7.初中数学中考复习二次函数的应用
中考重点二次函数的性质与应用
中考重点二次函数的性质与应用中考重点:二次函数的性质与应用二次函数是初中数学中的重要内容之一,它在中考中的考查频率较高。
掌握二次函数的性质与应用,能够帮助我们解决与二次函数相关的问题,提高解题能力。
本文将重点讨论二次函数的性质和应用,探索其在数学中的作用。
一、二次函数的定义及一般式表示二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数,其中a、b、c为常数且a≠0。
其中,a决定了二次函数的开口方向,b决定了函数的对称轴位置,c表示函数与y轴的交点。
二次函数的一般式表示形式为y = ax² + bx + c,其中a、b、c为实数且a≠0。
一般式可以转化为顶点式表示或者因式分解式表示,从而更方便地研究二次函数的性质。
二、二次函数的性质1. 对称性:二次函数的图像关于对称轴对称。
对称轴的表示为x = -b / (2a),在二次函数图像上即为顶点的横坐标。
2. 开口方向:当a>0时,二次函数开口向上;当a<0时,二次函数开口向下。
3. 极值点与最值:二次函数的极值点即顶点,其横坐标为-x / (2a),纵坐标为f(-x /(2a))。
当a>0时,二次函数的最小值为f(-x / (2a));当a<0时,二次函数的最大值为f(-x / (2a))。
4. 零点:二次函数与x轴的交点称为零点,可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来确定。
二次函数有两个零点时称为有两个实根,有一个零点时称为有一个实根,没有实根时称为无实根。
三、二次函数的应用1. 求解问题:二次函数常常用于求解与平面图形有关的问题。
例如,已知抛物线y = ax² + bx + c与x轴交于A、B两点,求抛物线经过的最高点的坐标。
通过求解顶点坐标可以得到问题的解。
2. 最值问题:二次函数能够用于解决最值问题。
例如,已知二次函数y = ax² + bx + c,在一定范围内求函数的最值。
初中数学二次函数知识点归纳
初中数学二次函数知识点归纳二次函数是中学数学中一个重要的内容,也是初中阶段的数学学习的重点之一。
掌握二次函数的基本概念、性质及解题方法对于学生提高数学学习水平以及应对中考具有重要意义。
下面将对初中数学二次函数的知识点进行归纳和总结。
一、二次函数的定义及图像特点1. 二次函数的定义:二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的函数,其中 a、b、c 是实数,且 a 不等于 0。
2. 二次函数的图像:二次函数的图像一般为开口向上或开口向下的抛物线。
当a > 0 时,抛物线开口向上;当 a < 0 时,抛物线开口向下。
3. 顶点坐标:二次函数抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a)),其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
4. 判别式的作用:二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac 提供了解二次函数方程的相关信息,包括方程的根的情况和图像与 x 轴的交点等。
二、二次函数的性质1. 对称性:二次函数的图像关于其顶点对称。
2. 单调性:当二次函数 a > 0 时,函数图像开口向上,单调递增;当 a < 0 时,函数图像开口向下,单调递减(除去顶点)。
3. 零点及方程的根:二次函数的零点即为方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
可以使用求根公式或配方法来解二次方程。
三、二次函数与图像的应用1. 最值问题:通过二次函数的顶点及对称性,可以求得二次函数在定义域范围内的最值。
2. 解析几何:二次函数的图像可用于解释和求解平面几何问题。
例如,通过二次函数的图像可以确定抛物线的焦点、顶点、对称轴等。
3. 时间、距离、高度问题:二次函数可以用来描述物体在空间中的运动问题,如抛体运动中的时间、高度、距离等。
四、解题方法与技巧1. 求解方程:对于二次函数的解析式,可以使用求根公式 x = (-b ± √Δ) / 2a 来解方程。
2. 求函数的最值:通过求二次函数的顶点和判别式的符号,可以迅速判断二次函数的最值情况。
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结二次函数是初中数学中重要的内容之一,它在代数与几何中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数的解法与应用知识点,帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、二次函数的标准形式与一般形式二次函数的标准形式为:y = ax² + bx + c,其中 a、b、c 为常数,且a ≠ 0。
二次函数的一般形式为:y = ax² + bx + c,其中 a、b、c 可以是任意实数。
二、二次函数图像的性质1. 开口方向:- 当 a > 0 时,二次函数开口朝上;- 当 a < 0 时,二次函数开口朝下。
2. 对称轴:对于二次函数 y = ax² + bx + c,其对称轴为 x = -b / (2a)。
对称轴平分了抛物线,并且抛物线上任意两点关于对称轴对称。
3. 最值点:- 当 a > 0 时,二次函数的最小值为 c - (b² / (4a)),对应的 x 坐标为-b / (2a);- 当 a < 0 时,二次函数的最大值为 c - (b² / (4a)),对应的 x 坐标为-b / (2a)。
三、二次函数的解法1. 求零点:通过解二次方程 ax² + bx + c = 0 来求二次函数的零点。
- 当Δ = b² - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根;- 当Δ = b² - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根;- 当Δ = b² - 4ac < 0 时,方程无实数根。
2. 求顶点:二次函数的顶点为最值点,可通过顶点公式 x = -b / (2a) 来求得。
四、二次函数的应用知识点1. 面积与最值:在给定条件下,一个矩形的面积最大或最小值可以由一个二次函数的最值点确定。
2. 抛物线的运动轨迹:- 在自由落体的问题中,我们可以利用二次函数来建立小球的运动模型;- 在抛体运动的问题中,我们也可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
人教版九年级上册数学课件:二次函数的应用
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (1)a确定抛物线的开口方向:
y
•(0,c)
0
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(小)值,这个最大(小)值是多少?
(6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0?
解:(6)
y
由图象可知
当-3 < x < 1时,y < 0 当x< -3或x>1时,y > 0
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
•(0,-3–) 2
人教版九年级上册数学课件:二次函 数的应 用
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(6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0?
解 :(4)由对称性可知
y
MA=MB=√22+22=2√2
• • AB=|x1-x2|=4
A(-3,0) D B(1,0) x
∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
0
=2 √2×2+4=4 √2+4 Δ=M—12 A×B4面×积2==4—12AB×MD
3
• •C(0,-2–) • M(-1,-2)
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中考数学复习第三单元函数第15课时二次函数的综合应用
的形状为开口向下的抛物线,其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米,距地面的
高度为2.4米,灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米,则灯罩顶端D距地面的
高度为
米.
图15-7
[答案] 1.95 [解析]如图,以点B为原点,建立直角坐标系. 根据题意,点A(0,1.6),点C(0.8,2.4),则设抛物线解析式为y=a(x-0.8)2+2.4. 将点A的坐标代入上式,得1.6=a(0-0.8)2+2.4,解得a=-1.25. ∴该抛物线的解析式为y=-1.25(x-0.8)2+2.4. ∵点D的横坐标为1.4, ∴y=-1.25×(1.4-0.8)2+2.4=1.95. 故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米.
关系式是y=-x2+3x+4.请问:若不计其他因素,
水池的半径至少要
米,
才能使喷出的水流不至于落在池外.
图15-5
[答案]4 [解析]在y=-x2+3x+4中, 当y=0时,-x2+3x+4=0, ∴x1=4,x2=-1, 又∵x>0, ∴x=4, 即水池的半径至少要4米,才能使喷出的水流不至于落在池外.
2
3.[2018·绵阳]图15-4是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下
降2 m,水面宽度增加
m.
图15-4
[答案] (4 2-4)
[解析]如图所示,建立平面直角坐标系,横轴 x 通过 AB,纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过抛物线 顶点 C,O 为原点.则抛物线以 y 轴为对称轴,A(-2,0),B(2,0),C(0,2), 通过以上条件可设抛物线解析式为 y=ax2+2,代入 A 点坐标(-2,0),解得 a=-0.5, 所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2, 当水面下降 2 m 时,水面的宽度即为直线 y=-2 与抛物线相交的两点之间的距离, 把 y=-2 代入抛物线解析式得出:-2=-0.5x2+2, 解得:x=±2 2,故水面此时的宽度为 4 2 m, 比原先增加了(4 2-4)m.故答案为(4 2-4).
初中数学最新-中考数学二次函数的应用复习 精品
第三单元 第18课时 二次函数的应用知识点回顾:1、二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x 轴两交点间的距离? 2.各类二次函数顶点位置与a 、b 、c 的关系:(顶点在x 轴上、y 轴上、原点、经过原点) 3、求二次函数解析式的方法:4、二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的最大(或最小)值? 知识点一:求二次函数的解析式例1.(18兰州)农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图所示,则需要塑料布(m2)与半径((不考虑塑料埋在土里的部分) .③交点式来求解析式。
答案:同步检测:1、(18庆阳)图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ,水面宽4m .如图(2)建立图(1) 图(2)平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) A .22y x =- B .22y x = C .212y x =-D .212y x =答案:C2、(18芜湖)如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为(10)A -,,(0B ,(00)O ,,将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°得到A B O ''△,一抛物线经过点A B B '、、,求该抛物线解析式。
答案:∵抛物线过(10)A B -,,设抛物线的解析式为(1)(0)y a x x a =+≠.又∵抛物线过(0B ,将坐标代入上解析式得:3)a a =⨯-=-·,.(1)3)y x ∴=-+-. 即满足条件的抛物线解析式为21)y x x =-+知识点二:利用二次函数的顶点式求最值二次函数y =ax2+bx +c =0,当x =2a b-时,a 4b ac 4y 2-=最大(小)值例2.(18浙江台州)如图,从地面垂直向上抛出一小球,小球的高 度(单位:米)与小球运动时间(单位:秒)的函数关系式是,那么小球运动中的最大高度 .分析:将化为顶点式即可求最大高度答案:4.9米 同步检测:1、(18内江)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是 2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米. 答案:0.52、(18哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S (单位:平方米)随矩形一边长x (单位:米)的变化而变化.(1)求S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)当x 是多少时,矩形场地面积S 最大?最大面积是多少? 答案:(1)根据题意,得2602302xS x x x -==-+ 自变量x 的取值范围是030x <<(2)10a =-<,S ∴有最大值301522(1)b x a ∴=-=-=⨯- 2243022544(1)ac b S a --===⨯-最大∴当15x =时,225S =最大答:当x 为15米时,才能使矩形场地面积最大,最大面积是225平方米知识点三:根据二次函数图像上某些点坐标解决有关问题例3.(18襄樊)如图,一名男生推铅球,铅球行进高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )之间的关系是21251233y x x =-++.则他将铅球推出的距离是m .分析:推出的距离转化为数学上的求y=0时的x 的值(取正值) 答案:10 同步检测:1、(18庆阳)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x ,y )都在一个二次函数的图像上(如图所示),则6楼房子的价格为 元/平方米. 答案:2180;2、(18江西)某车的刹车距离y (m )与开始刹车时的速度x (m/s )之间满足二次函数2120y x =(x >0),若该车某次的刹车距离为5 m ,则开始刹车时的速度为( )A .40 m/sB .20 m/sC .10 m/sD .5 m/s答案:C知识点四:根据二次函数图像和性质解决销售利润问题例4、(18青岛)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价1y (元)与销售月份x (月)满足关系式3368y x =-+,而其每千克成本2y与销售月份x (月)满足的函数关系如图所示.(1)试确定b c 、的值;(2)求出这种水产品每千克的利润y (元)与销售月份x (月)之间的函数关系式;(3)“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?分析:(1)由题意:将(3,25)、(4,24)两点坐标代入可得:22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)理解利润的正确意义:12y y y =- 23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++(3)21316822y x x =-++2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+∵108a =-<,∴抛物线开口向下,在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大.由题意5x <,所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大. 最大利润211(46)111082=--+=(元). 同步检测:1、(18莆田)出售某种文具盒,若每个获利x 元,一天可售出()6x -个,则当x = 元时,一天出售该种文具盒的总利润y 最大. 答案:32、(18包头)某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y kx b =+,且65x =时,55y =;75x =时,45y =.(1)求一次函数y kx b =+的表达式;(2)若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x 的范围.答案:解:(1)根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得1120k b =-=,.所求一次函数的表达式为120y x =-+.(2)(60)(120)W x x =--+21807200x x =-+-2(90)900x =--+, 抛物线的开口向下,∴当90x <时,W 随x 的增大而增大,而6087x ≤≤,∴当87x =时,2(8790)900891W =--+=.∴当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.(3)由500W =,得25001807200x x =-+-,整理得,218077000x x -+=,解得,1270110x x ==,.由图象可知,要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间,而6087x ≤≤,所以,销售单价x 的范围是7087x ≤≤ 知识点五:根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题例5.(18新疆)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房.如图,板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为12m ,抛物线拱高为5.6m .(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式. (2)现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB 上,每扇窗户宽1.5m ,高1.6m ,相邻窗户之间的间距均为0.8m ,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m .请计算最多可安装几扇这样的窗户?分析:(1)可设抛物线的表达式为2y ax =,过点(6 5.6)B -,. ∴可得745a =-∴抛物线的表达式为2745y x =- (2)设窗户上边所在直线交抛物线于C 、D 两点,D 点坐标为(k ,t )已知窗户高1.6m ,∴ 5.6( 1.6)4t =---=- ∴27445k --=125.07 5.07k k -≈,≈(舍去)∴ 5.07210.14CD =⨯≈(m ) 又设最多可安装n 扇窗户∴1.50.8(1)10.14n n ++≤ ∴ 4.06n ≤ ∴最多可安装4扇窗户. 同步检测:(18长春)如图,足球场上守门员在处开出一高球,球从离地面1米的处飞出(在轴上),运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.(2)足球第一次落地点距守门员多少米?(取)(3)运动员乙要抢到第二个落点,他应再向前跑多少米?(取)解:(1)如图,设第一次落地时,抛物线的表达式为由已知:当时即表达式为(或)(2)令(舍去).足球第一次落地距守门员约13米.3分(3)如图,第二次足球弹出后的距离为,根据题意:(即相当于将抛物线向下平移了2个单位)解得3分(米).∴他应再向前跑17米. 随堂检测1、(18恩施). 将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当x取下面哪个数值时,长方体的体积最大( )A. 7B. 6C. 5D.42、用长为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) A2564m 2B 34m 2C 38m 2 D 4m 23、(18吉林长春)某商店经营一种水产品,成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,销售单价定为 元时,获得的利润最多.4、(18武汉)某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x 元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?5、(18金华)跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F 处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9. (1)求该抛物线的解析式;(2)如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米,当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,华的身高;·AOBD EFy(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时超过..她的头顶,请结合图像,写出t的取值范围 .6、(18兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图6-1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图6-2所示),求抛物线的解析式;(2)求支柱EF的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.x7、(18四川巴中)王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+,其中y (m )是球的飞行高度,x (m )是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m . (1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴. (2)请求出球飞行的最大水平距离.(3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其解析式.8、(18黄冈)新星电子科技公司积极应对2018年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第x(月)之间的函数关系式(即前x个月的利润总和y 与x之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段OA、曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,点A为该抛物线的顶点,曲线BC为另一抛物线2y x x=-+-的一部分,且点A,B,C的横坐标分别为4,5205123010,12(1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x(月)之间的函数关系式;(2)直接写出第x个月所获得S(万元)与时间x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元?9、(18南宁)如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x 米.(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积;(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽; (3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.18万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?9题图10、(18日照)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.△EMN的面积;(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.随堂检测参考答案1、C2、C3、704、:(1)2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++(015x <≤且x 为整数);(2)210( 5.5)2402.5y x =--+.100a =-<,∴当 5.5x =时,y 有最大值2418.5.015x <≤,且x 为整数,当5x =时,5055x +=,2400y =(元),当6x =时,5056x +=,2400y =(元)∴当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元.(3)当2200y =时,21011021002200x x -++=,解得:12110x x ==,.∴当1x =时,5051x +=,当10x =时,5060x +=.∴当售价定为每件51或60元,每个月的利润为2200元.当售价不低于51或60元,每个月的利润为2200元.当售价不低于51元且不高于60元且为整数时,每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时,每个月的利润不低于2200元)5、(1)由题意得点E (1,1.4), B(6,0.9), 代入y =ax 2+bx +0.9得 0.9 1.43660.90.9a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得 0.10.6a b =-⎧⎨=⎩∴所求的抛物线的解析式是y =-0.1x 2+0.6x +0.9. (2)把x =3代入y =-0.1x 2+0.6x +0.9得 y =-0.1×32+0.6×3+0.9=1.8∴小华的身高是1.8米 (3)1<t <56、解:(1)根据题目条件,A B C ,,的坐标分别是(100)(100)(06)-,,,,,.设抛物线的解析式为2y ax c =+,将B C ,的坐标代入2y ax c =+,得60100c a c =⎧⎨=+⎩,解得3650a c =-=,.所以抛物线的表达式是y =x(2)可设(5)F F y ,,于是2356 4.550F y =-⨯+= 从而支柱MN 的长度是10 4.5 5.5-=米.(3)设DN 是隔离带的宽,NG 是三辆车的宽度和,则G 点坐标是(70),.过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ,则23763.06350H y =-⨯+>≈.根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车. 7、解:(1)21855y x x =-+2116(4)55x =--+∴抛物线21855y x x =-+开口向下,顶点为1645⎛⎫⎪⎝⎭,,对称轴为4x =(2)令0y =,得:218055x x -+=解得:10x =,28x =∴球飞行的最大水平距离是8m .(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为5x =,顶点为1655⎛⎫⎪⎝⎭,设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+ 又点(00),在此抛物线上,162505a ∴+= ∴16125a =- 21616(5)1255y x ∴=--+ 2163212525y x x=-+8、(1)2210(1,2,3,4)1080120(5,6,7,8,9)502051230(10,11,12)x x y x x x x x x -=⎧⎪=-+=⎨⎪-+-=⎩(2)10(1,2,3,4)2090(5,6,7,8,9)10210(10,11,12)x s x x x x -=⎧⎪=-=⎨⎪-+=⎩(3)由(2)知当1,2,3,4x =时,s 的值均为-10;当5,6,7,8,9x =时,当9x =时s 有最大值90;而在10,11,12x =时,10210s x =-+,当10x =时,s 有最大值110; 因此第10月公司所获利润最大,它是110万元。
初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的应用》教学设计35321212++-=x x y 3532121-2++=x x y 教学环节教学内容 学生活动环节目标 创设情境问题引入 1.已知二次函数 ,求出抛物线的顶点坐标与对称轴。
2.已知二次函数图象的顶点坐标是(6,2.6),且经过点(0,2),求这个二次函数的表达式 。
3.抛物线 c bx x y ++=261-经过点(0,4)经过点(3,217),求抛物线的关系式。
问题:(1)求二次函数顶点坐标的方法 (2)设表达式的思路(3)如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标课前布置,独立完成,上课时没完成的继续完成,之后组内批阅,找学生上台板演,并回答老师提出的问题。
这三个小题是后面实际应用问题的答案,学生在复习二次函数基础知识的同时,把后面的计算提到前面来,便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上,减少学生的计算量。
探索交流获得新知1例题解析例 1 :这是王强在训练掷铅球时的高度y (m)与水平距离x(m)之间的函数图像,其关系式为 ,则铅球达到的最大高度是_____米,此时离投掷点的水平距离是____米。
铅球出手时的高度是_____米,此次掷铅球的成绩是____米。
2、跟踪练习:如图,排球运动员站在点O 处练习发球,将球从1、学生独立思考后回答问题答案。
2、根据图像回答解题思路。
(前面已经求过前两个空,只计算后面两个即可)引导学生得到解决问题的方法:这四个问题都是求线段的长度,共同点为已知点的一个坐标,可将其代入表达式求另一个坐标,再把坐标转化成线段的长。
O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,出手后水平运行6米达到最大高度2.6米,(1) 运行的高度记为y(m),运行的水平距离记为x(m),建立平面平面直角坐标系如图,求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围);(2) 若球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m。
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读:知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景,建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展。
☞考点解析:考点1:二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳:求点的坐标,求抛物线解析式,求线段长或图形面积的最值,点的存在性。
基本方法归纳:待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳:合理使用割补法表达面积,分类讨论要全面。
【例1】(湖北十堰·12分)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(0、﹣4)与x轴交于另一点C,连接BC.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,P是第一象限内抛物线上一点,且S△PBO=S△PBC,求证:AP∥BC;(3)在抛物线上是否存在点D,直线BD交x轴于点E,使△ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式;(2)令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标,作△POB和△PBC的高线,根据面积相等可得OE=CF,证明△OEG≌△CFG,则OG=CG=2,根据三角函数列式可得P的坐标,利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式,k相等则两直线平行;(3)先利用概率的知识分析A,B,C,E中的三点为顶点的三角形,有两个三角形与△AB E有可能相似,即△ABC和△BCE,①当△ABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,根据存在公共角∠BAE=∠BAC,可得△ABE∽△ACB,列比例式可得E的坐标,利用待定系数法求直线BE的解析式,与抛物线列方程组可得交点D的坐标;C.EABEC.E,C.E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,同理可得结论.解:(1)把点A(﹣2,0),B(0、﹣4)代入抛物线y=x2+bx+c中得:,解得:,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣4;(2)当y=0时,x2﹣x﹣4=0,解得:x=﹣2或4,∴C(4,0),如图1,过O作OE⊥BP于E,过C作CF⊥BP于F,设PB交x轴于G,∵S△PBO=S△PBC,∴,∴OE=CF,易得△OEG≌△CFG,∴OG=CG=2,设P(x,x2﹣x﹣4),过P作PM⊥y轴于M,tan∠PBM===,∴BM=2PM,∴4+x2﹣x﹣4=2x,x2﹣6x=0,x1=0(舍),x2=6,∴P(6,8),易得AP的解析式为:y=x+2,BC的解析式为:y=x﹣4,∴AP∥BC;(3)以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE,四种,其中△ABE重合,不符合条件,△ACE不能构成三角形,∴当△ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似,存在两个三角形:△ABC和△BCE,①当△ABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,∵∠BAE=∠BAC,∠ABE≠∠ABC,∴∠ABE=∠ACB=45°,∴△ABE∽△ACB,∴,∴,∴AE=,∴E(,0),∵B(0,﹣4),易得BE:y=,则x2﹣x﹣4=x﹣4,x1=0(舍),x2=,∴D;C.EABEC.E,C.E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,∵∠BEA=∠BEC,∴当∠ABE=∠BCE时,△ABE∽△BCE,∴==,设BE=2m,CE=4m,Rt△BOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,∴,3m2﹣8m+8=0,(m﹣2)(3m﹣2)=0,m1=2,m2=,∴OE=4m﹣4=12或,OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角,此时△ABE与以B,C.E中的三点为顶点的三角形不相似,如图4,∴E(﹣12,0);同理得BE的解析式为:y=﹣x﹣4,﹣x﹣4=x2﹣x﹣4,x=或0(舍)∴D(,﹣);综上,点D的坐标为或(,﹣).【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理,第3问有难度,确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键.【变式1】(四川省攀枝花)如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于C点,且+=﹣.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线顶点为D,直线BD交y轴于E点;B.DP为线段BD上一点(点P不与B.D两点重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,求△BDF 面积的最大值;②在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=∠QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系:x1+x2=﹣,x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为:y=x2﹣2x﹣3(2)由(1)点D坐标为(1,﹣4)当y=0时,x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1,x2=3∴点B坐标为(3,0)①设点F坐标为(a,b)∴△BDF的面积S=×(4﹣b)(a﹣1)+(﹣b)(3﹣a)﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣(a2﹣2a﹣3)﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1<0∴当a=2时,S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为(1,﹣4),点B坐标为(3,0)∴直线BD解析式为:y=2x﹣6则点E坐标为(0,﹣6)BC.CDBC.CD,则由勾股定理CB2=(3﹣0)2+(﹣3﹣0)2=18CD2=12+(﹣4+3)2=2BD2=(﹣4)2+(3﹣1)2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为(,﹣3)【例2】(云南省曲靖)如图:在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点A,经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=.(1)求抛物线的解析式;(2)平移直线l经过原点O,得到直线m,点P是直线m上任意一点,PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,若点E在线段OB上,点F在线段OC的延长线上,连接PE,PF,且PE=3PF.求证:PE⊥PF;(3)若(2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点,点F是y轴上的点,当PE⊥PF时,抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形?如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由.解:(1)当y=0时,x﹣=0,解得x=4,即A(4,0),抛物线过点A,对称轴是x=,得,解得,抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4;(2)∵平移直线l经过原点O,得到直线m,∴直线m的解析式为y=x.∵点P是直线1上任意一点,∴设P(3a,a),则PC=3a,PB=a.又∵PE=3PF,∴=.∴∠FPC=∠EPB.∵∠CPE+∠EPB=90°,∴∠FPC+∠CPE=90°,∴FP⊥PE.(3)如图所示,点E在点B的左侧时,设E(a,0),则BE=6﹣a.∵CF=3BE=18﹣3a,∴OF=20﹣3a.∴F(0,20﹣3a).∵PEQF为矩形,∴=,=,∴Q x+6=0+a,Q y+2=20﹣3a+0,∴Q x=a﹣6,Q y=18﹣3a.将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=4或a=8(舍去).∴Q(﹣2,6).如下图所示:当点E在点B的右侧时,设E(a,0),则BE=a﹣6.∵CF=3BE=3a﹣18,∴OF=3a﹣20.∴F(0,20﹣3a).∵PEQF为矩形,∴=,=,∴Q x+6=0+a,Q y+2=20﹣3a+0,∴Q x=a﹣6,Q y=18﹣3a.将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=8或a=4(舍去).∴Q(2,﹣6).综上所述,点Q的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).【变式2】【例3】(湖北江汉·12分)抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:y=t(t<)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象.(1)点A,B,D的坐标分别为,,;(2)如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在△ABC内(含边界)时,求t的取值范围;(3)如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标;(2)由点D的坐标结合对称找出点E的坐标,根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围;(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m,分m<或m>3及≤m≤3两种情况,利用勾股定理找出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标,此题得解.解:(1)当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0,解得:x1=,x2=3,∴点A的坐标为(,0),点B的坐标为(3,0).∵y=﹣x2+x﹣1=﹣(x2﹣x)﹣1=﹣(x﹣)2+,∴点D的坐标为.故(,0);(3,0);.(2)∵点E.点D关于直线y=t对称,∴点E的坐标为(,2t﹣).当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1,∴点C的坐标为(0,﹣1).设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,将B(3,0)、C(0,﹣1)代入y=kx+b,,解得:,∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1.∵点E在△ABC内(含边界),∴,解得:≤t≤.(3)当x<或x>3时,y=﹣x2+x﹣1;当≤x≤3时,y=x2﹣x+1.假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m.①当m<或m>3时,点Q的坐标为(m,﹣x2+x﹣1)(如图1),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(﹣m2+m)2=m2+1+m2+(﹣m2+m﹣1)2,整理,得:m1=,m2=,∴点P的坐标为(,0)或(,0);②当≤m≤3时,点Q的坐标为(m,x2﹣x+1)(如图2),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2﹣m+2)2=m2+1+m2+(m2﹣m+1)2,整理,得:11m2﹣28m+12=0,解得:m3=,m4=2,∴点P的坐标为(,0)或(1,0).综上所述:存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).【变式3】(辽宁省沈阳市)(12.00分)如图,在平面角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.(1)求抛物线C1的表达式;(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y 轴于点k,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q 的坐标.【分析】(1)应用待定系数法;(2)把x=t带入函数关系式相减;(3)根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况.(4)根据题意画出满足条件图形,可以找到AN为△KNP对称轴,由对称性找到第一个满足条件Q,再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点.利用勾股定理进行计算.解:(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1)∴解得:∴抛物线C1:解析式为y=x2+x﹣1(2)∵动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1,点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=(2t2+t+1)﹣(t2+t﹣1)=t2+2(3)共分两种情况①当∠ANM=90°,AN=MN时,由已知N(t,t2+t﹣1),A(﹣2,1)∴AN=t﹣(﹣2)=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0(舍去),t2=1∴t=1②当∠AMN=90°,AN=MN时,由已知M(t,2t2+t+1),A(﹣2,1)∴AM=t﹣(﹣2)=t+2,∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0,t2=1(舍去)∴t=0故t的值为1或0(4)由(3)可知t=1时M位于y轴右侧,根据题意画出示意图如图:易得K(0,3),B.O、N三点共线∵A(﹣2,1)N(1,1)P(0,﹣1)∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2,则其坐标为(0,2)∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP.则NQ2延长线与⊙K交点Q1,Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP.由图形易得Q1(﹣3,3)设点Q3坐标为(a,b),由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得,1同理,设点Q4坐标为(a,b),由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得,∴满足条件的Q点坐标为:(0,2)、(﹣3,3)、、【点评】本题为代数几何综合题,考查了二次函数基本性质.解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想.考点2:二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳:待定系数法求抛物线解析式,配方法求二次函数最值。
初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式
初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式二次函数在数学中是非常重要的一个概念,它在数学中的应用非常广泛。
在初中数学中,学生们需要学习二次函数的应用和方程与不等式。
下面是初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)的内容。
一、二次函数的应用1.抛物线运动问题:抛物线运动是指在给定的初速度和重力加速度下,物体受到重力的作用而做抛物线运动。
学生们需要通过二次函数的知识,求解抛物线运动问题中的相关参数,如最高点、飞行时间和落地点等。
2.最值问题:通过二次函数的图像,可以求解最值问题。
学生们需要通过自定义条件,建立二次函数模型,求解二次函数的最值。
3.平方差问题:通过二次函数的知识,可以求解平方差问题。
学生们需要通过二次函数的知识,求出平方差的最小值。
二、二次函数的方程与不等式1.二次函数的解法:对于二次函数的方程,学生们需要掌握二次函数的解法。
通过配方法、因式分解法和根与系数的关系等方法,求解二次函数的方程。
2.二次函数的不等式:对于二次函数的不等式,学生们需要通过图像的性质,求解二次函数的不等式。
通过求解二次函数的图像与坐标轴的交点,求解二次函数的不等式。
3.二次函数的应用问题的解法:对于二次函数的应用问题,学生们需要掌握二次函数的方程与不等式的解法。
通过建立方程或不等式,求解二次函数应用问题中的未知数。
三、解题技巧与误区1.解题技巧:学生们在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时,应注意抓住题目的关键信息,建立正确的模型,严格按照问题的要求进行求解。
2.误区:在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时,学生们可能会出现以下误区:-不理解题目的意思,导致建立错误的模型;-忽略二次函数的性质,导致求解出错;-求解过程中计算错误,导致答案错误。
四、典型例题1.例题一:设二次函数f(x)的图像经过点(1,2),其顶点是(-1,3),求该二次函数的解析式。
要求:写出二次函数的标准方程和一般方程。
中考数学专题复习:二次函数
第三课时 二次函数的综合应用
考点
1.与几何图形有关的线段、周长、面积 的最值问题; 2.特殊三角形、四边形的存在问题; 3.动点产生的角度问题等综合题
教学思路
跨领域复合型综合题涵盖了初中数学几乎所有的数学 思想方法,一般以压轴题的形式出现.在有限的中考复习 时间里,应该做到以下几点,以提升学生的思维高度:
二。抛物线型
例2 (2022·河南)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面 0.7 m,水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高,最高点距地面3.2 m;建立如图所示的平面直角坐标系, 并设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高 度.
中考ห้องสมุดไป่ตู้学专题复习
二次函数
第一课时二次函数的图像和性质
二
次
函
第二课时二次函数的实际应用
数
复
习
第三课时二次函数的综合应用
第一课时 二次函数的图像和性质
考点
二次函数的图像与性质通常以选择题或填 空题的形式出现,为历年必考题目。题目设计 主要有同一坐标系中多函数像问题、根据图像 做判断的多结论问题、根据表格形式呈现的多 结论问题等,考查a、b、c的符号、对称轴、最 值、大小比较、与一元二次方程的关系(与x轴、 平行于x轴的直线交点个数)、根据图像解不等 式、图像的平移等。
(1)要加强学生的做题意识,树立必胜的信心,教 师要让学生知道综合题常常是“起点低,坡度缓,尾巴略 翘”,要多鼓励学生大敢作答;
(2)是基础知识和基本技能训练要全面,重点内容 适当分类进行专题训练;
(3)是要教会学生一些常用的解题策略,重视数学 思想和方法的提炼,注意知识的迁移,让学生学会融会贯 通.
初中复习方略数学第十三讲 二次函数的应用
第十三讲 二次函数的应用知识清单·熟掌握抛物线型问题应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1.建立平面直角坐标系:根据题意,建立适当的坐标系,建系的原则一般是把顶点作为坐标原点.2.设函数解析式:根据所建立的坐标系,设出解析式.3.求解析式:将题中所给的数据转化为点的坐标,代入函数解析式,求出待定系数,确定函数解析式.4.解决实际问题:把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标),求其纵坐标(或横坐标),再转化为线段的长,解决实际问题.1.飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间t(单位:s)的函数关系式满足y =-65 t 2+60t ,则飞机着陆至停下来滑行的距离是25 m .(×) 2.小强在一次训练中,掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y =-112 x 2+23 x +53,则小强此次成绩为10米.(√)利润最大化问题应用二次函数性质解决最优化问题的思路1.分析题中数量关系,确定变量.2.根据等量关系,构建二次函数模型.3.根据函数性质,确定最值.在实际问题中二次函数的最值不一定是顶点的纵坐标,要注意自变量的取值的限制对最值的影响.考点一应用二次函数解决抛物线型实际问题类型一:隧道和拱桥问题【典例1】(2021·衢州中考)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24 m,在距离D点6米的E处,测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m,以桥拱顶点O为原点,桥面为x轴建立平面直角坐标系.(1)求桥拱顶部O离水面的距离.(2)如图2,桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.②为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,求彩带长度的最小值.【思路点拨】根据题意设出适当的二次函数表达式,利用待定系数法求出表达式,再结合图形进行求解即可.【自主解答】(1)根据题意可知点F 的坐标为(6,-1.5),可设拱桥侧面所在二次函数表达式为:y 1=a 1x 2.将F(6,-1.5)代入y 1=a 1x 2有:-1.5=36a 1,求得a 1=-124 , ∴y 1=-124x 2, 当x =12时,y 1=-124×122=-6, ∴桥拱顶部离水面高度为6 m.(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6,1),可设其表达式为y 2=a 2(x -6)2+1,将H(0,4)代入其表达式有:4=a 2(0-6)2+1,求得a 2=112 , ∴右边钢缆所在抛物线表达式为:y =112(x -6)2+1, ②设彩带的长度为L m ,则L =y 2-y 1=112 (x -6)2+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-124x 2 =18 x 2-x +4=18 (x -4)2+2, ∴当x =4时,L 最小值=2,答:彩带长度的最小值是2 m .类型二:运动轨迹问题【典例2】(2021·北部湾中考)2022年北京冬奥会即将召开,激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x 轴,过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线C 1:y =-112 x 2+76x +1近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出,滑出后沿一段抛物线C 2:y =-18x 2+bx +c 运动. (1)当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线C 2的函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围).(2)在(1)的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米?(3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求b 的取值范围.【思路点拨】(1)根据题意将点(0,4)和(4,8)代入C 2:y =-18x 2+bx +c 求出b ,c 的值即可写出C 2的函数解析式;(2)设运动员运动的水平距离为m 米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米,依题意得:-18 m 2+32 m +4-⎝ ⎛⎭⎪⎫-112m 2+76m +1 =1,解出m 即可; (3)求出山坡的顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7,6112 ,根据题意即-18 ×72+7b +4>3+6112,再解出b 的取值范围即可. 【自主解答】(1)由题意可知抛物线C 2:y =-18x 2+bx +c 过点(0,4)和(4,8),将其代入得:⎩⎪⎨⎪⎧4=c 8=-18×42+4b +c ,解得:⎩⎪⎨⎪⎧b =32c =4 ,∴抛物线C 2的函数解析式为:y =-18 x 2+32 x +4. (2)设运动员运动的水平距离为m 米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米,依题意得:-18 m 2+32 m +4-⎝ ⎛⎭⎪⎫-112m 2+76m +1 =1, 整理得:(m -12)(m +4)=0,解得:m 1=12,m 2=-4(舍去),故运动员运动的水平距离为12米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米.(3)C 1:y =-112 x 2+76 x +1=-112 (x -7)2+6112, 当x =7时,运动员到达坡顶,即-18 ×72+7b +4>3+6112, 解得:b >3524.此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等.解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义.最高点为抛物线的顶点,抛出点为抛物线中的c 值,落地点为抛物线与x 轴的交点,落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值.(1)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上;(2)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方;(3)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y 值小;(4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高低.(2021·台州中考)以初速度v(单位:m/s)从地面竖直向上抛出小球,从抛出到落地的过程中,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t (单位:s)之间的关系式是h=vt-4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出,初速度为v1,经过时间t1落回地面,运动过程中小球的最大高度为h1(如图1);小球落地后,竖直向上弹起,初速度为v2,经过时间t2落回地面,运动过程中小球的最大高度为h2(如图2).若h1=2h2, 则t1∶t2=__ 2 __.考点二利润最大化问题类型一:顶点处取最值【典例3】(2021·达州中考)渠县是全国优质黄花主产地,某加工厂加工黄花的成本为30元/千克,根据市场调查发现,批发价定为48元/千克时,每天可销售500千克,为增大市场占有率,在保证盈利的情况下,工厂采取降价措施,批发价每千克降低1元,每天销量可增加50千克.(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系.当降价2元时,工厂每天的利润为多少元?(2)当降价多少元时,工厂每天的利润最大,最大为多少元?(3)若工厂每天的利润要达到9 750元,并让利于民,则定价应为多少元?【解析】(1)由题意得:W=(48-30-x)(500+50x)=-50x2+400x+9 000,x=2时,W=(48-30-2)(500+50×2)=9 600(元),答:工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W=-50x2+400x +9 000,当降价2元时,工厂每天的利润为9 600元;(2)由(1)得:W=-50x2+400x+9 000=-50(x-4)2+9 800,∵-50<0,∴x=4时,W最大为9 800,即当降价4元时,工厂每天的利润最大,最大为9 800元.(3)-50x2+400x+9 000=9 750,解得:x1=3,x2=5,∵让利于民,∴x1=3不合题意,舍去,∴定价应为48-5=43(元),答:定价应为43元.类型二:不在顶点处取最值【典例4】(2021·鄂州中考)为了实施乡村振兴战略,帮助农民增加收入,市政府大力扶持农户发展种植业,每亩土地每年发放种植补贴120元.张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物.考虑各种因素,预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系,且当x=160时,y=840;当x=190时,y=960.(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围).(2)受区域位置的限制,老张承租土地的面积不得超过240亩.若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2 160元,当种植面积为多少时,老张明年种植该作物的总利润最大?最大利润是多少?(每亩种植利润=每亩销售额-每亩种植成本+每亩种植补贴)【思路点拨】(1)根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可.(2)根据题意写出利润关于种植面积的解析式,然后根据x≤240和二次函数的性质求出利润的最大值.【自主解答】(1)设y 与x 之间的函数关系式y =kx +b(k≠0),依题意得:⎩⎪⎨⎪⎧840=160k +b 960=190k +b ,解得:⎩⎪⎨⎪⎧k =4b =200 , ∴y 与x 之间的函数关系式为y =4x +200;(2)设老张明年种植该作物的总利润为W 元,依题意得: W =[2 160-(4x +200)+120]·x=-4x 2+2 080x =-4(x -260)2+270 400,∵-4<0,∴当x<260时,W 随x 的增大而增大,由题意知: x≤240,∴当x =240时,W 最大,最大值为-4(240-260)2+270 400=268 800(元), 答:种植面积为240亩时总利润最大,最大利润268 800元. 类型三:在自变量不同取值范围上求最值【典例5】(2020·荆门中考)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年,荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x(天)的函数关系式为p =⎩⎪⎨⎪⎧25x +4(0<x≤20)-15x +12(20<x≤30) ,销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示.(1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围;(2)当月第几天,该农产品的销售额最大?最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)【思路点拨】(1)根据函数图象中的数据,可以得到y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围;(2)根据题意和(1)中的结果,可以得到利润与x 之间的函数关系,然后根据二次函数的性质,即可得到当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少.【解析】(1)当0<x≤20时,设y 与x 的函数关系式为y =ax +b ,则⎩⎪⎨⎪⎧b =8020a +b =40 ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-2b =80 , 即当0<x≤20时,y 与x 的函数关系式为y =-2x +80,当20<x≤30时,设y 与x 的函数关系式为y =mx +n ,则⎩⎪⎨⎪⎧20m +n =4030m +n =80 ,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =4n =-40 , 即当20<x≤30时,y 与x 的函数关系式为y =4x -40,由上可得,y 与x 的函数关系式为y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +80(0<x≤20)4x -40(20<x≤30) . (2)设当月第x 天的销售额为w 元,当0<x≤20时,w =⎝ ⎛⎭⎪⎫25x +4 ×(-2x +80) =-45(x -15)2+500,∴当x =15时,w 取得最大值,此时w =500,当20<x≤30时,w =⎝ ⎛⎭⎪⎫-15x +12 ×(4x-40)=-45 (x -35)2+500, ∴当x =30时,w 取得最大值,此时w =480,由上可得,当x =15时,w 取得最大值,此时w =500.答:当月第15天,该农产品的销售额最大,最大销售额是500元.1.求关于利润的二次函数解析式的两种思路(1)若题目给出销售量与单价之间的函数解析式,以及销售单价与进价之间的关系时,则可直接根据:销售利润=销售总额-成本=销售量×销售价-销售量×进价=销售量×(销售价-进价)来解决;(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数解析式,则要先求出销售量与单价之间的函数解析式,解析式一般是一次函数关系,再根据销售利润=销售量×(销售价-进价)来解决.2.求二次函数的最值的两种方法(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标,即y =ax 2+bx +c 的最大值为4ac -b 24a (a <0)或最小值为4ac -b 24a(a >0). (2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内,则函数在顶点处取得最大值或最小值;若顶点不在已知给定的自变量取值范围内,则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小,从而确定最值.1.(2021·连云港中考)某快餐店销售A、B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是__1__264__元.2.(2021·南充中考)超市购进某种苹果,如果进价增加2元/千克要用300元;如果进价减少2元/千克,同样数量的苹果只用200元.(1)求苹果的进价;(2)如果购进这种苹果不超过100千克,就按原价购进;如果购进苹果超过100千克,超过部分购进价格减少2元/千克,写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式;(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克,且购进苹果当天全部销售完,据统计,销售单价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z=-1100 x+12.在(2)的条件下,要使超市销售苹果利润w(元)最大,求一天购进苹果数量.(利润=销售收入-购进支出)【解析】(1)设苹果的进价为x元/千克,根据题意得:300x+2=200x-2,解得:x=10,经检验x=10是原方程的根,且符合题意,答:苹果的进价为10元/千克.(2)当0≤x≤100时,y=10x;当x >100时,y =10×100+(x -100)(10-2)=8x +200;∴y =⎩⎪⎨⎪⎧10x (0≤x≤100)8x +200(x >100). (3)当0≤x≤100时,w =(z -10)x=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1100x +12-10 x =-1100(x -100)2+100, ∴当x =100时,w 有最大值为100;当100<x≤300时,w =(z -10)×100+(z -8)(x -100)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1100x +12-10 ×100+⎝ ⎛⎭⎪⎫-1100x +12-8 (x -100) =-1100x 2+4x -200 =-1100(x -200)2+200, ∴当x =200时,w 有最大值为200;∵200>100,∴一天购进苹果数量为200千克时,超市销售苹果利润最大,为200元. 答:一天购进苹果数量为200千克时,超市销售苹果利润最大. 考点三 几何图形面积问题【典例6】 (2020·孝义市质检)如图所示,正方形区域ABCD 是某公园健身广场示意图,公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分),剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形EFGH),其中AB=100米,且AE=AH=CF=CG.则当AE的长度为多少时,市民健身活动场所的面积达到最大?【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=AH=CF=CG,∴BE=BF=DG=DH,∴△AHE,△BEF,△CGF,△DGH都是等腰直角三角形;设AE=x米,则BE=(100-x)米.设四边形EFGH的面积为S,则S=100×100-2×12 x2-2×12(100-x)2=-2x2+200x(0<x<100).∵S=-2(x-50)2+5 000.∵-2<0,∴当x=50时,S有最大值为5 000.答:当AE=50米时,市民健身活动场所的面积达到最大.解决此类问题一般是根据几何图形的性质,先找变量,再确定变量与该图形周长或面积之间的关系,用变量表示出其他边的长,从而确定二次函数的解析式,再根据题意及二次函数的性质解题即可.(2019·连云港中考)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是(C)A .18 m 2B .18 3 m 2C .24 3 m 2D .4532 m 2人教版九年级下册 P29 练习 T2某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大?【思路点拨】设出每间房的定价,从而利用租房利润减去维护费,可得利润函数,利用配方法,即可求得结论.【自主解答】设房价为(180+10x)元,则定价增加了10x 元,此时空闲的房间为x ,由题意得,y =(180+10x)(50-x)-(50-x)×20=-10x 2+340x +8000=-10(x -17)2+10890故可得当x =17,即房间定价为180+170=350元的时候利润最大. 答:房间定价为350元时,利润最大.(变换条件与问法)(2021·济宁中考)某商场购进甲、乙两种商品共100箱,全部售完后,甲商品共盈利900元,乙商品共盈利400元,甲商品比乙商品每箱多盈利5元.(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元?(2)甲、乙两种商品全部售完后,该商场又购进一批甲商品,在原每箱盈利不变的前提下,平均每天可卖出100箱.如调整价格,每降价1元,平均每天可多卖出20箱,那么当降价多少元时,该商场利润最大?最大利润是多少?【解析】(1)设甲种商品每箱盈利x 元,则乙种商品每箱盈利(x -5)元, 根据题意得:900x +400x -5=100, 整理得:x 2-18x +45=0,解得:x =15或x =3(舍去),经检验,x =15是原分式方程的解,符合实际,∴x -5=15-5=10(元),答:甲种商品每箱盈利15元,则乙种商品每箱盈利10元.(2)设甲种商品降价a 元,则每天可多卖出20a 箱,利润为w 元,由题意得:w =(15-a)(100+20a)=-20a 2+200a +1 500=-20(a -5)2+2 000,∵-20<0,∴当a =5时,函数有最大值,最大值是2 000元.答:当降价5元时,该商场利润最大,最大利润是2 000元.(变换条件与问法)(2021·黄冈中考)红星公司销售一种成本为40元/件的产品,若月销售单价不高于50元/件,一个月可售出5万件;月销售单价每涨价1元,月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x(单位:元/件),月销售量为y(单位:万件).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)当月销售单价是多少元时,月销售利润最大,最大利润是多少万元?(3)为响应国家“乡村振兴”政策,该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件,月销售最大利润是78万元,求a的值.【解析】(1)由题知,y=5-(x-50)×0.1,整理得y=10-0.1x(40≤x≤100);(2)设月销售利润为z,由题知,z=(x-40)y=(x-40)(10-0.1x)=-0.1x2+14x-400=-0.1(x-70)2+90,∴当x=70时,z有最大值为90,即当月销售单价是70元时,月销售利润最大,最大利润是90万元;(3)由(2)知,当月销售单价是70元时,月销售利润最大,即(70-40-a)×(10-0.1×70)=78,解得a=4,∴a的值为4.。
初中数学二次函数的应用
二次函数的应用◆目标指引1.运用二次函数的知识去分析问题、解决问题,•并在运用中体会二次函数的实际意义. 2.体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题.3.经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程,•学会运用这种“转化”的数学思想方法.◆要点讲解1.在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程,•运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题.◆学法指导1.当涉及最值问题时,应运用二次函数的性质选取合适的变量,•建立目标函数,再求该目标函数的最值,求最值时应注意两点:(1)变量的取值范围;(2)•求最值时,宜用配方法. 2.有关最大值或最小值的应用题,关键是列出函数解析式,•再利用函数最值的知识求函数值,并根据问题的实际情况作答.◆例题分析【例1】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始,•沿着AB向点B以1cm/s的速度移动;点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,•设P,Q同时出发,问:(1)经过几秒后P,Q的距离最短(2)经过几秒后△PBQ的面积最大最大面积是多少【分析】这是一个动点问题,也是一个最值问题,设经过ts,显然AP和BQ•的长度分别为AP=t,BQ=2t(0≤t≤6).PQ的距离PQ==.因此,只需求出被开方式5t2-12t+36的最小值,就可以求P,Q的最短距离.【解】(1)设经过ts后P,Q的距离最短,则:∵PQ====(2)设△PBQ的面积为S,则S=BP·BQ=(6-t)·2t=6t-t2=9-(t-3)2∴当t=3时,S取得最大值,最大值为9.即经过3s后,△PBQ的面积最大,最大面积为9cm2.【注意】对于动点问题,一般采用“以静制动”的方法,抓住某个静止状态,寻找等量关系.在求最值时,可用配方法或公式法,同时取值时要注意自变量的取值范围.【例2】某高科技发展公司投资1500万元,成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品,并投入资金500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元,在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;销售单价若增加10元,年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利额(年获利额=年销售额-生产成本-投资)为z(万元).(1)试写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围);(2)试写出z与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围);(3)计算销售单价为160元时的年获利额,并说明:得到同样的年获利额,•销售单价还可以定为多少元相应的年销量分别为多少万件(4)公司计划:在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售;•第二年的年获利额不低于1130万元,请你借助函数的大致图象说明,第二年的销售单价x(元)•应确定在什么范围【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景,设计成数学应用题,引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动,把实际问题抽象成数学问题,运用函数性质和方程知识来解题.【解】(1)依题意知:当销售单价定为x元时,年销量减少(x-100)万件.∴y=20-(x-100)=-x+30.即y与x之间的函数关系式是y=-x+30.(2)由题意可得:z=(30-x)(x-40)-500-1500=-x2+34x-3200.即z与x之间的函数关系式为z=-x2+34x-3200.∴-320=-x2+34x-3200,即x2-340x+28800=0.由x1+x2=-得,160+x=340,∴x=180.即得到同样的年获利额,销售单价还可以定为180元.当x=160时,y=-×160+30=14,当x=180时,y=-×180+30=12.所以相应的年销售量分别为14万件和12万件.(4)∵z=-x2+34x-3200=-(x-170)2-310,∴当x=170时,z取得最大值为-310.即当销售单价为170元时,年获利额最大,并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资.第二年的销售单价定为x元时,则年获利额为:z′=(30-x)(x-40)-310=-x2+34x-1510.当z′=1130时,即1130=-x2+34x-1510,解得x1=120,x2=220.∴函数z′=-x2+34x-1510的大致图象如图所示.由图象可看出:当120≤x≤220时,z≥1130.∴第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.◆练习提升一、基础训练1.函数y=的最大值是______.2.炮弹从炮口射出后飞行的高度h(米)与飞行的时间t(秒)之间的函数关系式为h=v0tsinα-5t2,其中v是发射的初速度,α是炮弹的发射角,当v0=300米/秒,α=30°时,炮弹飞行的最大高度为_______米,该炮弹在空中飞行了______秒落到地面上.3.如图,某涵洞呈抛物线形,现测得水面宽AB=1.6米时,涵洞顶点O到水面的距离为2.4米,4.如图,直角三角形AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t•截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为()5.如图,某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门地面宽4米,顶部距地面的高度为4.4米,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为2.4米,•该车要想通过此门,装货后的最大高度应小于()A.2.80米 B.2.816米 C.2.82米 D.2.826米6.如图,今有网球从斜坡OA的点O处抛出,•网球的抛物路线的函数关系是y=4x-x2,斜坡的函数关系是y=x2,其中y是垂直高度,x是与点O的水平距离.(1)求网球到达的最高点的坐标;(2)网球落在斜坡上的点A处,写出点A的坐标.7.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,•物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格出售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润最大利润是多少8.如图所示,一位运动员在距篮圈4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.(1)建立如图所示的坐标系,求抛物线的解析式;(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问球出手时,他跳离二、提高训练9.如图,图中四个函数的图象分别对应的解析式是①y=ax2;②y=bx2; ③y=cx2;④y=dx2.则a,b,c,d的大小关系为()A.a>b>c>d B.a<c<b<d C.a>c>b>d D.d>c>b>a10.为备战世界杯,中国足球队在某次训练中,一队员在距离球门12m处挑射,•正好射中了2.4m 高的球门横梁,若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图).•有下列结论:①a+b+c>0;②-<a<0;③a-b+c>0;④0<b<-12a.其中正确的结论是()A.①② B.①④ C.②③ D.②④11.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动,回答下列问题:(1)设运动后开始第t秒时,五边形APQCD的面积为S(单位:厘米2),写出S与t•之间的函数关系式,并求出自变量t的取值范围;(2)t为何值时S最小并求出S的最小值.12.如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B,C,Q,R 在同一直线L上,当C,Q两点重合时,等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线L•按箭头方向开始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR 重合部分的面积为S(单位:cm2).(1)当t=3s时,求S的值;(2)当t=5s时,求S的值;(3)当5≤t≤8时,求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值.13.如图,甲船位于乙船的正西方向26km处,现甲、乙两船同时出发,甲船以每小时12km的速度朝正北方向行驶,乙船以每小时5km的速度朝正西方向行驶,•何时两船相距最近最近距离是多少三、拓展训练14.如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x,已知AB=6,CD=3,AD=4,求:(1)四边形CGEF的面积S关于x的函数关系式和x的取值范围;(2)面积S是否存在最小值若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由;(3)当x为何值时,S的数值等于x的4倍1. 2.1125,30 3.y=- 4.D 5.B6.(1)(4,8)(2)A(7,)7.(1)y=-3x+240 (2)W=-3x2+360x-9600(3)当每箱定价为55元时,可获利大利润为1125•元8.(1)y=-+ (2)0.2m 9.C 10.B11.(1)S=t2-6t+72(0≤t≤6)(2)t=3时,S最小=63 12.(1)cm2(2)cm2(3)S=-(t-)2+,S最大=cm213.当行驶小时时,两船相距最近,最近距离为24km 14.(1)S=x2-7x+18(0<x<3)(2)不存在,理由略(3)2。
中考数学专题复习:二次函数图象综合应用
图象性质:二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面.若二次函数解析式为2y ax bx c =++(或2()y a x h k =-+)(0a ≠),则: 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下,a 越大,开口越小. 对称轴 2bx a=-(或x h =). 顶点坐标(2ba-,24)4ac b a -或(h ,)k . 单调性当0a >时,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大(如图1);知识互联网思路导航题型一:二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小(如图2)与坐标轴的交点① 与y 轴的交点:()0c ,; ② 与x 轴的交点:()()1200x x ,,,,其中12x x ,是方程()200ax bx c a ++=≠的两根.图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点. ② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点. ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.Ⅰ当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; Ⅱ当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,判断a ,b ,c ,24b ac -,2a b +,a b c ++,a b c -+的符号【解析】 由图知:图象开口向上,所以0a >;函数的对称轴02bx a=->,所以0b <;函数图象与y 轴的交点小于0,所以0c <;函数图象与x 轴有两个不同的交点,所以240b ac ->;同时12bx a=-<,所以20a b +>;1x =所对应的函数值小于0,所以0a b c ++<; 1x =-所对应的函数值大于0,所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点()a c ,在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为( ) 例题精讲典题精练A .B .C .D .⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示,A 点的坐标为()02,-,则下列结论中,正确的是( )A .k a b +=2B .k b a +=C .0>>b aD .0>>k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B .⑶D.【例2】 ⑴ 如图,抛物线2y ax bx c =++,OA OC =,下列关系中正确的是()A .1ac b +=B .1ab c +=C .1bc a +=D .1ac b+= )⑵ 如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,若12OB OC OA ==,则b 的值为 .【解析】 ⑴ A .提示:把()0c -,代入2y ax bx c =++即可.⑵ 12-.提示:先把B ()0c ,代入2y ax bx c =++,得1ac b =--,再把()0c ,代入()()2y a x c x c =+-即可.【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示,有以下结论:①ac b 42->0;②01=++c b ;③063=++c b ;④当1<x<3时,()012<c x b x +-+.其中正确的为.⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,有下列8 个结论:①0abc >;②b a c <+;③420a b c ++>;④23c b <;⑤()a b m am b +>+,(1m ≠的实数);⑥20a b += ;⑦240b ac -<,⑧22()a c b +>,其中正确的结论有( )A .2个B .3个C .4个D .5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C .对称轴在y 轴的右边得0ab <(由开口向下得0a <,故0b >),抛物线与y 轴交于正半轴得0c >,∴0abc <,①不正确;当1x =-时,函数值为0a b c -+<,②不正确; 当2x =时,函数值420a b c ++>,③正确;其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等,函数值相等得42a b c c ++=,∴2b a =-代入0a b c -+<,32bc <,即23c b <,④正确;当1x =,∵1m ≠,2max y a b c am bm c =++>++,可知⑤正确;由对称轴12ba-=得20a b +=,故⑥正确;抛物线与x 轴有两个交点,故240b ac ->,故⑦不正确;0a b c ++>,0a b c -+<,故()220a c b +-<,故⑧不正确.对于二次函数()20y ax bx c a =++>(max y 表示y 的最大值,min y 表示y 的最小值) ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数,如图①,函数在顶点处2bx a=-时,取到最值. ⑵ 若2bm x n a<-≤≤,如图②,当x m =,max y y =;当x n =,min y y =. ⑶ 若2bm x n a-<≤≤,如图③,当x m =,min y y =;当x n =,max y y =. ⑷ 若m x n ≤≤,且2b m n a -≤≤,22b b n m a a +>--,如图④,当2bx a=-,min y y =; 当x n =,max y y =.【引例】 ⑴ 若x 为任意实数,求函数221y x x =-+的最小值;⑵ 若12x ≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值; ⑶ 若01x ≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值;b 思路导航例题精讲题型二:二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值; ⑸ 若x 为整数,求函数221y x x =-+的最小值.【解析】 ⑴ 套用求最值公式(建议教师讲配方法):当112224b x a -=-=-=⨯时,y 的最小值是24748ac b a -=. ⑵ 由图象可知:当12x ≤≤时,函数221y x x =-+单调递增,当1x =时,y 最小,且21112y =⨯-+=,当2x =时,y 最大,且222217y =⨯-+=.⑶ 由图象可知:当01x ≤≤时,函数221y x x =-+是先减后增,∴当14x =,y 最小,且78y =.∵当0x =时,20011y =⨯-+=;当1x =时, 211121y =⨯-+=>, ∴当1x =时,y 最大,且2y =.⑷ 由函数图象开口向上,且120<4x -≤≤,故当2x =-时,y 取最大值为11,当0x =时,y 取最小值为1.⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯,当0x =时,y 取最小值为1.【点评】 由此题我们可以得到:求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值,得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内.若在,则在顶点处取到一个最值,若不在,则在端点处取得最大值和最小值(其实求出端点值和顶点值,这三个值中最大的为最大值,最小的为最小值).【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数,且121=+=+-n k k m ,则代数式6822+-k k 的最小值 为 .⑵ 已知实数x y ,满足2330x x y ++-=,则x y +的最大值为 .⑶当12x ≤时,二次函数223y x x =--的最小值为( ) A .4- B .154- C .12- D .12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数,且121=+=+-n k k m ,∴m 、n 、k 最小为0,当n =0时,k 最大为:21;∴210≤≤k ,故最小值为2.5.⑵ 4.提示:233y x x =--+,令()222314q x y x x x =+=--+=-++,当1x =-,q的最大值为4.本题属于x 为全体实数,求二次函数的最值,配方法要熟练掌握.⑶ B .提示:二次函数的对称轴为1122b x a =-=>,且抛物线的开口向上,故12x =时,y 的最小值为154-.【例5】 如图,抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ,两点.⑴ 求a 值; ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ,两点(点M 在点N 的左边),221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ,两点(点E 在点F 的左边),观察M N E F ,,,四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;⑶ 设A B ,两点的横坐标分别记为A B x x ,,若在x 轴上有一动点()0Q x ,,且A B x x x ≤≤,过Q 作一条垂直于x 轴的直线,与两条抛物线分别交于C D ,两点,试问当x 为何值时,线段CD 有最大值?其最大值为多少?【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,在抛物线211y ax ax =--+上,∴1191428a a -++=,解得12a =.⑵ 由⑴知12a =,∴抛物线2111122y x x =--+,2211122y x x =--.当2111022x x --+=时,解得12x =-,21x =.∵点M 在点N 的左边,∴2M x =-,1N x =. 当2111022x x --=时,解得31x =-,42x =. ∵点E 在点F 的左边,∴1E x =-,2F x =.∵0M F x x +=,0N E x x +=,∴点M 与点F 关于y 轴对称,点N 与点E 关于y 轴对称. ⑶ ∵102a =>.∴抛物线1y 开口向下,抛物线2y 开口向上. 根据题意,得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,消y可解得12x x ==,则当0x =时,CD 的最大值为2.【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示,求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示,试求a b c ++的取值范围.【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <,又此二次函数图象经过(10),,(01), 则有0a b c ++=,1c =,得(1)b a =-+,∵0a <,据图象得对称轴在y 轴左侧,∴0b <∴()10a -+<,∴1a >-于是有10a -<<. ⑵ 由图象可知0a >.又顶点在y 轴的右侧,在x 轴的下方,则:02ba->,2404ac b a -<,∴0b <. 又∵当0x =时,1y c =-=当0y =时,1x =-,∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<.∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<,即20a b c -<++<.精讲:数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用;二次函数的图像信息:⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性.⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系. ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点,判断c 的大小.⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点,判断24b ac -的正负性.⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标,可得到关于a b c ,,的等式. ⑹ 根据抛物线的顶点,判断244ac b a-的大小.例. 2y ax bx c =++的图象如图所示.设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--, 则( )A .0M >B .0M =C .0M <D .不能确定M 为正,为负或为0分析:依题意得0a >,012ba<-<,∴0b <,20a b +>,20a b ->, 又当1x =时,0y a b c =++<,当1x =-时,0y a b c =-+>,故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<,故选C .☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用;(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容,但在目前中考改革创新,部分高中思想下放初中的大 前提下,老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”;1、轴定区间定:2、轴动区间定:例.求2()22f x x ax =-+在[24],上的最大值和最小值. 分析: 先求最小值.因为()f x 的对称轴是x a =,可分以下三种情况:⑴ 当2a <时,()f x 在[24],上为增函数,所以min ()(2)64f x f a ==-; ⑵ 当24a ≤≤时,()f a 为最小值,2min ()2f x a =-;⑶ 当4a >时,()f x 在[24],上为减函数,所以min ()(4)188f x f a ==-.综上所述:2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者:(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+,(1)当3a ≥时,(2)(4)f f ≥,则max ()(2)64f x f a ==-; (2)当3a <时,(2)(4)f f <,则max ()(4)188f x f a ==-.故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评:本题属于二次函数在给定区间上的最值问题,由于二次函数的系数含有参数,对称轴是变动的,属于“轴动区间定”,由于图象开口向上,所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24],的位置关系,分三种情况讨论;最大值在端点取得时,只须比较(2)f 与 (4)f 的大小,按两种情况讨论即可,实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况. 3、轴定区间动:例.若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ,求函数()g t 当[32]t ∈-,时的最值. 分析:2()(1)1f x x =-+,按直线1x =与区间[1]t t +,的不同位置关系分类讨论:若1t >,则2min ()()(1)1f x f t t ==-+;若11t t +≤≤,即01t ≤≤,则min ()(1)1f x f ==; 若11t +<,即0t <,则2min ()(1)1f x f t t =+=+.∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞,内是减函数,在[01],内是常值函数,在(1)+∞,内是增函数,又(3)(2)g g ->,故在区间[32]-,内,min ()1g t =(当01t ≤≤时取得),max ()(3)10g t g =-=.小结:(i )解此类问题时,心中要有图象;(ii )含参数问题有两种:一种是“轴变区间定”,另一种是“轴定区间变”.讨论时,要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系,这是进行正确划分的关键.☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用;(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容,但在目前中考改革创新,部分高中思想下放初中的大 前提下,老师可以针对班里学生层次进行选讲)二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标.因此, 可以借助于二次函数及其图像,利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题.设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x <,ac b 42-=∆,方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f .1.当方程有一根大于m ,另一根小于m 时,对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:()0<m af ;2.当方程两根均大于m 时,对应函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:0>∆, m ab2-,()0>m af ; 3.当方程两根均在区间()n m ,内,对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:0>∆, n abm <<2-,()0>m af ,()0>n af ; 4.当两根中仅有一根在区间()n m ,内,对应函数()x f 的图像有下列四种情形:方程系数所满足的充要条件: ()()0<n f m f ⋅;5.当两根在区间[]n m ,之外时:对应函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:()0<m af ,()0<n af ;6.当两根分别在区间()n m ,、()t s ,内,且s n ≤,对应函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:()0>m af ,()0<n af ,()0<s af , ()0>t af .小结: 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件,一般考虑三个方面:①判别式ac b 42-=∆的符号;②对称轴abx 2-=的位置分布;③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号.例.若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2,求实数m 的取值范围. 分析:令()1222+-+=m mx x x f ,如图得充要条件:()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422>>m m m f m m ,解得4316-≤-m .训练1. 已知:a b c >>,且0a b c ++=,则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的( )A B C D【解析】 B .由a b c >>,且0a b c ++=,可得0a >, 0c <,且过()10,点,由a b c >>,且a b c ++=0,利用不等式性质,可以进一步推出下列不等关系:a b a b >>--,∴112ba -<<, ∴11224b a -<-<.另一方法:∵a b >,∴330a b ->,330a b a b c -+++>,从而得到420a b c -+>.训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <,则对于下列结论:⑴ 当2x =-时,1y =;⑵ 当2x x >时,0y >;⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ;⑷11x <-,21x >-;⑸21x x -=确的结论是______.(只需填写序号)【解析】 ⑴⑶⑷.当2x =-时,代入得1y =,故⑴正确;因为k 的符号不确定,故开口不确定,因此无法确定当2x x >时,0y >,故⑵不正确;联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=,抛物线与x 轴有两个交点,即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根.当1x =-时,y k =-,若0k >,0y k =-<,若0k <,0y k =->,故⑷正确.21x x -=.训练3. 如图所示,二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ,交y 轴于C ,当线段AB 最短时,求线段OC 的长.【解析】 设1(A x ,0),2(B x ,0),思维拓展训练(选讲)则1x ,2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根,则12AB x x =-=== 当4a =时,AB 取最小值,即最短,此时,抛物线为221y x x =--, 可求得C 的纵坐标为1-,即线段OC 的长是1.训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象,先取自变量x 的7个值满足:213276x x x x x x d -=-==-= ,再分别算出对应的y 值,列出表1:表1:x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-,232m y y =-,343m y y =-,454m y y =-,…; 121s m m =-,232s m m =-,343s m m =-,… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系;⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”,列出表2:表2:x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变,判断1s 、2s 、3s 之间关系,并说明理由;⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象,列出表3: 表3: x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心,表3中有一个y 值算错了,请指出算错的y 值(直接写答案).【解析】 ⑴ 123s s s ==;⑵ 123s s s ==.证明:()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=,23432s m m ad =-=. ∴123s s s ==.⑶ 表中的420改为410.题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的( )⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为( )【解析】 ⑴ A .⑵ D .【练习2】 如图所示,二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上,图象经点()12-,和()10,且与y 轴交于负半轴.⑴ 下列四个结论:①0a >;②0b >;③0c >;④0a b c ++=, 其中正确的结论的序号是 . ⑵给出下列四个结论:①0abc <;②20a b +>;③1a c +=;④1a >.其中正确的结论的序号是 .【解析】 ⑴图象开口向上得0a >;对称轴02ba->可得0b <;当0x =时,0y <,即0c <;由1x =时,0y =,即0a b c ++=.故①④.⑵由⑴可知0abc >;对称轴12ba-<,∴20a b +>;∵点()12-,和()10,在抛物线上,代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=,得1a c =-,∵0c <,∴11c ->,即1a >.A BCD复习巩固故②③④.【练习3】 如图,表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象,它与x轴的一个交点为A ,与y 轴交于点B .则b 的取值范围是( )A .20b -<<B .10b -<<C .102b -<< D .01b <<【解析】 B .【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示,⑴判别a ,b ,c 和24b ac -的符号,并说明理由; ⑵如果OA OC =,求证:10ac b ++=【解析】 ⑴ 解:因为抛物线开口向上,0a >.因为抛物线与y 轴交于负半轴,0c <.又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧,02ba->,即a ,b 异号,由0a >,得0b <. 因为抛物线与x 轴有两个交点,所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根,所以其判别式240b ac ->.⑵ 证明:由于C 点坐标为()0c ,,而OA OC =,所以A 点坐标为()0c ,,把()0A c ,代入2y ax bx c =++,得20ac bc c =++. 因为0c ≠,所以10ac b ++=.题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知:关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证:方程①有两个实数根;⑵ 若10m n --=,求证方程①有一个实数根为1;⑶ 在⑵的条件下,设方程①的另一个根为a . 当2x =时,关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B (点A 在点B 的左侧),平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时,求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明:()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥, ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解:由10m n --=,得1m n -=当x =1时,等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解:由求根公式,得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=, ∴ a m =.当2x =时,222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-,22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图,当l 沿AB 由点A 平移到点B 时,22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =,得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2,m B =1.∵-2<12-<1,∴当m =12-时,CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示,试判断:24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号.【解析】由图像可知0a >,102ba-<<,2404ac b a -<,2000a b c ⋅+⋅+<,0a b c -+=,0a b c ++>,于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->,,,,,.【测试2】 若01x ≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值;【解析】由图像可知:当01x ≤≤时,函数221y x x =-+是先减后增,∴当14x =,y 最小,且78y =. ∵当0x =时,20011y =⨯-+=当1x =时, 211121y =⨯-+=>, ∴当1x =时,y 最大,且2y =.课后测。
中考数学二次函数的知识点总结
中考数学二次函数的知识点总结中考数学二次函数的知识点总结「篇一」教学目标:(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯教学重点:能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
教学难点:求出函数的自变量的取值范围。
教学过程:一、问题引新1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为_m,先取_的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中。
AB长_(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9BC长(m) 12面积y(m2) 482._的值是否可以任意取?有限定范围吗?3.我们发现,当AB的长(_)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是_的函数,试写出这个函数的关系式,教师可提出问题,(1)当AB=_m时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少? y=_(20-2_)二、提出问题,解决问题1、引导学生看书第二页问题一、二2、观察概括y=6_2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-_)2以上函数关系式有什么共同特点? (都是含有二次项)3、二次函数定义:形如y=a_2+b_+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做_的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项。
4、课堂练习(1) (口答)下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=5_+1 (2)y=4_2-1(3)y=2_3-3_2 (4)y=5_4-3_+1(2).P3练习第1,2题。
五、小结叙述二次函数的定义。
第二课时:26.1二次函数(2)教学目标:1、使学生会用描点法画出y=a_2的图象,理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=a_2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
教学重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=a_2的图象教学难点:用描点法画出二次函数y=a_2的图象以及探索二次函数性质。
初中数学复习二次函数的变形与应用
初中数学复习二次函数的变形与应用二次函数是初中数学中的重要内容之一,它具有许多重要的特性和应用。
本文将重点介绍二次函数的变形以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,a≠ 0。
这里a决定了二次函数的开口方向和开口程度,b决定了二次函数的对称轴和顶点的横坐标,c决定了二次函数的顶点的纵坐标。
二、二次函数的变形除了基本形式外,二次函数还有一些常见的变形形式,包括平移、伸缩和翻转等。
1. 平移变形平移变形是指将二次函数沿着坐标轴平移一定的距离。
平移变形可以分为水平平移和垂直平移两种。
水平平移:当二次函数中的x加上一个常数h时,函数图像将向左平移h个单位。
当x减去一个常数h时,函数图像将向右平移h个单位。
垂直平移:当二次函数中的y加上一个常数k时,函数图像将向上平移k个单位。
当y减去一个常数k时,函数图像将向下平移k个单位。
2. 伸缩变形伸缩变形是指将二次函数的图像在坐标轴上进行拉长或缩短。
伸缩变形可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种。
水平伸缩:将二次函数中的x乘以一个常数a时,函数图像将在x 轴上压缩或伸长。
当a>1时,函数图像将被压缩;当0<a<1时,函数图像将被伸长。
垂直伸缩:将二次函数中的y乘以一个常数a时,函数图像将在y 轴上压缩或伸长。
当a>1时,函数图像将被压缩;当0<a<1时,函数图像将被伸长。
3. 翻转变形翻转变形是指将二次函数的图像关于坐标轴进行翻转。
翻转变形可以分为关于x轴翻转和关于y轴翻转两种。
关于x轴翻转:将二次函数y = ax^2 + bx + c中的y变为-y,得到新的二次函数y = -ax^2 -bx -c,函数图像将关于x轴翻转。
关于y轴翻转:将二次函数y = ax^2 + bx + c中的x变为-x,得到新的二次函数y = ax^2 -bx + c,函数图像将关于y轴翻转。
初中数学知识点二次函数的运算与复合函数
初中数学知识点二次函数的运算与复合函数初中数学知识点:二次函数的运算与复合函数二次函数是数学中的重要概念,它在各个领域都有着广泛的应用。
了解二次函数的运算以及与其他函数的组合关系对于提高数学水平和解决实际问题非常重要。
本文将详细介绍二次函数的运算以及复合函数的概念和应用。
一、二次函数的运算1. 二次函数的定义二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数,其中a、b、c为实数,a≠0。
它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 二次函数的基本性质二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
通过抛物线的顶点,可以确定对称轴的方程。
对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 二次函数的平移二次函数关于x轴、y轴的平移分别是改变函数中的常数项c和一次项b的值。
平移时对称轴不改变。
4. 二次函数的求零点求二次函数的零点即为解二次方程ax²+bx+c=0的根。
利用求根公式或配方法可以求出零点。
5. 二次函数的最值当a>0时,二次函数的最值为最小值,即抛物线的顶点。
当a<0时,二次函数的最值为最大值,即抛物线的开口方向朝下。
二、复合函数的概念和应用1. 复合函数的定义复合函数是由两个或多个函数组合在一起形成的新函数。
设有函数f(x)和g(x),则复合函数为f(g(x))。
2. 复合函数的运算法则复合函数的运算法则与基本函数的运算法则相同,按照从内到外的顺序进行运算。
3. 复合函数的应用复合函数的应用广泛,尤其在实际问题的建模和解决过程中。
通过将已知条件中的各个函数进行组合和转化,可以得到更加精确和实用的函数关系,帮助解决问题。
三、二次函数与复合函数的关系1. 二次函数的复合函数当二次函数作为底函数时,可以与其他函数进行复合,形成新的函数关系。
例如,把二次函数f(x)=x²和线性函数g(x)=2x+1进行复合得到新的函数h(x)=f(g(x))= (2x+1)²。
2. 复合函数的图像变换将一个函数的图像代入到另一个函数的公式中进行复合,可以得到复合函数的图像。
初中数学 二次函数的应用
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条
称轴是
,顶点坐标是
.
,它的对
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条
,它的对称
轴是
,顶点坐标是
. 当a>0时,抛
物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,是
;当
a<0时,抛物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,
是
。
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是
化成y=a(x-h)2+k的形式为___y_=_a_(_x_+___2ba__)_2_+__44aa_c-_b2
b
4ac-b2
当横坐标为__2_a_时,纵坐标有最大(小)值____4a___
二次函数的应用:
1 根据实际问题,建立二次函数模型,解 决实际问题(如问题1:求面积,利润等最 值) 2已知模型,利用待定系数法,求出解析式, 解决实际问题(如问题2) 3建立合适的直角坐标系,求解析式,解决 实际问题(如情景引入)
解函数应用题的一般步骤:
设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函 数等); 求自变量取值范围;
利用函数知识,求解(通常是最值问 题);
写出答案。
小结
实际问题
数学问题
求解数学问题
课后拓展
已知某商品的进价为每件40元,售价是每件50元, 每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元, 则每个月要少卖10件(每件售价不能高于65元)。设每
解:设矩形的一边为x(m),则另一边为(10-x)m,矩形的面积为 ym2,根据题意,y与x之间的函数解析式为y=x(10-x) y=-x2+10x
初中数学中的二次函数
二次函数:了解它的定义、性质和应用在初中数学中,我们学习了很多关于函数的知识。
其中,二次函数是一种非常常见的函数形式,被广泛应用于各个领域,例如经济学、物理学等。
本文将为您详细介绍二次函数的定义、性质和应用。
1. 什么是二次函数?二次函数是指形如$y=ax^2+bx+c$ 的函数,其中$a,b,c$ 都是实数且$a\neq0$。
其中,$a$ 控制着二次函数的开口方向和大小,$b$ 控制着二次函数的平移位置,$c$ 则是二次函数的纵截距。
2. 二次函数的性质(1)对称性二次函数的图像关于其顶点对称。
当$a>0$ 时,二次函数开口朝上,顶点为最小值点;当$a<0$ 时,二次函数开口朝下,顶点为最大值点。
(2)零点二次函数的零点是指函数图像与 $x$ 轴相交的点。
当 $b^2-4ac>0$ 时,二次函数有两个不同的实根;当$b^2-4ac=0$ 时,二次函数有一个重根;当$b^2-4ac<0$ 时,二次函数没有实根。
(3)最值当 $a>0$ 时,二次函数的最小值等于其顶点的纵坐标;当 $a<0$ 时,二次函数的最大值等于其顶点的纵坐标。
3. 二次函数的应用(1)物理学在物理学中,二次函数常被用于描述抛物线运动。
例如,一个运动物体在重力作用下的运动轨迹就可以用二次函数来表示。
(2)经济学在经济学中,二次函数常被用于分析成本和收益之间的关系。
例如,一家企业的生产成本可以用二次函数来表示,通过求导可以得到该企业的最优生产量。
(3)统计学在统计学中,二次函数常被用于拟合散点图。
例如,通过将散点图拟合成二次函数,可以预测出未来的趋势和表现。
总结在本文中,我们详细介绍了二次函数的定义、性质和应用。
二次函数在数学和其他学科中都有着广泛的应用,是我们必须掌握的一种函数形式。
希望本文对您学习二次函数有所帮助。
浅谈二次函数在中考题中的综合运用.doc
浅谈二次函数在中考题中的综合运用摘要:二次函数在现实生活当中有比较广泛的应用,也是最近几年中考的重要考点之一。
对于二次函数的学习,有利于学生建立起函数方程、数形结合等重要数学思想,可以拓展学生的解题思路,对于中学生智力的发展以及思维能力的培养等都有着相当重要的意义。
关键词:二次函数;中考题;综合运用对于初中数学的教学而言,二次函数是教学内容的重点和难点,凡是与二次函数相关的综合题型都是中考中常见的题型,而和二次函数相关的题也常常会被作为压轴的题型出现在卷面上。
很久以来,二次函数都是中考命题的一大热点,它的灵活性比较大,涉及的知识面也比较广,能够同其他的知识紧密地联系起来。
一、关于特殊的二次函数解析式(2012年广西柳州的中考题)已知:抛物线y=・(x-1) 2-3.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最大(小)值;(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.经过分析,可以得出,在解第一问的时候需要根据二次函数的性质确定其开口的方向和对称轴;第二问首先需要根据a为正数的时候确定其最小值,然后再根据函数的解析式将最小值求岀来;第三问首先需要确定P、Q两点的坐标,然后再根据待定系数法求岀函数的解析式。
二、二次函数和几何的组合(2012年广东省模拟试题)如图1,已知抛物线y—・x2+x+4交x 轴的正半轴于点A,交y轴于点B.(1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式;(2)设P (x, y) (x>0)是直线y=x上的一点,Q是OP的中点(0是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围;(3)在(2)的条件下,记正方形PEQF与AOAB公共部分的面积为S, 求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值.解这道题的时候,令x=0,代入式中就可以求出B点的坐标为(0, 4), 令尸0代入式中就可求出A点的坐标为(4, 0).然后再设AB的解析式为y=kx+b,代入A、B点坐标就可以得出k值为-1, b值为4,所以AB的解析式为y=-x+4.当点P (x, X)在直线AB上时,可解出x=2,当点Q (■, ■)在直线AB上时,可解出x=4.所以,若正方形PEQF与直线AB有公共点,那么2<x<4.当点E在直线AB上时,点F也在直线AB上,那么・=-x+4, 所以x二■.当2<x<■时,直线AB分别与PE、PF相交,交点设为C、D, 所以有,PC=x- (-x+4) =2x-4,因为PD=PC,所以SAPCD=BPC2=2 (x-2) 2, S=Bx2-2 (x-2) =-Bx2+8x-8=-B (x-■ ) 2+B.又因为所以当x二■时,Smax=B;当时,直线AB与QE、QF分别相交,交点设为M、N,那么QN二(-B+4) -B=-x+4,因为QM二QN,则SAQMN=BQN2=B (x-4) 2, S=B (x-4) 2,所以,当x=B 时,Smax=B o在这道题中的第三问就是我们所说的最值问题。
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一、选择题1、(2009·河北中考)某车的刹车距离y (m )与开始刹车时的速度x (m/s )之间满足二次函数2120y x =(x >0),若该车某次的刹车距离为5 m ,则开始刹车时的速度为( )A .40 m/sB .20 m/sC .10 m/sD .5 m/s2、(2007·诸暨中考)如图,正方形ABCD 边长为1,E 、F 、G 、H 分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设 小正方形EFGH 的面积为y ,AE 为X ,则y 关于x 的函数图象大致是( ).(A ) (B ) (C ) (D )3、(2007·恩施中考)小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线5.3512+-=x y 的一部分(如图),若 命中篮圈中心,则他与篮底的距离l 是( )(A )3.5m (B )4m (C )4.5m (D )4.6m4、(2007·济宁中考)一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件。
根据销售统计, 一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为( ) (A )5元 (B )10元 (C )0元 (D )3600元 二、填空题5、(2010·兰州中考)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米.6、(2009·莆田中考)出售某种文具盒,若每个获利x 元,一天可售出()6x -个,则 当x = 元时,一天出售该种文具盒的总利润y 最大.7、(2009·庆阳中考)从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h (米)与小球运动时间t (秒)的函数 关系式是29.8 4.9h t t =-,那么小球运动中的最大高度为 米.8、(2009·包头中考)将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方 形,则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2.9、(2008·襄樊中考)如图,一名男生推铅球,铅球行进高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )之 间的关系是21251233y x x =-++.则他将铅球推出的距离是 m .三、解答题11、(2010·河北中考)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种 进行销售.若只在国内销售,销售价格y (元/件)与月销量x (件)的函数关系式为y =1001-x +150, 成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w 内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a 元/件(a 为常数, 10≤a ≤40),当月销量为x (件)时,每月还需缴纳1001x 2元的附加费,设月利润为w 外(元)(利润 = 销售额-成本-附加费).(1)当x = 1000时,y = 元/件,w 内 = 元; (2)分别求出w 内,w 外与x 间的函数关系式(不必写x 的取值范围);(3)当x 为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a 的值;(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?参考公式:抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--.解析:(1)140 57500;(2)w 内 = x (y -20)- 62500 = 1001-x 2+130 x 62500-, w 外 = 1001-x 2+(150a -)x . (3)当x = )1001(2130-⨯-= 6500时,w 内最大;分由题意得 2214()(62500)1300(150)100114()4()100100a ⨯-⨯----=⨯-⨯-, 解得a 1 = 30,a 2 = 270(不合题意,舍去).所以 a = 30. (4)当x = 5000时,w 内 = 337500, w 外 =5000500000a -+. 若w 内 < w 外,则a <32.5; 若w 内 = w 外,则a = 32.5; 若w 内 > w 外,则a >32.5.所以,当10≤ a <32.5时,选择在国外销售; 当a = 32.5时,在国外和国内销售都一样; 当32.5< a ≤40时,选择在国内销售.11、(2010·青岛中考)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每 件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似的 看作一次函数:10500y x =-+.(1)设李明每月获得利润为w (元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于 2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量) 解析:(1)由题意,得:w = (x -20)·y=(x -20)·(10500x -+) 21070010000x x =-+-352bx a=-=. 答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润. ······· 3分 (2)由题意,得:210700100002000x x -+-=解这个方程得:x1 = 30,x2 = 40.答:李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.(3)∵10a=-<0,∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时,w≥2000.∵x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2000.设成本为P(元),由题意,得:P x=-+20(10500)=-+20010000x∵200k=-<0,∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时,P最小=3600.答:想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.11、(2009·哈尔滨中考)张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙,另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)解析:因为:AB=CD=x,所以BC=32-2x,由题意得:S=AB·BC=x·(32-2x)所以S与x之间的函数关系式为:S=-2x2+32x.12、(2009·营口中考)面对国际金融危机,某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游,推出如下标准:某单位组织员工去该风景区旅游,设有x人参加,应付旅游费y元.(1)请写出y与x的函数关系式;(2)若该单位现有45人,本次旅游至少去26人,则该单位最多应付旅游费多少元? 解析:(1)由题意可知: 当025x ≤≤时,1500y x =.当2550x <≤时,[150020(25)]y x x =-- 即2202000y x x =-+ 当50x >时,1000y x =. (2)由题意,得2645x ≤≤,所以选择函数关系式为:2202000y x x =-+. 配方,得()2205050000y x =--+.因为200a =-<,所以抛物线开口向下.又因为对称轴是直线50x =. 所以当2645x ≤≤时,此函数y 随x 的增大而增大. 所以当45x =时,y 有最大值,220(4550)5000049500y =-⨯-+=最大值(元)因此,该单位最多应付旅游费49500元.13、(2009·滨州中考)某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时,每星期可卖出300件,现需 降价处理,且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下,解答下列问题: (1)若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元,请写出y 与x 的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围;(2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少? (3)请画出上述函数的大致图象.解析:(1)y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-6000100202++x x ,0≤x≤20;(2)y=-206135)5.2(2+-x ,∴当x==2.5元,每星期的利润最大,最大利润是6135元; (3)图像略.14、(2009·洛江中考)我区某工艺厂为迎接建国60周年,设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市 场进行试销.经过调查,其中工艺品的销售单价x (元 ∕ 件)与每天销售量y (件)之间满足如图所示 关系.(1)请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量; (2)①试求出y 与x 之间的函数关系式;②若物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能..超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价-成本总价)。
解析:(1)500件和400件;(2)①设这个函数关系为y = kx +b∵这个一次函数的图象经过(30,500)、(40,400)这两点, ∴5003040040k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得10800k b =-⎧⎨=⎩∴函数关系式是:y =-10x +800②设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元,依题意得 W=(x -20)(-10x +800) =-10(x -50)2+9000∵-10<0,∴函数图象为开口向下的抛物线(函数草图略) 其对称轴为x=50,又20<x ≤45在对称轴的左侧,W 的值随着x 值的增大而增大∴当x=45时,W 取得最大值,W 最大=-10(45-50)2+9000=8750答:销售单价定为45元∕件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大,最大利润为8750元。
15、(2008·安徽中考)杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体 (看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分,如图.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高 3.4BC =米,在一次表演中,人梯到起跳点A 的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由.解析:(1)2233519315524y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.305-< ,∴函数的最大值是194.答:演员弹跳的最大高度是194米.(2)当4x =时,234341 3.45y BC =-⨯+⨯+==,所以这次表演成功.。