第二十四讲 生活中的数学

第二十四讲生活中的数学(五)——光线和影子
在我们日常生活中，离不开光线和影子．俗话说：“万物生长靠太阳”，指的是太阳光给我们带来能量和光明，因此，我们要研究光线．但是伴随光线便产生了影子，影子也同样对我们的生活产生着重要的影响．例如，人们在海滩上晒太阳，享受着日光浴的恩惠，但是又常常带上太阳镜，利用太阳镜的影子保护眼睛．又如建筑楼房住宅或公寓，都有阳台，但在阳台的上方安装一块水泥板，它的用途不仅是挡雨，而且为了遮阳．这就是说，在我们的生活中，不仅要充分地利用阳光，而且又要限制阳光，以便充分地利用影子．为此，我们研究如下的一些有关阳光和影子的问题，同学们可能会产生兴趣．
例1 在北半球某地有一间房子面向正南，假定房檐离地面高3米，窗台高80厘米(窗高暂不考虑)．如果冬天太阳最低时，正午是31°，夏天太阳最高时，正午是78°，若你是一名建筑师，就要考虑房檐设计为多宽，才能正好在夏天使阳光进不了房子，而在冬天让阳光最大可能的照进屋里．怎样设计？
这个问题并不难，为了解决它，我们依照题意画一个图，设房檐宽为x厘米，冬天照进屋里的阳光最深为y厘米，那么利用解三角形的知识，计算出x，也就得到y了(见图3-132)．
解在直角△ABC中，AB=x，∠ABC=90°，BC=300-80=220(厘米)，∠BAC=78°，所以ctg
x=220ctg78°=220×0.21=46.2(厘米)．
为了求y，我们由A点向地面ED引垂线，设垂足为F，则在△AEF中，AF=300厘米，∠AFE=90°，∠AEF=31°，
EF=y+DF=y+46.2，
所以
所以y+46.2=300ctg31°，
y=300×1.66-46.2=451.8(厘米)．
所以，由上面计算结果，只要把房檐的宽设计为46.2厘米，就保证夏天阳光照不进房子，而冬天阳光却可以照进屋里达4.52米的深度．
如果你对这个问题感兴趣，你家住的又是北房的话，那么你不妨在夏至那天正午，看看阳光照在你家房檐下的什么地方，并记录下太阳的高度，在冬至那天正午，再看阳光照进屋里有多深，并记录下太阳的高度，这样就可以从数学的角度研究你家房子的设计是否合理了．
例2 有一个窗子是田字形的，阳光照射后，地面上便呈现出它的影子，在图3-133中，有四种答案，你认为哪个答案是对的？
同学们看到这个图，可能有些为难了，也许因为这种现象太平常了，平时没有引起注意．我们曾经问过一些少年朋友，不少的人回答说：“(a)对”．实际上这种回答是不对的．那么哪个是对的呢？为什么是对的呢？为此，我们有必要研究一下太阳光线的几何性质．
我们用一张纸板，把它沿直线EF折一个角度(如图3-134)．假定这张纸的一个面为α，是向阳的，太阳光线如图上箭头所示方向，又假设折纸的另一部分正好是α的影子α′．我们在α上打两个小孔A和B，那么对应于小孔A，B，太阳光在α′上的投射点(影)设为A′和B′．
通过作图，可以发现直线AB和直线A′B′交直线EF于同一点R，并且通过测量，可以得到如下比例式：
因此，AA′∥BB′．这就告诉我们太阳光线是平行的．
这里有一个问题，即如果直线AB与直线EF不相交，那么必有AB∥EF，这时，直线AB的影子A′B′也必然平行于EF．不然的话，假如直线A′B′与EF相交，那么AB也必须与EF相交了，这是因为若直线AB与EF不相交，我们把太阳光线反向观察，就可以得出：直线在阳光照射下可以变成一折线的怪事(如图3-135)．所以AB∥EF，A′B′∥EF，那么，AB∥A′B′(见图3-136)．
由实验可知AB=A′B′，所以这时四边形ABB′A′是平形四边形，所以AA′∥BB′．这样我们就确认了太阳光线是平行的几何性质．
由这条性质我们还可得到以下推论．
如果平面α上通过A，B两点的光线在平面α′的对应点是A′，B′，那么直线AB上任何一点的影子一定在直线A′B′上(如图3-137)，不在直线AB上的点的影子一定不在A′B′上(如图3-138)．
有了上面的知识，我们回到例2，正确的答案就是(d)了．为什么呢？请同学们自己思考．
例3 随着城市建设的发展，高层建筑拔地而起，那么就出现了一个问题，高楼大厦之间怎样避免影子遮掩而不影响光线呢？为此，我们只需研究一个简单问题，就是怎样画出一个建筑物的影子．
例如，有一间房子(如图3-139)，屋顶A点在地面上的影子是A′．试画出这间房子的影子．
为了解决这个问题，我们需要进一步研究一下阳光的几何性质．
为此我们把图3-134中的平面α放平，使α，α′在同一平面上，为方便起见，我们称放平后的平面α为α*，那么AB变成了A*B*，而且AB=A*B*(见图3-140)．由于
所以A*A′∥B*B′．
为便于考虑，我们把α*记作α，分以下三种情况加以分析：
(1)设AB≠EF时，画AB的影子A′B′．
画法：(i)延长AB交EF于R；
(ii)设A′是A在α′上的影子；
(iii)连结A′R；
(iv)过B点作BB′∥AA′交A′R于B′(见图3-141)，则A′B′即为所求的AB的影子．
(2)设AB∥EF，画AB的影子A′B′．
画法：(i)在α′上适当取一点A′作为A的影子；
(ii)过A′点作AB的平行线；
(iii)过B点作AA′的平行线；
(iv)设上述所作两条平行线交于B′，则线段A′B′就是所求的线段AB的影子(见图3-142)．
(3)设AB的影子A′B′在同一直线上时，画AB的影子A′B′．
画法：(i)设AB的延长线交EF于R；
(ii)设A点的影子在AB的延长线上的某一适当点A′；
-143)．
有了上面的知识，我们回到例3，便可画出房子ABCDEFG的影子．
解 (l)在相对适当的位置取一点A′作为A的影子，延长线段AB交直线l于点K，并由AA′∥BB′取B点的影子B′；
(3)设AC交l于M，连A′M交B′G′于C′，则C′为C的影子，同理得F′为F的影子；
由于D，E在l上，所以它们的影子是自身．这样我们就画出了所要求的房子的影子(见图3-144)．
由例3，我们知道了怎样画一个简单建筑物的影子，那么两座建筑物的影子互相遮盖的问题，就可以进一步通过画影子图来研究了．实际上也可以通过计算来研究比较简单的问题．
例4 设甲楼坐落正南正北方向，楼高16米(AB=16米)，现在在甲楼的后面盖一座乙楼，如果两楼相距20米(BD=20米)，已知冬天太阳最低时太阳光线与水平线夹角为32°，试求：
(1)甲楼的影子落在乙楼上有多高？
(2)如果甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当是多少米？
解 (l)设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图3-145中，CD的长就是甲楼在乙楼上的影子的高度．
设CE⊥AB于E点，那么在△AEC中，
∠AEC=90°，∠ACE=32°，EC=20米，
所以
AE=EC·tg32°=20·tg32°=20×0.62=12.4(米)，所以
CD=EB=AB-AE=16-12.4=3.6(米)．
(2)设A的影子落在地上某一点C，则在△ABC中，∠ACB=32°，AB=16米，所以
BC=AB·ctg32°=16×1.60=25.6(米)．
所以，要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要25.6米．
练习二十四
1．如果一棵树的影子长是12米，一根直立于地面3米高的竹竿的影子长4.5米，试问树高是多少米？
2．有一个人从点A望树顶，仰角是30°，然后对准树的方向前进12米，到达B点，从B点望树顶仰角是60°，试问树高几米(设此人眼的高度是1．4米)？
3．如图3-146，有一根电线杆AB直立于地面，它的影子正好射在地面的BC段和-45°角的土坡CD上．如果∠BAD=72°，BC=8米，CD=2米，那么电线杆AB高多少米？
4．设小房子侧面顶部A点射在地上的影子是A′(如图3-147)，请画出小房子侧面在地面上的影子．。