初中数学《平方差公式》ppt(精选)北师大版2
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平方差公式课件设计
第一项的平方 减去第二项的平方.
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
学一学
例题解析
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y);
解:
第一数a
平方
(1) (5+6x)(5−6x)= 52 −
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 对式于；不符合平方差公式标准情势者，
要利用加法交换律，或提取两“−”号中的“−”号， 变成公式标准情势后，再用公式。
作业
1. 必做题：教材习题1.9
2. 选做题： 你能用图形来验证平方差
公吗？
制作单位： **七 中
录制时间： 202X年3月
自我检测
利用平方差公式计算： （1）(－x－1)(1－x)
x2 1
（2）(0.3x+2y)(0.3x－2y) 0.09x2 4 y2
x （3） (x 1)(x 1)(x2 1)
22
4
41 16
课堂小结
分享你的收获， 交流你的困惑。
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
( 6x)2
注意
当“第
第二数b
(2) (x+2y) (x−2y)
平方 一(二)数”是一分数
=25−
36x2
;
或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整
= x2− ( 2y )2
个括起来，再平方;
= x2 −4y2 ;
最后的结果又要
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
学一学
例题解析
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y);
解:
第一数a
平方
(1) (5+6x)(5−6x)= 52 −
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 对式于；不符合平方差公式标准情势者，
要利用加法交换律，或提取两“−”号中的“−”号， 变成公式标准情势后，再用公式。
作业
1. 必做题：教材习题1.9
2. 选做题： 你能用图形来验证平方差
公吗？
制作单位： **七 中
录制时间： 202X年3月
自我检测
利用平方差公式计算： （1）(－x－1)(1－x)
x2 1
（2）(0.3x+2y)(0.3x－2y) 0.09x2 4 y2
x （3） (x 1)(x 1)(x2 1)
22
4
41 16
课堂小结
分享你的收获， 交流你的困惑。
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
( 6x)2
注意
当“第
第二数b
(2) (x+2y) (x−2y)
平方 一(二)数”是一分数
=25−
36x2
;
或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整
= x2− ( 2y )2
个括起来，再平方;
= x2 −4y2 ;
最后的结果又要
1.《平方差公式》第1课时课件北师大版数学七年级下册
平方
= 25− 36x2 ;
x
(3) (x+22yy) (x−2y) = x2 − ( 2y )2 = x2 −4y2 ;
找一找、练一练:
(a-b)(a+b)
(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
a
b
1
x
Байду номын сангаас
-3
a
a
1
0.3x 1
a2-b2
平方差公式 乘法结合律
化简:
(2-1)(2+1)(2²+1)(24+1)
解:原式= (2²-1²)(2²+1²)(24+14)
=(24-14)(24+14) =28-18 =28-1
化简:
解:原式=
(2+1)(2²+1)(24+1)
=(2²-1²)(2²+1²)(24+14)
=(24-14)(24+14) =28-18 =28-1
这节课我们学习了什么？
知识上： 1、公式 2、结构特点 3、注意事项
课堂检测
① ( x ＋ 4 )( x － 4 ) ② ( 1 ＋ 2a )( 1 － 2a ) ③ ( m ＋ 6n )( m － 6n ) ④ ( 5y ＋ z )( 5y － z )
你经得起考验吗？
下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?
符合相反为b
(符号相同项)2-(符号相反的项)2
两数和与这两数差的积, 等于这两数平方的差
注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式．
北师大版七年级数学下册课件：总第10课时5 平方差公式(第2课时)
第一章 整式的乘除
总第10课时——5 平方差公式(第2课时)
平方差公式的应用
知识管 归 理类 探 随 究堂 练 分 习层 作
业
知识管 理
利用平方差公式进行简便运算
基本思路：把相乘的两个数写成两数和与这两数差相乘的形式，使之能适用
平方差公式．
归类探 究
类型之一 用平方差公式进行简便运算 计算：
(1)102×98；(2)59.8×60.2；(3)1133×1103.
A．－m2＋4
B．－x2－y2
C．x2y2－1
D．(m＋n)2－(a＋b)2
2．若三角形的底边长为 2a＋1，底边上的高为 2a－1，则此三角形的面积为
( D) A．4a2－1
B．4a2－4a＋1
C．4a2＋4a＋1
D．2a2－12
3．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了
1．下列各式，能用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2y)(2x－y)
B．(x＋y)(x－2y)
C．(x＋2y)(2y－x)
D．(x－2y)(2y－x)
2．[2017 春·湟中县校级月考]计算252120－0022482的结果是 ( C )
A．62 500
B．1 000
C．500
D．250
【解析】 原式＝252＋24180×002252－248＝510000×024＝500，故选 C. 3．计算：(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝_1__－__4__y___.
(3)1133×1103＝1＋1331－133 ＝12－1332＝1－1969 ＝116609. 【点悟】 解此类用平方差公式进行简便运算的题目，关键是根据数的特点， 将两数的积改写成两数和乘这两数差的形式．
总第10课时——5 平方差公式(第2课时)
平方差公式的应用
知识管 归 理类 探 随 究堂 练 分 习层 作
业
知识管 理
利用平方差公式进行简便运算
基本思路：把相乘的两个数写成两数和与这两数差相乘的形式，使之能适用
平方差公式．
归类探 究
类型之一 用平方差公式进行简便运算 计算：
(1)102×98；(2)59.8×60.2；(3)1133×1103.
A．－m2＋4
B．－x2－y2
C．x2y2－1
D．(m＋n)2－(a＋b)2
2．若三角形的底边长为 2a＋1，底边上的高为 2a－1，则此三角形的面积为
( D) A．4a2－1
B．4a2－4a＋1
C．4a2＋4a＋1
D．2a2－12
3．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了
1．下列各式，能用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2y)(2x－y)
B．(x＋y)(x－2y)
C．(x＋2y)(2y－x)
D．(x－2y)(2y－x)
2．[2017 春·湟中县校级月考]计算252120－0022482的结果是 ( C )
A．62 500
B．1 000
C．500
D．250
【解析】 原式＝252＋24180×002252－248＝510000×024＝500，故选 C. 3．计算：(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝_1__－__4__y___.
(3)1133×1103＝1＋1331－133 ＝12－1332＝1－1969 ＝116609. 【点悟】 解此类用平方差公式进行简便运算的题目，关键是根据数的特点， 将两数的积改写成两数和乘这两数差的形式．
七年级数学下册-第一章《平方差公式》课件-北师大版
填空 变式练习(1)
1. (3 x)(x 3) ( -3 )2 ( x )2 9-x2
2. (a b)( -a-b ) b2 a2
3.
(2x
2y
3
)(2x
2 3
y
)
4
x
2
4 9
y2
4. (__a_3_ b2 )(__a_3_ b2 ) a6 b4
5. (x y z)(x y z) (x+y)2 ( z )2
a4
解（二）：原式 a2 a2 b2 a2b2
a4 a2b2 a2b2
a4
辨析与反思
2
3
a
2b
1 3
a
2 3
b
解（一）：原式
3a
6b
1 3
a
2 3
b
a2 2ab 2ab 4b2
a2ห้องสมุดไป่ตู้ 4b2
解（二）：原式
3
1 3
a
2 3
b
a
2b
a 2ba 2b
a2 4b2
在整式的乘法中只有符合公式要求的乘法才能
用公式计算，其余的运算仍按乘法法则进行
1.
(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)
解 ： 原 式
(22
1)(22
1)(24 1)(28 (22 1)
1)(216
1)
(24 1)(24 1)(28 1)(216 1)
3 (28 1)(28 1)(216 1)
3 (216 1)(216 1)
解： 原式 [2x2 (x2 y2 )][z2 x2 y2 z2 ]
(2x2 x2 y2 )( x2 y2 ) ( x2 y2 )( x2 y2 ) ( y2 )2 (x2 )2 y4 x4
北师大版七年级数学下册第1章第5节平方差公式课件
1、2218 ?
2、10199 ?
主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起 来抢答说：“第一题等于396，第二题等于 9999”其速度之快，简直就是脱口而出．同 学们，你知道是如何计算的吗？你想不想掌 握他的简便、快捷的运算招数呢？
a
b
ab
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
Hale Waihona Puke 条件化简结果新知学习
平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2
你能用文字语言表示所发现的规律吗？
语言表述：
两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差
新知学习
(a+b)(a-b)=a2-b2
用相同数的平 相同 一对 方做被减数 的数 相反数
公式基本特征：
1、两大项（即同号项、异号项）
1.5平方差公式
图形法则 相同相反 混合计算 实际应用
学习目标
1.体验平方差的法则推导，能画出图形的推导过程。 2.能熟练判断使用平方差的条件，计算混算结果。 3.能利用平方差解决简单的应用问题。 4.学会小组合作，解决遇到的代数与几何问题。 5.学会独立思考，练习理解，增强自信心。
情境引入
在一次智力抢答中，主持人提供了两道题：
a
a ba b a2 b2
根据平方差公式，在图中标注字母a，b.
根据图形，你能得到 的等式为：
新知探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x+1)(x-1)=______x_2_-_1__;
(2)(m+2)(m-2)=_____m_2_-_4__;
2、10199 ?
主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起 来抢答说：“第一题等于396，第二题等于 9999”其速度之快，简直就是脱口而出．同 学们，你知道是如何计算的吗？你想不想掌 握他的简便、快捷的运算招数呢？
a
b
ab
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
Hale Waihona Puke 条件化简结果新知学习
平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2
你能用文字语言表示所发现的规律吗？
语言表述：
两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差
新知学习
(a+b)(a-b)=a2-b2
用相同数的平 相同 一对 方做被减数 的数 相反数
公式基本特征：
1、两大项（即同号项、异号项）
1.5平方差公式
图形法则 相同相反 混合计算 实际应用
学习目标
1.体验平方差的法则推导，能画出图形的推导过程。 2.能熟练判断使用平方差的条件，计算混算结果。 3.能利用平方差解决简单的应用问题。 4.学会小组合作，解决遇到的代数与几何问题。 5.学会独立思考，练习理解，增强自信心。
情境引入
在一次智力抢答中，主持人提供了两道题：
a
a ba b a2 b2
根据平方差公式，在图中标注字母a，b.
根据图形，你能得到 的等式为：
新知探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x+1)(x-1)=______x_2_-_1__;
(2)(m+2)(m-2)=_____m_2_-_4__;
北师大版《平方差公式》ppt精美课件2
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
(2)992－1;
解：原式＝(99＋1)×(99－1)＝100×98＝4 000 000－1 ＝9 800．
数学·北师大版·七年级下册
(3)1.03×0.97;
解：原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝1－0.032＝1－0.000 9＝0.999 1．
7．小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题：
C．(－m－n)(m－n)
D．(m－n)(－m＋n)
C．(－m－n)(m－n) 知识点2 平方差公式的应用
A．4c2－1 B．1－4c2
D．(m－n)(－m＋n)
B．－a2－12b2
C．－a2－14b2
D．a2－14b2
3．计算：(a＋5b)(a－5b)＝__a_2_－__2_5_b_2___.
(D)
数学·北师大版·七年级下册
【第二关】 4．(2020年遵义红花岗区期中)如图1，边长为m的正方形剪去边长 为n的正方形得到①②两部分，再把①②两部分拼接成图2所示的长方 形，根据阴影部分面积不变，
于还能继续计算的算式要继续计算)”．
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
A．x3＋x3＝2x6
B．x3＋x3＝x3
方法点拨：当a或b表示一个数字与字母乘积的形式时，容易出现的错误是，只对字母平方而忘记对数字平方．
(4)136×138－1372．
数学·北师大版·七年级下册
解：(1)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2．
(2)992－1;
解：原式＝(99＋1)×(99－1)＝100×98＝4 000 000－1 ＝9 800．
数学·北师大版·七年级下册
(3)1.03×0.97;
解：原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝1－0.032＝1－0.000 9＝0.999 1．
7．小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题：
C．(－m－n)(m－n)
D．(m－n)(－m＋n)
C．(－m－n)(m－n) 知识点2 平方差公式的应用
A．4c2－1 B．1－4c2
D．(m－n)(－m＋n)
B．－a2－12b2
C．－a2－14b2
D．a2－14b2
3．计算：(a＋5b)(a－5b)＝__a_2_－__2_5_b_2___.
(D)
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【第二关】 4．(2020年遵义红花岗区期中)如图1，边长为m的正方形剪去边长 为n的正方形得到①②两部分，再把①②两部分拼接成图2所示的长方 形，根据阴影部分面积不变，
于还能继续计算的算式要继续计算)”．
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
A．x3＋x3＝2x6
B．x3＋x3＝x3
方法点拨：当a或b表示一个数字与字母乘积的形式时，容易出现的错误是，只对字母平方而忘记对数字平方．
(4)136×138－1372．
数学·北师大版·七年级下册
解：(1)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2．
北师大版七年级数学下册《平方差公式》课件
练一练：口答下列各题：
(l)(－a+b)(a+b)=__b_2_－__a_2__.
(2)(a－b)(b+a)= __a__2_－__b_2__. (3)(－a－b)(－a+b)= __a_2_－__b_2_. (4)(a－b)(－a－b)= __b__2_－__a_2_.
例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2； （3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
例2 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25.
例3 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减 少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如 何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？ 为什么？
(m + 2)(m2 + 4)(m – 2)，其中m = 2.
解:（1） (m + 2)(m2 + 4)(m – 2)
=(m + 2)(m – 2)(m2 + 4) = (m2 – 4)(m2 + 4) = m4 – 16
当 m = 2 时，原式 = 24 – 16 = 0
北师大版七年级初一上册 第一单元 1.5《平方差公式》课件
知2－练
1 计算： (1) (a+2) (a－2)； (2) (3a+2b) (3a－2b)； (3) (－x －1) (1－x) ；(4) (－4k+3) (－4k－3).
解：(1)(a＋2)(a－2)＝a2－22＝a2－4. (2)(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2. (3)(－x－1)(1－x)＝(－x－1)(－x＋1) ＝(－x)2－12＝x2－1. (4)(－4k＋3)(－4k－3)＝(－4k)2－32＝16k2－9.
9
.
(3)99×101×10 001.
知3－练
解：(3)99×101×10 001＝(100－1)×(100＋1)×10 001 ＝(1002－1)×10 001 ＝9 999×10 001 ＝(10 000－1)×(10 000＋1) ＝10 0002－1 ＝99 999 999.
1 知识小结
知2－练
9 【中考·枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪 去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分 沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四 边形的面积为( C ) A．a2＋4 B．2a2＋4a C．3a2－4a－4 D．4a2－a－2
知识点 3 利用平方差公式简便计算
知3－导
(2)118×122
=(100+3) (100－3)
=(120－2) (100+2)
=1002－32
=1202－22
=9 991 ；
=14 396 .
知3－讲
例5 运用平方差公式计算：
(1) 2 014×2 016－2 0152；(2) 1.03×0.97；
2
(3) 40
[37208233]1.5平方差公式(第二课时)课件 2022-2023学年北师大版数学七年级
![[37208233]1.5平方差公式(第二课时)课件 2022-2023学年北师大版数学七年级](https://img.taocdn.com/s3/m/51a9c12fcbaedd3383c4bb4cf7ec4afe04a1b12c.png)
巩固练习
计算: (1) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) （2）原式= y2-22-(y2+4y-5)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= y2-4-y2-4y+5
ZYT
ZYT
第一章 整式的乘除
1.5 整式的乘法
第2课时 平方差公式的运用
ZYT
1.问：平方差公式是怎样的？ (a+b)(a−b)=a2−b2
2.利用平方差公式计算： （1）(2x+7b)(2x–7b)；4x2－49b2 （2）(－m+3n)(m+3n). 9n2－m2 3.你能快速的计算201×199吗？
ZYT
11×13=143 79×81=6399 12×12=144 80×80=6400
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ (a-1) (a+1) = a2 – 1 (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?
(a+b)(a−b)=a2−b2 平方差公式
ZYT
典例精析
例1 用平方差公式进行计算：
解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 =a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=4x2-52-(4x2-6x)
=4x2-25-4x2+6x
=6x-25
不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算.
七年级数学北师大版下册初一数学--第一单元 《完全平方公式》第一课时参考课件
完全平方公式的结果 是三项，
结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2； 首项、末项是乘积被平方时要注意添括号, 是运用 完全平方公式进行多项式乘法的关键.
语言表述:
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加 上(减去)这两数乘积的两倍. (a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
例题解析
1 2
注意 使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x−3)2 = (2x )2 − 2 • 2x • 3+ 32 = 4x2 − 12x + 9 ;
1.8 完全平方公式（一）
回顾 & 思考☞
平方差公式 (a+b)(a−b)= a2 − b2
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和 符号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变 成公式标准形式后，才能使用平方差公式。
解题规律:
当所给的二项式的符号相同时，就用“和”的完全平方式； 当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的完全平方式。
6.填空： 1) a2+ 2ab +b2=(a+b)2 2) a2+ (-2ab)+b2=(a - b)2 3) 4a2+ 4ab +b2=(2a+b)2 4) 4a2+ (-4ab) +b2=(2a - b)2 5) (2a )2+4ab+b2=( 2a +b)2 6) a2-8ab+16b2=( a-4b )2 7.如果 x2 +mx+4是完全平方式,那么 m的值是多少?
结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2； 首项、末项是乘积被平方时要注意添括号, 是运用 完全平方公式进行多项式乘法的关键.
语言表述:
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加 上(减去)这两数乘积的两倍. (a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
例题解析
1 2
注意 使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x−3)2 = (2x )2 − 2 • 2x • 3+ 32 = 4x2 − 12x + 9 ;
1.8 完全平方公式（一）
回顾 & 思考☞
平方差公式 (a+b)(a−b)= a2 − b2
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和 符号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变 成公式标准形式后，才能使用平方差公式。
解题规律:
当所给的二项式的符号相同时，就用“和”的完全平方式； 当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的完全平方式。
6.填空： 1) a2+ 2ab +b2=(a+b)2 2) a2+ (-2ab)+b2=(a - b)2 3) 4a2+ 4ab +b2=(2a+b)2 4) 4a2+ (-4ab) +b2=(2a - b)2 5) (2a )2+4ab+b2=( 2a +b)2 6) a2-8ab+16b2=( a-4b )2 7.如果 x2 +mx+4是完全平方式,那么 m的值是多少?
北师大版七年级下册1.5平方差公式课件(1)
例题讲授
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5-6x)； (2) (x-2y)(x+2y);
(3) (-m+n)(-m-n).
a
平方
解: (1) (5+6x)(5-6x) = 52 -( 6x)2
平方
b
= 25 - 36x2 ;
(3) (-m+n)(-m-n )
= ( -m)2 - n2
1、等式左边的两个多项式有什么特点？ 2、等式右边的多项式有什么规律？
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
( “ b )( “ -b ) “2 -b2
符号
((21))验(1(+x (23a：a )()+(x-12) 3-
(3)
bx yb)
b
(4 )
2 z)
x2-22 ; 2 (3a)2 ; ;
(2) (ab+8)(ab-8)
= (ab)2 - 82
= a2b2 - 64
题后反思： 公式中的 a和b 可以是数，也可以是整式 .
利用平方差公式计算：
（1）(-mn+3)(-mn -3) =(-mn)2 -32 = m2n2 -9
（2）(x- y)(x+ y)
（3）(-2a+3b)(-2a -3b) =(-2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2
（1） (a+2)(a -2) = a2 -22
= a2 -4
（2）(-4k+3)(-4k-3) =(-4k)2 -32
= 16k2 -9
（3）(3a+2b)(3a -2b) = （3a）2 -(2b)2 = 9a2 -4b2
北师大版七年级数学下册1.平方差公式的运用课件(共19张)
课堂小测
3.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2. 解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1. 将x＝2代入上式， 原式=2×22-1=7.
课堂小测
4.已知x≠1，计算：(1－x) (1＋x) ＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4． (1)视察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝__1_－__xn_+_1_(n为正整数)；
七年级数学北师版·下册
第一章 整式的乘除
1.5.2 平方差公式的运用
教学目标
1.掌握平方差公式，熟练运用平方差公式.（重点） 2.灵活运用平方差公式进行计算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解决实际问题.（难点）
新课导入
知识回顾 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
新知探究
例2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12－5×22＝－15.
新知探究
例3 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的 整数倍吗？
新知探究
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式 化简算式，解决问题．
课堂小结
1、平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或者是多 项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根 据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
《平方差公式》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (6)
=__________
〔3〕〔-a-b〕〔-a+b〕 =________
〔4〕〔a-b〕〔-a-b〕
找一找、填一填
〔a-b〕〔a+b〕 a
〔1+x〕〔1-x〕 1 〔-3+a〕〔-3-a〕 -3
〔1+a〕〔-1+a〕 a
〔x-1〕〔x〕
x
b a2-b2
x
12-x2
a 〔-3〕2-
1
aa22-12
1 〔 x〕2-12
回顾 & 思考☞
☾ 单项式乘以多项回式的忆依与据是思乘考法对加法的分配律.
如何进行单项式与多项式乘法的运算？
① 用单项式分别去乘多项式的每一项， ② 再把所得的积相加.
进行单项式与多项式乘法运算时，要注意一些什么？
① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项. ② 去括号时注意符号确实定.
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
（3） （2x ＋ 1）（2x － 1）=〔2x〕2 － 2x ＋ 2x －=4x2 － 1
发现:
1
〔1〕两个相乘的多项式一个为两数和，另一个 恰为这两数差
〔2〕最后结果刚好为这两数的平方差 你能将上面的发现用一个公式来表达吗？
〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2 试一试
自主探究
a
b
请问你有几种方法求绿色局部面积？
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
北师大版《平方差公式》ppt课堂课件2
2
2
(7 p mn)(7 p mn)
课堂小结
整式乘法和因式分解中的平方差公式有何关系？
整式乘法：(a b)(a b) a2 b2 因式分解： a2 b2 (a b)(a b)
互逆变形
例2.因式分解：4x2 16
解：原式 4(x2 4)
a2 b2 (a b)(a b)
2.把下列各式因式分解：
(1)3ax2 12a
(2)（5 m n）2 45n2
解：原式 3a(x2 4) 解：原式 5[(m n)2 9n2 ]
3a(x 2)(x 2)
5[(m n)2 （3n）2 ]
5(m n 3n）(m n 3n）
5(m 4n）(m 2n）
等式两边的多项式各有什么特点？
等式两边的多项式各有什么特点？
等式两边的多项式各有什么特点？
因式分解——平方差公式
(2)9a2 p2 b2q2 (4)a4 （1 挑战一下）
回 新顾知复讲习解
因式分解：(xxa2 2)42 4
a2 b2 (a b)(a b)
解 x2 ： 4原式(x(2x)(x2)22) 22
y(2x y)
(3a b)(b a)
(3)16(m n)2 25n2
(4) p2 16( p q)2
解：原式 [4(m n)]2 (5n)2
解：原式 p2 [4( p q)]2
[4(m n) 5n][4(m n) 5n] [ p 4( p q)][p 4( p q)]
因式分解——平方差公式 因式分解——平方差公式
2
2
(5)2( x y ) 18( x y ) 第二步：利用平方差公式因式分解
等式两边的多项式各有什么特点？
平方差公式
平方差公式平方差公式教材分析平方差公式》是北师大版七年级下册《数学》教材的一部分，属于义务教育课程标准实验教科书。
在此之前，教材已经安排了《有理数及运算》、《字母表示数》等内容。
在本节内容前，还安排了平方差公式产生的背景，使学生经历过实际问题“符号化”的过程，有了一定的符号感，为探索“平方差公式”奠定了基础。
学生分析学生在前面的研究中，已经研究了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。
经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力。
本节课的教学能培养学生的推理能力，使学生通过大胆而又合情合理的推理，有条理地表达自己的思考过程。
教学目标1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。
3、认识平方差公式及其几何背景。
4、在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验研究的乐趣。
教学重点：体会公式的发现的推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。
教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。
课前准备1、为每位学生准备一张正方形纸片（边长为15cm）。
2、教师准备两张正方形（一大一小）纸板和三块矩形纸板。
3、多媒体课件。
教学流程一、创设问题情境，引导学生观察、设想。
教师发给每个学生一张正方形纸片（边长15cm），并用多媒体课件（或用正方形纸板）显示正方形。
教师问道：在一块45的红色正方形纸板上，因为工作需要，中间挖去一块边长为15的正方形（如图），请问剩下红色部分的面积有多少平方厘米？刚开始小的正方形可以随意摆放在红色正方形的任何位置。
）小组讨论：1．可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。
2．可以把剩下红色部分切割成几个矩形来计算。
教师进一步问道：从今天的问题来看，用哪一种方法比较好？你们小组能列出算式吗？或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。
教师要求学生在他们手上的正方形纸的角落上画一个小正方形，可规定连长为3cm。
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变式一 ( －3X＋2)(－3X－2) =(-3x)2-22 变式二 ( －3X－2)(3X－2) =(-2)2-(3x)2 变式三 (－3X＋2)(3X＋2) =22-(3x)2
初中数学《平方差公式》ppt(精选)北 师大版 2
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公式的应用
例1、用平方差公式计算下列各题
b的小正方形，经裁剪后拼成了一个长
方形.（1）你能分别表示出裁剪前后
的纸板的面积吗？（2）你能得到怎样
的一个结论？
a
b
a
a
a
`
b
b
(a + b) (a - b)
a2 - b2
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归纳
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 .
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1 下列多项式相乘，正确的有( A ) (1)(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2 (2)(a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2 (3)(a-b+c)a-b-c)=a2-(b-c)2 (4)(a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个
2观、察猜计想算：结(a果+,b你)(a又－发b现)=了—a2什—－么—b规—2 律—？—.
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(a+b)(a-b) = a2-b2
(a+b)(a-b) = a2 -ab +ab -b2 = a2-b2
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刚才我们用多项式乘法 验证了平方差公式的正 确性，它还可以用几何 的方法加以说明呢。
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1.边长为a的正方形板剪去一个边长为
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例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98=(100+2)(100-2) = 1002-22=10 000 – 4 = 9 996.
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（1）（x + 1)( x － 1）=x2 － 1 x2 － 12 （2）（m + 2)( m － 2）=m －4 m2－22 （3）（2x + 3)( 2x－3)=4x2 －9 （2x）2 － 32 观察上述算式，等号左边这三个式子有什 么规律？
3.计算 99×101×10001. 【解析】原式=(100-
1)(100+1)×10001 =(10 000-1)(10 000+1) =100 000 000-1 =99 999 999.
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4.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16). 【解析】原式=（x2-
（1） (5 6x)(5 6x)
解：原式 52 (6x)2
分析：要利用平方差公式解题，
必须找到是哪两个数的和与这两
个数的差的积结果为这两个数的
平方差.
b
25 36x2 （2） (x 2y)(x 2y)
(1) (5+6x)(5-6x)
a
a2 b2 52 (6x)2
25 36x2
能
（3）51×49
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
行
！
=(50+1)(50-1) =502－12
=(9x2－16) －(6x2+5x -6)
=2500-1
=3x2－5x- 10
=2499
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2 利用平方差公式计算：
相 信
（1）(a+3b)(a - 3b) （2）(3+2a)(－3+2a)
自
=(a)2－(3b)2
=a2－9b2 ；
=(2a+3)(2a-3)
己
=(2a)2－32
我
=4 a2－9；
§14.2.1 平方差公式
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另
一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
二、探究中归纳
1、计算下列各题
（1）（x + 1)( x－1）
（2）(m + 2)( m－2）
（3（2x + 3)(2x－3）
b
解：原式 x2 (2 y)2
x2 4y2
(2) (x-2y)(x+2y)
a2
b2
a
x
2
(2y)2
x2 4y2
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练习2.利用平方差公式计算：
(1)(x 2y)(2y x). (2)(2x 5)(5 2x).
(3)(a+b)(a-c) 否 (4)(2+a)(a-2) 是
（5）(
1 4
x
2
y)(
1 4
x
2
y)
是
（6） (1-x)(-x-1) 是
（7 (-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是
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(3X＋2)(3X－2)
y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.
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1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a&多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法 三个表示 公式中的a，b可表示 (1)具体数 (2)单项式 (3)多项式
【解析】 原式=(-2y-x)(-2y+x) 【解析】原式=(5+2x)(5-2x)
= 4y2－x2.
= 25－4x2.
(3)(x 6)2 (x 6)2.
【解析】原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]
= (x+6-x+6)(x+6+x-6)
=12×2x=24x.
平方差公式的逆用 a2－b2 = (a+b)(a－b)
ab
a2-b2
1x
12-x2
-3 a (-3)2-a2
a 1 a2-12
0.3x 1 ( 0.3x)2-12
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2、判断下列式子是否可用平方差公式。
(1)(-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否
平方差公式:
(a+b)(a－ b)= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
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1、找一找、填一填
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
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练习、运用平方差公式计算：
（1）49×51 （2）9.8×10.2
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公式的应用
例1、用平方差公式计算下列各题
b的小正方形，经裁剪后拼成了一个长
方形.（1）你能分别表示出裁剪前后
的纸板的面积吗？（2）你能得到怎样
的一个结论？
a
b
a
a
a
`
b
b
(a + b) (a - b)
a2 - b2
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归纳
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 .
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1 下列多项式相乘，正确的有( A ) (1)(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2 (2)(a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2 (3)(a-b+c)a-b-c)=a2-(b-c)2 (4)(a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个
2观、察猜计想算：结(a果+,b你)(a又－发b现)=了—a2什—－么—b规—2 律—？—.
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(a+b)(a-b) = a2-b2
(a+b)(a-b) = a2 -ab +ab -b2 = a2-b2
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刚才我们用多项式乘法 验证了平方差公式的正 确性，它还可以用几何 的方法加以说明呢。
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1.边长为a的正方形板剪去一个边长为
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例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98=(100+2)(100-2) = 1002-22=10 000 – 4 = 9 996.
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（1）（x + 1)( x － 1）=x2 － 1 x2 － 12 （2）（m + 2)( m － 2）=m －4 m2－22 （3）（2x + 3)( 2x－3)=4x2 －9 （2x）2 － 32 观察上述算式，等号左边这三个式子有什 么规律？
3.计算 99×101×10001. 【解析】原式=(100-
1)(100+1)×10001 =(10 000-1)(10 000+1) =100 000 000-1 =99 999 999.
初中数学《平方差公式》ppt(精选)北 师大版 2
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4.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16). 【解析】原式=（x2-
（1） (5 6x)(5 6x)
解：原式 52 (6x)2
分析：要利用平方差公式解题，
必须找到是哪两个数的和与这两
个数的差的积结果为这两个数的
平方差.
b
25 36x2 （2） (x 2y)(x 2y)
(1) (5+6x)(5-6x)
a
a2 b2 52 (6x)2
25 36x2
能
（3）51×49
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
行
！
=(50+1)(50-1) =502－12
=(9x2－16) －(6x2+5x -6)
=2500-1
=3x2－5x- 10
=2499
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2 利用平方差公式计算：
相 信
（1）(a+3b)(a - 3b) （2）(3+2a)(－3+2a)
自
=(a)2－(3b)2
=a2－9b2 ；
=(2a+3)(2a-3)
己
=(2a)2－32
我
=4 a2－9；
§14.2.1 平方差公式
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另
一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
二、探究中归纳
1、计算下列各题
（1）（x + 1)( x－1）
（2）(m + 2)( m－2）
（3（2x + 3)(2x－3）
b
解：原式 x2 (2 y)2
x2 4y2
(2) (x-2y)(x+2y)
a2
b2
a
x
2
(2y)2
x2 4y2
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练习2.利用平方差公式计算：
(1)(x 2y)(2y x). (2)(2x 5)(5 2x).
(3)(a+b)(a-c) 否 (4)(2+a)(a-2) 是
（5）(
1 4
x
2
y)(
1 4
x
2
y)
是
（6） (1-x)(-x-1) 是
（7 (-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是
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(3X＋2)(3X－2)
y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.
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1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a&多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法 三个表示 公式中的a，b可表示 (1)具体数 (2)单项式 (3)多项式
【解析】 原式=(-2y-x)(-2y+x) 【解析】原式=(5+2x)(5-2x)
= 4y2－x2.
= 25－4x2.
(3)(x 6)2 (x 6)2.
【解析】原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]
= (x+6-x+6)(x+6+x-6)
=12×2x=24x.
平方差公式的逆用 a2－b2 = (a+b)(a－b)
ab
a2-b2
1x
12-x2
-3 a (-3)2-a2
a 1 a2-12
0.3x 1 ( 0.3x)2-12
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2、判断下列式子是否可用平方差公式。
(1)(-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否
平方差公式:
(a+b)(a－ b)= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
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1、找一找、填一填
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
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练习、运用平方差公式计算：
（1）49×51 （2）9.8×10.2