二次函数4
解题秘诀二次函数最值的4种解法
解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。
本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。
一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。
具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。
3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。
4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。
5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
6.x和y的值就是二次函数的最值。
二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。
3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
4.x和y的值就是二次函数的最值。
三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。
四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。
通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。
二次函数的图像和性质(4)
1.y 2x 32 5; 2.y 0.5x 12;
3.y 3 x2 1;
4
4.y 2x 22 5; 5.y 0.5x 42 2; 6.y 3 x 32.
4
5.填写下表:
y=-½(x+1)²-1
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.
y=-½x²
开口向下, 当x=-1时y有
最大值:且 最大值是 -1.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函 数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样?
练习
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和 y=-3(x-1)2的图象
（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函 数y=-3x2的图象有什么关系?
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的 值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4 呢?
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴 和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的
图象和抛物线y=-0.5x²,y=-
0.5(x+1)2有什么关系?它的
开口方向,对称轴和顶点坐
标分别是什么?
y=-½(x+1)²
顶点是 (-1,-1).
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象可以看作是抛物线
y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 1个单位,再沿直线x=-1向 上平移1个单位后得到的.
a就好啦!
x
点（3、0） 在抛物线 上，求a没 问题。
第2章 2.2 二次函数的图象与性质(4)
解：∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上； 对称轴为直线 x＝－2－×11＝12； 4×1·m4－×（1 －1）2＝4m4－1， 顶点坐标为(12，4m4－1)；
(2) m 为何值时，顶点在 x 轴上方；
解：顶点在 x 轴上方时，4m4－1＞0， 解得 m＞14；
4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的结论
是( B )
A．②④
B．①④
C．②③
D．①③
二、填空题
函数 y＝x2―2x－1 的最小值是 －2 . 若抛物线 y＝x2＋(4－m)x＋1 的顶点在 y 轴上，则 m＝4 4 .
已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)经过 A(－2，0)、O(0，0)、B(－
(3)若抛物线与 y 轴交于点 A，过点 A 作 AB∥x 轴交抛物线于 另一点 B，当 S△AOB＝4 时，求此二次函数的解析式．
解：令 x＝0，则 y＝m，所以点 A(0，m)，
∵AB∥x 轴，∴点 A、B 关于对称轴直线 x＝12对称，
∴AB＝12×2＝1，∴S△AOB＝12|m|×1＝4，
解：∵抛物线经过原点(0，0)，∴2m－m2＝0，
∴m1＝0，m2＝2.
(2)抛物线的对称轴为直线 x＝－1；
解：∵抛物线的对称轴为直线 x＝－1， ∴－m2 ＝－1，∴m＝2.
(3)抛物线与 y 轴交点的纵坐标为－3.
解：依题意知抛物线经过点(0，－3)， ∴2m－m2＝－3，∴m1＝－1，m2＝3.
， ．
★【基础知识训练】 一、选择题
►答案见：D7
二次函数 y＝－2(x－3)2＋5 的图象的开口方向、对称轴和顶
九年级数学二次函数概念4
小结
拓展
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
是以x为自变量的一次函数？ 为自变量的二次函数？
已知函数 y (k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
2 2
解（1）根据题意得
2 k k 0 k 0
∴k= - k ≠ 0,即k ≠ 0且k ≠ 1 时 y是x的二次函数
1 （是） (2) y = x + （否） (1) y=3(x-1)² +1 x
1、圆的半径是1cm,假设半径增 加xcm时,圆的面积增加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加 1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多 少？
2、正方体的六个面是全等的正方形,高正 方体的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一 个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的 具体关系可以表示为
y=(100+x)(600—5x)
2
5x 100 x 60000
S= －a² +30a ,
2
y=240x2+120x+976 y=100(x+1)² =100x² +200x+100
中考数学专题复习二次函数综合(四)
中考数学专题复习二次函数综合（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分 一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:C y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为()3,0，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点．（1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线1C 的表达式及顶点D 的坐标；（3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线22:2(0)C y ax a =-≠与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点,A B （A 在B 的左侧）．（1）求点,A B 的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点(2,2),(22,5)P Q a a +，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,4)，抛物线252y x x a =-+-的顶点为C ．（1）若抛物线经过点B 时，求顶点C 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若满足不等式2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，直接写出实数a 的值．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点,A B ，且4AB =．抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D ．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)已知点P(a，0)，Q(0，a﹣2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．y x与抛6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线22y x ax a的顶点为A，直线32=-+物线交于点,B C(点B在点C的左侧)．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在,B C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为W．①当0a=时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；①如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m =-->与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴交于C ．（1）求抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．拋物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域为图形W （不含边界）．①当1m =时，求图形W 内的整点个数；①若图形W 内有2个整数点，求m 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,，与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ．（1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数22y x x a =++的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠．(1)当m =3时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知点A (1，2)．试说明抛物线总经过点A ；(3)已知点B (0，2)，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点(0,2)．（1）求c 的值；（2）当2a =时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点(2,0),(1,0)A B -，若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+=+y x bx c 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，且OB=2OD ．（1）当2b =时，①写出抛物线的对称轴；①求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，结合函数图象，求b 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23(0)y ax bx a a =++≠与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）．直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(,1)D m ．（1）求抛物线的对称轴；（2）直接写出点C 的坐标；（3）点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，过点M 作x 轴的垂线l 与直线AC 交于点N ，若4MN ≥，结合函数图象，求a 的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x mx =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x =1，求出点A 和点B 的坐标，并画出此时函数的图象； （2）当已知点P （m ，2），Q (－m ，2m －1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向左平移b 个单位，再向上平移23b -个单位，得到点B ．（1）求点B 的坐标（用含b 的式子表示）；（2）当抛物线经过点()0,2，且0b >时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，直接写出b 的取值范围．参考答案：1．（1）1k =-，(0,3)C ；（2）243y x x =-+，()2,1-；（3）342a ≤< 【解析】【分析】（1）将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，并且经过点()3,0B ，代入求得k 值，且C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，3y kx =+也经过C 点，代入可求出C 点坐标；（2）已知B 、C 两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线1C 的解析式，再根据顶点式则可求出顶点坐标；（3）将A 、E 两点的坐标分别代入抛物线2C 的解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线2C 与线段AE 有一个公共点时a 的范围．【详解】（1）解：将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，①直线3y kx =+经过点()3,0B ，①330k +=，则1k =-．C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，且3y x =-+经过点(0,)C c ，代入得：3c =，则C 点坐标为()0,3．（2）解：抛物线2y x bx c =++经过点()3,0B 和点()0,3C ，①23y x bx =++，①9330b ++=， 4b =-，①抛物线1C 的函数表达式为243y x x =-+，①2(2)1y x =--，①顶点D 的坐标为()2,1-．（3）解：①点E 是点D 关于原点的对称点，①点E 的坐标为()2,1-．当22y ax =-经过点()2,1E -时，34a =，则2324y x =-， 当22y ax =-经过点1,0A 时，2a =，则222y x =-，结合下面图象可知a 的取值范围是342a ≤<．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图像等知识点，熟练掌握函数的性质、图象及公式是解题的关键．2．（1）(0,0),(4,0)A B ，2x =；（2）32a ≥，或102a -≤<，或32a ≤- 【解析】【分析】（1）与x 轴的交点纵坐标为0，然后计算0y =时的x 值即可求出坐标;根据抛物线的对称轴为2b x a =-求解即可； （2）由抛物线的顶点坐标(2,4)a -和抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a -．分a ＞0，a ＜0两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）24(4)y ax ax ax x =-=-，当y=0时，(4)=0-ax x①120,4x x ==①抛物线与x 轴交于点(0,0),(4,0)A B ．抛物线24y ax ax=-对称轴为直线：422axa-=-=．（2）()22244(2)4y ax ax a x x a x a=-=-=--，抛物线的顶点坐标为：(2,4)a-．令5y a=，得245=0--ax ax a，(5)(1)0a x x-+=，解得1x=-，或5x=，①当5y a=时，抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a-．①当0a>时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且(22,5)Q a a+位于点P的右侧，如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时225+≥a，解得32a≥．①当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点(22,5)Q a a+位于点P的左侧，（i）如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时42-≤a，解得12a≥-．（ii）如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时221+≤-a，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a-≤<，或32a≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．3．（1）533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）a 的取值范围是06a <或a=494；（3）8a =． 【解析】【分析】（1）将B 点坐标代入抛物线即可求出a 的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）讲A 点和B 点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB 有交点时a 的范围；（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，252=0x x a -+-，代入即可求出a 的值．【详解】解：（1）依据题意，将得点B 的坐标(6,4)代入抛物线得：436302a =-+-，解得0a =．此时，252y x x =--．所以顶点C 的坐标为533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）当抛物线过(0,4)A 时，6a =，此时，254y x x =-+．当抛物线过(6,4)B 时，0a =，此时，252y x x =--．当抛物线顶点在线段AB 上时，a=494 .结合下面图象可知，a 的取值范围是06a <或a=494．（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，不等式有最大值且最大值为0，则 252=0x x a -+-，代入得23532=0a -⨯+-，解得8a =．则实数a 的值为8．【点睛】 本题考查了二次函数的解析式、图象及二次函数与一元二次不等式的相关知识点，熟练掌握公式以及灵活观察图象是解题的关键．4．（1）对称轴1x =-；（2）31D y a =-+；（3）当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点．【解析】【分析】（1）直接根据二次函数的对称轴2b x a =-计算即可； （2）根据4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B ，把(1,0)代入22y ax ax c =++得20a a c ++=，则有3c a =-，可得C 点坐标为(0,3)a -，再根据平移，可得D 纵坐标； （3）分两种情况：当0a >和当0a <对抛物线的图像进行讨论即可．【详解】（1）抛物线22y ax ax c =++的对称轴为：2122b a x a a=-=-=-（2）4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B把(1,0)代入22y axax c =++得：20a a c ++=① 3c a =-①C 点坐标为(0,3)a -，(0,31)D a ∴-+，31D y a =-+（3）如图示，①当0a >时 将点(4,4)P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--，45a = ∴结合函数图象，可得当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点； ①如下图示，当0a <时，抛物线的顶点为(1,4)a --，结合函数图象，可得当44a -=时，抛物线与线段PD 只有一个交点，①1a =- ，综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点． 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称轴，平移和二次函数图像的性质，熟悉相关性质是解题得关键．5．(1)A 的坐标为(0，3a )(2)抛物线与x 轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)(3)﹣1≤a ＜0或1≤a ＜3【解析】【分析】（1）计算x =0时，y =3a ，即可得到点A 的坐标；（2）令y ＝0得ax 2﹣4ax +3a ＝0，解方程即可；（3）分别令抛物线过点Q（0，a﹣2），抛物线过点P（a，0）讨论抛物线与线段PQ恰有一个公共点的情况，得到a的取值范围．(1)解：①抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A，当x=0时，y=3a，①A的坐标为（0，3a）；(2)解：当y＝0时．即ax2﹣4ax+3a＝0，①a（x-1）（x-3）=0，解得：x1＝1，x2＝3，①抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；(3)解：当抛物线过点Q（0，a﹣2）时，a＝﹣1，①P（﹣1，0），此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．当抛物线过点P（a，0）时，a＝1或a＝3（不合题意舍去），此时，Q（0，﹣1），抛物线与线段PQ有一个公共点；综上所述，当﹣1≤a＜0或1≤a＜3时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．【点睛】此题考查了抛物线的性质，求抛物线与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程，图象交点问题，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键．6．（1）A（a，0）；（2）①4；①21a-<<-【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可；（2）①画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；①由①推出a＜0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.【详解】解：（1）①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a=-+=-，①可得顶点坐标为：A（a，0）；（2）①①a=0，①抛物线表达式为：2y x，令23x x=+，解得：x1=1132-，x2=1132+，①113212--<<-，113232+<<，①区域W内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；①由①可知当a=0时有4个整点，当a＞0时，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，①a＜0，①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a =-+=-，①抛物线的顶点在x 轴，开口向上，当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，()211a =--， 解得：a=-2或0（舍），第二个整点为（0，2），代入抛物线，()220a =-， 解得：a=2（舍）或2-，第三个整点为（0，1），代入抛物线，()210a =-， 解得：a=1（舍）或-1，综上：a 的取值范围是：21a -<<-.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．7．（1）抛物线的对称轴为1x =，(0,1)C -；（2）①1个；①12m <≤．【解析】【分析】（1）先根据二次函数的对称轴2b x a =-可得其对称轴，再令0x =，求出y 的值，从而可得出点C 坐标；（2）①先得出抛物线的解析式，再画出图象，结合图象和整点的定义即可得；①先将二次函数的解析式化为顶点式，求出其顶点坐标，再结合图象，找出两个临界位置，分别求出m 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）抛物线221y mx mx =--的对称轴为212m x m-=-= 令0x =得：1y =-则点C 坐标为(0,1)C -；（2）①当1m =时2221(1)2y x x x =--=--，画出其图象如下所示：结合图象和整点的定义可得：图形W内的整点只有1个，即点(1,1)-；①将抛物线221y mx mx =--化为顶点式2(1)1y m x m =---则抛物线的顶点坐标为(1,1)m --，且图象经过定点(0,1)C -结合图象可知，若图形W 内的整点有2个，则这两个整点只能是(1,1),(1,2)--因此有两个临界点：抛物线顶点为()1,2-和抛物线顶点为()1,3-当抛物线顶点为()1,2-时，12m --=-，解得1m = 当抛物线顶点为()1,3-时，13m --=-，解得2m =则m 的取值范围为12m <≤．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）①，掌握图象法，正确找出两个临界位置是解题关键．8．（1）点B 的坐标为()0,3． 223y x x =--+． （2）33a -≤<或5a =．【解析】【分析】（1）令x=0可求出y 的值，从而得到点B 的坐标；把点A 坐标代入223y mx mx =++求出m 的值即可得到结论；（2）画出函数图象，再利用图象确定a 的取值范围即可.【详解】（1）①223y mx mx =++的图象与y 轴交于点B ，①点B 的坐标为()0,3．①223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,， ①将()30A -,代入223y mx mx =++可得9630m m -+=． ①1m =-．①该函数的表达式为223y x x =--+．（2）①将二次函数223y mx mx =++的图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ，①F 的端点为A ，B ，并经过抛物线223y mx mx =++的顶点C （其中C 点坐标为()1,4-）． ①可画F 如图1所示．①二次函数22y x x a=++的图象的对称轴为1x=-，且与F只有一个公共点，①可分别把A，B，C的坐标代入解析式22y x x a=++中．①可得三个a值分别为3-，3，5．画示意图如图2所示．①结合函数图象可知：二次函数22y x x a=++的图象与F只有一个公共点时，a的取值范围是33a-≤<或5a=．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）是本题的难点，主要通过作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题．9．(1)(1，2)；(2)详见解析；(3)m =3或0<m <32或-3<m <0． 【解析】【分析】(1)把m =3代入解析式，化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；(2)把x =1代入解析式，y 总等于2，与m 无关，即可判断抛物线总经过点A (1，2)；(3)根据题意可以得到点C 的坐标，分顶点在线段BC 上、抛物线过点B (0，2)、抛物线过点C (3，2)时三种情况讨论，画出抛物线的图象，然后根据图象和题意，即可得到a 的取值范围．【详解】(1)把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得：223653(1)2y x x x =-+=-+，①抛物线的顶点坐标是(1，2)； (2)当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=，①点A (1，2)，①抛物线总经过点A ；(3)①点B (0，2)，由平移得C (3，2)．① 当顶点在线段BC 上，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由(1)知，抛物线的顶点A (1，2)在线段BC 上，此时，m =3；① 当抛物线过点B (0，2)时，将点B (0，2)代入抛物线表达式，得：212m -=，①m =32>0， 此时抛物线开口向上(如图1)，①当0<m<32时，抛物线与线段BC只有一个公共点；①当抛物线过点C(3，2)时，将点C(3，2)代入抛物线表达式，得：()991212m m m--+-=，①30m=-<，此时抛物线开口向下(如图2)，①当30m-<<时，抛物线与线段BC只有一个公共点，综上，m的取值范围是m=3或0<m<32或-3<m<0．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、坐标与图形变换-平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．10．（1）2；（2）顶点坐标为(1,0)-；（3）212a<+【分析】（1）把(0,2)代入解析式可得答案；（2）把2a=代入解析式，利用顶点坐标公式可得答案；（3）分情况讨论，由（2）知：抛物线与线段只有一个交点，再计算当抛物线过(2,0)-时a的值，从而根据图像可得结论．【详解】解：（1）抛物线22y ax a x c=++与y轴交于点(0,2)，2c∴=．（2）当2a=时，抛物线为2242y x x=++．∴顶点坐标为(1,0)-．（3）当0a>时，①当2a=时，如图1，抛物线与线段AB只有一个公共点．①当12a=+时，如图2，抛物线与线段AB有两个公共点．结合函数图象可得212a<+．当0a<时，抛物线与线段AB只有一个或没有公共点．综上所述，a的取值范围是212a<+．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，根据交点的情况判断系数的取值范围，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．11．（1）①1x=-；①228=+-y x x；（2）2b<-或23b>．【解析】（1）①由二次函数的对称轴方程可得出答案；①根据题意求出B 点坐标为（2，0），代入抛物线解析式2+=+y x bx c 可得出答案；（2）求出E （-b 22+，0），点D 的坐标为（-2b ，0）．①当b ＞0时，得出点A 的坐标为（-2b ，0），点B 的坐标为（b ，0），则-2b ＜-b 22+，解不等式即可；①当b ＜0时，点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（-b ，0），则0＜-b 22+，解出b ＜-2． 【详解】解：（1）当2b =时，2y x bx c =++化为22y x x c =++．①21221b x a =-=-=-⨯． ①①抛物线的对称轴为直线1x =-，①点D 的坐标为（-1，0），OD=1．①OB=2OD ，① OB=2．①点A ，点B 关于直线1x =-对称，①点B 在点D 的右侧．① 点B 的坐标为（2，0）．①抛物线22y x x c =++与x 轴交于点B （2，0），① 440c ++=．解得8c =-．①抛物线的表达式为228=+-y x x ．（2）设直线22b y x +=+与x 轴交点为点E ， 当y=0时，202+=+b x ① 2=-2+b x ① E （22b +-，0）． 抛物线的对称轴为2b x =-，①点D的坐标为（2b-，0）．①当0b>时，2bOD=．①OB=2OD，① OB=b．① 点A的坐标为（2b-，0），点B的坐标为（b，0）．当2b-<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得23b>．①当0b<时，0b->．①2bOD=-．①OB=2OD，① OB=-b．①抛物线2+=+y x bx c与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，① 点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0）．当0<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，解得b<-2．综上，b 的取值范围是2b <-或23b >． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．12．（1）抛物线的对称轴为直线2x =；（2）点C 的坐标为()3,0；（3）a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【解析】【分析】（1）将点(,1)D m 代入3y x =-+，求得m ，即为对称轴；（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =-，代入23(0)y ax bx a a =++≠，令0y =，可解得C 点坐标； （3）表示出点A ，点M 的坐标，根据//MN y 轴，得EN EG OA OC=，表示出EN ，进而得MN 长度表示，用4MN ≥，解出a 的取值范围即可．【详解】 （1）直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(),1D m ，2m ∴=．∴抛物线的对称轴为直线2x =．（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =- ①243(0)y ax ax a a =-+≠，令0y =，则2430ax ax a -+=，即(3)(1)0a x x --=解得123,1x x ==由于点B 在点C 左侧①点C 的坐标为()3,0．（3）抛物线23y ax bx a =++与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为()0,3a ．点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点M 的坐标为()4,3a ．①当0a >时，如图1．//MN y 轴，EN EG OA OC ∴=，即133EN a =． EN a ∴=．①34MN a a a =+=若4MN ≥，即44a ≥，得1a ≥．①当0a <时，如图2．同理可得|3|||4MN a a a =+=-若4MN ≥，即44a -≥，得1a ≤-．综上所述，a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握对称轴的表示与计算，函数图象与x 轴交点的计算，及平行于y 轴的线段长度的表示，及一元一次不等式的计算是解题的关键． 13．（1）点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，图像见解析；（2）m ≤－2 或m ≥1【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线x =1可得2(1)m --＝1，求出m=2，得2y x 2x 3=-++，求出与x 轴的交点坐标，根据点A 在点B 左侧即可求得点A ，点B 的坐标；（2）根据点Q 在点D 上方或与点D 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点得22123m m -≥-+，结合图象求解即可．【详解】（1）①抛物线的对称轴为：x ＝2b a-＝2(1)m --＝1 ①m ＝2①抛物线为：2y x 2x 3=-++将y ＝0代入，得2023x x =-++解得：1x ＝－1，2x ＝3，①点A 在点B 左侧①点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，（2）m ≤－2 或m ≥1将x m =代入23y x mx =-++，得3y =①抛物线过定点C （m ，3）①点P （m ，2）①点P 在点C 下方，如图，将x m=-代入23y x mx=-++，得223y m=-+，则2(23)D m m--+，①点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点①22123m m-≥-+整理得220m m+-≥设22y m m=+-，画图象如图：当y=0时，22=0m m+-，解得，1=2m-，2=1m，①抛物线22y m m=+-与x轴的交点坐标为（-2，0），（1，0）①当2m≤-或m1≥时，220m m+-≥所以，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，m的取值范围是2m≤-或m1≥．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．14．（1）(0，3-b 2)；（2）222y x x =-++；（3）-1≤b≤1【解析】【分析】（1）先求出点A 坐标，再根据平移规律即可求出点B 坐标；（2）把（0，2）代入2221y x bx b =-+++，结合b>0即可求出b ，问题得解；（3）把B 坐标代入抛物线解析式，求出b ，分b ＞1，b=1，-1＜b ＜1，b=-1，b ＜-1，画出函数图象，即可求解．【详解】解：(1)由题意得抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴为22b x b =-=-， ①点A 坐标为（b ，0），①点B 坐标为（0，3-b 2）(2)把（0，2）代入2221y x bx b =-+++中，解得b=±1.①b>0，①b=1.①抛物线的表达式：222y x x =-++；(3)当抛物线过点B 时，抛物线AB 有一个公共点，①221=3b b +-①=1b ±，如图：当b ＞1时，抛物线与线段AB 无交点；当b=1时，抛物线与线段AB 有一个交点；当-1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b=-1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜-1时，抛物线与线段AB无交点．①若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则-1≤b≤1．【点睛】本题考查了含参数的函数解析式，难度较大，解第（3）步关键是根据题意确定关键点取值，再结合图象分类讨论．答案第24页，共24页。
二次函数及反比例函数知识点
二次函数及反比例函数知识点二次函数和反比例函数是初中和高中数学中经常涉及的函数。
它们在数学上有着重要的应用，同时也具有一定的难度。
下面我们来详细介绍二次函数和反比例函数的知识点。
一、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a≠0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3.二次函数的性质：(1) 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2 + bx + c。
(2)对称轴：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))的直线称为二次函数的对称轴，方程为x=-b/2a。
(3)开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
(4) 判别式：二次函数ax^2 + bx + c的判别式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，有两个相等的实根；当Δ < 0时，无实根。
4.二次函数的平移：二次函数的横向平移和纵向平移可以通过对函数的自变量和因变量进行平移操作实现。
5.二次函数的解析式：通过给定的定点和顶点坐标，可以确定一条与x轴相交的二次函数。
6.二次函数的应用：二次函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，如碰撞问题、抛物线运动等。
二、反比例函数1.定义：反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数。
2.变化规律：反比例函数的特点是随着x的增大，y的值会逐渐减小；反之，随着x的减小，y的值会逐渐增大。
3.反比例函数的性质：(1)零点：当x≠0时，y=0称为反比例函数的零点。
(2)渐近线：反比例函数y=k/x的图像有两个渐进线x=0和y=0。
(3)对称性：反比例函数的图象关于坐标轴对称。
(4)奇函数：反比例函数是一个奇函数，满足f(-x)=-f(x)。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题4二次函数综合之线段最值,成比
类型一：线段最值问题【经典例题1改编】抛物线y=-x 2+bx +c 与直线y=-x +5一个交点A （2，m ），另一个交点B 在x 轴上，点P 是线段AB 上异于A 、B 的一个动点，过点P 做x 轴的垂线，交抛物线于点E ；（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P ，使线段PE 长度最大？若存在求出最大值及此时点P 的坐标，若不存在说明理由；（3）在y 轴右侧，当EP 平行于y 轴时，设点E 的横坐标为m ，当点E 到y 轴的距离等于线段EP 的长时，求m 的值；【解析】（1）A(2，-3)，抛物线解析式y=-x 2+6x -5（2）设点P 的横坐标为m ，E(m ，-m 2+6m -5)，P(m ，-m+5)∴EP=y E -y P=(-m 2+6m -5)-(-m +5)=-m 2+7m -10=-(m -27)2+49 当m=27时，EP 长度有最大值49，此时，P(27，23) （3）根据题意分两种情况∴当0<x <2或x >5时，EP=m 2-7m +10，所以m=m 2-7m +10，即m 2-8m +10=0，解得m1=4+6，m2=4-6；∴当2<x<5时，EP=-m2+7m-10，所以m=-m2+7m-10，即m2-6m+10=0，此方程无解。
综上，m1=4+6，m2=4-6【经典例题2】如图所示，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y= -x与抛物线交于E，F两点.(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH∴EF于点H，求PH的最大值；【解析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，即−3a=−3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2+2x−3；(2)过点P作PM∴y轴交直线EF于点M，设点P(x ，x 2+2x −3)、点M(x ，−x )，则PH=22PM=22(−x −x 2−2x +3)， 当x =−23时，PH 的最大值为：8221；【经典例题3】已知抛物线l 1:y 1=ax 2−2的顶点为P ，交x 轴于A. B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin∴ABP=55. (1)求抛物线l 1的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ，交y 轴于点D ，若∴ABC 的面积被y 轴分为1:4两个部分，求直线AC 的解析式；【解析】（1）当x =0时，y 1=ax 2-2=-2∴顶点P （0，-2），OP=2∴∴BOP=90° ∴sin∴ABP=BP OP =55 ∴BP=5OP=25 ∴OB=442022=-=-OP BP∴B （4，0），代入抛物线l 1得：16a -2=0，解得：a =81 ∴抛物线l 1的函数解析式为y 1=81x 2-2 （2）∴知抛物线l 1交x 轴于A 、B 两点∴A 、B 关于y 轴对称，即A （-4，0）∴AB=8设直线AC 解析式：y=kx +b点A 代入得：-4k +b =0∴b =4k∴直线AC ：y=kx +4k ，D （0，4k ）∴S ∴AOD =S ∴BOD =21×4×|4k |=8|k | ∴81x 2-2=kx +4k 整理得：x 2-8kx -32k -16=0∴x 1+x 2=8k∴x 1=-4∴x C =x 2=8k +4，y C =k （8k +4）+4k =8k 2+8k∴C （8k +4，8k 2+8k ）∴S ∴ABC =21AB•|y C |=32|k 2+k | ∴若k >0，则S ∴AOD ：S 四边形OBCD =1：4∴S ∴AOD =51S ∴ABC ∴8k =51×32（k 2+k ） 解得：k 1=0（舍去），k 2=41 ∴直线AC 解析式为y=41x +1 ∴若k <0，则S ∴AOD =S ∴BOD =-8k ，S ∴ABC =-32（k 2+k ）∴-8k =51×[-32（k 2+k ）] 解得：k 1=0（舍去），k 2=41（舍去） 综上所述，直线AC 的解析式为y=41x +1．【经典例题4】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x +4与抛物线y=21-x 2+bx +c (b ，c 是常数)交于A. B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上。
二次函数知识点
二次函数（知识点）1. 二次函数的概念：一般地，如果y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)，其中二次项中x 的次数必须是2并且二次项的系数不能为0，那么这样的函数y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图象及画法二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是对称轴平行于y 轴(或是y 轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a 相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同. 一 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点. 二 用平移法画图象由于a 相同的抛物线y=ax 2+bx+c 的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax 2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k 的形式，确定其顶点(h ，k)，然后做出二次函数y=ax 2的图象.将抛物线y=ax 2平移，使其顶点平移到(h ，k).3.（1）函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质：a 的符号图象开口方向 顶点坐标 对称轴增减性最大(小)值a>0向上(0，0)y 轴或说直线x=0 x>0时，y 随x 增大而增大 x<0时，y 随x 增大而减小当x=0时，y 最小=0a<0向下(0，0)y 轴或说直线x=0 x>0时，y 随x 增大而减小 x<0时，y 随x 增大而增大当x=0时，y 最大=0顶点是坐标原点(0,0)，对称轴是y 轴或直线x=0的抛物线的解析式形式为220)0(ax x a y =+-=）（0≠a（2）函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及其性质:a 的符号图象开口方向 顶点坐标对称轴 增减性 最大(小)值 a>0向上(0，c)y 轴或说 直线x=0x>0时，y 随x 增大而增大 x<0时，y 随x 增大而减小 当x=0时， y 最小=ca<0向下(0，c)y 轴或说 直线x=0x>0时，y 随x 增大而减小 x<0时，y 随x 增大而增大当x=0时， y 最大=c顶点在y 轴上其坐标为（0，c ），对称轴是y 轴或直线x=0的抛物线的解析式形式为y=a （x-0）2+c=ax 2+c （3）抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 之间的关系是：形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，而顶点位置和抛物线的位置不同． （4）抛物线之间的平移规律：抛物线y=ax 2向上平移c 个单位可以得到抛物线 y=ax 2+c ；抛物线y=ax 2向下平移c 个单位可以得到抛物线 y=ax 2-c ；4.（1）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像的性质二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是（a b ac a b 44,22--），对称轴是直线x=ab 2-函数 二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图象a>0a<0性质 (1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点（a b ac a b 44,22--）有最低点，存在最小值，对称轴为x=a b 2-，当x=a b 2-，y 最小值=ab ac 442-。
6.2二次函数的图象和性质(4)
§6.2 二次函数的图象和性质（4）教案
备课时间: 主备人:
教学目标:
1．会用描点法画出二次函数的图像；
2．知道抛物线的对称轴与顶点坐标；
教学重点:
会画形如的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
教学难点:
确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。
教学方法:
探索研究法。
教学过程:
一、情景创设
1、复习
函数、与及其图象间的相互关系
二、新授
1、请你在同一直角坐标系内，画出函数的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．
2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数的图像？
3、你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习
抛物线开口方向对称轴顶点坐标
三、练习
1、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
2、抛物线有什么关系？
3、它们的位置有什么关系？
①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
④抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
四、总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
五、作业。
二次函数的应用(4)桥洞问题
练习 （3）某工厂大门是一抛物线型水泥建筑 物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离 地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车 欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽 度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大 门．
结束寄语
生活是数学的源泉.
2 . 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得， 当水面宽 AB ＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽 ED 是多少？ 是否会超过1 m？
分析：根据已知条件，要求ED宽， 只要求出FD的长度．在图示的直 角坐标系中，即只要求出点D的横 坐标．因为点D在涵洞所成的抛物 线上，又由已知条件可得到点D的 纵坐标，所以利用抛物线的函数关 系式可以进一步算出点D的横坐 标．你会求吗？
解:建立如图所示的坐标系
可设抛物线表达式为y = ax 2 .
则有A点坐标为(2,2), B点坐标为( x,3). 1 2 由此可得函数表达式为y x . 2 1 2 当y 3时, 得 3 x . 2 x 6.
水面宽 2 6 4.9m.
2.4 a 0.82
15 所以 a 4
因此，函数关系式是
15 2 y x 4
A
B
知识应用
1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽 20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥 下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上 上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
练习
（1）河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线
型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为 1 y= - 25 x2 ， 当水位线在AB位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ D ） A、5米 B、6米； C、8米； D、9米
_高中数学第二章函数4
(3)要得到y＝2(x＋1)2的图像，需将y＝2(x＋1)2－1的图像向上平移1个单位长 度．( √ ) 提示：根据图像平移规律可知正确．
2．将二次函数 y＝2x2＋8x－7 化为 y＝a(x＋m)2＋n 的形式，正确的是( )
A．y＝2(x＋4)2－7
B．y＝2(x＋2)2－7
C．y＝2(x＋2)2－11
二次函数图像识别策略 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像识别要注意二次项系数 a 定开口方向；a，b 定 对称轴；判别式定与 x 轴的公共点个数．
设函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且 a≠0)，若 a＝c，则函数图像不可能是( )
【解析】选 D.由于 a＝c，根据根与系数的关系，有 x1x2＝ac ＝1，观察图像可发 现，对于 D 选项，两个根都小于－1，那么它们的乘积大于 1，故 D 选项不可能 成立．
为( )
A．12
B．1 C．32
D. 2
【解析】选 B.因为 f(x)在(－∞，1]上是减少的， 所以－a≥1，即 a≤－1. 所以 f(x)在[a＋1，1]上的最大值为 f(a＋1)＝3a2＋4a＋4，最小值为 f(1)＝4＋2a， 所以 g(a)＝3a2＋2a＝3a＋13 2 －13 ， 因为 g(a)在(－∞，－1]上减少， 所以 g(a)的最小值为 g(－1)＝1.
0 －2 0 6
描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．
由图像可知由 y＝x2 到 y＝2x2－4x 的变化过程为： 先把 y＝x2 的图像向下平移 1 个单位长度得到 y＝x2－1 的图像，然后再把 y＝ x2－1 的图像向右平移 1 个单位长度得到 y＝(x－1)2－1 的图像，最后把 y＝ (x－1)2－1 的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，便可得到 y＝2(x－1)2－2， 即 y＝2x2－4x 的图像．
初中九年级上册数学课件 二次函数 4、二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质
-2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
-3
y 1 x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5… 0.5 0 0.5 2 4.5
…
2
… y 1 (x 2)2 2
4.5 2 0.5 0 0.5 …
6
5
4
y 1 x 22
2
3
2
1
-6
-4
-2 B
对称轴方程；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，
使以P、A、B、O为顶点
y
的四边形为平行四边形，若
存在，求出P点坐标；若不
B
存在，请说明理由。
Ao x
二次函数y=a(x-ｈ)2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
h>0
h<0
h>0
h<0
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
说出抛物线的开口方向、顶点、对称轴，最大值或最小值各是什么及增减性如何？
-7 -8 -9
-10
x=1
y
y
1(
1
2
x2
x
1)2
2
小结
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象有什么关系？
1.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右 平移|h|得到.
y=ax2 左右平移 y=a(x-h)2
左加右减
2、可由二次函数y=ax2的性质得到二次函数y=a(x-h)2的 性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值）.
二次函数(4)-最新公开课
二次函数(复习)知识结构:具体知识点:一、二次函数概念：形如（a≠0,a,b,c为常数）的函数叫x的二次函数。
二、二次函数的图象关系：三、二次函数的特性：（填表）四、实践与探索巩固练习：一、基础练习：①二次函数的定义：⑴．下列函数中，二次函数的是（）⑵．当k= 时，函数为二次函数。
②二次函数的图像与性质：二次函数y=-x2+6x+3的图象开口方向顶点坐标为_________对称轴为_________当x= 时函数有值，为。
当x 时，y的值随x的增大而增大。
它是由y=-x2向平移个单位得到的，再向平移个单位得到的．③抛物线与x轴的交点个数：抛物线与x轴的交点有个，抛物线与x轴的交点有个，抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点有个。
总结：抛物线与x轴的交点个数由决定。
④抛物线的图象与a、b、c及b2-4ac的关系。
⑴如图是y=ax2+bx+c的图象，则a______0 b______0 c______0 b2-4ac________0⑵．二次函数与一次函数在同一直角坐标系中图象大致是（）总结：抛物线的图象与a、b、c及b2-4ac的关系是：a:开口方向；b：结合a看对称轴；c：与y轴交点坐标；b2-4ac：与x轴的交点个数。
⑤求函数解析式：⑴．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．A、已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；B、已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；C、已知抛物线过点（—2，5），（4，5），且有最小值为y=3，求此函数关系式。
总结：（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．。
二次函数4
图象和性质回顾：抛物线2)(h x a y -=+k 与2ax y =之间存在什么样的平移规律？归纳反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变.所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 典型例题例 1 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b ，c 的值．分析：把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线cbx x y ++=2．解：根据题意得，y=(x-4)2-2=x 2-8x=14, 所以 8,14.b c =-⎧⎨=⎩例2 第一象限内的点A 在一反比例函数的图象上，过A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，连AO ，已知△AOB 的面积为4.（1）求反比例函数的解析式；（2）若点A 的纵坐标为4，过点A 的直线与x 轴交于P ，且△APB 与△AOB 相似，求所有符合条件的点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P ，O ，A 的抛物线是否可由抛物线241x y =平移得到？若是，请说明由抛物线241x y =如何平移得到；若不是，请说明理由.x解：（1）设反比例函数的解析式为xk y =，点A 的坐标为（x ，y ），∵S △AOB = 4， ∴421=xy ，∴x 8=y ，∴xy 8=.（2）由题意得A （2，4），∴B （2，0）.∵ 点P 在x 轴上，设P 点坐标为（x ，0），∴∠ABO =∠ABP =900. ∴△ABP 与△ABO 相似有两种情况： ①当△ABP ∽△ABO 时，有BP AB BOAB =.∴BP=BO=2，∴P （4，0）. ②当△PBA ∽△ABO 时，有BAPB BOAB =，即424PB =，∴PB=8.∴P （10，0）或P （－6，0）.∴ 符合条件的点P 坐标是（4，0）或（10，0）或（－6，0）.（3）当点P 坐标是（4，0）或（10，0）时，过点P ，A ，O 三点的抛物线的开口向下，∴不能由241x y =的图象平移得到.当点P 坐标是（－6，0）时，设抛物线解析式为)6(+=x ax y . ∵抛物线过点A （2，4），∴41=a ，∴)6(412x x y +=，∴49)3(412-+=x y .∴该抛物线可以由241x y =向左平移3个单位，向下平移49个单位得到.强化练习 一、选择题1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y =（ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．二次函数2)1(212+-=x y 的图象可由221x y =的图象（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到3．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有（ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=21 二、填空题4．把函数22x y =的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 .5．抛物线m x x y +-=42的顶点在x 轴上，其顶点坐标是 ，对称轴是 . 6．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 7．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．。
二次函数(4)
海豚教育个性化简案学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时教学目标1.理解二次函数中参数a,b c,h,k对其图像的影响。
2. 领会二次函数图像平移的方法，并能迁移到其他函数图象的研究，从而提高识图和用图能力.重难点导航1. 利用函数图象探究函数的性质；2. 掌握二次函数与系数之间的关系.教学简案：知识点一：用待定系数法求二次函数的表达式知识点二：根据图像求二次函数解析式知识点三：二次函数的比较大小知识点四：二次函数的最值知识点五：二次函数与一元二次方程授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：海豚教育个性化教案（真题演练）1.（2013•舟山）若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则抛物线y=ax2+bx 的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=-2 C．直线x=-1 D．直线x=-42.（2010•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4海豚教育个性化教案二次函数（四）知识点一：用待定系数法求二次函数的表达式题型一：一般式:c bx ax y ++=2)0(≠a c b a 为常数，、、；确定图像上三个点坐标代入，得到关于，a,b,c 的方程。
解方程组就可得到a 、b 、c 。
例1：已知二次函数的图像过三点，A （-1，0）B （0,1）C （1,6）求次函数的解析式。
第四讲二次函数(讲义).doc
第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、 二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、 一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以 对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。
［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很， 求这个二次函数的表达式。
例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。
二、 二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。
专题讲解—二次函数的性质4
二次函数的图像和性质知识点一：二次函数平移问题：1. （2012•鄂州）把抛物线y=x 2+bx+4的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y=x 2﹣2x+3，则b 的值为（ ） A ． 2B ． 4C ． 6D ． 82. （2011•攀枝花）在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2﹣1；②y=2x 2+3；③y=﹣2x 2﹣1；④2112y x =-的图象不可能由函数y=2x 2+1的图象通过平移变换得到的函数是 ．（把你认为正确的序号都填写在横线上）3. （2010•徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=（x ﹣2009）（x ﹣2010）+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ） A ． 向上平移4个单位B ． 向下平移4个单位C ． 向左平移4个单位D ． 向右平移4个单位4. （2011•桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A 、y=-（x+1）2+2 B 、y=-（x-1）2+4 C 、y=-（x-1）2+2 D 、y=-（x+1）2+45. 把抛物线y=x 2-2x-3绕点A （3，0）旋转180°后所得的抛物线解析式是6. 抛物线y=-（x-L ）(x-3-k)+L 与抛物线y=(x-3)2+4关于原点对称，L+k= .知识点二：多个函数图像在同一坐标系共存问题： 1. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，反比例函数y =ax与正比例函数y =(b +c )x 在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）2. 抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数 xc b y ++=a 在同一坐标系内的图像大致为（ ）知识点三：二次函数通过图像与系数a ，b ，c 的关系抛物线开口抛物线对称轴抛物线与坐标轴交点a >0，开口向上 a <0，开口向下│a │越大，开口越小 直线x=-b/2a当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧；与y 轴交点坐标（0，c ），当c =0时，抛物线过原点。
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第5课时 二次函数的平移与翻折
教学目标：
掌握二次函数的平移与翻折，并能进行灵活应用
A 、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
B 、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称
2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++； 3. 关于原点对称
2
y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-；
4. 关于顶点对称
2
y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称
()2
y a x h k =-+关于点()m n ，
对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
例1．将抛物线y=-2(x-1)2
+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析
式为______．
例2、已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2向下平移1个单位，再向左平
移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
例3．要从抛物线y=-2x 2
的图象得到y=-2x 2
-1的图象，则抛物线y=-2x 2
必须 [ ]
A ．向上平移1个单位；
B ．向下平移1个单位；
C ．向左平移1个单位；
D ．向右平移1个单位．
例4．把y= -x 2-4x+１化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ）
A ．2
(2)3y x =---B ．2
(2)5y x =--+ C ． 2
(2)3y x =-+- D ． 2
(2)5y x =-++
例5、将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，接着再向上平移6个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________。
例6、将抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为
例7、在同一坐标平面内，图象不可能由函数 y=2x2+1 的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（）
Ａ． y=2（x+1）2-1Ｂ．y=2x2+3Ｃ． y=-2x2-1 Ｄ．
抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式
结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-（a2x+bx+c）。
例8、抛物线 y=2（x-1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式为。
抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式
结论：抛物线y= a2x+bx+c关于y 轴的对称抛物线为：y=a2x-bx+c。
例9、抛物线 y=2（x-1）2+3关于y轴对称的抛物线的解析式为。
抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式
结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-a2x+bx-c。
课后练习：
1. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是______，顶点坐标是______．
2. c=______时，抛物线y=x2+3x+c过原点．
3. 抛物线y=2x2-6x+1的顶点坐标是_______．
4. 抛物线y=2x2+x-1的顶点坐标是________，对称轴是_______．
5. 函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=ax2的图象______相同．
6. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是向__________，顶点坐标是__________，对称轴是直
线_________．
7. 二次函数y=(x+2)2-2，当x=______时，y有最小值，且y最小值=_______．
8. 二次函数y=-2x2+12x-13的图象开口向______，的顶点坐标是_______，对称轴
是；
9. 函数y=-x2+4x+3的图像开口向______，的顶点坐标是_______，对称轴是；
10、已知y=x2+6x+m与函数y=(x-n)2是同一个函数，则它的顶点坐标是 [ ]
A.(0，-3)
B.(0，3)
C.(-3，0)
D.(3，0)
11、已知图象过(2，-3)，(6，5)，(-1，12)三点，则二次函数解析式是 [ ]
A.y=x2+6x-5
B.y=-x2-6x-5
C.y=x2-6x+5
D.y=-x2-6x+5
12、已知抛物线y=x2-2(k+1)x+16的顶点在x轴上，则k的值是______．
13、若抛物线的顶点为(-2，3)，并且经过(-1，5)，则解析式为______．
15、必须 [ ]
A．向上平移3个单位； B．向下平移3个单位；
C．向左平移3个单位； D．向右平移3个单位．
17．将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ]
A．y=-3(x-1)2-2；B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2．
18．要从抛物线y=2x 2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x 2
必须 [ ]
A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；
D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
19、=-x 2
必须 [ ]
A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；
D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．
20、
位，则所得抛
物线解析式为___
２1．抛物线2
32y x =-
向左平移1个单位得到抛物线（ ） A ．2312y x =-- Ｂ． 2312y x =-+Ｃ．2
3(1)2y x =-+ Ｄ．
22．函数213y x =与2
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y x =+的图象的不同之处是（ ）
Ａ．对称轴 Ｂ．开口方向 Ｃ．顶点 Ｄ．形状
24. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )
A. ()522
+--=x y B. ()522
++-=x y C. ()522
---=x y D. ()522
-+-=x y
25．对于抛物线22(2)34(2)1y x y x =-+=-+与，下列叙述错误的是（ ） A.开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 图象都在x 轴上方 26、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。