福建省福州第三中学高三数学模拟考试(最后一卷)试题

福州三中2016届高中毕业生校模拟考试卷文科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合}2,1{=A ,}02|{=-=mx x B ，若A B ⊆，则实数m = A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或1或2 (2) 设复数i z +=1 (i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则|)1(|z z ⋅+= A. 10 B.2 C. 2 D. 1(3) 有两枚正四面体骰子，各个面分别标有数字1，2，3，4，若同时抛掷两枚骰子，则两枚骰子底面2个数之差的绝对值为2的概率是 A.16 B. 14 C. 13 D. 12(4) 命题“02,>∈∀x R x ”的否定是A. 02,≤∈∀x R xB. ∃,0R x ∈020>xC. ∃,0R x ∈02≤x D. R x ∈∀0,020≤x(5) 椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为2,1F F ，过2F 作直线l 垂直于x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，若0190=∠B AF ，则椭圆C 的离心率为A. 21-B. 212-C. 22-D. 22(6) 在等比数列{}n a 中，8,20453==+a a a ，则26a a +=A. 18B. 24C. 32D. 34(7) 若如下框图所给的程序运行结果为28=S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A. 8=kB. 7≤kC. 7<kD. 7>k (8) 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于A. 6B. 8C. 10D. 12(9) 已知双曲线122=-nymx的离心率为2，有一个焦点与抛物线yx82=的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为A.3x±y＝0B. x±3y＝0C. x±2y＝0D. 2x±y＝0(10) 函数xxy-=sin1的一段大致图象是(11) 在ABC△中，内角A,B,C的对边分别是,,a b c,若2sinsin=CB，bcca322=-，则角A=A. 0150 B. 0120 C. 060 D. 030(12) 设函数)(xf的定义域为R，⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤--=10,131,)(xxxxfx，且对任意的Rx∈都有)(1)1(xfxf-=+，若在区间]1,5[-上函数mmxxfxg+-=)()(恰有5个不同零点，则实数m的取值范围是A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡--61,41B. ⎥⎦⎤⎝⎛--41,21C. ]0,61(- D. ⎥⎦⎤⎝⎛--61,21第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) 已知边长为1的等边三角形错误!未找到引用源。

中，E是BC的中点，BDAB=，则错误!未找到引用源。

=⋅CEAD .(14) 若实数,x y满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+1,093,3yyxyx则3z x y=-的最大值为 .(15) 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为3，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______________．(16) 函数221cossin)(xxxxxf++=，则不等式)1()(ln fxf>的解集为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分12分)已知向量2cos2(xaπ=，)1，2(sinxbπ=，))6cos(ππ+x，函数xf⋅=)(.(I) 求函数()f x的单调递减区间；(II) 若函数()f x 在y 轴右侧的对称中心的横坐标从小到大构成数列{}n a ,试求数列}1{1+n n a a 的前n 项和n T .(18) (本小题满分12分)某苗圃用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取甲、乙两种方式培育的 树苗各20株，测量其高度，得到的茎叶图如图(单位：cm)：(I) 依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大?(II) 现从用甲种方式培育的高度不低于80 cm 的树苗中随机抽取两株，求高度为87 cm 的树苗至少有一株被抽中的概率；(III) 如果规定高度不低于85cm 的为生长优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为树苗高度与培育方式有关?”甲方式乙方式合计优秀 不优秀 合计下面临界值表仅供参考：)(02k P ≥K0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=K ，其中d c b a n +++=)(19) (本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，平面⊥PCD 底面ABCD ，BC PD ⊥，090=∠ABD ，a PD CD AB 2===，a BD =. (I) 求证：⊥PD 平面ABCD ；(II) 线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF?若存在，请 找出具体位置，予以证明，并求点D 到平面BCF 的距离；若不存在，请分析说明理由.(20) (本小题满分12分)已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，动点M 满足4AM =，线段MB 的垂直平分线与线段AM 相交于点N ， 设点N 的轨迹为曲线C ． (I) 求曲线C 的方程；(II) 若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于B A ,两点，且22OA OB b k k a⋅=-，判断AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．(21) (本小题满分12分)设函数x ax x x f ln )2()(2-=，R a ∈.(I) 当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； (II) 若对任意),1[+∞∈x ，02121)(2>-+a x x f 恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

(22) (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC ∆边AB ，AC 的中点， 直线DE 交ABC ∆的外接圆O 于点F ，且AB CF //． (I) 证明：BC CD =；(II) 过点C 作圆O 的切线交AB 的延长线于点G ， 若=BC 6，2=BD ，求CG 的长．(23) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(I) 求圆C 的极坐标方程；(II) 直线l 的极坐标方程是2sin()333πρθ+=OM ：3π=θ与圆C 分别交于点O ，P ，与直线l 交于点Q ，求线段PQ 的长．OGFEDCBA(24) (本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲 已知函数122)(--+=x x x f ． (I) 求不等式2)(-≥x f 的解集M ；(II) 对任意),[+∞∈a x ，都有a x x f -≤)(成立，求实数a 的取值范围．福州三中2016届高中毕业生校模拟考文科数学试题答案及评分参考一. 选择题：本大题考察基础知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.(1) D (2) A (3) B (4) C (5) A (6) D(7) D (8) C (9)B (10) A (11)B (12) A 二、填空题：本大题考察基础知识和基本运算. 每小题5分，满分20分. (13)21(14) 3 (15) π21 (16) ),()1,0(+∞⋃e e三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分) 解：(I) =)(x f 21sin 23cos 2sin2cos2⋅-⋅+⋅x x xxππππ ……………………………………1分 )3sin(23cos sin 21ππππ+=⋅+=x x x …………………………………………3分 令ππππππk x k 223322+≤+≤+ )(Z k ∈， 得)(x f 的单调递减区间为k 261[+，]267k + )(Z k ∈. ………………………………6分 (II) 由(I)知：)3sin()(ππ+=x x f ，由πππk x =+3)(Z k ∈得)(x f 的对称中心的横坐标31-=k x )(Z k ∈ ……………8分 当对称中心在y 轴右侧时，1≥k 且Z k ∈ ∴数列{}n a 的通项公式为*)(31N n n a n ∈-= …………………………………………9分 ∴11+n n a a =*)(321311)32)(31(1N n n n n n ∈+--=++-…………………………………10分 ∴+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=381351351321n T …⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+321311n n =23323+-n ……………………………………………………………………………11分 )23(29+=n n……………………………………………………………………………12分(18) (本小题满分12分)解：(I) 用甲种方式培育的树苗的高度集中于60～90 cm 之间，而用乙种方式培育的树苗的高度集中于80～100 cm 之间，所以用乙种方式培养的树苗的平均高度大. ………………………3分(II) 记高度为87 cm 的树苗为,A B ，其他不低于80 cm 的树苗为，“从用甲种方式培育的高度不低于80 cm 的树苗中随机抽取两株”，基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E A F B C B D B E B F(,),(,),(,),(,),(,),(,),C D C E C F D E D F E F 共15个. ………………………………4分“高度为87 cm 的树苗至少有一株被抽中”所组成的基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E A F B C B D B E B F 共9个， ………5分故所求概率93.155P == …………………………………………………………………7分 (III)…………………………9分204.5584.52>≈K …………………………………………………………………11分因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为树苗的高度与培育方式有关 …12分(18) (本小题满分12分)解：(I) ∵平行四边形ABCD 中，CD AB //，090=∠ABD ∴CD BD ⊥又∵平面⊥PCD 底面ABCD ，平面⋂PCD 底面ABCD =CD ⊂BD 底面ABCD∴⊥BD 平面PCD ………………………………………………………………………2分∵⊂PD 平面PCD ∴BD PD ⊥又BC PD ⊥，B BD BC =⋂，BC 、⊂BD 平面ABCD∴⊥PD 平面ABCD ……………………………………………………………………4分(II) 连结AC 交BD 于点O ，取PC 中点F ，连结DF ，FO ，FB ………………………5分 则有PA ∥平面BDF ，证明如下：∵平行四边形ABCD 中，O BD AC =⋂ ∴点O 是AC 中点∴当F 是PC 中点时，FO 是PAC ∆的中位线 ∴PA FO //又∵⊄PA 平面BDF ，⊂FO 平面BDF∴PA∥平面BDF ……………………………………8分设点D 到平面BCF 的距离为h ，则h S V BCF BCF D ⋅⋅=∆-31∵F 是PC 中点∴BCD P PBC D BCF D V V V ---==2121 ∵由(I)知：⊥PD 平面ABCD ，CD BD ⊥ 又a BD a CD PD ===,2∴322)221(31)21(31313a a a a PD CD BD PD S V BCD BCD P =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=∆-∴33a V BCF D =- ………………………………………………………………………10分∵由(I)知：⊥PD 平面ABCD ，BD 、⊂CD 平面ABCD ∴⊥PD BD ，⊥PD CD甲方式 乙方式 合计 优秀 3 10 13 不优秀 17 10 27 合计202040∴a PB 5=BC =，a PC 22=又∵F 是PC 中点 ∴PC BF ⊥，a FC 2= ∴a BF 3=∴2632212a a a S BCF =⋅⋅=∆ ………………………………………………………11分∴由h S V BCF BCF D ⋅⋅=∆-31，得：h a a ⋅⋅=2631323 ∴a aa h 366223==即点D 到平面BCF 的距离为a 36. ………………………………12分(20) (本小题满分12分)解：(I) ∵点N 在线段MB 的垂直平分线上∴NB NM = …………………………………………………………………………1分 ∴4NA NB NA NM AM AB +=+==>∴点N 的轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆 …………………………………3分设此椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=1,4222b a a 解得⎩⎨⎧==.3,2b a∴曲线C 的方程为22143x y += …………………………………………………………5分 (II) 设1122(,),(,)A x y B x y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134,22y x m kx y 得：01248)43(222=-+++m kmx x k ………………………6分 ∵=∆0)43(48)3)(43(1664222222>-+=-+-m k m k m k ∴04322>-+m k ∴221438kkm x x +-=+，222143)3(4km x x +-=…………………………………………7分∴222221212212143123)())((kk m m x x km x x k m kx m kx y y +-=+++⋅=++= ……8分∴)3(41232222121--==⋅m k m x x y y k k OBOA )3(4)4(3222--=m k m∵4322-=-=⋅ab k k OB OA∴43)3(4)4(3222-=--m k m ∴22432k m += ……………………………………………………………………………9分 ∵||1||212x x k AB -⋅+=2122124)(1x x x x k -+⋅+= 22222)43()43(481k m k k+-+⋅+=2222222121)2()2(481mk m m m k⋅+=-⋅+= ………………………………10分又点O 到直线AB 的距离21||km d +=221km +=……………………………………11分∴3112121||212222=+⋅⋅+⋅=⋅⋅=∆km m k d AB S AOB ………………………12分(21) (本小题满分12分) 解：(I) x ax x x f ln )2()(2-=当1a =时，x x x x f ln )2()(2-= ∴(1)0f =，2ln )22()(-+-='x x x x f ∴1)1(-='f∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为)1(--=x y 即01=-+y x …………4分 (II) 设a x x ax x a x x f x g 2121ln )2(2121)()(222-+-=-+=，),1[+∞∈x 则)1)(ln (22ln )22()(+-=+-+-='x a x x a x x a x x g ，),1[+∞∈x ……………5分 ∵),1[+∞∈x ∴11ln ≥+x①当1<a 时，0>-a x ，∴0)(>'x g ，∴)(x g 在),1[+∞上单调递增 ∴对),1[+∞∈∀x ，有02121)1()(>-=≥a g x g ∴1<a ，符合1<a∴1<a ………………………………………………………………………………………8分 ②当1≥a 时，若a x <≤1，则0)(<'x g ；若a x >，则0)(>'x g ∴()g x 在],1[a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增∴)ln 21(212121ln )()(22min a a a a a a a a a g x g --=-+-== ……………………9分 依题意，知：0)ln 21(21>--a a a a )1(≥a 即0ln 21>--a a a )1(≥a 又设=)(a h a a a ln 21--，)1(≥a则0ln 21)1(ln 21)(<--=+-='a a a h∴)(a h 在),1[+∞上单调递减∴0)1()(=≤h a h 即0ln 21≤--a a a ，这与0ln 21>--a a a 矛盾，不合题意……11分 综上可知，实数a 的取值范围是)1,(-∞ ………………………………………………………12分(22) (本小题满分10分)解法一：(I) 因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD而CF ∥AD ，连结AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，所以CD ＝BC .(II) 因为CG 是圆的切线，所以BAC BCG ∠=∠，又因为AB CF //，所以BAC FCA ∠=∠，所以BCG FCA ∠=∠因为A 、B 、C 、F 四点共圆所以CFA CBG ∠=∠所以CBG ∆∽CFA ∆所以AFGB CF CB = 因为=BC 6，2=BD 又由(I)知BC AF =，BD CF =所以626GB = 所以3=GB 因为CG 是圆的切线 所以根据切割线定理可得：GA GB GC⋅=2)2(BD GB GB +⋅= 所以21=GC解法二：(I) 同解法一(II) 因为CG 是圆的切线，所以BAC BCG ∠=∠，又因为AB CF //，所以BAC FCA ∠=∠，所以BCG FCA ∠=∠ 因为A 、B 、C 、F 四点共圆所以CFA CBG ∠=∠所以CBG ∆∽CFA ∆ 所以CACG CF CB = 过点C 作CM ⊥AB 于M由(I)知：CD CB =所以M 是BD 中点又因为2,6==BD CB 所以5=CM ，由(I)知：BD AD CF ==所以2=CF ，3=+=DM AD AM所以14=CA所以1426CG = 所以21=CG(23) (本小题满分10分)解：(I) 消去参数φ，得到圆C 的普通方程为1)1(22=+-y x …………………………………2分令cos ,sin x ρθy ρθ=⎧⎨=⎩代入圆C 的普通方程，得C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即2cos ρθ=． ……………………………………5分(II) 在l 的极坐标方程中令π3θ=，得3ρ=，所以||3OQ = ………………………………7分 在C 的极坐标方程中令π3θ=，得1ρ=，所以||1OP =．…………………………………9分 所以2||||||=-=OQ OP PQ ．………………………………………………………………10分(24) (本小题满分10分)解法一：(I) 2122)(-≥--+=x x x f当2-≤x 时，24-≥-x ，即2≥x ，所以∅∈x ；………………………………………1分当12<<-x 时，23-≥x ，即32-≥x ，所以132<≤-x ；……………………………2分 当1≥x 时，24-≥+-x ，即6≤x ，所以61≤≤x ；……………………………………3分综上，不等式2)(-≥x f 的解集为}632|{≤≤-=x x M……………………………………5分 (II) ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<--≤-=1,4,12,3,2,4)(x x x xx x x f 令a x y -=，当直线经过点)3,1(时，2=-a所以当2≥-a 即2-≤a 时成立；…………………………………………………………7分 当2<-a 即2->a 时，由⎩⎨⎧-=+-=ax y x y ,4得：22a x += 所以当a a ≤+22时成立，此时4≥a 且2->a 所以4≥a ………………………………………………………………………………9分 综上 实数a 的取值范围是),4[]2,(+∞⋃--∞ ……………………………………………10分 解法二：(I) 同解法一(II) 设⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥+-=-=2,4,12,2,1,42)()(x x x x x x x f x g因为对任意),[+∞∈a x ，都有a x x f -≤)(成立所以max )(x g a ≥-①当1>a 时，42)()(max +-==a a g x g所以42+-≥-a a 所以4≥a ，符合1>a ……………………………………7分 ②当1≤a 时，2)1()(max ==g x g所以2≥-a 所以2-≤a ，符合1≤a ………………………………………9分 综上 实数a 的取值范围是),4[]2,(+∞⋃--∞ ……………………………………………10分。