2021-2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.1 配方法 专题(练)理
初中数学10种解题方法之配方法
初中数学10种解题方法之配方法初中数学10种解题方法之配方法同学们注意了，配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
下面小编为大家带来的就是初中数学10种解题方法之配方法。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
上面的内容是初中数学10种解题方法之配方法，小编相信朋友们看过以后都有所了解有所掌握了吧。
接下来还有更多的初中数学讯息尽在哦。
初中数学解题方法之常用的公式下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。
对于常用的公式如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。
总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。
你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。
初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。
学会画图画图是一个翻译的过程。
读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。
这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。
有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。
尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。
所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。
画图时应注意尽量画得准确。
画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。
公开课教案(配方法)
公开课教案（配方法）第一章：配方法简介1.1 配方法的定义配方法是一种将一个多项式表示为两个或多个多项式的乘积的形式的方法。
通过配方法，可以将一个多项式转化为更容易求解或分析的形式。
1.2 配方法的应用配方法在解决方程、不等式、函数等方面有广泛应用。
通过配方法，可以简化计算过程，提高解题效率。
第二章：配方法的基本步骤2.1 确定多项式的次数在进行配方法之前，确定多项式的次数。
次数最高的项称为最高次项，次数最低的项称为最低次项。
2.2 选择配方法根据多项式的特点，选择合适的配方法。
常见的配方法有因式分解、合成法、差乘法等。
2.3 应用配方法将多项式按照配方法进行转化，得到新的表达式。
新的表达式应该更容易求解或分析。
2.4 验证结果将得到的解或结果代入原多项式中，验证其正确性。
确保配方法没有导致误差的产生。
第三章：配方法的应用实例3.1 方程的解法利用配方法将方程转化为更容易求解的形式。
通过配方法，可以快速找到方程的根。
3.2 不等式的解法利用配方法将不等式转化为更容易分析的形式。
通过配方法，可以快速确定不等式的解集。
3.3 函数的简化利用配方法将函数表达式简化。
通过配方法，可以更容易分析和理解函数的性质。
第四章：配方法的拓展4.1 多项式的合成利用配方法将两个或多个多项式合成一个多项式。
通过配方法，可以简化计算过程，提高解题效率。
4.2 多项式的分解利用配方法将一个多项式分解为两个或多个多项式的乘积。
通过配方法，可以快速得到多项式的因式分解形式。
第五章：配方法的练习题5.1 配方法的应用题设计与配方法相关的应用题，让学生通过实际问题练习配方法。
题目可以涉及方程、不等式、函数等方面的应用。
5.2 配方法的练习题提供一些多项式，让学生利用配方法进行化简、求解等操作。
通过练习题，巩固学生对配方法的理解和应用能力。
第六章：配方法在代数运算中的应用6.1 配方法在因式分解中的应用利用配方法将多项式进行因式分解。
九年级数学上人教版《配方法》课堂笔记
《配方法》课堂笔记
一、什么是配方法
配方法是一种用于求解一元二次方程的数学方法，其基本思想是将一元二次方程转化为一次项系数为0的一元一次方程，从而简化计算过程。
二、配方法的基本步骤
1.将一元二次方程的二次项系数化为1，即移项使方程的右边为0。
2.将方程的左边写成一个完全平方的形式，即左边可写为(某数的平方加上
或减去某数的平方)。
3.配方时，需要将常数项移到方程的右边。
4.最后，通过直接开平方法求解一元二次方程的解。
三、配方法的例子
例如，求解方程x2+6x+9=0。
第一步，将方程的二次项系数化为1，得到x2+6x=−9。
第二步，将方程的左边写成一个完全平方的形式，即(x+3)2=9−9。
第三步，将常数项移到方程的右边，得到(x+3)2=0。
第四步，通过直接开平方法求解，得到x+3=0，即x=−3。
四、配方法的应用范围
配方法可以用于求解一元二次方程的解，也可以用于进行一些其他的数学计算或简化问题。
在数学竞赛中，配方法也是常常用到的技巧之一。
高中数学解题基本方法：配方法.doc
高考第二轮复习第一章 高中数学解题基本方法：配方法一、（课时9）一、知识提要配方法主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题.常见配方形式，如：ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+；222222)23()2(3)()(b b a ab b a ab b a b ab a ++=+-=-+=++； ])()()[(21222222a c c b b a ca bc ab c b a +++++=+++++. 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+；2)1(2)1(12222+-=-+=+x x x x xx ；…… 等等. 二、例题讲解例1．已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____. A. 23 B. 14 C. 5 D. 6解：设长方体长宽高分别为z y x ,,，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩. 长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5，所以选B.例2. 设方程022=++kx x 的两实根为p 、q ，若(p q )+(q p)≤7成立，求实数k 的取值范围.解：方程022=++kx x 的两实根为p 、q ，由韦达定理得：2,=-=+pq k q p ， (p q )+(q p )＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222 ＝()k 22484--≤7， 解得10-≤k 或10≥k . 又 ∵p 、q 为方程022=++kx x 的两实根， ∴ 082≥-=∆k即22≥k 或22-≤k ，综上可得，k 的取值范围是：－2210-≤≤k 或≤≤k 2210.例3．设二次函数c bx ax x f ++=2)(，给定m 、n )(n m <,且满足 0])([2])[(222222=++-++++c b cmn n m b a n m n m a ，（1）解不等式0)(>x f ；（2）是否存在一个实数t ，使当),(t n t m x -+∈时，0)(<x f ？若不存在，说出理由；若存在，指出t 的取值范围.解：（1）由已知得，0≠a 且0)(])([22=-+++c amn b n m a ， ∴ac mn a b n m =-=+,即m 、n 是方程02=++c bx ax 的两根，且n m <，所以， 当0>a 时，0)(>x f 的解集为n x x >|{或}m x <；当0<a 时， 0)(>x f 的解集为}|{n x m x <<，（2）当0>a 时，0)(<x f 的解集为}|{n x m x <<， 若20m n t -<≤，则),(),(n m t n t m ⊆-+，即),(t n t m x -+∈时，0)(<x f ； 若0<t ，则),(),(n m t n t m ⊆-+，不满足对所有的),(t n t m x -+∈，0)(<x f .当0<a 时，0)(<x f 的解集为n x x >|{或}m x <，不存在t 使得),(t n t m x -+∈ 时，0)(<x f 成立.综上可得，当0>a 时，存在t 满足),(t n t m x -+∈时，0)(<x f ，此时t 的取值范围为20m n t -<≤；当0<a 时不存在t 使得),(t n t m x -+∈时，0)(<x f 成立.三、同步练习1.在正项等比数列}{n a 中，252735351=⋅+⋅+⋅a a a a a a ，则53a a +＝___5___.2.方程052422=+--+k y kx y x 表示圆的充要条件是___411<>k k 或____. 3.函数)352(log 221++-=x x y 的单调递增区间是( D ) A. )45,(-∞ B.),45[+∞ C.]45,21(- D.)3,45[4.已知方程01)2(2=-+-+a x a x 的两根1x 、2x ，且点P (1x ,2x )在圆x +y =4上，则实数a ＝___73±__. 5.函数22)()(b x a x y -+-=（a 、b 为常数）的最小值为( B ) A.8 B.()a b -22 C.a b 222+ D.最小值不存在 6.设1F 和2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，则△21PF F 的面积是___1___.7.椭圆0632222=-++-a y ax x 的一个焦点在直线04=++y x 上，则=a （ C ）A.2B.-6C. -2或-6D. 2或68. 设R m t s ∈>>,1,1，)log (log log log ,log log 2244s t m s t y s t x t s t s t s +++=+=,（1）将y 表示为x 的函数)(x f y =，并求出)(x f 的定义域；（2）若关于x 的方程0)(=x f 有且仅有一个实根，求m 的取值范围.解：（1）)2(2)2()2()(222≥--+-=x x m x x f（2）1-<m。
[配套K12]2018年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.1 配方法 专题(讲)理
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方法一配方法一、配方法的定义：配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方.配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一.二、配方法的基本步骤：配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题.如：三、常见的基本配方形式可得到各种基本配方形式，如：；；；结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：；。
本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 配方法与函数二次函数或通过换元能化为二次函数的函数均可用配方法求其最值.在换元的过程中要注意引入参数的取值范围。
例1.【2016高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意知，最小值为.令，则，当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A．例2．【2018届浙江省台州中学高三上学期第三次统练】已知函数．（1）当时，若存在，使得，求实数的取值范围；（2）若为正整数，方程的两个实数根满足，求的最小值．【答案】（1）或；（2）11．试题解析：（1）当时，由题意可知，在上有两个不等实根，或在上有两个不等实根，则或,解得或即实数的取值范围是或.（2）设，则由题意得，即，所以，由于①当时，，且无解，②当时，，且，于是无解，③当时，，且，由，得，此时有解，综上所述，，当时取等号，即的最小值为11．2 配方法与三角函数在三角函数中，同角三角函数基本关系式中的平方关系及其变形、二倍角公式及其变形为考察配方法提供了平台，例3.【2018届宁夏银川一中高三上学期第二次月考】函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值为________．【答案】-2【解析】，所以当时，取最小值3配方法与解三角形在解三角形中，余弦定理为考察配方法提供了平台，因为对于三角形的三边，如果能用一个变量给表示出来，就可以转化为二次函数问题，可以通过配方法来解。
2021高考数学复习计划(含时间表)
2021高考数学复习计划（含时间表）2021高考数学复习计划（含时间表）xx年高考数学复习计划一、学情分析：暑假过后，一个班文科及艺体班和理科班开始高考第一轮复习复习，体育理科班除却部分选修体育运动没有结束。
由于今年我省规范办学，教学时间略显紧张，特别是学理科的学生。
为圆满结束教学任务，积极组织教学，决胜入学特制定如下方案。
二、指导思想以校领导、年级组精神为指导，集思广益一步一个脚印搞好集体备课；2、以新的高考方案为指导，稳扎稳打钻研《考试说明》备好每一节课；3、以重读课本例题、重做课本练习，做实基础为指导，步步为营上好每一节课，不留死角、盲点，落实听话每一个知识点；三、文、理科班复习方案带领学生钟炳昌教材，重做练习。
重点例题重点研究课题，多做变式探讨；重点习题反复做，变式做。
每周集中时间做一份12题左右的综合题试卷。
2、精心编写学案。
在上课前认真做好每一题，做到上课时决不照本宣科；对基础知识梳理若干，要做到查漏补缺努力做到形成知识系统；对例题习题尽量做到一题多解，又要注重通法的总结；适当补充最新考试信息题，以便紧跟形势；认真组织单元练习，要限定时间认真监考，仔细批阅按技术规范量分，力争大学生准确检测学生的学习效果。
3、密切关注最新高考信息，随时调整复习融资方案。
四、体育理班复习融资方案应尽快结束选修课的教学，争取在8月月底中旬开始进入第一轮复习。
2、深入研究《考试说明》，不补充难度大的插值法习题，以已经完成书本内容为主。
3、每周做一次10题的小测试，以促进高中学生学生学习并检测学习效果。
五、复习计划具体安排（一）第一轮复习第一轮复习(八月初到二月底),基础知识复习发展阶段。
在这一阶段,老师将带领同学科重温高中阵痛期所学欢迎您的课程,但这绝不只是决不会对以前所学知识的简单重复,而是站在更高的角度,对旧知识产生新款全新认识的重要过程。
因为在第一次学习前一天,老师是以做题为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识依然没有学到,无法进行纵向联系,所以,大家吸取的往往是零碎的、散乱的知识点。
高级高中数学方法篇之配方法
高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
一、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
数学解题方法配方法
数学解题方法之配方法探讨从本讲开始我们对数学解题方法进行探讨。
数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式222(+)+2+a b a ab b ＝，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：()2222=()2=2a b a b ab a b ab +--+＋ ；()222222()32b a ab b a b ab a b ab a ⎛⎫++=--+=++ ⎪⎝⎭＋＝）；()()()2222221=2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++++++++++⎣⎦；()()()()2222222a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++-++=+----=⋅⋅⋅结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：21212sin sin cos sin cos ααααα++=+＝（）；222222=()2=211211=2x x x x x x x x ⎛⎫++--++-+ ⎪⎝⎭；。
结合2012年全国各地高考的实例探讨配方法的应用：典型例题：例1. （2012年江苏省5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．【答案】9。
【考点】函数的值域，不等式的解集。
【解析】由值域为[0)+∞，，当2=0x ax b ++时有240a b =-=，即24a b =，∴2222)2(4a a x ax x f x x ax b ⎛⎫++=+== ⎝+⎪⎭+。
配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用归纳总结配方法及其应用归纳总结一、配方法配方法是一种重要的数学方法，可以将一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式。
它是完全平方公式的逆用。
配方时主要用到以下两个公式：1）a²+2ab+b²=(a+b)²2）a²-2ab+b²=(a-b)²重要结论：1）x²±2x+1=(x±1)²2）a²+b²+c²-ab-bc-ca=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²二、配方法的应用配方法有着广泛的应用，常用于：1）求字母的值2）证明字母相等3）解一元二次方程4）证明代数式的值非负5）比较大小6）求函数的最值三、配方法用于求字母的值例2.已知a²+b²+4a-2b+5=0，则a=-2，b=1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范。
例3.已知a²+b²+1=ab+a+b，求3a-4b的值。
解：将等式两边移项得：a²-2ab+b²+a-2a+1+b-2b+1=0.化简得：(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²=4.由非负数的性质得：a-b=±2，a-1≥0，b-1≥2.因此，a=1，b=1，3a-4b=-1.题1.已知x2y2+x2+4xy+13=6x，则x=2，y=1.题2.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=2.题3.已知a、b、c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值为-2.四、配方法用于证明字母相等例4.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断这个三角形的形状，并说明理由。
解：△ABC是等边三角形。
【高考数学二轮复习-经典微专题】第09讲 二次函数的最值-配方法的运用-解析版
第09讲 二次函数的最值-配方法的运用知识与方法二次型函数通常是指可以转化为二次函数的复合函数,求这类函数的最值,通常用配方法,但是必须结合复合函数的单调性,对称性加以讨论求解.配方法在高中阶段数学学习中应用广泛.如三角函数中的最值问题,解析几何中与圆锥曲线相关的最值问题以及不等式的证明中,配方法的作用至关重要. 1配方目标的确定性配方目标的确定性:出现平方式,但出现怎样的平方式又具有灵活性,所以配方途径又是多向的.2配方对象的多样性配方对象的多样性:不排除对更高次数多项式的配方.数、字母具体的数学式、抽象的函数关系等都可以进行配方. 3配方后必须注重问题的细节任何一种解题方法的应用都有其适用范围,配方法也不例外,求二次型函数的最值必须把相应简单函数的性质结合起来讨论,不应斍目扩大或缩小方法的使用范围,不要忽视问题中的约束条件.典型例题【例1】已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1,求a 的值.【解析】(i)当0a =时,()3f x x =--.∵函数()f x 在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,∴max 33()122f x f ⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭.不符合题意,舍去.(ii)当0a >时,2221(21)()324a a f x a x a a --⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭. 若3221222a a -+--,即max 2,()(2)8515af x f a ==-=. 解得34a =,符合题意.若3221222a a -+-->,即max 2333,()15242a f x f a ⎛⎫<=-=--= ⎪⎝⎭.解得103a =-(舍去) (iii)当0a <时,2221(21)()324a a f x a x a a --⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.若2122a a --,则16a ,与0a <矛盾.若21322a a ---,则1a -时,max 333()1242f x f a ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭.解得103a =-(舍去).若2max 321(21)2,1,()31224a a a f x a a---<-<<-=--=,解得32a -+=舍去),或32a --=.综上可得34a =,或a =【例2】(1)已知2256x且21log 2x ,求函数2()log 2x f x =⋅.（2）是否存在实数a ,使得函数253sin cos 82y x a x a =++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1?若存在,求出对应的a 值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由2256x,得8x ,则2log 3x ,即21log 32x .()()2222222231()log log 1log 2log 3log 2log ,224x f x x x x x x ⎛⎫=⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭当23log ,2x =即x =时,min 1()4f x =-当2log 3x =,即328x ==时,max ()2f x =.∴函数()f x 的最大值为2,最小值为14-.(2)22253511cos cos cos 822482a a y x a x a x a ⎛⎫=-++-=--++- ⎪⎝⎭.∵当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,0cos 1x .∴若12a>,即2a >,则当cos 1x =时,max 53182y a a =+-=.解得20213a =<(舍去)； 若012a ,即02a ,则当cos 2a x =时,2max 511482a a y =+-=. 解得32a =得40a =-<(舍去)；若02a <,即0a <,则当cos 0x =时,max 51182y a =-=,解得1205a =>(舍去),综上可知,存在32a =符合题设.【例3】如图9-1所示，已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ,焦点为(0,1)F . (1)求抛物线C 的方程.(2)过点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若直线AO 、BO 分别交直线:2l y x =-于,M N 两点,求||MN 的最小值.图91-【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>,则1,2,2pp ==∴抛物线C 的方程为24x y =.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,直线AB 的方程为1y kx =+. 由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y ,整理得21212440,4,4x kx x x k x x --=∴+==-,从而12x x -=由11,2,y y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得点M 的横坐标1121111122844M x x x x x y x x ===---, 同理点N 的横坐标284N x x =-.28||4|43|M N MN x x k ∴=-===--令43,0k t t -=≠,则34t k +=,当0t >时,||MN =>,当0t <时,168||2255MN =.综上所述,当253t =-,即43k =-时,||MN强化训练1.函数2()3f x x ax =++.(1)当x ∈R 时,()f x a 恒成立,求a 的范围. (2)当[2,2]x ∈-时,()fx a 恒成立,求a 的范围.【解析】(1)恒成立,即恒成立,必须且只需,即(2).()f x a 230x ax a ++-()2Δ430a a =--24120.6 2.a a a +-∴-()2223324a a f x x ax x ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭(i)当即时，由得 (ii)当即时，由得(iii)即时，由得综上得.2.已知a 为实数.函数2()||1,f x x x a x =+-+∈R . (1)当2a =时,讨论函数()f x 的单调性. (2)求函数()f x 的最小值.【解析】(1) 配方后得 的单调增区间为;单调减区间为.(2) 当时,在上单调递减,在上单调递增,.当时,在上单调递减,在上单调递增,. 当时,在上单调递减,在上单调递增,.2,2a -<-4a >()min ()227.f x f a =-=-+27a a -+7.3a .?a ∴∈∅22,2a --44a -2min ()3,4a f x =-234a a -62,4 2.a a -∴-2,?2a->4a <-()min ()227,f x f a ==+27a a +7.7 4.a a -∴-<-[]7,2a ∈-()221,2,2,3, 2.x x x a f x x x x ⎧+-==⎨-+<⎩()2215,224111,224x x f x x x ⎧⎛⎫+-⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩()f x 1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦()22213,24113,24x a x af x x x a x x a x a ⎧⎛⎫++-⎪ ⎪⎪⎝⎭=+-+=∈⎨⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩R 12a -()f x 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭min()f x 1324f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭12a()f x 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭min 1()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭34a =+1122a -<<()f x (,]a -∞[,)a +∞min ()()f x f a =21a =+综上所述，.3. (1)函数2()log )f x x =的最小值为______.(2)已知0,0,8a b ab >>=,当a 的值为时,22log log (2)a b ⋅取得最大值.【解析】（1）当且仅当,即时,所求最小值为.(2),则.当,即时,取得最大值.4.求函数22sin sin 1cos sin 3y αααα++=--的最值. 【解析】【解法1】(代数法)去分母并运用同角三角比，函数可化为.由于因而可化为 由得即解不等式得 【解法2】(几何法)设点,点.则表示两点连线的斜率,点的轨迹方程为即 2min31,4211()1,2231,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩()()22222222221()log log (2)log 2log (2)log 1log log log 2f x x x x x x x x==⋅=+=+22111log , 244x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭21log 2x =-x =14-88,ab b a =∴=()2222216log log log log 16log a a a a⋅=-()222log 4log 4log a a a =-=-()()2222log log 24a a =--+∴2log 2a =4,2a b ==22log log (2)a b ⋅()()21sin1sin 210y y y αα+++++=1,y ≠-21121sin .241y y α+⎛⎫+=-⎪+⎝⎭1sin 1α-113sin ,222α-+90.41219.414y y +∴-+min max 3333.,.4747y y y --∴=-=-()22cos sin ,sin sin A αααα-+()3,1B -y AB A 22cos sin ,sin sin x y αααα⎧=-⎨=+⎩1.x y +=由于 故点的轨迹为线段:,如答图9-1所示.5.已知椭圆222:1x C y m+=(常数)1m >,点P 是C 上的动点,M 是右顶点,定点A 的坐标为(2,0).(1)若点M 与点A 重合,求C 的焦点坐标. (2)若3m =,求||PA 的最大值与最小值.(3)若||PA 的最小值为||MA ,求m 的取值范围.【解析】(1) 若点与点重合,则的右顶点为,则,故椭圆方程为, 椭圆的左、右焦点坐标分别为.(2)当时,椭圆方程为,则.设, 则 22155cos sin sin .1.244x xααα⎛⎫=-=-++∴- ⎪⎝⎭A MN ()511,1,24x y x M ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭51,,44N ⎛⎫- ⎪⎝⎭3333,,.7447BN BM kk y =-=-∴--min max 33,.47y y ∴=-=-M A C ()2,0M 2m =2214x y +=c ==∴C ()),3m =2219x y +=2219x y =-(),P x y 22222||(2)(2)19x PA x y x =-+=-+-()2288914533.9942x x x x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭当时,取最小值;当时,取最大值5.(3)设动点,则的最小值为当时,取最小值.又由,得二次函数开口向上. 由二次函数的简图(如答图所示)知,又, 解得,故的取值范围是.6.如图92-所示:椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为2,直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8. (1)求椭圆M 的标准方程.(2)设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.∴94x =PA 23x =-PA (),P x y 2222222222222124||(2)(2)15()11x m m m PA x y x x m x m m m m m ⎛⎫-=-+=-+-=--+-≤≤ ⎪--⎝⎭PA (),,0,MA M m ∴x m =PA 1m >2210,m m ->∴92-2221m m m -1m >112m <+m (1,1【解析】(1) ,① 矩形的面积为8,即.②由①②解得椭圆的标准方程是. (2)设 则由得当过点时,,当过点时,.(i)当时，由此当即时，(ii)由对称性,可知若则当时,(iii)当时， 由此知，当时，综上,当和0时,222324c a b e a a -==∴=ABCD 228a b ⋅=2,1,a b ==∴M 2214x y +=222244,58440.x y x mx m y x m⎧+=⇒++-=⎨=+⎩()()1122,,,.P x y Q x y 21212844,,55m x x m x x -+=-=()22Δ6420440m m =-->m <<PQ ===l A 1m =l C 1m =-1m <<-()())1,1,2,2,3.S m T m ST m ---+=+PQST ===(3).t m =+其中13,4t =()45,133t m ==-∈-PQ ST1m <<53m =PQ ST11m -PQ ST ST==0m =PQST∣53m =±PQ ST。
高考数学解题方法介绍(八)：配方法、待定系数法、换元法
第8讲 高考中常用数学的方法------配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A )32 (B )14 (C )5 (D )6分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得：2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25∴ 5222=++z y x ,应选C .例2．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ).(A )1 (B )25 (C )2 (D )5分析及解：欲求||||212121PF PF S F PF ⋅=∆ (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF (2),又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即16||||2||||||||||212221221=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF ,故2421)16|||(|21||||222121=⨯=-+=⋅PF PF PF PF ∴ 1||||212121=⋅=∆PF PF S F PF ,∴ 选(A ).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程. 分析及解：由题意可设双曲线方程为12222=-b x a y ,∵25=e ,∴a =2b ,因此所求双曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=222)5(44-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有45)4(45||222a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ). 二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与a >4分类讨论.(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值,∴令4452=-a ,得a 2=4 ∴所求双曲线方程为1422=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值,∴令445)4(4522=-+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为14944922=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([11-=--x x f f ,试求f (x )的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),可知 )(1)(1b x ax f -=-, ∴124)(11])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab ax a b b x a a x f f .比较系数可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>=)2(12)(1)1()0(4122b ab a a a 且 解此方程组,得 21=a ,b =2,∴所求f (x )=221+x . 例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标.分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y ) (1)此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2)这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy .因此,只需设t =x +y ,则xy =292-t ,代入(2)式得 S =16-4t +27)4(212922+-=-t t (3)S 表示为变量t 的二次函数,∵0<x <3,0<y <3,∴3<t <23,∴当t =4时,S ABCD 的最小值为27. 此时⎪⎩⎪⎨⎧==+,27,4xy y x )222,222()222,222(-++-或的坐标为得A 注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.例6．设方程x 2+2kx +4=0的两实根为x 1,x 2,若212221)()(x x x x +≥3,求k 的取值范围. 解：∵2]2)([2)()()(22122121221212221--+=-+=+x x x x x x x x x x x x ≥3, 以k x x 221-=+,421=x x 代入整理得(k 2-2)2≥5,又∵Δ=4k 2-16≥0, ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-045|2|22k k 解得k ∈(-52,+-∞)∪[52+,+∞]. 例7．点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动时,求函数u =x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值. 解：∵点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动, ∴可设⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x 于是 y x y xy x u 24222++++==θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++=]1sin cos )sin [(cos 22++++θθθθ令t =+θθsin cos , ∵)4sin(2cos sin πθθθ+=+,∴|t |≤2. 于是u =23)21(2)1(222++=++t t t ,(|t |≤2). 当t =2,即1)4sin(=+πθ时,u 有最大值. ∴θ=2k π+4π(k ∈Z )时,226max +=u . 例8．过坐标原点的直线l 与椭圆126)3(22=+-y x 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F ,求直线l 的倾斜角.解：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)直线l 的方程为y =kx ,将它代入椭圆方程整理得 036)31(22=+-+x x k (*)由韦达定理,221316k x x +=+(1),221313kx x +=(2) 又F (1,0)且AF ⊥BF ,∴1-=⋅BF AF k k , 即1112211-=-⋅-x y x y , 将11kx y =,22kx y =代入上式整理得 1)1(21212-+=⋅+x x x x k ,将(1)式,(2)式代入,解得 312=k . 故直线l 的倾斜角为6π或65π. 注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k 的方程求解. 例9．设集合A ={R x a x x x ∈=+-+,024|1}(1)若A 中有且只有一个元素,求实数a 的取值集合B ；(2)当a ∈B 时,不等式x 2-5x -6<a (x -4)恒成立,求x 的取值范围.解：(1)令t =2x ,则t >0且方程0241=+-+a x x 化为t 2-2t +a =0 (*),A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f (t )=t 2-2t +a ,则Δ=0 或⎩⎨⎧≤>∆0)0(0f 即a =1或a ≤0,从而B =(-∞,0]∪{1}.(2)当a =1时,113-<x <3+11,当a ≤0,令g (a )=a (x -4)-(x 2-5x -6),则当a ≤0时不等式 )4(652-<+-x a x x 恒成立, 即当a ≤0时,g (a )>0恒成立,故 x x g <-⇒⎩⎨⎧≤->1040)0(≤4.3 ,4). 综上讨论,x的取值范围是(11。
2022高考数学考前15天解题方法突破：配方法突破
2022高考数学考前15天解题方法突破：配方法突破 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当推测，同时合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子显现完全平方。
它要紧适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最差不多的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将那个公式灵活运用，可得到各种差不多配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋b 2)2＋（32b ）2；a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c)2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2－2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x 2＋12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x)2＋2 ；…… 等等。
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则那个长方体的一条对角线长为_____。
A. 23B. 14C. 5D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩ ,而欲求对角线长x y z 222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩。
数学方法篇一：配方法
数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。
例2、化简526-的结果是___________________.点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy a y x ）来化简。
3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。
4．配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。
例4、解方程052422=+-++y x y x 。
点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组⎩⎨⎧=-=+0102y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。
5．配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。
可以使我们求出所要求的最值。
例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________.点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。
配方法教案
22.2配方法教学目标:经历配方法的推导形成过程，会用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的数字系数的一元二次方程,在配方法的应用过程中体会“转化”的思想.教学重点理解并掌握配方法，并能运用它解一元二次方程．教学难点用配方法解一元二次方程．教学过程一、督预示标教师多媒体展示问题，引导学生解决问题．问题要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？解：设场地的宽为x m，则长为(x＋6) m，根据矩形面积为16 m2，得到方程 x(x＋6)＝16，整理得到 x2＋6x－16＝0．怎样解这个方程？很显然不能用上节课的方法，今天我们来学习一种新方法——配方法（板书课题）2首先来看今天的学习目标（1）经历探索用配方法解一元二次方程的过程.（2）理解配方法.会用配方法解一元二次方程.二、自学梳理了解学习目标后，让我们打开课本p25——27，尝试解决下列问题221.填空（1）=++ba ab2(2)x2＋8x＋_____＝(x＋____)2；(3)x2－x＋____＝(x－__)2；(4)4x2＋4x＋____＝(2x＋___)2.2.解下列方程(1)(x＋3)2＝25；(2)x2＋6x＋9＝25；(3)x2＋6x＝16；(4)x2＋6x－16＝0.3.探究如何用配方法解方程x2＋6x－16＝0?三.小组答疑自学完成后，并与同伴交流1. 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明．用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即(x＋m)2＝n(n≥0)，运用直接开平方法可求解．2.探究一：你会用直接开平方法解下列方程吗？(1)(x＋3)2＝25；(2)x2＋6x＋9＝25；(3)x2＋6x＝16；(4)x2＋6x－16＝0.教师重点讲解第（3）小题．比较方程（3）与（2）解：移项，得x2＋6x＝16，6)2__，两边都加上__9__即__(26)2的形式，得使左边配成x2＋6x＋(2__x__2＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成完全平方形式，得__(x＋3)2＝25__，开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程得x1＝__2__，x2＝__－8__．归纳总结：将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．3.探究二：（1）在上面解法中，第二步方程两边都加9，其他数行吗？（2）通过观察，你有什么发现？与同伴交流.（3）试一试：对下列各式配方①x2＋8x＋_____＝(x＋____)2；②x2－4x＋____＝(x－__)2；__)(229__-=+-x x x4.探究三：用配方法解下列方程教师展示课件，让学生自主完成以下例题，小组展示，教师点评归纳．（1）0142=--x x（2）01322=--x x归纳总结：利用配方法解方程应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用直接开平方法来解．四、巩固练习学生独立解答以下练习，小组内交流，上台展示并讲解思路．1．用配方法解下列方程：(1)9122-=+x x(2)0342=-+-x x五、联系拓展1．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．2.用配方法说明：不论k 取何实数，多项式532+-k k 的值必 定大于零.六、总结导预1．用配方法解一元二次方程的步骤及注意事项．2.导预请同学们预习p28——303.布置作业 P27练习2教学反思:本设计教学目标不再采用三维目标形式，目标清晰，操作性强；教学活动中，以学生为主体教师为主导，落实“以生为本”课程理念。
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2021年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.1 配方法专题
（练）理
1.练高考
1.【xx课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
2. 【xx天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成
立，则a的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
【答案】
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
3.【xx课标II，理14】函数（）的最大值是 . 【答案】1
【解析】
4.【xx高考新课标1】设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若,则圆C的面积为 .
【答案】
【解析】
由题意直线即为,圆的标准方程为,
所以圆心到直线的距离,所以,
故,所以．故填．
5.【xx课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
【答案】 (1)；
(2)。
【解析】
试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出。
6.【xx高考浙江】设函数=，.证明：
（I）；
（II）.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)因为
由于，有即，
所以
(Ⅱ)由得，
故，
所以 .
由(Ⅰ)得，
又因为，所以，
综上，
2.练模拟
1.定义运算，若函数在上单调递减，则实数m的取值（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由定义知，在上单调递减，单调递增，由题意，又，故选C.
2.【xx届广东省兴宁市沐彬中学高三上中段】函数的最大值为_______。
【答案】
【解析】
当时，
3.【xx届福建省高三毕业班总复习】己知函数，．若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：
令,将原函数换元为二次函数，然后求解二次函数在闭区间上的值域即可求得实数的取值范围是.
试题解析：
设，因为，所以
函数可化成（）,
当时, 是的减函数, 当时, 是的增函数.
又当时, ,当时, ,因为3>0，所以.
要使恒成立，,则，所以的取值范围为
4.【xx届河南省天一大联考高三上学期阶段性测试（二）】已知函数为偶函数．
(Ⅰ)求的最小值；
(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1) 当时，取得最小值2;(2) 实数的最小值为.
试题解析：
(Ⅰ) 由题意得，
即在R上恒成立，
整理得()(=0在R上恒成立,
解得，
∴．
设，
则，
∵，
∴,
∴,
∴，
∴在上是增函数．
又为偶函数，
∴在上是减函数．
∴当时，取得最小值2.
(Ⅱ)由条件知．
∵恒成立，
∴恒成立．
令
由 (Ⅰ)知，
∴时，取得最大值0，
∴,
∴实数的最小值为．
5.已知点的坐标为，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且．（1）求证：点共线；
（2）若，当时，求动点的轨迹方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（2）由题意知，点是直角三角形斜边上的垂足，又定点在直线上，，所以设动点，则
，
又，所以，即 动点的轨迹方程为． 3.练原创
1.定义一种运算ab ＝b ，a ＞b ，a ，a≤b ，令f(x)＝(cos 2
x ＋sin x) 45，且x ∈，则函数f 的最大值是( )
A.45 B ．1 C ．－1 D ．－45 【答案】A
【解析】设y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2
x ＋sin x ＋1＝－212＋45， ∵x ∈，∴0≤sin x ≤1，∴1≤y ≤45，即1≤cos 2
x ＋sin x ≤45. 根据新定义的运算可知f(x)＝cos 2
x ＋sin x ，x ∈， ∴f ＝－21＋45＝－21＋45，x ∈，ππ.∴f 的最大值是45
.
2．已知等差数列的前n 项和为，且，若数列在时为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. (-15,+) B[-15,+) C.[-16,+) D. (-16,+) 【答案】D
【解析】因为数列是等差数列，所以
，若
数列在时为递增数列，故对称轴，解得，选D ．
3. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D
【解析】依题意两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径.设椭圆 上的一点，圆心到椭圆的距离
.所以两点间的最大距离是.故选D.
4.对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2
－2ab ＋4b 2
－c ＝0，且使|2a ＋b |最大时，的最小值为 . 【答案】-2
【解析】由题知2c ＝－(2a ＋b )2
＋3(4a 2
＋3b 2
)，(4a 2
＋3b 2
)31≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2
≥43(2a ＋
b )2
，即2c ≥45(2a ＋b )2
，当且仅当14a2＝31，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值c 8，
此时c ＝40λ2
.
a 3－
b 4＋
c 5＝8λ21－λ1＝81－41－2≥－2，当且仅当a ＝43，b ＝21，c ＝25时，a 3－b 4＋c 5
取最小值－2.
5. 在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列． (Ⅰ) 求等比数列的通项公式；
(Ⅱ) 若数列满足，求数列的前n 项和的最大值. 【答案】
【解析】 (Ⅰ)设数列的公比为q ，. 因为，，成等差数列，所以，则， 所以，解得或(舍去)， 又，所以数列的通项公式． (Ⅱ) ，
则，，故数列是首项为9，公差为－2的等差数列，
所以
， 所以当时，的最大值为25．。