2.4《圆周角(3)》教学课件
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《圆周角3》课件
00
∴ AB是直径
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也
相等。
A B
∵ ∠CAD=∠EBF ∴ CD=EF C F
） ）
E O
F
D
课前练习：
1. 如图, △ABC是等边三角形，点D 是⊙O上一点，则∠BDC = 60° ；
图3 A D
O B C
2.如图，在⊙O中，AB是⊙O的 直径，∠D＝20°，则∠AOC的 140° 度数为_____
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
A
1、在⊙O中，∠CBD=30°，
∠BDC=20°,求∠A。 B C O D
3.如图，AB和CD都是⊙0的直径， ∠AOC=60°，则∠C的度数 是 30° 。
C
A
O D
B
4、如图，AB是⊙O的直径， 点C在圆上,∠A=20°,则 C 70 度 ∠B=
Ａ Ｏ B
新课讲解：
若一个多边形各顶点都在同一 个圆上，那么，这个多边形叫做 圆内接多边形，这个圆叫做这个 多边形的外接圆。
A
100
O B C
D
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 45° ∠A=_____,∠C=_____,
135°
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个 选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
圆周角（3）
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半．
老师提示: 圆周角定理是承 上启下的知识点,要予 以重视.
∴ AB是直径
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也
相等。
A B
∵ ∠CAD=∠EBF ∴ CD=EF C F
） ）
E O
F
D
课前练习：
1. 如图, △ABC是等边三角形，点D 是⊙O上一点，则∠BDC = 60° ；
图3 A D
O B C
2.如图，在⊙O中，AB是⊙O的 直径，∠D＝20°，则∠AOC的 140° 度数为_____
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
A
1、在⊙O中，∠CBD=30°，
∠BDC=20°,求∠A。 B C O D
3.如图，AB和CD都是⊙0的直径， ∠AOC=60°，则∠C的度数 是 30° 。
C
A
O D
B
4、如图，AB是⊙O的直径， 点C在圆上,∠A=20°,则 C 70 度 ∠B=
Ａ Ｏ B
新课讲解：
若一个多边形各顶点都在同一 个圆上，那么，这个多边形叫做 圆内接多边形，这个圆叫做这个 多边形的外接圆。
A
100
O B C
D
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 45° ∠A=_____,∠C=_____,
135°
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个 选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
圆周角（3）
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半．
老师提示: 圆周角定理是承 上启下的知识点,要予 以重视.
2第4课时圆周角PPT课件(人教版)
• 课后作业：“学生用书”的“课后作业”部 分．
第4课时 圆周角
学习目标
• 1. 学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆 周角定理及推论.
• 2. 掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能 用分类讨论的思想证明圆周角定理.
• 3. 会用圆周角定理及推论进行证明和计算.
一、概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D
【针对训练】
(1)(3)(4)
120
25
C 60°
探究点二 圆周角定理及其推论的 应用
针对训练】
1.两个概念：圆周角，圆内接四边形． 2.圆周角定理及其推论． 3.圆内接四边形的性质． 4.分类讨论的数学思想方法．
C C
C
C 40
课后作业
• 上交作业： 教科书第89页习题24.1第4，5，6题 ．
A
试找出图中的圆周角 C
O·
E
BB
探究点一 圆周角定理及其推论的推导 1.圆周角定理的推导
D A
C
O·
E
B
2.
思考：
半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角 所对的弦是什么？
在半径不等的圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的 弧相等吗？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧 一定相等吗？为什么？圆内接四边形的两组对角分别有 怎样的关系？
第4课时 圆周角
学习目标
• 1. 学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆 周角定理及推论.
• 2. 掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能 用分类讨论的思想证明圆周角定理.
• 3. 会用圆周角定理及推论进行证明和计算.
一、概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D
【针对训练】
(1)(3)(4)
120
25
C 60°
探究点二 圆周角定理及其推论的 应用
针对训练】
1.两个概念：圆周角，圆内接四边形． 2.圆周角定理及其推论． 3.圆内接四边形的性质． 4.分类讨论的数学思想方法．
C C
C
C 40
课后作业
• 上交作业： 教科书第89页习题24.1第4，5，6题 ．
A
试找出图中的圆周角 C
O·
E
BB
探究点一 圆周角定理及其推论的推导 1.圆周角定理的推导
D A
C
O·
E
B
2.
思考：
半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角 所对的弦是什么？
在半径不等的圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的 弧相等吗？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧 一定相等吗？为什么？圆内接四边形的两组对角分别有 怎样的关系？
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
圆周角和圆心角的关系课件
D
O B
A C
知识点四：
如图，BC是直径，它所对的 圆周角有什么特点？如何证明？
推论：直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径
四、随堂练习
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
知识点一
1、顶点在圆心的角叫圆心角,
2、顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
1、下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B O·
A
C （1） √ A
O·
B
C
顶点不在圆上
B
C
O·
A
A
C O·
B
顶点（不2）在圆上 边（AC3）没有和圆相交
B
CC A O·
·O
（5）√
A B
（6）√
知识点二 圆周角和圆心角的关系
1.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时, 圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系.
∵∠AOB是△ACO的外角， ∴∠AOB=∠C+∠A. ∵OA=OC， ∴∠A=∠C.
1
∴∠C= 2 ∠AOB.
A B
●O
C
2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周
角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样?
∴∠1+∠2+ ∠5+ ∠6=？ ∠3+∠4+ ∠7+ ∠8=？
∠1+∠2+ ∠5+ ∠6=180° ∠3+∠4+ ∠7+ ∠8=180°
即：∠BAD+∠BCD=180, ∠ABC+∠ADC=180,
O B
A C
知识点四：
如图，BC是直径，它所对的 圆周角有什么特点？如何证明？
推论：直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径
四、随堂练习
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
知识点一
1、顶点在圆心的角叫圆心角,
2、顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
1、下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B O·
A
C （1） √ A
O·
B
C
顶点不在圆上
B
C
O·
A
A
C O·
B
顶点（不2）在圆上 边（AC3）没有和圆相交
B
CC A O·
·O
（5）√
A B
（6）√
知识点二 圆周角和圆心角的关系
1.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时, 圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系.
∵∠AOB是△ACO的外角， ∴∠AOB=∠C+∠A. ∵OA=OC， ∴∠A=∠C.
1
∴∠C= 2 ∠AOB.
A B
●O
C
2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周
角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样?
∴∠1+∠2+ ∠5+ ∠6=？ ∠3+∠4+ ∠7+ ∠8=？
∠1+∠2+ ∠5+ ∠6=180° ∠3+∠4+ ∠7+ ∠8=180°
即：∠BAD+∠BCD=180, ∠ABC+∠ADC=180,
人教版九年级数学上册《圆周角》ppt课件
相等的圆周角所对的弧也相等。
如图：则有
∠ACB= ∠ADB=
1 12
AOB AOB
； ；
∠ ACB =∠2 ADB.
图 2 3 .1 .1 0
思考1
在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，它们所对弧一定相 等吗？为什么？
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧相等
思考2
如图23.1.9， 线段AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，
的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相 等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
2
D
8 7
3
4
B
6 5
C
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：同圆圆周或角等相圆等中 ，同弧或等弧所对的
等于该 弧所对的圆心角的一半；
(3)二个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.
24.14圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和
圆相交的角叫做圆周角．
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
证明你的猜想:
（1）圆心在∠BAC的一边上.
A 由于OA=OC
O
因此∠C=∠BAC
而∠BOC=∠BAC+∠C
B
2.4 圆周角 课件 苏科版数学九年级上册(30张PPT)
知识点 1 圆周角
感悟新知
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角叫做圆周角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特别解读 圆周角必须满足两个条件： 1. 顶点在圆上；2. 两边都和圆相交.
2. 圆心角与圆周角的区别与联系
感悟新知
名称 关系
圆心角
圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
区别
在同圆中，一条弧所 对的圆心角只有唯一
一个
特别提醒
感悟新知
1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四 边形的对角互补”，可以转化为求其内接四边形的 对角的度数.
2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弧 所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等 的弧所对的圆周角相等或互补.
结构导图
课堂小结
圆周角
概念
圆周角定理的推论 圆周角定理 圆内接四边形的性质
感悟新知
2. 一条弦(非直径)所对的圆周角有两种类型，一类是劣弧所 对的圆周角，是一个锐角；另一类是优弧所对的圆周角， 是一个钝角. 如图2.4-4，弦AB所对的圆周角是∠ACB与 ∠ADB，它们分别是A⌒B所对的圆周角和 A⌒CB所对的圆周角.
特别提醒
感悟新知
1. 一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等，所以也可以说：圆周角的度数等于它所对 的弧的度数的一半. 这两种表述是一致的，解题 时，也可以直接作为定理加以应用.
∴ OB＝12BC．∵ OB＝2， ∴ BC＝2OB＝4．∴⊙A的半径为2．
方法点拨
感悟新知
“90°的圆周角所对的弦是直径”是判定直 径的常用方法．特别是在平面直角坐标系中， 当圆经过坐标原点O 时，连接圆与两坐标轴的 交点，得到的弦是直径．
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
《圆周角》数学教学PPT课件(3篇)
感谢各位的聆听指导
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
∴∠3＝2∠1 .
即∠ = ∠。
证明二：
OA=OC=>∠1＝∠2
∠3＝∠1 ＋∠2
∠ =
=>
∠。
符号“=>”读作“推出”，
“A =>B”表示由A条件推出结论B.
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景二（证明∠BAC= ∠）:
1 2
3
5
4
6
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
78
B 1
答案：∠1=∠4 ， ∠2=∠8 ， 2
。
∠3=∠6 ， ∠5=∠7
2、如上题图，
AB
BC
若∠3=∠7，则____=____.
C
3
4
D
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角 ，
90°的圆周角所对的弦是 直径 。
C2
C1
C3
如图，
∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
90
0
A
O
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
情景引用
将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？
C
3
5
D
4
6
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
《圆周角》_PPT-优秀版
同一条弧所对的圆周角， A
B
称为同弧所对的圆周角。
O
C
E
圆心与圆周角有3种位置关系： D （1）圆心在圆周角的一边上 （2）圆心在圆周角的内部 （3）圆心在圆周角的外部
【获奖课件ppt】《圆周角》_ppt-优 秀版1- 课件分 析下载
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（二）有效探究——悟新知
探定义
判断下列图形中的角是不是圆周角，并 说明理由：
××× √×
圆周角的条件：（1）顶点在圆上 （2）两边都与圆相交
【获奖课件ppt】《圆周角》_ppt-优 秀版1- 课件分 析下载
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（二）有效探究——悟新知
探定义
探定理——分类
2、小组合作探究
（1）每个人在⊙O上任取一条弧AB，画出弧
AB所对的一个圆周角和圆心角，测量它们的
度数，你得到什么结论？ （2）请大家根据圆心与圆周角的位置关系，把
小组内画出的图形进行分类，你能分为几类？
O
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（二）有效探究——悟新知
第二种C情况：
31
O
42
A
B
D
作直径CD，利用（１）
的结果，有
∠1= 1 ∠2,∠3= 1∠4
2
12
∴ ∠1 +∠3= (∠2+∠4)
2
即:∠ACB = 1 ∠AOB
圆周角课件(苏科版)
20°
试一试：
2.如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB， 点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=_______.
26°
例1.如图△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C,点
D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC,DE交直线
AB于点E，连接BD.
(1)求证：∠ADB=∠E
A
(2)求证：AD2=AC·AE
2.4圆周角（3）
定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
直径 （或半圆） 所对的圆周角是直角 . 90 °的圆周角所对的弦是直径 .
试一试：
1.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是半圆的 直径，若∠BAC=20°，则∠ADC等于______.
B E
C D
如图△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C,点D在弧
BC上运动，过点D作DE∥BC,DE交直线AB于点
E，连接BD.
(3)当点D运动到什么位置时，△DBEA ∽△ADE,请 探索和证明
B E
C D
例2、如图，已知半圆O的直径AB，将—个 三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板 绕着点O转动时，三角板的两条直角边与半圆 圆周分别交于C、D两点，连结AD、BC交于 点E．
(1)求证：△ACE∽△BDE； (2)求证：BD = DE恒成立；
例3、如图△ABC内接于⊙O,弦AB的垂直平分线OD与 AB、BC分别相交于M、N,与AC的延长线相交于P,与 ⊙O相交于D,
求证（1）ON·PN=BN·CN;(2)OB2=ON·OP
A D
பைடு நூலகம்
C
O
●
N
P
B
例4、如图所示,已知F是以O为圆心,BC为直径的半
试一试：
2.如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB， 点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=_______.
26°
例1.如图△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C,点
D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC,DE交直线
AB于点E，连接BD.
(1)求证：∠ADB=∠E
A
(2)求证：AD2=AC·AE
2.4圆周角（3）
定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
直径 （或半圆） 所对的圆周角是直角 . 90 °的圆周角所对的弦是直径 .
试一试：
1.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是半圆的 直径，若∠BAC=20°，则∠ADC等于______.
B E
C D
如图△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C,点D在弧
BC上运动，过点D作DE∥BC,DE交直线AB于点
E，连接BD.
(3)当点D运动到什么位置时，△DBEA ∽△ADE,请 探索和证明
B E
C D
例2、如图，已知半圆O的直径AB，将—个 三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板 绕着点O转动时，三角板的两条直角边与半圆 圆周分别交于C、D两点，连结AD、BC交于 点E．
(1)求证：△ACE∽△BDE； (2)求证：BD = DE恒成立；
例3、如图△ABC内接于⊙O,弦AB的垂直平分线OD与 AB、BC分别相交于M、N,与AC的延长线相交于P,与 ⊙O相交于D,
求证（1）ON·PN=BN·CN;(2)OB2=ON·OP
A D
பைடு நூலகம்
C
O
●
N
P
B
例4、如图所示,已知F是以O为圆心,BC为直径的半
3.3《圆周角(3)》教学课件
BC BE CE 2 3 2.
随堂练习
1.如图，圆内接四边形ABCD中，AB=AD， 120． ° ∠BAD=60°，则∠ACD度数是______
2.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则
∠ACB = _______。 130 °
3.如图，已知∠BCE是圆内接四边形ABCD的一个外 角．求证：∠A=∠BCE.
3.3 圆周角（3）
目 Contents 录
03 04
01 02
学习目标
知识回顾
新知探究
例题讲解
05
随堂练习
学习目标
知道圆内接多边形和多边形的外接圆等概念，
掌握圆周角定理的推论4“圆内接四边形的对角互补”
及简单证明；
知识回顾
圆周角定理的两个推论：
推论2 同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等
圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论3 直径所对的圆周角是90°；90°的圆周角 所对的弦是直径.
新知探究
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多 边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边 形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的 外接圆.
思考
如图，∠A和∠C是四边形ABCD的一组对角，也都是 ⊙O的圆周角，它们之间有什么关系？ （1）∠A和∠C所对的弧： （2）∠A和∠C所对弧的关系：（3）∠A和∠C的数量关系：来自（4）∠B和∠D的数量关系呢？
推论4 圆内接四边形对角互补.
例题讲解
例4 如图，四边形ABCD内接于⊙O，已 知∠BOD=140°，求∠C的度数. 解 ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°.
∵∠BOD=140°，
1 1 ∴∠A= ∠BOD= ×140°=70°. 2 2
最新圆周角(优秀课件)精品ppt课件
1.第一种情况：
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
即∠A= 1 ∠BOC 2
A O
B
C
2.第二种情况：
A
证明：由第1种情况得
O
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
B
C
D
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。PΒιβλιοθήκη PPP 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
• 分别测量圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ 1 ∠ COD－ 1 ∠BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
归纳总结
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的 C 圆心角的一半．
D A
O·
B E
圆周角(优秀课件)
这节课的内容有两个
1 掌握圆周角的定义
2 探究并证明圆周角定 理及推论
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
即∠A= 1 ∠BOC 2
A O
B
C
2.第二种情况：
A
证明：由第1种情况得
O
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
B
C
D
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。PΒιβλιοθήκη PPP 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
• 分别测量圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ 1 ∠ COD－ 1 ∠BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
归纳总结
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的 C 圆心角的一半．
D A
O·
B E
圆周角(优秀课件)
这节课的内容有两个
1 掌握圆周角的定义
2 探究并证明圆周角定 理及推论
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智星课堂2017年—数学
2.4
圆周角（2）
智星课堂2017年—数学
课前作业
如图，P是△ABC的外接圆上的一点，
∠APC＝∠CPB＝60°．
求证：△ABC是等边三角形．
智星课堂2017年—数学
探究新知
有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板， 请你找出它的圆心．
智星课堂2017年—数学
问题1
如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上
课堂小结
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径． 圆的内接四边形的对角互补．
智星课堂2017年—数学
课后作业
1．已知：图中，四边形ABCD为⊙O的
内接四边形，E为AB延长线上一点，且
∠AOC＝80 °，则 ∠D＝ ，∠CBE
＝
．
例1
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
AB＝AD，∠C＝110°，若点E在AD上，求
∠E的度数．
∠E＝125°
智星课堂2017年—数学
例2
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外
角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？
同一个圆中相等的弦所对的 圆周角相等
智星课堂2017年—数学
不在同一条直线上的三点确定一个圆．
智星课堂2017年—数学
2．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？
不一定
智星课堂2017年—数学
探究归纳
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个
四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的
外接圆．
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆．
用于判断某 条弦是否是 直径
智星课堂2017年—数学 例1
例题探究
如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交
于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝500°
∠CEB ＝ ∠ACD+ ∠CAB ＝60°+ 40
A
E O
50°
B
＝100°
D
智星课堂2017年—数学
探究新知
1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？
任一点，你能确定∠BAC的度数吗? A B
O
图1
C
∠BAC＝90º
智星课堂2017年—数学 问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90º，弦BC经
A O
过圆心O吗？为什么？
B
●
C
图2
智星课堂2017年—数学
探究归纳
用于判断某个 圆周角是否是 直角
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径．
智星课堂2017年—数学
继续探究
1．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC 与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？
智星课堂2017年—数学
2．请你归纳总结上面的发现，你能否将结论
表述出来？
定理：圆的内接四边形的对角互补．
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例题探究
2.4
圆周角（2）
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课前作业
如图，P是△ABC的外接圆上的一点，
∠APC＝∠CPB＝60°．
求证：△ABC是等边三角形．
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探究新知
有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板， 请你找出它的圆心．
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问题1
如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上
课堂小结
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径． 圆的内接四边形的对角互补．
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课后作业
1．已知：图中，四边形ABCD为⊙O的
内接四边形，E为AB延长线上一点，且
∠AOC＝80 °，则 ∠D＝ ，∠CBE
＝
．
例1
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
AB＝AD，∠C＝110°，若点E在AD上，求
∠E的度数．
∠E＝125°
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例2
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外
角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？
同一个圆中相等的弦所对的 圆周角相等
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不在同一条直线上的三点确定一个圆．
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2．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？
不一定
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探究归纳
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个
四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的
外接圆．
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆．
用于判断某 条弦是否是 直径
智星课堂2017年—数学 例1
例题探究
如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交
于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝500°
∠CEB ＝ ∠ACD+ ∠CAB ＝60°+ 40
A
E O
50°
B
＝100°
D
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探究新知
1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？
任一点，你能确定∠BAC的度数吗? A B
O
图1
C
∠BAC＝90º
智星课堂2017年—数学 问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90º，弦BC经
A O
过圆心O吗？为什么？
B
●
C
图2
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探究归纳
用于判断某个 圆周角是否是 直角
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径．
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继续探究
1．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC 与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？
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2．请你归纳总结上面的发现，你能否将结论
表述出来？
定理：圆的内接四边形的对角互补．
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例题探究