实验：用单摆测定重力加速度
(整理)实验用单摆测定重力加速度《机械振动与波》
实验八 用单摆测定重力加速度【实验目的】（1）掌握利用单摆测定当地重力加速度的原理和方法； （2）学会减小试验误差的方法；（3）知道如何选择实验器材，正确熟练使用秒表。
【实验原理】（1）如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多（质点），这样的装置叫单摆。
（2）单摆在偏角很小时，振动周期跟偏角的大小和摆球的质量无关，单摆的周期公式是glT π2=。
变换这个公式，得224T lg π=,因此，只要测出单摆的摆长L 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值。
（3）摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长L /（读到0.1mm ），用游标卡尺量出摆球直径（读到0.1mm ）算出半径r ，则摆长L = L /+r 。
（4）周期的测量：测出单摆摆动N 次所需时间t ，则Nt T =。
【实验器材】① 长约1米的细尼龙线一条、 ② 球心开有小孔的小金属球 ③ 带有铁夹的铁架台一个、 ④ 毫米刻度尺一把、 ⑤ 游标卡尺 ⑦ 秒表一块。
【实验条件】（1）理想的单摆摆线的伸缩和质量可以忽略，摆球较重，且球的直径比线长短得多.（2）组装单摆时，应使摆球的直径d 和摆线长l 满足d << L ，且应选择体积小而质量大的金属球做摆球. （3）在实验中摆角θ小于10°，为了减小计时误差，应当在摆线平衡位置时开始计时，因为此时摆球速度较快，与最大摆角时相比，经过相同的距离的时间较短，即相同的视觉误差下时间误差较小.【实验步骤】（1）做单摆：① 让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。
如上图。
② 把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂。
（2）测摆长：用米尺量出悬线长L ˊ（准确到0.1mm ），用米尺和三角板（或游标卡尺）测出摆球的直径d （准确到0.1mm ），然后计算出悬点到球心的距离L ，2dL L +'=即为摆长。
单摆测重力加速度
单摆测重力加速度单摆是物理学中常见的实验装置，用于测量重力加速度。
它由一根固定在一个支架上的细线和一个固定在该细线下端的质点组成。
在实验中，质点先被拉到一侧，之后释放，使其自由摆动，通过测量摆动的周期来计算重力加速度。
单摆的原理可以简单描述为：当质点在摆动过程中，重力将会对其产生一个回复力，使质点努力回归到原位置。
这个回复力可以分解为两个分量，一个平行于细线方向的分力，即摆长方向的分力；另一个垂直于细线方向的分力，即摆圆弧方向的分力。
在等幅小角摆动的情况下，摆长方向的分力可以忽略不计，只需要考虑摆圆弧方向的分力。
测量单摆的周期需要先测量摆长。
摆长是指细线的长度，可以通过放置一个水平器或使用测量工具来测量。
摆长的测量需要准确和精密，因为它对于计算重力加速度非常关键。
一旦摆长测量准确，我们可以通过测量摆动的周期来计算重力加速度。
在实验中，我们需要使用计时器来测量单摆的周期。
对于一个完整的摆动周期，我们可以测量时间的起点和终点，然后计算出时间差。
重复多次测量，并求得平均值来减小误差。
然后，我们可以使用以下公式来计算重力加速度：g=4π²L/T²，其中g代表重力加速度，L代表摆长，T代表周期。
当进行单摆实验时，一定要注意以下几点。
首先，保持实验环境相对稳定，避免外部干扰引起误差。
其次，确保摆长的测量准确性，因为摆长的误差将会对重力加速度的计算产生较大影响。
再次，在测量周期时，要准确记录时间起点和终点，避免记录误差。
通过单摆实验，我们可以得到地球上某一地点的重力加速度的近似值。
然而，值得注意的是，地球的重力加速度并不是一致的，它会随着地球表面的高度、纬度、质量分布等因素而略微变化。
因此，单摆实验只能提供一个大致的数值，而不是准确的数值。
除了通过单摆实验来测量重力加速度，还有其他方法可以进行测量，如自由落体实验、弹簧测力计等。
每一种方法都有其适用的场景和相应的误差范围。
在实际应用中，可以根据具体情况选择最合适的方法。
用单摆测量重力加速度
2.5 实验：用单摆测量重力加速度问题引入：理论上，与重力加速有关的物理现象都可以用来测量重力加速度g ，例如：利用自由落体运动就可以测量g ，也可以研究平抛运动测量g ，上一节课中我们又学习了单摆的周期公式T ＝2πlg，我们是否能从该公式出发设计一个实验用来单摆测量重力加速度g 呢？解析：能，由公式T ＝2πlg可知，只需要设计一个单摆，测出单摆的长度l ，周期T ，然后代入公式即可测出重力加速度g. 一、实验原理：单摆在摆角很小时，由单摆周期公式T ＝2πl g ，得g ＝4π2lT2，测得单摆的摆长l 和振动周期T ，就可以测出当地的重力加速度g ． 二、实验器材：铁架台及铁夹、金属小球(最好上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(1 m 左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺． 三、实验步骤： 1．做单摆：让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结，把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记． 2．测摆长：l ＝ l ′＋ d2①．用毫米刻度尺量出悬线长l ′，如图甲所示． ②．用游标卡尺测出摆球的直径d ，如图乙所示． ③．摆线悬点固定方法：用“夹”不用“绕”3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足偏角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，用秒表测量单摆完成30次(或50次)全振动的时间t ，计算出平均摆动一次的时间T ＝tn，即为单摆的振动周期．（注意：应以摆球经平衡位置时开始或停止计时.） 4．求重力加速度：把测得的周期和摆长的数值代入公式，求出重力加速度g 的值．5．多次改变摆长，重测周期，并记录数据.四、数据处理：方案一：平均值法改变摆长，重做几次实验．计算出每次实验的重力加速度．最后求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即可作为本地区的重力加速度．分别以l和T 2为纵坐标和横坐标，作出l ＝g4π2T 2的图象，它应该是过原点的一条直线，根据这条直线可以求出斜率k，则重力加速度值g ＝4π2k.由于l－T的图象不是直线，不便于进行数据处理，所以采用l－T 2的图象，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度．五、误差分析：1．系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。
高二物理【实验：用单摆测量重力加速度】
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3．某同学利用单摆测量重力加速度． (1)(多选)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是( ) A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大
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(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于 5°，再 释放小球．当摆球摆动稳定以后，在最低点位置时，用秒表开始计 时，测量单摆全振动 30 次(或 50 次)的时间，然后求出一次全振动的 时间，即单摆的振动周期．
(5)改变摆长，重做几次．
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(6)根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度；求出 几次实验得到的重力加速度的平均值，即本地区的重力加速度的值．
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(2)①根据单摆振动的 v-t 图像知，单摆的周期 T＝2.0 s. ②根据 T＝2π gl 得 T2＝4πg2l. 图线的斜率：k＝4gπ2＝4.04 s2/m， 解得：g≈9.76 m/s2. [答案] (1)①adf ②4πt22n2l (2)①2.0 ②9.76
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【例 2】 用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示．
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[答案]
(1)BC
4π2ΔL (2)T21－T22
42
4．某同学在一次用单摆测重力加速度的实验中，测量 5 种不同 摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图所 示的坐标系中．图中各坐标点的标号分别对应实验中 5 种不同摆长 的情况．在处理数据时，该同学实验中的第________数据点应当舍 弃．画出该同学记录的 T2-l 图线．求重力加速度时，他首先求出图 线的斜率 k，则用斜率 k 求重力加速度的表达式为 g＝________.
实验__用单摆测定重力加速度资料
②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零” 的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过最低位置时计数 1 次． (4)本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长 l，用横轴表示 T2，将实验所 得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率 k＝4gπ2.这是在众多的 实验中经常采用的科学处理数据的重要办法．
从悬点量到摆球的最低端的长度 L＝0.999 0 m，再用游标卡
尺测量摆球直径，结果如图 3 所示，则该摆球的直径为
图3
__1_2_._0___mm，单摆摆长为_0_._9_9_3__0_m.
课堂探究·考点突破
③下列振动图象真实地描述了对摆长约为 1 m 的单摆进行周期测量的四种操作过程， 图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C 均为 30 次全振动的图象，已知 sin 5°＝0.087， sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是__A__(填字母代号)．
摆长 l(m)
0.5 0.6 0.8 1.1
周期 T2(s2)
2.0 2.4 3.2 4.4
(1)利用上述数据．在图 4 的坐标系中描绘出 l－T2 图象．
(2)利用图象，取 T2＝4.2 s2 时，l＝__1_._0_5___m．重力加速
度 g＝___9_.8_6___m/s2.
T＝2π
l g
图4
4． 数据处理
((15))根据单摆振动周期公式 T＝2π
gl 计算当地重力加速度 g＝4Tπ22l.
(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，
7.3实验：用单摆测重力加速度(解析版)-2023年高考物理一轮复习提升核心素养
7.3实验：用单摆测重力加速度1．实验原理当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πl g ，由此得到g ＝4π2lT 2，因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值．2．实验器材单摆，游标卡尺，毫米刻度尺，停表．3．实验过程(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出单摆的振动周期T .(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度．(6)改变摆长，重做几次实验．4．数据处理(1)公式法：利用T ＝t N 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g ＝4π2l T 2求重力加速度．(2)图像法：根据测出的一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图像，由单摆周期公式得l ＝g 4π2T 2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k ，即可利用g ＝4π2k 求重力加速度．5．注意事项(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．(4)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长．(5)一般选用一米左右的细线．教材原型实验例题1.某同学用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。
（1）对测量原理的理解正确的是___________。
A ．由g=224l T π可知，T 一定时，g 与l 成正比B ．由g=224l Tπ可知，l 一定时，g 与T 2成反比 C ．单摆的振动周期T 和摆长l 可用实验测定，由g=224l Tπ可算出当地的重力加速度（2）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用的器材有___________。
实验：用单摆测重力加速度(解析版)
第5节实验：用单摆测重力加速度一、教材原型实验1．用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。
（1）选用合适的器材组装成单摆后，主要步骤如下：①将单摆上端固定在铁架台上①让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，测摆长L①记录小球完成n次全振动所用的总时间t①根据单摆周期公式计算重力加速度g的大小根据图2所示，测得的摆长L=________cm；重力加速度测量值表达式g=_________（用L、n、t表示）；（2）实验中为测量单摆的周期，将摆球从平衡位置拉开一个角度（小于5°），然后释放摆球，从摆球运动到___________处（选填“平衡位置”或“释放点位置”）开始计时；（3）为减小实验误差，多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制T2-L图像，如图3所示。
由图可知重力加速度g=___________（用图中字母表示）；（4）关于本实验，下列说法正确的是________（选填选项前的字母）。
A．需要用天平称出小球的质量B．测量摆长时，要让小球静止悬挂再测量C．摆长一定的情况下，摆的振幅越大越好【答案】98.502224Lntπ平衡位置()22122214L LT Tπ--B【详解】（1）[1]刻度尺的最小分度值为1mm，以小球中心为准，根据读数规则读数为98.50cm。
[2]测量单摆的周期为tTn=而单摆的理论周期为2T=2224πLngt=（2）[3]测量单摆的周期时，应该从摆球运动到平衡位置时开始计时，以此来减小计时误差。
（3）[4]对单摆的周期公式进行变形可得224πT Lg=根据图中斜率值，可得22221214πT TL L g-=-解得()22122214πL L gT T-=-（4）[5]A．本实验通过单摆的周期来测量当地的重力加速度，不需要摆球的质量，故A错误；B．测量摆长时，要让小球静止悬挂再测量，可以更精确地测量出悬点到球心的距离，故B正确；C．单摆只有在摆角小于或等于5°时才能看作是简谐运动，故C错误。
2022届高考物理(重庆专用)第一轮复习专题实验：用单摆测定重力加速度(含解析)
实验11：用单摆测定重力加速度一、实验目的1．会用单摆测定重力加速度。
2．会使用秒表。
二、实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πl g ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2l T 2。
因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地重力加速度g 的值。
处理数据有两种方法：（1）公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝t n 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后利用g ＝4π2l T 2求重力加速度。
（2）图象法：由单摆周期公式不难推出：l =g 4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k =Δl ΔT 2，即可利用g =4π2k =4π2Δl ΔT 2求得重力加速度值，如图所示。
三、实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线（约1米）、秒表、带毫米刻度的米尺和游标卡尺。
四、实验步骤1．让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。
2．把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如图。
3．用米尺量出摆线长度l ′，精确到毫米，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r 。
4．把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（不超过5°），然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N （N 为全振动的次数），反复测3次，再算出周期T ＝T 1＋T 2＋T 33。
5．根据单摆振动周期公式T ＝2πl g 计算当地重力加速度g ＝4π2lT 2。
6．改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值。
学生实验：用单摆测定重力加速度
合理分工合作
在实验过程中，可以根据小组成员的特点进行合理分工，提高实验 效率。
优化实验步骤
在保证实验效果的前提下，可以优化实验步骤，减少不必要的操作， 提高实验效率。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过测量不同摆长的单摆周期，推算 出当地的重力加速度值。
提高实验操作技能
掌握实验仪器的正确 使用方法，如计时器、 测量尺等。
学生实验：用单摆测 定重力加速度
提高观察、记录实验 数据和误差分析的能 力。
02
实验原理
单摆的周期公式
公式
$T = 2pisqrt{frac{L}{g}}$
解释
$T$表示单摆的周期，$L$表示单摆的摆长，$g$表示重力加速度。该公式描述 了单摆摆动一周所需的时间与摆长和重力加速度之间的关系。
实验数据3
摆长L=2.00m，摆角θ=15°， 周期T=3.00s， g=9.80m/s^2
重力加速度计算结果
g1=(4π^2L)/T^2=(4*3.14^2*1)/2^2=12.56m/s^2 g2=(4π^2L)/T^2=(4*3.14^2*1.5)/2.5^2=18.84m/s^2 g3=(4π^2L)/T^2=(4*3.14^2*2)/3^2=25.12m/s^2
数据分析
03
分析实验结果，探讨误差来源，提出改进措施。
03
实验步骤
准备实验器材
实验器材：单摆装置、秒表、测量尺、游标卡尺、天平、砝 码、支架等。
实验前需检查器材是否完好，确保测量准确性和实验安全。
搭建单摆装置
将单摆装置固定在支架上，确保稳定。 调整单摆的长度，使用游标卡尺精确测量，确保长度一致。
第一章 第5节 学生实验：用单摆测定重力加速度
第5节学生实验：用单摆测定重力加速度对应学生用书P14一、实验目的、原理、器材1．做单摆(1)让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔稍大一些的结，制成一个单摆。
(2)把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。
(如图所示)2．测摆长用米尺量出从悬点到小球上端的悬线长l 0，再用游标卡尺测量出摆球的直径d ，则摆长l ＝l 0＋d 2。
3．测周期将单摆从平衡位置拉开一个小角度(摆角小于5°)，然后释放摆球让单摆在竖直平面内摆动。
当单摆摆动稳定后，过平衡位置时开始计时，测量30～50次全振动的时间。
计算出完成一次全振动的时间，即为单摆的振动周期T 。
4．改变摆长重测周期将单摆的摆长变短或变长，重复实验三次，测出相应的摆长l 和周期T 。
三、数据处理1．平均值法每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝4π2lT2中求出g值，最后求出g的平均值。
设计如表所示实验表格2由T＝2πlg得T2＝4π2g l作出T2-l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴。
其斜率k＝4π2g，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
四、注意事项(1)实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球要选取密度大且质量分布均匀的钢球。
(2)单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°。
(3)测摆长l时，应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长加上小球半径。
(4)应从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数。
(5)适当增加全振动的测量次数，以减小测量周期的误差，一般30～50次即可。
五、误差分析(1)测摆长l时只测量出细线长，没有加上小球的半径，使得所测摆长偏小，g的测量值偏小。
(2)测摆动周期时，将N次全振动误记为N＋1次全振动，使所测周期偏小，g的测量值偏大。
(3)实验时，摆角较大，使得摆动实际周期与2πlg有偏差。
学生实验：用单摆测定重力加速度
秒表的使用及读数
【实验步骤】
① 让细线的一端穿过摆球的小孔，然后打一个比小孔大的线结，制成一个 单摆.
②线的另一端用铁夹固定在铁架上（图1-5-1），把铁架台放在实验桌边， 使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂.
③用米尺量出悬线长度l线，用刻度尺测量出摆球的直径d，摆长为l=l线+d/2.
④把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（不超过5°）后释放.为了使摆球 只在一个竖直平面内摆动，释放摆球时不要发生旋转，使单摆做简谐运动. ⑤从摆球通过平衡位置开始计时，数出之后摆球通过平衡位置的次数n，用 停表记下所用的时间 t，则单摆振动的周期 T=2t/n。要使摆球在竖直平面内 摆动，选用的悬线应细、质量小，且不易伸长. ⑥根据单摆的周期公式，计算出重力加速度.
×
【实验步骤】
2、测摆长： 摆长为l=l线+d/2 (1)用米尺量出悬线长l线，准确到mm
(2)用游标卡尺测摆球直径d，准确到mm L
0
1
0
5
10
【实验步骤】
3、测周期： 把单摆从平衡位置拉开一个很小角度（＜5o）后释放 用停表测量单摆的周期。
【实验步骤】 3、测周期：
把单摆从平衡位置拉开一个很小角度（＜5o）后释放 从摆球通过平衡位置开始计时，数出之后摆球通 过最低点的次数n，用停表记下所用的时间t，则单摆 振动的周期。
【标准解答】(1)在图中的坐标系中，依据表格中记录的数据，描出各点，画出T2-l图像如图所示，
则图像的斜率大约为k=4.0,再根据 g
42l 42 重力加速度 4 2 2 可得 所以图像的斜率 k , T l， T2 g g
4 2 g 9.86 m / s 2 . k
高二物理(人教版)精品讲义—实验：用单摆测量重力加速度
高二物理（人教版）精品讲义—实验：用单摆测量重力加速度课程标准课标解读1.通过对单摆周期公式的分析，能够设计用单摆测量重力加速度的实验方案。
2.通过实验所测数据，能够用图像法进行相应处理。
3.通过练习，能够对题目中所给的实验方案进行分析与评价。
1.会用控制变量法探究单摆的周期与哪些因素有关.2.掌握单摆的周期公式，掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法．知识点01测定当地的重力加速度1．原理：测出摆长l、周期T，代入公式g＝4π2lT2，求出重力加速度g.2．器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1m左右)、米尺、游标卡尺．3．实验步骤(1)让细线穿过金属小球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．(3)用米尺量出悬线长l′(准确到mm)，用米尺和三角板(或游标卡尺)测出摆球的直径d(准确到mm)，然后计算出悬点到球心的距离l＝l′＋d2即为摆长．(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于5°，再释放小球．当小球摆动稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．(5)改变摆长，反复测量三次，算出周期T及测得的摆长l代入公式g＝4π2lT2，求出重力加速度g的值，然后求g的平均值，即为当地的重力加速度的值．4．五点注意(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1m，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm.(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小．(4)小球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆．方法是将小球拉到一定位置后由静止释放．(5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期．【即学即练1】在“探究单摆摆长与周期关系”的实验中，某同学的主要操作步骤如下：A．取一根符合实验要求的摆线，下端系一金属小球，上端固定在O点；B．在小球静止悬挂时测量出O点到小球球心的距离L；C．拉动小球使细线偏离竖直方向一个不大的角度(约5°)，然后由静止释放小球；D．用秒表记录小球完成n次全振动所用的时间t(1)用所测物理量的符号表示重力加速度的测量值，其表达式为g＝___________ _；(2)若测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是______(选填下列选项前的序号)A．测量摆长时，把摆线的长度当成了摆长B．摆线上端未牢固地固定于O点，振动中出现松动，使摆线越摆越长C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间t记为了n次全振动的时间，并由计算式T＝求得周期D．摆球的质量过大(3)用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图1所示，摆球直径为____ __cm.然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图2所示，秒表读数为___ ___s.图1图2【答案】(1)(2)C(3)2.06100.0【解析】(1)单摆的周期T＝，根据T＝2π得，g＝＝.(2)根据T＝2π得，g＝，测量摆长时，把摆线的长度当成了摆长，则摆长的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏小，故A错误．摆线上端未牢固地固定于O点，振动中出现松动，使摆线越摆越长，知摆长的测量值偏小，导致重力加速度测量值偏小，故B错误．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间t记为了n次全振动的时间，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，故C正确．摆球的质量过大，不影响重力加速度的测量，故D错误．故选C.(3)游标卡尺的主尺读数为20mm，游标读数为0.1×6mm＝0.6mm，则最终读数为20.6mm＝2.06cm.秒表的小盘读数为90s，大盘读数为10.0s，则秒表读数为100.0s.【即学即练2】用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示．(1)(多选)组装单摆时，应在下列器材中选用______(选填选项前的字母)．A．长度为1m左右的细线B．长度为30cm左右的细线C．直径为1.8cm的塑料球D．直径为1.8cm的铁球(2)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝__________(用L、n、t表示)．(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理.请计算出第3组实验中的T＝______s，g＝______m/s2.【答案】(1)AD(2)(3)2.019.76【解析】(1)为减小实验误差，应选择1m左右的摆线，故选A，为减小空气阻力影响，摆球应选质量大而体积小的金属球，故选D，因此需要的实验器材是A、D.(2)单摆的周期：T＝，由单摆周期公式：T＝2π，解得：g＝＝.(3)由表中实验数据可知，第三组实验中，周期：T＝s＝2.01s，代入数据有：g＝＝＝9.76m/s2.考法01用单摆测量重力加速度的数据处理与误差分析1、数据处理(1)公式法：根据公式g＝4π2n2lt2，将每次实验的l、n、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值．(2)图像法：作出T2l图像，由T2＝4π2lg可知T2l图线是一条过原点的直线，其斜率k＝4π2g，求出k，可得g＝4π2k.2、误差分析(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等．(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值．(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可．【典例1】在“用单摆测定重力加速度”的实验中(1)以下关于本实验的措施中正确的是________．A．摆角应尽量大些B．摆线应适当长些C．摆球应选择密度较大的实心金属小球D．用停表测量周期时，应从摆球摆至最高点时开始计时(2)用50分度的游标卡尺测量小球的直径，如图所示的读数是________mm，用停表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示，停表读数为________s.(3)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，同学甲说：因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大，乙同学说：浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变，这两个同学的说法中________．A．甲正确B．乙正确C．都错误【答案】(1)BC(2)17.50100.2(3)A【解析】(1)在摆角小于5°的情况下单摆的运动可以看做简谐运动，实验时摆角不能太大，不能超过5°，故A错误；实验中，摆线的长度应远远大于摆球的直径，适当增加摆线的长度，可以减小实验误差，故B正确；减小空气阻力的影响，选择密度较大的实心金属小球作为摆球，故C正确；用停表测量周期时，应从球到达平衡位置开始计时，这样误差小一些，故D错误．(2)由题图可看出，游标尺上的第25条刻度线与主尺上的4.2cm刻度线对齐了，则游标尺的零刻度线与此刻度线之间的距离为25×mm＝24.5mm，因4.2cm－24.5mm＝17.5mm，则游标尺的零刻度线应在17mm～18mm之间，游标尺读数为25×0.02mm＝0.50mm；则游标卡尺读数为17mm＋0.50mm＝17.50mm；由图示秒表可知，分针示数超过了半刻线，秒表示数为：60s＋40.2s＝100.2s；(3)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，物体不只受重力了，加速度也不是重力加速度，实际加速度要减小，因此振动周期变大，甲同学说法正确．题组A基础过关练一、单选题1．在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中，摆球摆动稳定后，当它到达最低点时启动秒表开始计时，并记录此后摆球每次经过最低点的次数n（n=1、2、3...），当数到n=40时刚好停表，此时秒表读数为t。
单摆法测量重力加速度
如果物体下落的初速度为零，即v0=0，则 s= gt2/2
（2-5）
可见，如果能测得物体在最初t秒内通过的距离s，就可以算出重力加速度值g。
实际中由于v0=0这一条件不易达到，往往造成小球通过第一光电门时有一初速度v0，
测得的时间值比小球实际下落时间短，使测得结果g值偏大。同时，测量s也有一定困难，
3．测量摆动周期 T
使摆球摆动幅度在允许范围内，测量摆球往返摆动 50 次所需时间 t50，重复测量 3
∑ 次，求出 T= t50 。测量时，选择摆球通过最低点时开始计时，最后计算时单位统一为 3× 50
秒。
4. 将所测数据列于下表中，并计算出摆长、周期及重力加速度。
次数 L1（cm）
摆球 直径 d (cm)
[实验目的]
1．学习使用秒表、米尺。 2．用单摆法测量重力加速度。
[教学要求]
1. 理解单摆法测量重力加速度的原理。 2. 研究单摆振动的周期与摆长、摆角的关系。 3. 学习在实验中减小不确定度的方法。
[实验器材]
单摆装置（自由落体测定仪），秒表，钢卷尺
[实验原理]
单摆是由一根不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成。在摆长 远大于球的直径，摆球质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边 （很小距离，摆角小于 5°），然后释放，摆球即在平衡位置左右作周期性的往返摆动， 如图 2-1 所示。
（2-8）
s2t1-s1t2= g (t22t1-t12t2) 2
于是得到
g
=
⎜⎜⎝⎛
s2 t2 t2
− s1 t1
− t1
⎟⎟⎠⎞
（2-9）
2
[实验步骤]
（一） 按式（2-6）测定重力加速度
实验用单摆测定重力加速度
实验：用单摆测定重力加速度
【实验目的】
用单摆测定当地重力加速度
【实验器材】
长约一米的细线、小铁球、铁架台(连铁夹)、米尺、秒表
【实验原理】
当单摆摆角很小(小于5°)时，可看成简谐振动，其固有周期为T=2
故只要测定摆长L和单摆的周期T，即可算出重力加速度g。
【实验步骤】
1．将细线的一端穿过小铁球上的小孔并打结固定好，线的另一端固定在铁架台的铁夹上，做成一个单摆。
2．用毫米刻度的米尺测定单摆的摆长L(摆球静挂时从悬点到球心间的距离)。
3．让单摆摆动(摆角小于5°)，测定50次全振动的时间t，用公式
4．用公式g=4π2L/T2算出重力加速度g。
【注意事项】
1．单摆悬铁夹应固定在铁架台上尽可能低的位置(以小球自然悬挂时离地面约1-2厘米为好)
2．小球摆动时，摆角应小于5°，且应在同一竖直面上摆动。
3．计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低位置时进行计数。
2.5 实验：用单摆测量重力加速度
7．改变悬线长度多次测量，最后求出g的平均值或作T2-L图像求斜率。
4.典型误差分析题型：
(1)针对用单摆测重力加速度的实验，若将振动次数n记
为（n+1），测算出的g值比当地的g值
偏大
；
若将摆线长当作摆长，未加摆球的半径测算出的g值比
当地的g值
偏小
。
(2)图像不过原点的误差分析
①如果漏加了摆球半径,L比标准值小和标准
图形相比, 图像左移如a
。
②如果加了摆球直径,L比标准值大和标准图
9 8 76
53
33 4 35
6
37
22 51
20
49 18 47 16
8 39
10 41 12 45 14 43
1分51.3秒=111.3s
59
0 31
28 57
14 0 13
1 2
2
26
12
3
55 24
11
4
10
5
9 8 76
53
33 4 35
6
37
22 51
20
49 18 47 16
8 39
10 41 12 45 14 43
在用单摆测量重力加速度时，若摆球用形状不规则的重物代替，不能直 接测得摆长。我们采用如下方法解决这个问题： (1)先量得从悬点到摆球顶部处的摆线长为L1，测得周期为T1； (2)改变摆长后，量得从悬点到摆球顶部处的摆线长为L2，测得周期为T2；
用单摆测定重力加速度
四、实验步骤
1．让线的一端穿过小球的小孔，
然后打一个线结，做成单摆，
如图11－6－1所示． 2．把线的上端用铁夹固定在 铁架台上，把铁架台放在实 验桌边，使铁夹伸到桌面以外，
图11－6－1
让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。
3、用米尺量出摆线长度l’，精确到毫米，用游标
4、把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度 （＜10°)然后放开小球，让小球摆动，待摆动 稳定后，测出单摆完成30--50次全振动所用的时 间t,计算出小球完成一次全振动所用时间即单摆 t 的振动周期 T ＝ N ，(N为全振动的次数) ，反复 测3次，再算出周期 T= (T1＋T2＋T3) 3
d 卡尺测出摆球的直径d,即得出小球半径为 ，计 2 算出摆长 L= l′＋d 2
T=2∏ 5、根据单摆振动周期公式 4π2l g= 2 重力加速度：
l g ，计算出当地
T
6．改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验 测出的重力加速度值，求出它们的平均值，即 为当地的重力加速度值． 7．将测得的重力加速度值与当地重力加速度值 相比较，分析产生误差的可能原因，若误差很 大，应重新做实验． 8．整理器材．
三、注意事项 1．构成单摆的条件：摆线应选择细且不易伸长的 线，摆球应选择体积小、密度大的小球，且摆角 不能超过10°。 2．固定悬点：单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹 的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线 下滑，摆长改变的现象。 3．要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥 摆，方法是：将摆球拉到一定位置后由静止释放。 4．测摆长：摆长应是悬点到球心的距离，等于摆 线长加上小球半径。
【答案】 (1)AEFI 的直径为 d.用上述物理量的符号写出测出的重 d 2 4π L ＋ n 力加速度的一般表达式为g＝ 2 (2)小于 10° 平衡位置 t2
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实验：用单摆测定重力加速度
1．单摆的周期公式是____________________________，因此可求得重力加速度g ＝ ______________，因此，测出单摆的________和________________就可求出当地的重力 加速度g .
2．摆线长l 用____________测出，小球直径d 可用________________方便测出． 3．实验时用________测出____________次全振动的时间，求出平均值，即得周期． 4．在测量重力加速度的实验中，某同学用一根细线和一均匀小球制成单摆，他已经测得 此单摆20个周期的时间t ，从悬挂点到小球顶端的线长为l ，还需要测量的物理量为 ________．将g 用测得量表示，可得g ＝________.
5．下列器材在用单摆测重力加速度的实验中用到的有( ) A ．天平 B ．米尺 C ．游标卡尺 D ．铁架台
6．在用单摆测重力加速度的实验中，为减小误差( ) A ．应选质量小的球做摆球
B ．先使摆球摆动几次，从摆球经过平衡位置时开始计时
C ．用停表测出30～50次全振动的时间，计算出平均周期
D ．在测量摆线长度时，对安装好的单摆，要用力拉紧摆线后再测量
概念规律练
知识点一 对实验原理的理解
1．在用单摆测重力加速度的实验中，单摆的摆角θ应______，从摆球经过________开始 计时，测出n 次全振动的时间为t ，用米尺测出摆线长为L ，用游标卡尺测出摆球的直径 为d .
(1)用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式为g ＝__________. (2)实验中某同学发现他测出的重力加速度值总是偏大，其原因可能是( ) A ．实验室处在高山上，离海平面太高 B ．单摆所用的摆球太重
C ．测出n 次全振动的时间为t ，误作为(n ＋1)次全振动的时间进行计算
D ．以摆球直径和摆线之和作为摆长来计算 2．用单摆测定重力加速度，根据的原理是( ) A ．由g ＝4π2l
T
2看出，T 一定时，g 与l 成正比
B ．由g ＝4π2l
T
2看出，l 一定时，g 与T 2成反比
C ．由于单摆的振动周期T 和摆长l 可用实验测定，利用g ＝4π2l
T 2可算出当地的重力加速度
D ．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比
知识点二 实验步骤
3．利用单摆测定重力加速度的实验步骤合理的顺序是：________. A ．求出一次全振动的平均时间 B ．测量摆长l
C ．把单摆固定在铁夹上，使摆球自由下垂
D ．反复做三次，算出周期的平均值
E ．让单摆偏离平衡位置一个小角度，使其由静止开始摆动
F ．用停表测量单摆完成30～50次全振动的时间
G ．把测得的周期平均值和摆长数值代入周期公式中，计算出重力加速度的值 4．一位同学用单摆测定重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤： A ．测摆长l ：用米尺量出摆线的长度
B ．测周期T ：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下停表开始计时，同时将这一次通过最低点记作第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按下停表停止计时，读出这段时间t ，算出单摆的周期T ＝t
60
C ．将所测得的l 和T 代入单摆的周期公式T ＝
2π l
g
，算出g ，将它作为实验的最 后结果写入报告中去
指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正．
知识点三 误差分析
5．某同学在做“利用用单摆测定重力加速度”实验中，先测得摆线长为101.00 cm ，摆球直径为2.00 cm ，然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5 s ．则 (1)他测得的重力加速度g ＝________m/s 2. (2)他测得的g 的值偏小，可能的原因是( ) A ．测摆线长时摆线拉得过紧
B ．摆线上端末牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C ．开始计时，停表过迟按下
D ．实验中误将49次全振动数记为50次
6．有五组同学用单摆测定重力加速度，各组的实验器材和数据如下表所示，若各组同学实验操作水平相同，那么第________组同学测定的结果最准确，若该组同学根据自己测
得的实验数据作出单摆的振动图象如图所示，那么该同学测出的重力加速度大小是____m/s 2.
组别 摆球材料 最大偏角
摆长 测全振动次
数 1 木 5° 0.40 m 10 2 铝 5° 0.50 m 20 3 铜 8° 0.60 m 30 4 铁 7° 0.08 m 40 5
铅
4°
0.80 m
50
方法技巧练
考点四 图象法处理实验数据
7．某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，测量了5种不同摆长情况下单摆的 振动周期，记录数据如下：
摆长l /m 0.500 0 0.800 0 0.900 0 1.000 0 1.200 0 周期T /s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20 T 2/s 2
2.02
3.20
3.61
4.00
4.84
(1)以摆长为横坐标，周期的平方为纵坐标，根据以上数据在图2中画出T 2－l 的图线． (2)求出此图线的斜率． (3)由此图线求出重力加速度．
8．在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g ＝4π2l T 2.
只要测出多组单摆的摆长l 和运动周期T ，作出T 2－l 图象，就可以求出当地的重力加速度．理论上T 2－l 图象是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图象如图所示． (1)造成图象不过坐标原点的原因可能是___________________________________． (2)由图象求出的重力加速度g ＝________ m/s 2.(取π2＝9.87)
1．用单摆测定重力加速度的实验中，有如下器材供选用，请把应选用的器材填在横线上
________．(填字母)
A．1 m长的粗绳B．1 m长的细线
C．半径为1 cm的小木球D．半径为1 cm的小铅球
E．时钟F．停表
G．最小刻度为mm的米尺H．最小刻度为cm的米尺
I．铁架台J．附砝码的天平
2．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，同学们采用了以下几种测量摆长的不同方法，其中不妥或错误的方法是()
A．装好单摆，用力拉紧摆线，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径
B．让单摆自然下垂，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径
C．将单摆取下并放在桌面上，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径
D．让单摆自然下垂，用米尺直接测出摆线悬点到摆球球心的距离
3．(1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请你判断是否恰当(选填“是”或“否”)．
①把单摆从平衡位置拉开约5°释放：________；
②在摆球经过最低点时启动停表计时：________；
③用停表记录摆球一次全振动的时间作为周期：________.
(2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见下表．用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图4所示，该球的直径为________mm.根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大.
数据组
摆长/mm摆球质量/g周期/s
编号
1999.332.2 2.0
2999.316.5 2.0
3799.232.2 1.8
4799.216.5 1.8
5501.132.2 1.4
6501.116.5 1.4
4.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g ＝______，如果已知摆球直径为2.0 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是______．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是______s．单摆的振动周期是______s.
5．某同学做实验时，一时找不到摆球，就用重锤代替摆球，分别用不同的摆长做了两次实验，测摆长时只测了摆线长，其长度分别为l1和l2，并测出相应周期为T1和T2，用上述测量的数据正确计算出g值，那么他计算重力加速度的表达式应为g＝________.
6．下面是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据
摆长l/m0.50.60.8 1.1
周期T2/s2 2.2 2.5 3.2 4.5
(1)利用上述数据在坐标图(图)中描出l－T2图象．
(2)利用图象，取T2＝0.1×4π2s2＝3.95 s2，求重力加速度．
7．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.
(1)现有如下测量工具：A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺．本实验所需的测量工具有______．
(2)如果实验中所得到的T2－L关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________．
(3)由图象可知，小筒的深度h＝________ m；当地g＝________ m/s2.。