌握这些公式的推导和联系，用时注意公式的“正用”，“逆用”和“变用”.如：降幂扩角公式 2sin a = ；2cos a = ； 1cos a += ；1cos a -= ；1sin a += ；1sin a -= .5. 划一公式：sin cos a x b x += （其中tan f = ，f 所在象限由 确定）.二、范例解析题型一 三角函数式的化简和证明1.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名称或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．2.三角变换的三项基本原则：（1）角的变换：划同角（角的拆分，配角和凑角，1的变换）；（2）函数名称的变换：划同名（正切划弦）；（3）幂指数的变换：划同次（升幂、降幂公式，同角公式）.例1化简下列各式 ； ②1sin 2cos 21sin 2cos 2a a a a+-=++ ； ③2sin 2cos 1cos 2a a a-=+ ； ④222cos 12tan()sin ()44a p p a a -=-+ ； 例2 证明下列各式（从左到右或从右到左或左右开攻中间会师，一般化繁为简）①22tan 2sin 1tan 2a a a =+ ②221tan 2cos 1tan 2a a a -=+③sin 1cos tan21cos sin a a a a a -==+ ④[]1sin cos sin()sin()2a b a b a b =++-⑤sin sin 2sincos 22q f q f q f +-+=.三、课下练习： 课本142P 2 ； 143P A 组 1, 2, 3, 4；B 组 1； 146P 8；147P 5.。
三角函数的化简详解
三角函数的化简1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
一、化简 【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
【例2】（三兄弟）已知23523sin cos παπαα<<=-，且，求αααtan 1sin 22sin 2-+的值【变式】（05天津）已知727sin(),cos 241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
高一数学 三角函数的恒等变形
高一数学 三角函数的恒等变形【基本公式】1、三角函数的诱导公式：（一） sin （k ·360°+α）=sin α cos （k ·360°+α）=cos α tan （k ·360°+α）=tan α（二） sin （180°+α）= -sin α cos （180°+α）=-cos α tan （180°+α）=tan α（三） sin （-α）=-sin α cos （-α）=cos α tan （-α）=-tan α（四） sin （180°-α）=sin α cos （180°-α）=-cos α tan （180°-α）=-tan α(五) sin （90 °－α）＝cos α cos （90 °－α）＝sin α tan （90 °－α）＝cot α（六） sin （90 °＋α）＝cos α cos （90 °＋α）＝－sin α tan （90 °＋α）＝－cot α（七） sin （270 °－α）＝－cos α cos （270 °－α）＝－sin α tan （270 °－α）＝cot α（八） sin （270 °＋α）＝－cos α cos （270 °＋α）＝sin α tan （270 °＋α）＝－cot α 记忆规律：“奇变偶不变,符号看象限”：90⋅=k β°α±的三角函数值，若k 是奇数则α是β的余名三角函数，若k 是偶数则α是β的同名三角函数；假设α为锐角，符号由β对应三角函数所在象限决定。
使用原则：“负化正，大化小，化到锐角就行了” 2、同角三角函数的基本关系式：倒数关系: 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 1cot tan =⋅αα商数关系: αααcos sin tan = αααsin cos cot = 平方关系: 1cos sin 22=+αα αα22sec tan 1=+ αα22csc cot 1=+3、和角公式、差角公式：sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+ tan （α－β）＝βαβαtan tan 1tan tan +-4、倍角公式、半角公式： （1）二倍角公式：αααcos sin 22sin =ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -= （2）三倍角公式：)60tan()60tan(tan tan 31tan tan 33tan )60cos()60cos(cos 4cos 3cos 43cos )60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 2333ααααααααααααααααααα-+=--=-+=-=-+=-= （3）升幂公式、降幂公式：22cos 1sin sin 22cos 122αααα-=⇔=- 22cos 1cos cos 22cos 122αααα+=⇔=+（4）万能公式：（5）半角公式：5、积化和差、和差化积公式： （1）积化和差公式：（2）和差化积公式：6、重要结论： （1）,tan ),sin(cos sin 22abb a b a =++=+ϕϕααα）所在象限决定所在象限由（b a ,ϕ （2）2)2cos2(sin sin 1ααα+=+ 2)2cos2(sinsin 1ααα+=-（3）ααα2sin 2cot tan =+ ααα2cot 2cot tan -=-（4）αααπαπtan 1tan 1)4cot()4tan(+-=+=- αααπαπt a n 1t a n 1)4c o t ()4t a n (-+=-=+（5）βαβαβα22sin sin sin(sin(-=-+）） βαβαβα22s i n c o s c o s (c o s (-=-+））（6）βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=±（7）43cos cos cos cos ,43sin sin sin sin ,1202222=++=-+︒=+βαβαβαβαβα则若 43cos cos cos cos ,43sin sin sin sin ,602222=-+=++︒=+βαβαβαβαβα则若（8）γβαγβαππγπγβαtan tan tan tan tan tan ,2,=+++≠=++则若k k（9）)cos(sin cos )sin(cos tan sin ααααααα<<⇒<<是第一象限角，则若【方法技巧】 1、 角的范围：（1）根据已知角的范围确定未知角的范围：21x x x 〈〈 2211y x y x y x +〈+〈+21y y y 〈〈 1221y x y x y x -〈-〈-（2）根据已知三角函数值确定未知角的范围：①由某个角的三角函数值的符号确定该角所在象限，从而确定和角（或差角）的范围： 如：已知)23,2(,ππβα∈，0tan 〉α，0tan 〈β，则23παπ〈〈，πβαπβπ〈-〈⇒〈〈02②由两角的三角函数值的大小关系，根据三角函数的单调性确定和角（或差角）的范围： 如：已知)2,0(,πβα∈，βαsin sin < ，则βα<02〈-〈-⇒βαπ③由某个角的三角函数值与特殊角的三角函数值的大小关系，确定该角的范围，从而确定和角（或差角）的范围：如：已知53cos =A ，135sin =B ，则312ππ<-<B A④由三角函数的值域，确定未知角的范围。
三角函数式的化简.docx
三角函数式的化简三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将 较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：（1）能求出 数值的要求出数值；（2）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；（3）分式中的分母尽量 不含根式等.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成 同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降 低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中 的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.(一) 知识点 1、辅助角公式tzsin a+bcos a =yja + /72sin(«+cp),"cos (p= _______________ ,其中v si“0= ------------------------ ，btan 一， V Y a2、降幕公式：・2sins= _________________, cos a= _________________ （二）例题讲解⑴求./（X ）的最小正周期；（2）当«e[0,兀]时，若./（«） = 1,求a 的值.审题视角（1）在/（X ）的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、 降幕等转化方法.（2）当/（x ）=dsinx+方cosx 的形式时，可考虑辅助角公式.=-\/3cos 2r+sin xcos x —萌 siiFx+sin xcos 兀所以最小正周期T=n.(2)由 /((X )— 1,得 2sin (2a+守=1,厂 *7又 aW[0,兀],所以 2c (+je 专，-y 所以2a+|=y 或2°+申=晋,角卩称为辅助角.sin a cos a - ___________xcos x.[2分][6分][8分]例1、（12分）已知函数y （x ）=2cosin 2x+sin ⑴因为X%)=2cossin 2x+sin xcosx1 • (2010-福建)计算 sin 43°cos 13°B 誓—cos 43°sin 13。
三角函数的化简与证明
第35课 三角函数的化简与证明●考试目标 主词填空1.三角函数式的化简要求及常规方法化简就是使式子最简,即:能求值的应求值；次数最低，项数最少，三角函数种类最少，将高级运算表为低级运算；化简的常规方法有：直用公式，逆用公式，变用公式，切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次.2.三角恒等式的证明常用的方法有:化繁为简，左右归一，变更等式，化异为同，异角化同角，异名化同名. 3.条件等式的证明认真解读条件与结论，发现已知条件和待定等式之间的关系，选择适当的途径和机会把条件等式用上去!●题型示例 点津归纳【例1】 化简下列各式 (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+-παπα2232cos 21212121; (2)42sin 42cos tan 5312sin 2cos 2tan 31--+--++x x xx x x ; (3)se c 2280°－3c s c 2280°.【解前点津】 (1)利用升次公式,去掉开方符号. (2)可使用换元化简，令t =t a n x . (3)化割为弦.【规范解答】 (1)∵αααπαπcos |cos |2cos 2121,223==+∴<<, 又∵2sin ,2sin |2sin |cos 2121,243ααααπαπ=∴==-∴<<原式. (2)令t =t a n x ,则原式=41811531121)1(231222222-+-+-+--+++-+t t t t tttt t t =x t t t t t t t t t t 2sec 212)1()1)(53()1)(51()1)(31()1()31(2222=-+=+++++-++∙+.(3)原式=csc 210°－3se c 210°=(csc10°+3sec10°)·(csc10°－3sec10°)=︒︒-︒∙︒+︒=︒︒︒-︒∙︒∙︒︒+︒20sin )1030sin()1030sin(1610cos 10sin 10sin 310cos 10cos 10sin 10sin 310cos 2=32cos20°.【解后归纳】 切割化弦，巧用换元,都是常规方法.【例2】 证明:cos 3α+sin 3α+cos 4α－sin 4α=2cos 24sin 4cos 2422ααπαπ∙⎪⎭⎫⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-.【解前点津】 左右两边结构都较复杂，可同时化简，左、右归一.【规范解答】 左边=(cos α+sin α)·(cos 2α－cos α·sin α+sin 2α)+(cos 2α+sin 2α)·(cos α+sin α)·(cos α－sin α)=(cos α+sin α)·(1－cos αsin α+cos α－sin α)=(cos α+sin α)·(1+cos α)(1－sin α)右边=2cos 122cos 1sin 4sin cos 4cos 24ααπαπαπ+∙⎪⎭⎫ ⎝⎛--∙⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+∙)s i n (c o s αα+=·(1－sin α)·(1+cos α),∴左边=右边，等式成立. 【解后归纳】 若被证明的等式两边都很复杂，则同时化简，双营齐下，是左、右归一的必然途径.【例3】 若2t a n α=3t a n β,证明:t a n(α－β)=ββ2cos 52sin -.【解前点津】 利用条件，用t a n β表示等式左边,而右边同样可用t a n β表示. 【规范解答】 ∵t a n α=23t a n β,∴t a n(α－β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙+-=βββββ22tan 32tan tan 231tan tan 23+=+- 又∵βββββββββββ2222222tan 32tan )tan 1()tan 1(5tan 2tan 1tan 15)tan 1(tan 2cos 52sin +=--+=+--+=-∴t a n(α－β)=ββ2cos 52sin -.【解后归纳】 将被证等式的两边都用t a n β表示，而不含t a n α,本质上是“消元法”，将多个变量的表达式，变为单个变量的表达式，往往要使用“消元”的方法.【例4】 在△ABC 中,若sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B,求证:t a n312tan 2=∙C A . 【解前点津】 因结论等式中不含B .故需设法消去已知等式中的B 角,可考虑使用三角形内角和定理.【规范解答】 ∵sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B,∴2sin 212cos 12cos 12BC A -=-+-. 又∵sin 2B =cos 2C A +,∴2sin 22B =21(cos A +cos C )⇒2cos 22C A + =cos 2C A +·cos ⇒-2C A 2cos2C A +=cos 2CA -. ∴2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2C A C A C A C A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-.∴.2cos 2cos 2sin 2sin3C A C A ∙=∙故312tan 2tan =∙C A . 【解后归纳】 本题证明使用了降次公式，和差化积，三角形内角和定理，熟练使用公式与定理，是做论证题的一项基本功. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.若3(sin α+sin β)=cos β－cos α,α、β∈(0,π),则α－β等于 ( ) A.－32π B.－3π C.3πD.32π 2.化简:)tan(tan tan tan )tan(βααβαβα+∙--+的结果是 ( )A.t a n αB.t a n βC.t a n(α+β)D.t a n(α－β) 3.若t a n(α+β)=52,t a n 414=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ,则t a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值是 ( )A.1813 B.223 C.1213D.183 4.已知α+β=32π,则y =cos 2α+cos 2β的最大值为 ( )A.21 B.23C.43D.222+5.若α、β为锐角,sin α=552,sin(α+β)=53,则cos β等于 ( )A.552B.2552C.2552552或D.－2552 6.已知180°<α<270°,且sin(α+β)·cos β－cos(α+β)sin β=－54,则t a n 2α的值为 ( )A.3B.2C.－2D.－3 7.已知cos(α+β)·cos(α－β)=－32,则cos 2α+cos 2β的值为 ( ) A.－32 B.－31 C.31 D.328.已知α+β=3π,且α、β满足关系式:3(t a n α·t a n β+a )+t a n α=0,则t a n β= ( )A.3(1+a ) B.3(1－a ) C.33(1+a ) D. 33(1－a ) 9.若0<x <2π,则函数y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2tan 2cot )2cos 1(x x x 取最大值时x 的值是 ( )A.4πB.8πC.6πD.12π10.若2523<<θππ,则θθsin 1sin 1--+可化简为 ( )A.2sin 2θB.－2sin 2θC.2cos 2θD.－2cos 2θ二、思维激活11.化简⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπα4cos 4sin cos 212= .12.若θθθθcos 3sin cos sin 2-+=－5,则3cos2θ+sin2θ= .13.已知t a n θ=2,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+--θπθθ4sin 21sin 2cos 22= . 14.已知:sin(α+β)=21,sin(α－β)=31,则log 5(t a n α·cot β)2= .三、能力提高15.已知cos θ－sin θ=2sin θ,求证:cos θ+sin θ=2cos θ.16.已知cos α=53,cos(α+β)=－135,且α、β都是锐角，求sin β值.17.求证:t a n A +cot A =Asin 2.18.在△ABC 中,sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,求证:5cos A －4cos A ·cos C +5cos C =4.第6课 三角函数的化简与证明习题解答1.D 和差化积:3·2sin 2tan2sin2sin22cos2βαβαβαβαβα-⇒-++=-+＝32323πβαπβα=-⇒=-⇒+. 2.B ∵tan β=tan ［(α+β)－α］=()[]()[]βαααβα+∙+-+tan tan 1tan tan 故原式=[]ββααββααβtan )tan(tan tan )tan(tan 1tan =+∙-+∙+∙.3.B tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4)(tan 4πββαπα =4152141524tan )tan(14tan )tan(⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--+πββαπββα. 4.B y =21(1+cos2α)+21(1+cos2β)=1+21(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)·cos(α－β) =1－21cos(α－β)≤23.5.B cos β=cos ［(α+β)－α］=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)·sin α=2552552535554=⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-.6.C 由条件知sin α=－542tan 12tan2542-=+⇒αα,解之:tan 2α=-2. 7.C 原式=21(1+cos2α)－21(1+cos2β)=21(cos2α+cos2β)=－sin(α+β)·sin(α－β),由条件:21(cos2α+cos2β)=31.8.A 由α+β=[]βαβαπtan tan 1)tan (tan 33∙-=⇒从方程组中消去tan α即得.9.A 分子=2cos 2x ,分母=x y x x x x xx x x x 2sin 21sin cos 22cos 2sin 2sin cos 2cos 2sin 2sin 2cos22==-=-故. 10.B 原式=2cos 2sin ,45243,2cos2sin2cos2sin θθπθπθθθθ>∴<<--+.11.分子－cos2α,分母=α2cos 21,故原式=－2. 12.由条件得:2tan 53tan 1tan 2=⇒-=-+θθθ,故3cos2α+3sin2θ=3·12149tan tan 2tan 1tan 12222-=++-=+++-θθθθ. 13.原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-θπθπθπθππθπθθπθπθθ4sin 4cos 4sin 24sin 4cos 24sin 2sin 2sin 4sin 2sin cos . =2232121tan 1tan 14tan 1+-=+-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθπ.14.∵tan α·cot β=βαtan tan . 由条件:()()23)tan (tan )tan (tan sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin =-+=-+=-+βαβαβαβαβααβαβαβα,解之:4)5(log5log ,5tan tan 4525====故原式βα.15.∵cos θ－sin θ=2sin θ,∴cos θ=(2+1)sin θ,∴左边－右边=(1－2)cos θ+sin θ=(1－2)·(1+2)sin θ+sin θ=0,∴左边=右边. 16.由条件知:sin α=,54,sin(α+β)=⇒1312sin β=sin ［(α+β)－α］ =sin(α+β)·cos α－cos(α+β)·sin α=655654135531312=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯. 17.证明:∵sin2A ·(tan A +cot A )=A A 2tan 1tan 2+ (tan A +cot A )=AA 22tan 1)1(tan 2++=2,∴原等式成立.18.由条件:2sin B =sin A +sin C ⇒2sin(A +C )=sin A +sin C⇒2·2sin2C A +·cos 2C A + =2·sin 2C A +cos 2CA - ⇒2cos 2C A +=cos 2CA -,展开得: 2cos 2A cos 2C －2sin 2A sin 2C =cos 2A cos 2C +sin 2A sin 2C即cos 2A cos 2C =3sin 2A sin 2C ,∴tan 2A ·tan 2C =31.令x =tan 2A ,y =tan 2C则x ·y =31.故⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-=∙++2tan 12tan 12tan 12tan 112tan 12tan 12tan 12tan 1cos cos 1cos cos 22222222C C A A C C A A C A C A =5491191111111*********222222222=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++-y x y x y y x x y y x x , ∴5(cos A +cos C )=4(1+cos A ·cos C )，即5cos A －4cos A ·cos C +5cos C =4.。
高考冲刺 三角函数的概念图像与性质(基础)
高考冲刺 三角函数的概念图象和性质【高考展望】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。
当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。
从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测今年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【知识升华】 方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。
三角函数中三角变换常用的方法和技巧
三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式两角和公式sinA+B=sinAcosB+cosAsinBsinA-B=sinAcosB-sinBcosAcosA+B=cosAcosB-sinAsinBcosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanBtanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanB倍角公式tan2A=2tanA/1-tanA^2cos2a=cosa^2-sina^2=2cosa^2 -1=1-2sina^2sin2A=2sinAcosA半角公式sin^2α/2=1-cosα/2cos^2α/2=1+cosα/2tan^2α/2=1-cosα/1+cosα万能公式sina= 2tana/2/1+tan^2a/2cosa= 1-tan^2a/2/1+tan^2a/2tana= 2tana/2/1-tan^2a/2一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中,表达式往往出现较多的相异角,此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解;常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；22αα=等等;例1 函数ππ2sin cos ()36y x x x ⎛⎫⎛⎫=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 的最小值等于 ． A 3- B 2-C 1-D 解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ362x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以将函数()f x 的表达式转化为πππ()2cos cos cos 666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故()f x 的最小值为1-．故选C ．评注：常见的角的变换有：()ααββ=+-,2()()ααβαβ=++-,2()αβααβ-=+-,22αβαββ+-=-,3πππ()442βααβ⎛⎫⎛⎫+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,ππ44αβαβ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察,往往会发现角之间的关系． 例2、已知 βαβαα,,1411)cos(,71cos -=+=均是锐角,求βcos ; 解：。
三角函数化简题
2|cos||cos|
22
∵0，∴0
∴原式cos．
22
，∴|cos|cos
22
，
§4.04三角函数的化简、求值与证明共7页,第3页
222(3cos4x)
例3．证明：（1）tanxcotx
1cos4x
sin(2AB)sinB
；（2）2cos()
AB
sinAsinA
．
证：（1）左边
224422222
右边，∴得证．
说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到
左”，必定要用倍角公式．
（2）左边
sin[(AB)B]2cos(AB)sinA
sinA
sin(AB)cosAcos(AB)sinA
sinA
sin[(AB)A]sinB
sinAsinA
右边，∴得证．
课堂练习
1．若cos130a，则tan50
1cos1cossin1cos
()(1)
sinsincossin
2cos1cos1
(1)2cot(11)2csc
sincoscos
．
（3）原式
2
(2cos2cossin)(sincos)
22222
2(1cos)
2cos(cossin)(sincos)
22222
2
22cos
2
22
2cos(sincos)cos(cos)
1．三角函数式的化简：
三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为
同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
2．三角恒等式的证明：
三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法令狐采学一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。
asinθ+bcosθ=22ba+sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ=ab确定。
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan2θ的有理式。
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如ααββαββαα22122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
三角函数化简问题的解答方法
三角函数化简问题的解答方法三角函数化简是指把复杂的三角函数式通过一系列的恒等变换，使之成为简单的三角函数式的数学问题。
解答三角函数化简问题涉及的基本知识点主要包括：①同角三角函数的基本关系；②诱导公式；③和角，差角，二倍角与辅助角公式。
那么在实际解答三角函数化简问题时，如何运用这些基本知识点，才能快速、简捷达到解答该类问题的目的呢？下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、化简（1+tan 2α）（1-sin 2α）= ；【解析】【知识点】同角三角函数的基本关系。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=（1+22sin cos αα）. 2cos α=222cos sin cos ααα+.2cos α=1。
2α是第二象限的角。
【解析】【知识点】①同角三角函数的基本关系；②分式的定义与性质；③二次根式的定义与性质。
【解题思路】运用分式的定义与性质和同角三角函数的基本关系，结合二次根式的定义与性质通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】α是第二象限的角，∴cos α<0，⇒原式=|1sin ||cos |αα+-|1sin ||cos |αα-=-1sin cos αα++1sin cos αα-=1sin 1sin cos ααα--+-=2sin cos αα-=-2tan α。
『思考问题1』（1）【典例1】是运用同角三角函数基本关系化简三角函数式的问题，解答这类问题需要理解和掌握同角三角函数基本关系；（2）同角三角函数基本关系主要包括：①平方关系：2sin α+2cos α=1；②商除关系： tan α= sin cos αα。
〔练习1〕化简下列三角函数式：1 2、cos αtan α； 3 4、222cos 112sin αα--； 5、（1+22tan )cos αα。
【典例2】化简下列各三角函数式：1、cos(180sin sin(180cos αααα+---。
厚积薄发-高考数学41讲之第05讲- 三角函数的化简和求值
∴ cos 2 ϕ = sin 2 ϕ = 1 − cos 2 ϕ ,
,
又 0<φ <
π
2
, ∴
2 cos ϕ = 2
归纳总结：本题考查同角三角函数公式及 两角差的余弦，注意角的范围.
例6
π sin( − θ ) 2 已知2 sin θ − = 2, θ ∈ (0, π ),求θ的值. cos( π + θ )
x
x
（2）三角函数值的符号规律： 正弦：一、二象限正，三、四象限负； 余弦：一、四象限正，二、三象限负； 正切：一、三象限正，二、四象限负.
2．同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 2 α + cos2 α = 1 ； sin
sin α tan （2）商的关系： α = . cos α
3．诱导公式：
kπ ± α ( k ∈ Z) 中 2
k 的奇偶性；“符号”是把
任意角看成锐角时原函数值的符号.
三、典型问题选讲：
（一）考查三角函数定义 例1 角 的终边经过点P(1,-2),则tanα的 α 的终边经过点P(1,-2),则 值是（ ）. 分析：本题可由三角函数的定义求得 tanα的值是-2. 的值是-
1 π 解：（Ⅰ）由 cos α = , 0 < α < ， 7 2
4 3 1 sin α = 1 − cos α = 1 − = . 7 7 sin α 4 3 7 tan α = = × =4 3 . cos α 7 1
2
得
2
∴
（Ⅱ）由 0 < β < α <
，得 0 < α − β < 2 . 2 又∵ cos (α − β ) = 13 ，
2022届高三数学一轮复习三角函数之三角公式的化简与求值 题型方法归纳
高考数学专题—三角函数（三角公式的化简与求值）高中阶段三角函数公式主要包括：同角三角公式、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、和差化积与积化和差关系式。
（1）同角三角公式—主要用于正弦、余弦、正切之间的计算与推导（2）诱导公式—将角的三角函数值推广到全体实数（3）两角和差与二倍角公式—研究不同角度之间的公式一、三角函数求值与化简必会的三种方法（常用）(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则A．B．C．D．【答案】A【解析】，得， 即，解得或（舍去），又.故选：A ． 例2、cos 150−sin 150cos 150+sin 150=A,−√3 B,0 C√3 D,√33法一：利用两角和差公式，求出cos 150，sin 150因为cos 150=cos (450−300)=cos 450cos 30°−sin 450sin 300=√6+√24同理可得sin 150=√6−√24所以cos 15o −sin 150cos 150+sin 150=√6+√24−√6−√24√6+√24+√6−√24=√33故选D法二:利用利用同角的正弦与余弦平方和为1，求解。
因为sin 150>0，cos 150>0 所以令cos 150−sin 150cos 150+sin 150=t (t >0)t 2=cos 2150−2cos 150sin 150+sin 2150cos 2150+2cos 150sin 15°+sin 215°=1−sin 3001+sin 300=13故选D法三：利用平方差公式，将非特殊角转化为特殊角。
三角函数式的化简
三角函数式的化简三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.（一）知识点 1、辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝ba ，角φ称为辅助角．2、降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________；=ααcos sin（二）例题讲解例1、(12分)已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值.审题视角 (1)在f (x )的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法.(2)当f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式时，可考虑辅助角公式. 解 (1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x[2分]＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.[6分](2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3，[8分]所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.[12分]解题步骤：第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式.（化同角，降幂） 第二步：构造：f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·aa 2＋b 2＋ cos x ·ba 2＋b 2). 第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角).第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和解题规范.例2、求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min ＝(1－1)2＋6＝6， 故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6.（三）巩固练习1．(2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) A.12 B.33 C.22 D.322．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是 ( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 4．(2011·广州模拟)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．95．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝⎛⎭⎫α－7π6的值是 ( ) A ．－233 B.233 C ．－23 D.236．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝5π4B ．x ＝3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－π27．(2010·重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－sin α13·sin α2＋α33＝________.8．(14分)(2011·济南模拟)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分) ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6.∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.………………………………………………………………(6分)(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π (k ∈Z )，得函数单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π (k ∈Z )．……………………………………(10分) 列表：x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 2 描点连线，得函数图象如图所示：…………………………………………………………………………………………(14分)9．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数10．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，3211．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( )A ．－1B ．－12 C.12D ．112．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值13、(2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22xsin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4， ∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1. 14、(12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x2＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分] 所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋12，[11分] 解得m ＝－2.[12分]15．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．16．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．17．(12分)(2011·南京模拟)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分)(1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，……………………………………………………………………………………………(10分)当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.……………………………………………………………………………………………(12分) 18．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .………………………………………………………………(10分)因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.…………………………………………………(14分)。
三角变换常用的技巧与方法
三角变换常用的技巧与方法赵春祥三角变换是运算、化简、求值、证明过程中运用比较多的解题技巧，运用三角变换中的常用技巧是高考中所必需的．要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法和技能．下面介绍三角变换中常用的方法与技巧．一、 角的变换三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、半等关系，化多角为单角或减少未知角的数目，沟通条件与结论角的差异，使问题顺利获解． 例1 已知0＜β＜4π，4π＜α＜43π，coos(4π－α) =53，sin(43π＋β)=135，求sin(α＋β)的值．分析：如果将sin(α＋β)按和角公式展开，通过求出α、β角的正余弦来求sin(α＋β)的值，计算十分复杂．若注意到(43π＋β)－(4π－α)=2π＋(α＋β)便可求出43π＋β和4π－α的正余弦值来求sin(α＋β)，则较为简捷． 解：∵4π＜α＜43π，∴－2π＜4π－α＜0，∴sin(4π－α)=－54． 又∵0＜β＜4π，∴43π＜43π＋β＜π，∴cos(43π＋β)=－1312． ∴sin(α＋β)=－cos(2π＋α＋β)=－cos[(43π＋β)－(4π－α)] =－cos(43π＋β)·cos(4π－α)－sin(43π＋β)·sin(4π－α) =－(－1312)×53－135×(－54) =6556． 评析：本题采用的“凑角法”是解三角题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．凑角变换表面上看将角化简为繁，难于理解，实质上恰恰体现了由未知角向已知角转化，用已知角表示未知角的一贯思路．此外，还常用到下列变换：β= (α＋2β)－(α＋β)；α= (α－β)＋β；2α= (α＋β)＋(α－β)；α－β= (α－γ)＋(γ－β)，︒15=︒45－︒35；4π＋α=2π－(4π－α)等． 二、 函数名称变换三角变换中，常常需要变函数名称为同名函数．在三角函数中，正、余弦是基础，通常化切割为弦，变异名为同名，减少了函数种数，易于变形． 例2 已知αααtan 12sin sin 22++= k (4π＜α＜2π)试用k 表示sin α－cos α的值． 分析：将已知条件“切化弦”转化为关于sin α，cos α的等式． 解：由已知αααtan 12sin sin 22++=αααααcos sin 1)cos (sin sin 2++=2 sin αcos α= k ． ∵4π＜α＜2π，∴sin α＞cos α， ∴sin α－cos α=2)cos (sin αα-=ααcos sin 21-=k -1．评析：切割化弦是三角变换的一种常用方法，若能把所给式子中的三角函数都化成同名、同角的三角函数，则此三角函数式的化简，实质上是代数式的变形．三、 常数的变换在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，这样，就增加了多种可用的工具．例3 已知ααtan 1tan 1-+=5＋26，求αα2cos 2sin 1-的值． 分析：要求αα2cos 2sin 1-的值，条件ααtan 1tan 1-+=5＋26是非常重要的，需要从这一条件出发，将a 的某一三角函数值求出，即可获解． 解：ααtan 1tan 1-+=ααtan 45tan 1tan 45tan ︒-+︒=tan(︒45＋α)=5＋26． ∵αα2sin 12cos -=)290cos(1)290sin(αα+︒++︒= tan(︒45＋α)，∴αα2cos 2sin 1-=)45tan(1α+︒=6251+= 5－26． 评析：这里对1的代换很灵活，分子部分的1用tan ︒45，而分母部分的1并没有代换，为使用公式的方便，将系数1用tan ︒45代换，可巧妙地化简．四、 公式变换三角公式作为恒等式，在运用时，不能仅局限于它的正用，逆用公式不仅能进一步熟悉掌握公式，而且更便于解题．例4求tan ︒25＋tan ︒35＋3tan ︒25×tan ︒35的值．解：∵tan(α＋β) =βαβαtan tan 1tan tan -+，由此公式的变形有：tan α＋tan β= tan(α＋β)[βαtan tan 1-]，整理得tan α＋tan β＋tan(α＋β) tan αtan β = tan(α＋β)． 令α=︒25，β=︒35，即得：tan ︒25＋tan ︒35＋3tan ︒25×tan ︒35=3．评析：由此例还可以编拟出一系列有趣的恒等式，比如：令α=︒80，β=︒40；α=︒20，β=︒40°；α=︒23，β=︒37等．五、 参数变换根据三角函数式的结构，引入参变量替换，使参变量在解题过程中起到桥梁作用，通过参数代换，使繁难的式子变得简单、复杂的式子变得简明，使隐含的规律显露出来．例5 求cos ︒36－cos ︒72的值．解：设 x = cos ︒36，y = cos ︒72，由cos ︒72= 2 cos 2︒36－1得 y = 2x 2－1， 又 cos ︒36= 1－2sin 2︒18= 1－2cos 2︒72，则 x = 1－2y 2． ∴ x + y = 2(x 2－y 2) = 2( x + y )( x －y ) ，∵ x + y ≠0 ，∴x －y =21 ，即cos ︒36－cos ︒72=21 ． 评析：在三角函数求值问题中，通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论．这种替换可以转化原问题的结构，简化解题过程．替换如果用的巧妙，还可以收到事半功倍的效果．六、 平方升次变换通过平方升次运算，可以避开直接解题时的麻烦，使解题思路更明显，解法更巧妙．例6 已知sin αcos β=21，求cos αsin β的取值范围． 解：由sin αcos β=21两边平方得，sin 2αcos 2β=41， 又cos 2αsin 2β= (1－sin 2α)(1－cos 2β) =1－(sin 2α＋cos 2β)＋sin 2αcos 2β=45－( sin 2α＋cos 2β)， ∵sin 2α=β2cos 41，∴sin 2α＋cos 2β=β2cos 41＋cos 2β = (βcos 21－cos β)2＋1，∴cos 2αsin 2β=45－[(βcos 21－cos β)2＋1] =41－(βcos 21－cos β)2≤41． ∴－21≤cos αsin β≤21． 评析：平方变换架起已知通向未知的桥梁，沟通已知与未知的联系．七、降次变换降次变换需要使用倍角公式：sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+． 例7 求sin 416π＋sin 4163π＋sin 4165π＋sin 4167π的值． 解：原式= (sin 216π)2＋(sin 2163π)2＋(sin 2165π)2＋(sin 2167π)2 =41(1－cos 8π)2＋41(1－cos 83π)2＋41(1－cos 85π)2＋41(1－cos 87π)2 =1－41×2(cos 8π＋cos 83π＋cos 85π＋cos 87π)＋41(cos 28π＋cos 283π＋cos 285π＋cos 287π) =1－21( cos 8π＋ cos 83π－ cos 83π－ cos 8π) ＋81[(1＋cos 4π)＋(1＋cos 43π)＋(1＋cos 45π)＋(1＋cos 47π)] =1＋21＋81( cos 4π＋ cos 43π－ cos 43π－ cos 4π) =23． 评析：本例两次使用降次公式，使问题得以迅速解决，简捷而明快．。
数学专题1-三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简与求值知识网络三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列一、高考考点以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系： .②商数关系： .③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角①k²360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数³90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°±（共性：奇数³90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）诱导公式的引申；；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数两角差的三角函数令＝2、倍角公式；＝＝；3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）：；；. 推论2（万能公式）：；. 推论3（半角公式）：；；.其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题例1、填空：（1）已知的取值范围为（2）已知的取值范围为分析：（1）从已知条件分析与转化入手①又②∴由①、②得，∴应填（2）首先致力于左右两边的靠拢：左边＝①右边＝②∴由左边＝右边得，∴应填点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：（1）（2）分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
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化简三角函数式，应注意四变化
新课改湘教版教材中，三角函数部分比之旧教材降低了难度要求，但教材所体现出的对学生的能力和数学素养要求反而更高，如在化简三角函数式时，还是感觉式子复杂且变化多端，加之公式繁多，无从下手。
通过多年教学积累大体可归纳为有四变化，一角二名三次方四结构，解决好这四大变化是化简三角函数式的关键所在。
1角的变化
首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，如“拆分”、“倍角”、“角与角的和或差与π，π2的整数倍”等关系，利用两角和、二倍角、诱导公式等减少角的个数。
角的变换是三角函π数变换的核心。
2函数名的变化
五、对三角函数式化简的目标是：
（1）次数尽可能低；
（2）角尽可能少；
（3）三角函数名称尽可能统一；
（4）项数尽可能少。
在化简时，可能四种形式都能达到目的。
6化简三角题的一般策略：
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”
（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系
（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化
三角函数恒等变形的基本策略：一角二名三次方四结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变
换的核心。
第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三看次方，利用平方关系、降幂公式高次降低次，第四观察形式的结构特征。
7基本的技巧有：
（1）常值代换：特别是用“1”的代换
（2）项的分拆与角的配凑
（3）三角函数次数的降升，即二倍角公式的变形
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）（5）引入辅助角
（6）公式变形使用。