向量的数乘及共线定理练习题

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6.2.3向量的数乘运算习题课件—2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)

知识对点练
课时综合练
2．已知向量 a，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 a，
b 共线的是( )
①2a－3b＝4e 且 a＋2b＝－2e；
②存在相异实数 λ，μ，使 λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数 x，y 满足 x＋y＝0)；
→
→
④已知梯形 ABCD，其中AB＝a，CD＝b.
知识对点练
课时综合练
课时易错点
易错点用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误
→
→
10．在△ABC 中，点 D 为 BC 的三等分点，设向量 a＝AB，b＝AC，用
→ 向量 a，b 表示AD为________．
易错分析本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有B→D＝13
B→C或B→D＝23B→C.解题时条件转化要全面准确．答案 13a＋23b 或23a＋13b
知识对点练
课时综合练
正解因为 D 为 BC 的三等分点，
当 BD＝13BC 时，如图 1，
所以A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C
＝A→B＋13(A→C－A→B)
＝23A→B＋13A→C＝23a＋13b.
知识对点练
课时综合练
当 BD＝23BC 时，如图 2，
所以A→D＝A→B＋B→D
＝A→B＋23(A→C－A→B)
联立得方程组3mm－＋32nn＝＝ba，，
m＝131a＋121b，解得n＝111a－131b.
知识对点练
课时综合练
10. 如图，平行四边形 OACB 中，BD＝13BC，OD 与 BA 相交于点 E.求证：BE＝14BA.
知识对点练
课时综合练

6.2.3 向量的数乘运算 (精讲)(原卷版)

6.2.3向量的数乘运算 (精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1: 几何图形中用已知向量表示未知向量题型2：向量共线的判定题型3：利用向量共线证明线线平行题型4：利用向量共线定理判断三点共线题型5：利用向量共线定理求参数三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：向量的数乘与向量a 的积是一个向量a λ.它的长度与方向规定如下： |||||a a λλ=0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当a λ的方向与a 的方向相反；当0时，0a λ=.）向量数乘的几何意义a λ：①从代数角度看，是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量．a λ的条件是0a =0．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0)λ>或相反方向上伸长了λ倍；当时，意味着表示向量a 的有向线段在原方向(010)λ<<上缩短了λ倍．实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如a λ+，a λ-都无意义．实数与向量的积满足下面的运算律：设是实数，a 、b 是向量，则：)a a μλμ=()a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ=++ ：向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量a ,b ,以及任意实数λ,1μ,2μ,1212)a b a b μλμλμ±=±.：向量共线定理）内容：向量b 与非零向量a 共线，则存在唯一一个实数，b a λ=. ）向量共线定理的注意问题：①定理的运用过程中要特别注意0a ≠．特别地，若0a b ==，实数λ仍存在，但不唯一．②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数λ沟通了两个向量b 与a 的关系．③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数题型．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方形满足2CF FB =，那么EF =1123AB AD - 1132AB AD +1223AB AD -1142AB AD + 2．（2022春·黑龙江哈尔滨·在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，为BC 的中点，则MN 等于（）1144a b +B ．1122a b -+．12a b +D ．3344a b -+．（多选）（2022·高一单元测试）在等边三角形ABC 中，,2,BD DC EC AE AD →→→→==交于点F ,则下列结论中正确的是（）1()2AB AC →→=+2133BC BA →→→=+12AF AD →→=D ．13BC →高一假期作业）如图所示，在ABC 中，点则DE =（）1136BA BC - 1163BA BC - 5163BA BC -5163BA BC +．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）在ABC 中，设AB a =，AC b =，又2AD DC =，=BE ED ，则AE =（．1123a b +B ．1133a b +1126a b +D 2133a b +3．（2022秋·广西百色·高一统考期末）在OAB 中，P 为AB 上的一点，且2BP PA =，OP xOA yOB =+，则（）A ．23x =，13y =B ．13x =，23y =C ．34x =，14y = D ．x =例题1．（2022春·甘肃定西·高二统考开学考试）对于非零向量a 、b ，“0a b +=”是“//a b ”的（．充分不必要条件．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例题2．（2022·河南·校联考三模）已知a 、b 、c 均为非零向量，且2a b =，3b c =-，则（）．a 与c 垂直．b 与c 同向C ．a 与c 反向．a 与b 反向同类题型演练高一课时练习）已知12a e e =+，1222b e e =--，求证：a 与b 共线．：利用向量共线证明线线平行典型例题例题1．（2022·高一课时练习）已知在四边形中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形在ABC 中，已知11,33AM AB AN AC ==.用平面向量证明题型4：利用向量共线定理判断三点共线典型例题例题1．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则（）A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线例题2．（2022春·江西南昌·高二统考期末）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）A ．、、ABC B ．B CD 、、 C ．A B D 、、 D ．A C D 、、例题3．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）已知a ，b 为不共线的向量，且5AB a b =+，28BC a b =-+，42CD a b =+则（）A ．,,ABC 共线B ．,,A B D 共线C ．,,A CD 共线D ．,,B C D 共线同类题型演练1．（2022·高一课时练习）已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+，则下列结论中成立的是（）A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，D ，C 三点共线D ．D ，B ，C 三点共线2．（2022·高一课时练习）已知5,28,210AB a b BC a b BD a b =+=-+=+，则共线的三点为（） A ．,,B C DB ．,,A B CC ．,,A C DD ．,,A B D题型5：利用向量共线定理求参数典型例题·全国·高三专题练习）已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则．22例题2．（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）已知1e ，2e 是平面内的一组基底，1232OA e e =+，124OB e ke =+，1254OC e e -=，若A 三点共线，则实数A ．1- B ．0 C ．1 例题3．（2022·上海·高二专题练习）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke BC e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，的值为__________例题4．（2022秋·江西宜春·高一奉新县第一中学校考阶段练习）设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a --共线，则λ＝_______同类题型演练．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+，()21b d a λ=+-，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为（）．1 B ．12-．1或12-D ．1-或2-．（2022·高一单元测试）已知a ，b 是不共线的向量，,32OA a b OB a b λμ=+=-，23OC a b =+,λμ满足（ 5μ=+ ．135μλ=-3．（2022秋·陕西咸阳高一统考期中）已知向量a 与b 不共线，且()1AB a mb m =+≠，AC na b =+．若A 、，n 满足的条件为 ) A ．1m n +=1mn =D ．1mn =-4．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设,a b 是两个不共线的向量，若向量2ka b +与8a kb +的方向相同，则________.5．（2022春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知向量a 与b 不共线，且3a b λ-与2a b λ-共线，则λ=___________．．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量2ka b +与8a kb +的方向相反，则k ＝________.1．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）在ABC 中，点2AM MB =，若3CM CA CB λμ=+，则μA ．3 B C ．．（2022·河南·校联考模拟预测）已知ABC 的边在ABC 所在平面内，且2BD BE BA →→→=-，若AB →=，则C ．D ．23．（2022·云南昆明统考模拟预测）梯形ABCD 中，2AB DC =，设AB m =，AD n =，则AC BD +=（）A ．122m n -+B ．122m n -C ．2m n -2m n -+4．（2022·四川绵阳·统考一模）为ABC 所在平面内两点，AD DC =，2CB BE =，则DE =（）．32AB AC -+B ．32AB AC -．32AB AC -D ．32AB AC -+．（2022·湖南·校联考模拟预测）设E 、F 分别为ABC 三边则23(DA EB FC ++= ．12AD 32AD12AC 32AC ．（2022·河南·校联考二模）正方形，F 分别是CD ，的中点，那么EF = ．1122AB AD + 1122AB AD - 1122AB AD + 1122AB AD - 2022·内蒙古兴安盟·乌兰浩特一中校考模拟预测）在△ABC 中，AD AD 的中点，则EB =3144AB AC - 1344AB AC - 3144+AB AC1344+AB AC。

2022秋新教材高中数学课时跟踪检测四向量的数乘运算新人教A版必修第二册

向量的数乘运算层级(一)　“四基”落实练1．(多选)下列各式计算正确的是( ) A．(－7)×6a＝－42aB．a－2b＋2(a＋b)＝3aC．a＋b－(a＋b)＝0D．(a－b)－3(a＋b)＝－2a－4b解析：选ABD　根据向量数乘的运算律可验证A、B正确；C错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数；D正确，(a－b)－3(a＋b)＝a－b－3a－3b＝－2a－4b.2．点C在直线AB上，且AC＝3AB，则BC等于 ( ) A．－2AB B.ABC．－AB D．2AB解析：选D　如图，AC＝3AB，所以BC＝2AB.3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则( ) A．AO＝2OD B．AO＝ODC．AO＝3OD D．2AO＝OD解析：选B　因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量m a－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m 的值为 ( ) A．－1或3 B.C．－1或4 D．3或4解析：选A　因为向量m a－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．x a＋y b＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b解析：选AB　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa ＝μb，又λ≠μ，故B可以；当x＝y＝0时，有x a＋y b＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．故选A、B.6．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋2b，AC＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________.解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使AB＝k AC.因为AB＝λa＋2b，AC ＝a＋(λ－1)b，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．因为a与b不共线，所以解得λ＝2或λ＝－1.答案：－1或27．已知点C在线段AB上，且＝，则AC＝________AB，BC＝________AB.解析：因为C在线段AB上，且＝，所以AC与AB方向相同，BC与AB方向相反，且＝，＝，所以AC＝AB，BC＝－AB.答案：　－8．化简：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．解：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.层级(二)　能力提升练1.如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，DC＝3BD，AE＝ 2EC，则AB＝( )A．－a＋b B.a－bC.a＋b D．－a＋b解析：选D　由平面向量的三角形法则，可知DE＝DC＋CE＝BC＋＝(AC－AB)－AC＝－AB＋AC＝－a＋b.故选D. 2．设a，b是两个不共线的向量．若向量k a＋2b与8a＋k b的方向相反，则k＝________.解析：因为向量k a＋2b与8a＋k b的方向相反，所以k a＋2b＝λ(8a＋k b)⇒⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ<0⇒k<0)．答案：－43.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若AC＝m AB＋n AD (m，n∈R)，则m－n＝________.解析：由题意得BC＝3DC，则AC＝AB＋BC＝AB＋3DC＝AB＋3(AC－AD)＝AB＋3AC－3AD，AC＝－AB＋AD，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.答案：－24．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB和AD.解：如图，设AB＝a，AD＝b.∵M，N分别是DC，BC的中点，∴BN＝b，DM―→＝a.∵在△ADM和△ABN中，①×2－②，得b＝(2c－d)，②×2－①，得a＝(2d－c)．∴AB＝d－c，AD＝c－d.5.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)如图，延长AD到G，使AG＝2AD，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，BF＝AF －AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)知，BE＝BF，∴BE，BF共线．又∵BE，BF有公共点B，∴B，E，F三点共线．6．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD ＝－5e－3f.(1)用e，f表示AD；(2)求证：四边形ABCD为梯形．解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的长度为BC的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．层级(三)　素养培优练1.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则t＝λ－μ的最大值是_________．解析：设AE＝k AD,0≤k≤1，则AE＝k(AC＋2CB)＝k[AC＋2(AB－AC)]＝2k AB－k AC.∵AE＝λAB＋μAC，且AB与AC不共线，∴∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ的最大值是3.答案：32.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若DB＝x DC＋y DA，求x，y的值．解：如图，先过B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，再过点A作AF⊥BE交BE于点F，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，则CE＝BE，设CE＝BE＝mCD，则AF＝(m＋1)CD，BF＝(m－1)DA，AB＝2AD.在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，所以[(m＋1)CD]2＋[(m－1)DA]2＝(2 DA)2，解得m＝，故DB＝DC＋CE＋EB＝DC＋ DC＋DA＝(1＋)DC＋DA，故x＝1＋，y＝.。

北师大版高中数学必修二同步练习题第2章向量的数乘运算向量的数乘与向量共线的关系(含答案)

3.1 向量的数乘运算3.2 向量的数乘与向量共线的关系必备知识基础练1.已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-47AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =k CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,则k=( ) A.-43 B.34C.43D.-342.已知△ABC 的重心为O ,则向量BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ 3.(多选)已知实数m ,n 和向量a ,b ,下列说法中正确的是( ) A.m (a -b )=m a -m b B.(m-n )a =m a -n a C.若m a =m b ,则a =b D.若m a =n a (a ≠0),则m=n4.下列各组向量中,一定能推出a ∥b 的是( ) ①a =-3e ,b =2e ; ②a =e 1-e 2,b =e 1+e 22-e 1;③a =e 1-e 2,b =e 1+e 2+e 1+e 22.A.①B.①②C.②③D.①②③5.在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则t 的值为( )A.13 B.23C.12D.536.13(2a -3b )-3(a +b )= .7.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD=12AB ,BE=23BC.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ,b 表示)8.在△ABC 中,4OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 关键能力提升练9.如图,已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,过点O 的直线与AB ,AD 所在直线分别交于点M ,N ,满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),若mn=12,则mn 的值为( )A.23 B.45C.67D.8910.(多选)若点D ,E ,F 分别为△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则下列结论正确的是( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a -bB.BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +12bC.CF⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a +12bD.EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 11.已知a ,b 是不共线的向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +2b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +(λ-1)b ,且A ,B ,C 三点共线,则实数λ的值为( ) A.-1 B.2C.-2或1D.-1或212.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4a -b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a -3b ,则四边形ABCD 的形状是 .13.已知两个非零向量a ,b 不共线.(1)若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +8b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a -b ),求证:A ,B ,D 三点共线; (2)求实数k 使k a +b 与2a +k b 共线.学科素养创新练14.过△ABC 的重心G 任作一直线分别交AB ,AC 于点D ,E ,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且xy ≠0,试求1x +1y 的值. 答案1.B CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-47AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-47(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-47AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −47CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =47CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +47BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以37CA⃗⃗⃗⃗⃗ =47BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,故k=34.故选B . 2.C 设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点,由于O 是三角形ABC 的重心,所以BO⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C .3.ABD 根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;当m=0时,m a =m b =0,但a 与b 不一定相等,故C 错误;由m a =n a ,得(m-n )a =0,因为a ≠0,所以m=n ,故D 正确.故选ABD .4.B ①中,a =-32b ,所以a ∥b ; ②中,b =e 1+e 22-e 1=e 2-e 12=-12a ,所以a ∥b ;③中,b =3e 1+3e 22=32(e 1+e 2),若e 1与e 2共线,则a 与b 共线,若e 1与e 2不共线,则a 与b 不共线. 故选B .5.A ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-t )CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴t=13.6.-73a -4b 13(2a -3b )-3(a +b )=23a -b -3a -3b =-73a -4b .7.-16a +23b DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-16a +23b . 8.4 由题意得3(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如简图,所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PA⃗⃗⃗⃗⃗ ,即λ=4.9.D 因为AO⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0), 故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为O ,M ,N 三点共线,所以m 2+12n=1,即m+1n=2.由{mn =12,m +1n =2,解得{m =23,n =34.m n =23×43=89.故选D .10.ABC 如图,在△ABC 中,AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b -12a ,故A 正确;BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +12b ,故B 正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b -a ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +12×(-b -a )=-12a +12b ,故C 正确;EF⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a ,故D 不正确.故选ABC . 11.D 因为A ,B ,C 三点共线, 所以存在唯一一个实数k 使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +2b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +(λ-1)b , 所以λa +2b =k [a +(λ-1)b ]. 因为a 与b 不共线,所以{λ=k ,2=k (λ-1),解得λ=2或λ=-1.12.梯形因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +2b )+(-4a -b )+(-5a -3b )=-8a -2b =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ∥BC ,且AD=2BC.所以四边形ABCD 是梯形.13.(1)证明因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +8b +3a -3b =5a +5b =5(a +b )=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,且有公共点B ,所以A ,B ,D 三点共线.(2)解因为k a +b 与2a +k b 共线, 所以存在实数λ,使k a +b =λ(2a +k b ). 所以(k-2λ)a +(1-λk )b =0, 所以{k -2λ=0,1-λk =0,解得k=±√2.14.解如图,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2312(a+b )=13(a+b ).∴GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -13)a -13b , ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a -y b . ∵GD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,∴存在实数λ,使GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λE D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x -13)a -13b =x λa -y λb , ∴{x -13=λx ,13=λy ,。

向量的数乘运算题型练习-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第六章 6.2.3向量的数乘运算【基础篇】题型1 向量的数乘的定义与运算法则 1．已知λ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |>02．若a ，b 为已知向量，且 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.题型2 向量的数乘的应用3．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AG →＝2GD →，则用向量AB →，AC →表示BG →为( )A .BG →＝－23AB →＋13AC →B .BG →＝－13AB →＋23AC →C .BG →＝23AB →－13AC →D .BG →＝23AB →＋13AC →4．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，AD →＝m ，BC →＝n ，则EF →＝( ) A .12m ＋12n B .23m ＋13n C.34m ＋14nD .13m ＋23n题型3 向量共线的判定5．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线6．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形7．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2不共线．问是否存在实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？题型4 向量共线定理的应用8．如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A .911B .211C .311D .1119．在△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且BC →＝3CD →.若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，－13<x<0，则点O 在( ) A ．线段BC 上 B ．线段CD 上 C ．线段AC 上D ．线段AD 上10．在△ABC 中，点D 满足AD →＝16AB →＋12AC →，直线AD 与BC 交于点E ，则|CE →||CB →|的值为( ) A .12 B .13 C .14D .1511．设e 1，e 2是空间内两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．【提升篇】1．在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，则( ) A .AO →＝AB →＋AD → B .AO →＝12(AB →＋AD →)C .AO →＝AB →－AD → D .AO →＝12(AB →－AD →)2．已知向量a ，b 不共线．若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ的值为( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．±13．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，已知PTAP ＝5－12，则( )A .CT →＝3－52CA →＋3－52CE →B .CT →＝5－12CA →＋5－12CE →C .CT →＝3－54CA →＋3－54CE →D .CT →＝3－54CA →＋5－12CE →4．已知O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．(多选)[重庆南开中学2022质量检测]已知点P 是△ABC 的中线BD 上一点(不包含端点)且AP →＝xAB →＋yAC →，则下列说法正确的是( ) A ．x ＋2y ＝1B ．2x ＋y ＝1C ．2x ＋4y ≥2 2D ．log 2x ＋log 2y≥－36．(多选)[山东师范大学附属中学2022高一月考]已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →＋2PB →＋3PC →＝0.若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．向量PA →与PC →可能平行 B ．点P 在线段EF 的延长线上 C ．点P 在线段EF 上 D ．PE ∶PF ＝2∶17．已知M 是△ABC 所在平面内的一点．若满足6AM →－AB →－2AC →＝0，且S △ABC ＝λS △ABM ，则实数λ的值是________．8．[山东历城二中、章丘四中等校2022高一联考]在△ABC 中，点P 满足BP ＝2PC ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)，求1λ＋1μ的最小值．9．已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，且AB →＝k e 1－4e 2，CD →＝－e 1＋k e 2，BD →＝e 1＋2e 2.(1)若AB →，CD →方向相反，求k 的值； (2)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值．答案及解析1.【答案】C【详解】当λ<0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，B 错误；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．故选C. 2.【答案】1213b －839a【详解】∵23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，∴83a －2c ＋15c －12b ＝0，化简得13c ＝12b －83a ，∴c ＝1213b －839a . 3.【答案】A【详解】由题意可得BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋23AD →＝BA →＋23×12(AB →＋AC →)＝BA →＋13AB →＋13AC →＝13AC→－23AB →.故选A. 4.【答案】A【详解】由已知可得CF →＋DF →＝0，EA →＋EB →＝0，由平面向量的加法可得⎩⎪⎨⎪⎧EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，上述两个等式相加可得2EF →＝AD →＋BC →＝m ＋n ，则EF →＝12(m ＋n )．故选A. 5.【答案】B【详解】∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，∴BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b .∵AB →＝a ＋5b ，∴BD →＝AB →，即BD →与AB →共线，则A ，B ，D 三点共线，故选B. 6.【答案】B【详解】∵2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，∴2(OA →－OD →)＝3(OB →－OC →)，∴2DA →＝3CB →，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.7.【答案】由题意得d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，若d 与c 共线，则存在实数k ≠0，使d ＝kc ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，解得λ＝－2μ. 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d 与c 共线． 8.【答案】D【详解】由题意可得AC →＝5AN →，则AP →＝mAB →＋211×5AN →＝mAB →＋1011AN →.因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋1011＝1，即m ＝111.9.【答案】B【详解】由向量共线定理可知O ，B ，C 三点共线． ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3AD →－3AC →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.又∵－13<x <0，∴点O 在线段CD 上，且不与C ，D 两点重合．10.【答案】C【解析】设AE →＝λAD →＝λ6AB →＋λ2AC →，则CE →＝AE →－AC →＝λAD →－AC →＝λ6AB →＋λ2AC →－AC →＝λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →， CB →＝AB →－AC →，且CE →，CB →共线，设CE →＝kCB →，则λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →＝k (AB →－AC →)，所以⎩⎨⎧λ6＝k ，λ2－1＝－k ，所以λ6＝1－λ2，解得λ＝32，此时CE →＝14AB →－14AC →，所以CE →＝14CB →，故|CE →||CB →|＝14.故选C. 11.【答案】1【详解】依题意，CD →＝e 1＋2e 2，故AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 已知A ，B ，D 三点共线，可设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝λ，k ＋6＝kλ，解得k ＝1.1.【答案】B【详解】如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，由平行四边形法则得AB →＋AD→＝AC →＝2AO →，所以AO →＝12(AB →＋AD →)．故选B.2.【答案】C【详解】∵向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，∴(a ＋λb )∥(b ＋λa )．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m ，使得a ＋λb ＝m (b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b .∵a 与b 不共线，∴1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a ＋b 与b ＋a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3.【答案】A【详解】设AP ＝1，则PT ＝5－12＝TS ，CP ＝1＋5－12＝5＋12＝CS ， CT →＝CA →＋AT →＝CA →＋25－1TS →＝CA →＋25－1(CS →－CT →)＝CA →＋25－1(1＋5－122＋5－12CE →－CT →)＝CA→＋CE →－5＋12CT →，所以5＋32CT →＝CA →＋CE →，所以CT →＝3－52CA →＋3－52CE →. 故选A. 4.【答案】B【详解】AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，设∠BAC 的平分线为AD ，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为AD → 的方向．又∵λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在射线AD 上移动． ∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 5.【答案】AC【详解】因为AP →＝xAB →＋yAC →，所以AP →＝xAB →＋2yAD →.又B ，P ，D 三点共线，所以x ＋2y ＝1，所以选项A 正确，选项B 错误．x ＋2y ＝1，所以2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ·22y ＝2 2x＋2y＝2 2(当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立)，所以选项C 正确．因为x ＋2y ＝1≥2 2xy ，所以xy ≤18⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立，所以log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 218＝－3，所以选项D 错误．故选AC. 6.【答案】CD【详解】点P 为△ABC 所在平面内一点，E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则P A →＋PC →＝2PE →，PB →＋PC →＝2PF →，而P A →＋2PB →＋3PC →＝0，即(PA →＋PC →)＋2(PB →＋PC →)＝0，于是得2PE →＋4PF →＝0，即EP →＝2PF →，所以点P 在线段EF 上，且PE ∶PF ＝2∶1，即点P ，A ，C 不共线，则向量PA →与PC →不可能平行，A 不正确，B 不正确，C 正确，D 正确．故选CD .7.【答案】3【详解】如图，记2AM →＝AN →.∵AN →－AB →＋2AN →－2AC →＝0， ∴BN →＝2NC →，S △ABC ＝32S △ABN .又∵S △ABM ＝12S △ABN ，∴S △ABC ＝3S △ABM ，∴λ＝3.8.【答案】【详解】连接AP ，如图．∵△ABC 中，BP →＝BA →＋AP →，PC →＝PA →＋AC →，点P 满足BP →＝2PC →， ∴－AB →＋AP →＝2(AC →－AP →)， ∴AP →＝23AC →＋13AB →.又∵AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)， ∴AP →＝2μ3AN →＋λ3AM →.又∵M ，P ，N 三点共线， ∴2μ3＋λ3＝1，λ>0，μ>0， ∴1λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫1λ＋1μ·⎝⎛⎭⎫2μ3＋λ3＝2μ3λ＋λ3μ＋1≥2 2μ3λ·λ3μ＋1＝2 23＋1, 当且仅当2μ3λ＝λ3μ，即⎩⎪⎨⎪⎧μ＝3（2－2）2，λ＝3（2－1）时取“＝”，则1λ＋1μ的最小值为2 23＋1. 9.【答案】(1)由题意知，AB →∥CD →，则存在λ∈R ，使得AB →＝λCD →，即k e 1－4e 2＝λ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋λ)e 1＝(kλ＋4)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋λ＝0，kλ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝2. 又AB →，CD →方向相反，则λ＝－2，k ＝2，故k 的值为2.(2)由题意知，AD →＝AB →＋BD →＝(k ＋1)e 1－2e 2.由A ，C ，D 三点共线得，存在μ∈R ，使得AD →＝μCD →，即(k ＋1)e 1－2e 2＝μ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋μ＋1)e 1＝(kμ＋2)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋μ＋1＝0，kμ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，μ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，μ＝1.综上，k ＝1或k ＝－2.。

高中数学必修二专题6 2 平面向量的加法、减法、数乘运算-同步培优专练

专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确；对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误；对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形，又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点，故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

6.2.3 向量的数乘运算

(3) ( x y )a ( x y )a [( x y ) ( x y )]a 2 ya
例析
例6.如图，□ 的两条对角线相交于点，且 = ， = ，

用，表示，，和.

解：在□中， = + = + ， = − = − .

= + 3.猜想, , 三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，

不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想, , 三点共线.
3
事实上，因为 = − = + 2 − ( + ) = ，
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a ) 15a 10b 8b 12a 3a 2b;
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) (a b )
3
4
2
1
2
3
1
1
1
11
1
a b a b a b a b
3
3
4
2
2
2
12
3
(3)原式= 2 + 3 − − 3 + 2 − = − + 5 − 2.
2. 化简：课本练习（第16页）
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a );
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) ( a b );
3
4
2
(3) ( x y )a ( x y )a .
量.
新知探索

向量数乘和线性运算精选题32道附参考答案与试题解析

向量数乘和线性运算精选题32道附参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣23．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．212．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝．24．已知，，，则＝．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．向量数乘和线性运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，故选：C．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣2【解答】解：∵＝+，＝＝（﹣）＝﹣＝×﹣＝﹣，∴＝+（﹣）＝+；又＝λ+μ，∴λ＝，μ＝；∴＝×＝3．故选：B．3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+【解答】解：＝，＝，＝，则＝+＝+＝+（﹣）＝﹣＝﹣．故选：C．4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意及图，可知：＝+＝+＝+（+）＝﹣，∴λ＝，μ＝﹣，∴λ•μ＝﹣．故选：A．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：如图所示，点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，延长OB到D点，以OA，OD为邻边作平行四边形AODF，连接CF分别交AB，AD于E，G点．则点E是△OAD的重心．∵＝，不妨设CE＝7，则OC＝3，OE＝4，EG＝2，OF＝12．∴m＝＝﹣4，解得m＝﹣4．故选：D．7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，＝，＝，则＝＝﹣＝﹣，又E是DC的中点，则＝+＝（﹣）+＝﹣＝﹣+．故选：C．8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+【解答】解：因为D为△ABC所在平面内一点，3＝，所以．故选：A．9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵；∴；∴．故选：B．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．【解答】解：设＝k＝k（﹣）＝k（﹣），∵＝+＝k（﹣）+﹣＝（k﹣1）+（1﹣k），＝﹣＝﹣．∵∥，∴＝λ，则（k﹣1）+（1﹣k）＝λ（﹣）．∴，∴k＝，＝﹣，∴＝+＝+．故选：B．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．2【解答】解：以B为坐标原点，BC方向为X轴正方向建立直角坐标系，∴A（0，6）C（8，0），∴外接圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，即，∴设M（4+5cosθ，3+5sinθ），∴，，∵，∴，∴，∴，故选：C．12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：由＝16，得||＝4，∵＝||＝4，而∴＝2故选：C．二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的【解答】解：若＝，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝，即有﹣＝﹣，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝，即++＝，则点M是△ABC的重心，故C正确；若＝，且x+y＝，可得2＝2x+2y，设＝2，由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选：ACD．（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内【解答】解：因为若λ+μ＝1且λ＞0，故即又λ＞0则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；若λ+μ＝1且λ＜0，同上可得而λ＜0则点P在线段BC的延长线上，B正确；若λ+μ＞1，，同上可得，当λ+μ＞1时，λ+μ﹣1＞0根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；若λ+μ＜1，不防令λ＝0，μ＝﹣1则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误．故选：BC．（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由条件可得：，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以，D项正确．故选：AD．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．【解答】解：＝＝，A正确；+＝＝，B正确；＝，C正确；＝，D错误．故选：ABC．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B＝60°，AB＝3，∴A（，），∵BC＝6，∴C（6，0），∵＝λ，∴AD∥BC，设D（x0，），∴＝（x0﹣，0），＝（﹣，﹣），∴•＝﹣（x0﹣）+0＝﹣，解得x0＝，∴D（，），∴＝（1，0），＝（6，0），∴＝，∴λ＝，∵||＝1，设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴＝（x﹣，﹣），＝（x﹣，﹣），∴•＝（x﹣）（x﹣）+＝x2﹣4x+＝（x﹣2）2+，当x＝2时取得最小值，最小值为，故答案为：，．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝【解答】解：如图，根据题意不妨设△ABC的边，AB＝4，AC＝2，BC＝＝2，建立如图坐标系，则BC的方程为x+2y﹣4＝0，则3a﹣4＜0，设O点坐标为（a，a），点O在三角形内，则O到BC的距离d＝＝，则根据S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，得（•4a）：（2×）：（×2a），解得a＝，∴＝（，），＝（4，0），＝（0，2），由，得，解得，，所以：λ+μ＝，故填：19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是6．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．【解答】解：如图，∵AD＝DB，BE＝2EC；∴，＝，且；∴＝；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故答案为：．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝12．【解答】解：根据题意，如图，在AB上取一点E，使＝，则有＝+＝+＝+（﹣）＝+，又由，则有＝，四边形AECD为平行四边形，则有＝＝，又由AB＝6，则＝6×2＝12；故答案为：12．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．【解答】解：由得：||＝||＝||，则点O是△ABC的外心，则，由＝10×＝30所以，所以，所以m+3n＝，故答案为：23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝0．【解答】解：∵，∴x+y＝2（﹣），∴（x+2）+（y﹣2）＝，∴x＝﹣2，y＝2，x+y＝0，故答案为：0．24．已知，，，则＝2．【解答】解：因为，，，所以＝7，所以＝1，则2＝＝4﹣4×1+4＝4，则＝2．故答案为：2．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【解答】解：G为△ABC的重心，所以＝+，设＝μ，故＝+，因为P，G，Q三点共线，故+＝1①，所以+＝3，＝＝＝②，由①②得或，故答案为：或．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．【解答】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）；设∠AOC＝α，则＝（cosα，sinα），∵，∴（cosα，sinα）＝（x，0）+（﹣y，y）；即cosα＝x﹣y，sinα＝y，解得：x＝sinα+cosα，y＝sinα；∴x+2y＝sinα+cosα＝sin（α+θ），其中tanθ＝；又sin（α+θ）≤1，∴x+2y≤．故答案为：．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．【解答】解：因为，所以，分别取AC，BC的中点D，E，则，，所以，即O，D，E三点共线且，则，因为D为AC中点，所以，所以．故答案为：．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．【解答】解：△ABC的重心为点G，由题意可知△ABC与△A1B1C1关于中心点G对称，由，＝（+）＝λ（+），故，故答案为：．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．【解答】解：（1）由题意，D为BC的中点，且＝，∵+＝2，∴＝2﹣，∴＝﹣＝2﹣﹣＝﹣+2；（2）∵＝t＝t，∴＝﹣＝﹣+（2﹣t），∵＝﹣+2，，共线，∴，∴t＝．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．【解答】解：（1）由A，M，D三点共线，可设＝，由B，M，C三点共线，可设＝，因为，不共线，所以，解得，，故．（2）因为E，M，F三点共线，设＝，由（1）知，，即，，所以，故为定值，即得证．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•＝﹣时，即（cos）（cos）+sin2α＝，整理得到cos，所以锐角α＝60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||＝||恒成立，得到＝，整理得2cosα（2+x）＝x2﹣4，所以存在x＝﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵D为BC边中点；∴；∴由得，；∴；（2）如图，根据条件：＝＝；∴；∴DE＝3DO；又AB＝2DE；∴AB＝6DO；∴S△ABC＝6S△BOC＝12；即△ABC的面积为12．。

(完整版)高一数学向量知识点归纳练习题

向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律:()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1）我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；（3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，1212(,)a b x x y y ⋅=.2、已知11(,)A x y ,22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

3、已知11(,)a x y =和实数λ，则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件1、平行（共线）:基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。

定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x .2、垂直：基本定理：a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。

定理：已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x 。

人教A版(新教材)必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算学案(含答案)

人教A版（新教材）必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算学案（含答案）6.2.3向量的数乘运算向量的数乘运算学习目标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下1|a||||a|.2aa0的方向当0时，与a的方向相同；当0时，与a的方向相反.特别地，当0时，a0.当1时，1aa.知识点二向量数乘的运算律1.1aa.2aaa.3abab.特别地，aaa，abab.2.向量的线性运算向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有1a2b1a2b.知识点三向量共线定理向量aa0与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.思考向量共线定理中为什么规定a0答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线.1若b0，则不存在实数，使ba.2若b0，则对任意实数，都有ba.1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.3.若a0，则a0.提示若a0，则a0或0.4.|a||a|.提示|a||||a|.一.向量的线性运算例11若a2bc，化简3a2b23bc2ab等于A.aB.bC.cD.以上都不对答案C解析原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.2若3xa2x2a4xab0，则x________.答案4b3a解析由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思感悟向量线性运算的基本方法1类比法向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号.移项.合并同类项.提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”.“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.2方程法向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1计算ab3ab8a.解ab3ab8aa3ab3b8a2a4b8a10a4b.二.用已知向量表示其他向量例2如图，在ABCD中，E是BC 的中点，若ABa，ADb，则DE等于A.12abB.12abC.a12bD.a12b答案D解析因为E是BC的中点，所以CE12CB12AD12b，所以DEDCCEABCEa12b.反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法1直接法2方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2在ABC中，若点D满足BD2DC，则AD等于A.13AC23ABB.53AB23ACC.23AC13ABD.23AC13AB答案D解析示意图如图所示，由题意可得ADABBDAB23BCAB23ACAB13AB23AC.三.向量共线的判定及应用例3设a，b是不共线的两个向量.1若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证A，B，C三点共线；2若8akb与ka2b共线，求实数k的值.1证明ABOBOA3ab2aba2b，而BCOCOBa3b3ab2a4b2AB，AB与BC共线，且有公共点B，A，B，C三点共线.2解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akbka2b，即8kak2b0，a与b不共线，8k0，k20，解得2，k24.反思感悟1证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC或BCAB 等即可.2利用向量共线求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.跟踪训练3已知向量e1，e2不共线，如果ABe12e2，BC5e16e2，CD7e12e2，则共线的三个点是________.答案A，B，D解析ABe12e2，BDBCCD5e16e27e12e22e12e22AB，AB，BD共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.三点共线的常用结论典例如图所示，在ABC 中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为A.1B.2C.3D.4答案B解析连接AO图略，O是BC的中点，AO12ABAC.又ABmAM，ACnAN，AOm2AMn2AN.又M，O，N三点共线，m2n21，则mn2.素养提升1本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使OAxOByOC，且xy1.2应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.1.下列运算正确的个数是32a6a；2ab2ba3a；a2b2ba0.A.0B.1C.2D.3答案C解析根据向量数乘运算和加减运算规律知正确；a2b2baa2b2ba0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.2.如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若ABa，ACb，则AM等于A.12abB.12abC.12abD.12ab答案C解析因为M是BC的中点，所以AM12ab.3.设P是ABC所在平面内一点，BCBA2BP，则A.PAPB0B.PCPA0C.PBPC0D.PAPBPC0答案B解析因为BCBA2BP，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.4.化简4a3b62ba________.答案10a解析4a3b62ba4a12b12b6a10a.5.设e1与e2是两个不共线向量，AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k________.答案94解析因为A，B，D三点共线，故存在一个实数，使得ABBD，又AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，所以BDCDCB3e12ke2ke1e23ke12k1e2，所以3e12e23ke12k1e2，所以33k，22k1，解得k94.1.知识清单1向量的数乘及运算律.2向量共线定理.2.方法归纳数形结合.分类讨论.3.常见误区忽视零向量这一个特殊向量.。

向量的数乘运算(练习)(含解析)高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)

6.2.3向量的数乘运算1.[2022·浙江台州高一期末]3(2a －b )－2(a ＋3b )的化简结果为( )A ．4a ＋3bB ．4a －9bC ．8a －9bD ．4a －3b2．[2022·广东惠州高一期末]在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ＝2DC ，则AD → ＝( )A ．AB → ＋13 AC → B ．AB → －13AC → C ．23 AB → ＋13 AC → D ．13 AB → ＋23AC → 3．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB → ＝e 1＋2e 2，BC → ＝－5e 1＋6e 2，CD → ＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．4．化简：(1)2(a －b )＋3(a ＋b )；(2)12 (a ＋b )＋12(a －b )； (3)3(a ＋2b )－2(a ＋3b )－2(a ＋b ).5.若AP → ＝14PB → ，AB → ＝λBP → ，则实数λ的值是( ) A ．45 B ．－45C ．54D ．－546．[2022·福建泉州高一期中]如图，已知△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE → ＝mAB → ＋nAC → ，则2m ＋n ＝( )A ．－16B ．－12C ．－14D ．127．[2022·广东广州高一期中]设e 1、e 2是两个不共线的向量，已知AB → ＝2e 1＋k e 2，BC → ＝e 1＋3e 2，CD → ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值为________．8．两个非零向量a ，b 不共线，若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD → ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．9．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，E 为AD 上一点，且AE → ＝3ED → ，若AD → ＝a ，试用a 表示EA → ＋EB → ＋EC → .10．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．11.[2022·山东潍坊高一期中]在△ABC 中，AP → ＝119 AB → －29AC → ，则P 点( ) A ．在线段BC 上，且BP BC ＝29B ．在线段CB 的延长线上，且BP BC ＝29C ．在线段BC 的延长线上，且BP BC ＝29D ．在线段BC 上，且CP BC ＝2912．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE → ＝23AD → ，AB → ＝a ，AC → ＝b .(1)用a ，b 表示AD → ，AE → ，AF → ，BE → ，BF → ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．答案：1．解析：由题意，3(2a －b )－2(a ＋3b )＝4a －9b .故选B.答案：B2．解析：因为在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ＝2DC ，所以AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋23 BC → ＝AB → ＋23 (AC → －AB → )＝13 AB → ＋23AC → ，故选D. 答案：D3．解析：∵AB → ＝e 1＋2e 2，BD → ＝BC → ＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB → . ∴AB → ，BD → 共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A ，B ，D4．解析：(1)2(a －b )＋3(a ＋b )＝2a －2b ＋3a ＋3b＝5a ＋b .(2)12 (a ＋b )＋12(a －b ) ＝12 a ＋12 b ＋12 a －12b ＝a .(3)3(a ＋2b )－2(a ＋3b )－2(a ＋b )＝3a ＋6b －2a －6b －2a －2b＝－a －2b .5．解析：由AP → ＝14 PB → ，则A ，P ，B 三点共线，且AP → ＝15AB → ，所以PB → ＝45 AB → ，即AB → ＝－54BP → .故选D. 答案：D6．解析：依题意得，AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋13 BC → ＝AB → ＋13 (AC → －AB → )＝23 AB → ＋13AC → ，故CE → ＝CA → ＋AE → ＝CA → ＋12 AD → ＝－AC → ＋12 (23 AB → ＋13 AC → )＝13 AB → －56AC → ，所以m ＝13 ，n ＝－56，故2m ＋n ＝2×13 －56 ＝－16.故选A. 答案：A7．解析：由A 、B 、D 三点共线，可得AB → ＝λBD → (λ≠0)，又AB → ＝2e 1＋k e 2，BD → ＝BC →＋CD → ＝3e 1＋2e 2，则2e 1＋k e 2＝3λe 1＋2λe 2，又e 1、e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λk ＝2λ ，解得k ＝43 . 答案：438．证明：因为AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD → ＝3(a －b )，所以BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5a ＋5b ，则BD → ＝5AB → ，所以BD → ，AB → 共线，两个向量有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．9．解析：如图，∵AE → ＝3ED → ，且AD → ＝a ，∴ED → ＝14 AD → ＝14 a ，EA → ＝－34 AD → ＝－34a ，又D 为边BC 的中点，∴EB → ＋EC → ＝2ED → ＝12a ， ∴EA → ＋EB → ＋EC → ＝－34 a ＋12 a ＝－14a . 10．解析：b 与a ＋c 共线．证明如下：∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a ＋b ＝λc .①∵b ＋c 与a 共线，∴存在唯一实数μ，使得b ＋c ＝μ a .②由①－②得，a －c ＝λc －μa .∴(1＋μ) a ＝(1＋λ)c .又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.∴a ＋c ＝－b .故a ＋c 与b 共线． 11．解析：由题设，AP → －AB → ＝29 (AB → －AC → )，则BP → ＝29CB → ，所以C ，P ，B 共线且P 在CB 延长线上，BP CB ＝29.故选B. 答案：B12．解析：(1)在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋12 BC → ＝AB → ＋12 (AC → －AB → )＝12 AB → ＋12 AC → ＝12 a ＋12b ，故AE → ＝23 AD → ＝13 a ＋13b ， AF → ＝12 AC → ＝12b ， BE → ＝AE → －AB → ＝13 a ＋13 b －a ＝13 b －23a ， BF → ＝AF → －AB → ＝12b －a ； (2)证明：因为BE → ＝13 b －23 a ＝13 (b －2a )，BF → ＝12(b －2a )，所以BE → ＝23BF → ，所以BE→∥BF→，又因为BE→，BF→有公共点B，所以B，E，F三点共线．。

高中数学6.2.3《向量的数乘运算》基础过关练习题

第六章 6.2 6.2.3A 级——基础过关练1．(多选)设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa|≥|a|C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a【答案】ABD 【解析】当λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的，选项A 错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a |不成立，选项B 错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同．|－λa |＝|λ|a 中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D 错误；故选ABD ．2．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD →B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12AD →D ．12AB →－23AD →【答案】D 【解析】EF →＝EC →＋CF →＝12AB →＋23CB →＝12AB →－23AD →.3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－23【答案】A 【解析】(方法一)由AD →＝2DB →，可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)⇒CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．(方法二)CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上 D ．BC 边所在的直线上【答案】B 【解析】∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →.∴CP →＝λP A →.∴P ，A ，C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．5．(2020年深圳月考)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则( )A ．AB →＋AC →＝3HM →＋3MO → B ．AB →＋AC →＝3HM →－3MO → C ．AB →＋AC →＝2HM →＋4MO →D ．AB →＋AC →＝2HM →－4MO →【答案】D 【解析】如图所示的Rt △ABC ，其中∠B 为直角，则垂心H 与B 重合，∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OC ，即O 为斜边AC 的中点．又∵M 为BC 的中点，∴AH →＝2OM →.∵M 为BC 的中点，∴AB →＋AC →＝2AM →＝2(AH →＋HM →)＝2(2OM →＋HM →)＝4OM →＋2HM →＝2HM →－4MO →.故选D ．6．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足5x a ＋(8－y )b ＝4x b ＋3(y ＋9)a ，则x ＝________；y ＝________.【答案】3 －4 【解析】因为a 与b 不共线，根据向量相等得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝3y ＋27，8－y ＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－4.7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12 【解析】由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.8．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________. 【答案】－4 【解析】因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．9．化简：(1)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (2)4(a －b )－3(a ＋b )－b .解：(1)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (2)原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .10．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 分别为AC ，BA 的中点，AD ，BE ，CF 相交于点O ，求证：(1)AD →＝12(AB →＋AC →)；(2)AD →＋BE →＋CF →＝0； (3)OA →＋OB →＋OC →＝0.证明：(1)∵D 为BC 的中点，∴AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，∴2AD →＝AB →＋BD →＋AC →＋CD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)．(2)∵AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝12(BC →＋BA →)，CF →＝12(CA →＋CB →)，∴AD →＋BE →＋CF →＝0.(3)∵OA →＝－23AD →，OB →＝－23BE →，OC →＝－23CF →，∴OA →＋OB →＋OC →＝0.B 级——能力提升练11．已知△ABC 三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在的直线上 D ．P 在线段AC 上【答案】D 【解析】P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴PC →＝－2P A →.∴P 在AC 边上． 12．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A ．14a ＋12bB ．13a ＋23bC ．12a ＋14bD ．23a ＋13b【答案】D 【解析】∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ．∴AF →＝AD →＋DF →＝AD→＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .13．在△ABC 中，G 为△ABC 的重心，记a ＝AB →，b ＝AC →，则CG →＝( ) A ．13a －23bB ．13a ＋23bC ．23a －13bD ．23a ＋13b【答案】A 【解析】因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b .所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .14．下列各组向量中，能推出a ∥b 的是( ) ①a ＝－3e ，b ＝2e ； ②a ＝e 1－e 2，b ＝e 1＋e 22－e 1；③a ＝e 1－e 2，b ＝e 1＋e 2＋e 1＋e 22.A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】B 【解析】①中a ＝－32b ，所以a ∥b ；②中b ＝e 1＋e 22－e 1＝e 2－e 12＝－12a ，所以a ∥b ；③中b ＝3e 1＋3e 22＝32(e 1＋e 2)，若e 1与e 2共线，则a 与b 共线，若e 1与e 2不共线，则a 与b 不共线．15．已知在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．【答案】2∶3 【解析】因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PC →＝AB →－PB →－P A →＝AB →＋BP →＋AP →＝2AP →.所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点．所以△PBC 和△ABC 的面积之比为2∶3.16．设点O 在△ABC 的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且|OD →＋2OE →|＝1，则|OA →＋2OB →＋3OC →|＝________.【答案】2 【解析】如题图所示，易知|OA →＋2OB →＋3OC →|＝|OA →＋OC →＋2(OB →＋OC →)|＝|2OD →＋4OE →|＝2|OD →＋2OE →|＝2.17．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：四边形EFGH 是平行四边形．证明：在△BCD 中，∵G ，F 分别是CD ，CB 的中点，∴CG →＝12CD →，CF →＝12CB →.∴GF →＝CF→－CG →＝12CB →－12CD →＝12DB →.同理HE →＝12DB →.∴GF →＝HE →.又∵G ，F ，H ，E 四点不在同一条直线上，∴GF ∥HE ，且GF ＝HE .∴四边形EFGH 是平行四边形．18．设OA →，OB →不共线，且OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )． (1)若a ＝13，b ＝23，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若A ，B ，C 三点共线，则a ＋b 是否为定值？并说明理由．解：(1)证明：当a ＝13，b ＝23时，OC →＝13OA →＋23OB →，所以23(OC →－OB →)＝13(OA →－OC →)，即2BC →＝CA →.所以BC →与CA →共线．又BC →与CA →有公共点C ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)a ＋b 为定值1，理由如下：因为A ，B ，C 三点共线，所以AC →∥AB →.不妨设AC →＝λAB →(λ∈R )，所以OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.又OC →＝aOA →＋bOB →，且OA →，OB →不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－λ，b ＝λ，所以a ＋b ＝1(定值)．C 级——探索创新练19．(2020年合肥月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BCAC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A ．5＋12B ．2C ．5D ．5＋1【答案】C 【解析】由题意，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →.∴x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52.∴x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.故选C ．。

人教A版高一必修第二册第六章《6.2.3 向量的数乘运算》练习题 1

6.2.3 向量的数乘运算1、（多选）已知a 、b 为两个非零向量，下列说法中正确的是（） A 、2a 与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍 B 、-2a 与5a 的方向相同，且-2a 的模是5a 的模的52C 、-2a 与2a 是一对相反向量D 、a-b 与-（b-a ）是一对相反向量2、如图，在△ABC 中，BD=2DC ，若AB =a ，=AC b ，则AD =（）A 、32a +31b B 、32a -31bC 、31a +32bD 、31a -32b3、在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则λ=（）A 、32 B 、31 C 、- 31 D 、-32 4、在△ABC 中，点D 在BC 边上，且4=CD ，AC s AB r CD DB +=,，则3r+s 的值为( ） A 、56 B 、512 C 、58 D 、54 5、若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足OA OC OB OC OB 2-+=-,则△ABC 的形状为（）A 、等边三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、直角三角形6、O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=AC AB OA OP λ,[)+∞∈,0λ,则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心7、若将上题中的条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=AC AC AB AB OA OP λ，[)+∞∈,0λ改为()AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）8、在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（）A 、AC AB 4143- B 、AC AB 4341- C 、4143+D 、4341+9、设D 为△ABC 所在平面内一点，3=,则（）A 、3431+-=B 、3431-=C 、3134+=D 、3134-= 10、设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+（）A 、ADB 、AD 21C 、BCD 、2111、在三角形ABC 中，向量a =+,b =++83,c =+4,则下列结论一定成立的是（）A 、向量a +c 一定与向量b 平行B 、向量b +c 一定与向量a 平行C 、向量a +b 一定与向量c 平行D 、向量a -b 一定与向量c 平行 12、设P 、Q 为△ABC 内的两点，且AC AB AP 5152+=,AC AB AQ 4132+=,则ABQABP S S ∆∆=( ) A 、31 B 、41C 、53D 、5413、已知在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足AB PC PA PA =++,则△PBC 与△ABC 的面积之比为。

向量的数乘及坐标运算

1 / 3三、向量数乘运算及其几何意义一、知识回顾：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个，记作，它的模与方向规定如下：１）||a λ= ；2） λ＞０时,a λ的方向与的方向相同；当λ＜０时, a λ的方向与的方向相反；实数与向量的积的运算律：运算律：()a λμ= ； ()a λμ+= ； ()a b λ+= .2．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得二、沙场练兵：1．已知向量a = e 1-2 e 2，b =2 e 1+e 2, 其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6 e 1-2 e 2的关系为（） A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．无法确定2．已知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于（） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．23．若AB =3a , CD =－5a ,且||||AD BC =,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 4．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =a ,BE =b ,那么BC 为（）A ．32a ＋34bB ．32a －32bC ．32a －34bD ．－32a ＋34b5．已知向量a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是（） ①2a -3b =4e 且a +2b = -3e ②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb =0③x a +y b =0 (其中实数x , y 满足x +y =0) ④已知梯形ABCD ，其中AB =a ,CD =b A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④*6．已知△ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则（） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 在线段BC 上二、填空题7．若|a |=3,b 与a 方向相反,且|b |=5,则a = b8．已知向量e 1 ,e 2不共线，若λe 1－e 2与e 1－λe 2共线,则实数λ=9．a ,b 是两个不共线的向量，且AB =2a ＋k b ,CB =a ＋3b ,CD =2a －b ,若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为*10．已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ,CD =5a ＋6b －8c 对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF =三、解答题11．计算：⑴(－7)×6a =⑵4(a ＋b )－3(a －b )－8a =⑶(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )=12．如图，设AM 是△ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求AM13．设两个非零向量a 与b 不共线,⑴若AB =a ＋b ,BC =2a ＋8b ,CD =3(a －b ) ,求证：A 、B 、D 三点共线; ⑵试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.*14．设OA ,OB 不共线,P 点在AB 上,求证:OP =λOA +μOB 且λ+μ=1(λ, μ∈R).四、平面向量基本定理及坐标表示（1）一、知识回顾：1．平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线．．．向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的。

课时作业3：6.2.3 向量的数乘运算

6.2.3 向量的数乘运算[基础达标练]一、选择题1.已知向量a ，b 且P 1P 2→＝a ＋2b ，P 2P 3→＝－5a ＋6b ，P 3P 4→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．P 1，P 2，P 3B ．P 1，P 3，P 4C ．P 2，P 3，P 4D ．P 1，P 2，P 42.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝( )A ．－14B.14C.12D.343.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为( )A ．－12B ．－14 C.14 D.12二、填空题4.若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝________.(用e 1，e 2表示)5.13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )＝________. 6.若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →. 三、解答题7.已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．8.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围．[等级过关练]1．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43.若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．4.在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m ＝________，n ＝________.5.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求λ的值．【参考答案】[基础达标练]一、选择题1. D [∵P 2P 4→＝P 2P 3→＋P 3P 4→＝2a ＋4b ＝2P 1P 2→，∴P 1，P 2，P 4三点共线．]2. C [∵m 与n 共线，∴存在实数λ，使得m ＝λn ，∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2λ，k ＝λ，∴λ＝12，k ＝12.] 3. D [DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.] 二、填空题4. 32e 2－e 1 [∵AD →＝BC →，∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1. 又∵BD →＝2BO →，∴BO →＝32e 2－e 1.] 5. 2b －a [13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝2b －a .] 6. －25 [∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →同向， ∵|AC →||AB →|＝57(如图)，∴|BC →||AC →|＝25，又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →. ]三、解答题7. [证明] 如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．8. [解] (1)证明：∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →＝λOB →＋OA →－λOA →，OM →－OA →＝λOB →－λOA →，∴AM →＝λAB →(λ∈R ，λ≠0，且λ≠1)．又AM →与AB →有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．(2)由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上，则AM →与AB →同向， ∴|AM →|>|AB →|>0，∴λ>1.[等级过关练]1．A [∵e 1，e 2不共线，∴向量a ，b 不为0.又∵a ，b 共线，∴存在实数λ，使a ＝λb ，即2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1.] 2．C [由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 是△ABC 的重心．取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →.又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →， ∴AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝1.]3. 等腰梯形 [∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →， ∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →|.又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．]4. 13 23 [AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →.] 5. [解] (1)由A 是BC 的中点，则有OA →＝12(OB →＋OC →)，从而OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD →＝23OB →，从而DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b . (2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC →＝μDC →，又EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

人教A版选择性必修时空间向量的数乘运算共线向量共面向量作业

高效作业第2课时空间向量的数乘运算、共线向量、共面向量](见学生用书P83)[A 级新教材落实与巩固]一、单项选择题1．如图，在空间平移△ABC 到△A′B′C′，连接对应顶点，设AA′→ ＝a ，AB → ＝b ，AC →＝c ，M 是BC′的中点， N 是B′C′的中点，用向量a ，b ，c 表示向量MN →＝( D ) A ．a ＋12 b ＋12 c B ．12 a ＋12 b ＋12 cC ．a ＋12 bD ．12a第1题图第3题图2．已知向量a ，b ，且AB → ＝a ＋2b ，BC → ＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( A )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D3．如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，设AA 1＝a ，AB → ＝b ，AD →＝c ，N 是BC 的中点，用a ，b ，c 表示A 1N 为( A ) A ．－a ＋b ＋12c B ．－a ＋b ＋cC ．－a －b ＋12 cD ．a －b ＋12c4．已知在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1E ＝14A 1C 1，若AE → ＝xAA 1＋y(AB → ＋AD →)，则( D ) A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝12 ，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝145．已知i 与j 不共线，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝mi ＋nj 是i ，j ，k 共面的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图所示，在四面体OABC 中，OA → ＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝( A )A ．12 a ＋14 b ＋14 cB ．14 a ＋14 b ＋12 cC ．14 a ＋12 b ＋14 cD ．13 a ＋13 b ＋13c【解析】 OE → ＝OA → ＋AE → ＝a ＋12 AD → ＝a ＋12 (OD → －OA → )＝12 a ＋12 OD → ＝12 a ＋12×12 (OB → ＋OC →)＝12 a ＋14 b ＋14c ．二、多项选择题7．若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( BD ) A ．AB → ＋2BC → ＋2CD → ＋DC → B ．2AB → ＋2BC → ＋3CD → ＋3DA → ＋AC → C ．AB → ＋CA → ＋BD → D ．AB → －CB → ＋CD → －AD →【解析】 A 中，AB → ＋2BC → ＋2CD → ＋DC → ＝AB → ＋2BD → ＋DC → ＝AB → ＋BD → ＋BD →＋DC → ＝AD → ＋BC → ；B 中，2AB → ＋2BC → ＋3CD → ＋3DA → ＋AC → ＝2AC → ＋3CA → ＋AC →＝0；C 中，AB → ＋CA → ＋BD → ＝AD → ＋CA → ；D 中，AB → －CB → ＋CD → －AD → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＋DA →＝0.8．下列命题中是真命题的有( BCD ) A ．若AB → ∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB → ∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝20e 1－2e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥bD ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0【解析】根据共线向量的定义，若AB → ∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB → ∥AC → 且AB → ，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝20e 1－2e 2＝－20(－e 1⎭⎫＋110e 2 ＝－20b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．三、填空题9．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB → ＝2e 1＋ke 2，CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝__－8__．【解析】因为BD → ＝BC → ＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2.又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB → ＝λBD →，即2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，解得k ＝－8.10．如图，已知在空间四边形ABCD 中，AB → ＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝__3a ＋3b －5c__．(用向量a ，b ，c 表示)11．已知O 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA → ＝2xBO → ＋3yCO → ＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝__－1__．【解析】因为A ，B ，C ，D 四点共面，所以OA → ＝OB → ＋λBC → ＋μBD → ＝OB → ＋λ(OC → －OB →)＋μ(OD → －OB → )＝(1－λ－μ)OB → ＋λOC → ＋μOD → ＝(λ＋μ－1)BO → －λCO → －μDO → ，所以2x ＋3y ＋4z ＝(λ＋μ－1)＋(－λ)＋(－μ)＝－1.12．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA → ＝2OB → ＋μOC →，则μ＝__－1__；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA → ＋mOB → ＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为__0__．【解析】由A ，B ，C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA → ＋mOB → ＋nOC →＝0得OA →＝－m λ OB → －n λ OC → ，由A ，B ，C 三点共线知－m λ －n λ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.四、解答题13．如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME → 与NF →是否共线．解：由题意，得ME →＝MD 1＋D 1A 1＋A 1E ＝12 BA → ＋CB → ＋13 A 1A ＝BN → ＋CB →＋13 C 1C ＝CN → ＋FC → ＝FN → ＝－NF → .即ME → ＝－NF → ，∴ME → 与NF →共线．14．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14()OA →＋OB →＋OC →＋OD → .解：(1)EG → ＝AG → －AE →＝12()AD →＋AC → －12 AB → ＝－12 AB → ＋12 AD → ＋12AC → .EH → ＋EF →＝12 BD → ＋12 AC → ＝12()AD →－AB → ＋12 AC → ＝－12 AB → ＋12 AD → ＋12AC → ，所以EG → ＝EH → ＋EF →，所以E ，F ，G ，H 四点共面． (2)14 ()OA →＋OB →＋OC →＋OD → ＝14 ()2OE →＋2OG→ ＝12 ()OE →＋OG → ＝12×2×OM → ＝OM → . [B 级素养养成与评价]15．已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM → ＝PB 1＋7BA → ＋6AA 1－4A 1D 1，那么M 必( C ) A ．在平面BAD 1内 B ．在平面BA 1D 内 C ．在平面BA 1D 1内 D ．在平面AB 1C 1内【解析】 PM → ＝PB 1＋7BA →＋6AA 1－4A 1D 1 ＝PB 1＋BA →＋6BA 1－4A 1D 1 ＝PB 1＋B 1A 1＋6BA 1－4A 1D 1 ＝PA 1＋6(PA 1－PB →)－4(PD 1－PA 1) ＝11PA 1－6PB →－4PD 1，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面．故选C.16．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA → ＝αPB → ＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若α＋β＝1，则PA → －PB → ＝β(PC → －PB → )，即BA → ＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使AB → ＝λBC → ，故PB → －PA → ＝λ(PC →－PB → )，整理得PA → ＝(1＋λ)PB → －λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C. 17．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AGAH＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．解：连接BD ，BG.因为AB → ＝PB → －PA → ，AB → ＝DC → ，所以DC → ＝PB → －PA → .因为PC → ＝PD → ＋DC → ，所以PC → ＝PD → ＋PB → －PA → ＝－PA → ＋PB → ＋PD → . 因为PH HC ＝12 ，所以PH →＝13 PC → ，所以PH → ＝13 (－PA → ＋PB → ＋PD → )＝－13 PA → ＋13 PB → ＋13 PD → .又因为AH → ＝PH → －PA → ，所以AH →＝－43 PA → ＋13 PB → ＋13 PD → .因为AG AH ＝m ，所以AG → ＝mAH →＝－4m 3 PA → ＋m 3 PB → ＋m 3PD → .因为BG → ＝－AB → ＋AG → ＝PA → －PB → ＋AG → ，所以BG → ＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3 PA → ＋⎝⎛⎭⎫m 3－1 PB →＋m 3 PD → . 又因为G ，B ，P ，D 四点共面，所以1－4m 3 ＝0，得m ＝34 .。

向量的数乘(原卷版)

9.2.2 向量的数乘一、向量的数乘运算1、定义：规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μ a )＝(λμ)a ； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μ a ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；特别地，有(－λ)a ＝λ(－a )＝－(λa )； λ(a －b )＝λa －λb .3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ＋μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 二、向量共线 1、向量共线的条件（1）当向量0a =时，a 与任一向量b 共线．（2）当向量0a ≠时，对于向量b ．如果有一个实数λ，使b a λ=，那么由实数与向量的积的定义知b 与a 共线．反之，已知向量b 与a （0a ≠）共线且向量b 的长度是向量a 的长度的λ倍，即||||b a λ=，那么当b 与a 同向时，b a λ=；当b 与a 反向时，b a λ=-．2、向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b a λ=，则向量b 与非零向量a共线．3、向量共线的性质定理：若向量b 与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使b a λ=．【注意】（1）两个向量定理中向量a均为非零向量，即两定理均不包括0与0共线的情况；（2）0a ≠是必要条件，否则0a =，0b ≠时，虽然b 与a 共线但不存在λ使b a λ=；（3）有且只有一个实数λ，使b a λ=．（4）//(0)a b a b b λ⇔=≠是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.题型一向量的数乘运算化简【例1】（2022·全国·高一专题练习）化简：（1）()()23a b a b -++；（2）()()1122a b a b ++-；（3）()()()32232a b a b a b +-+-+．【变式1-1】（2022·贵州·高一校联考阶段练习）化简2(3)3()a b a b --+的结果为（） A ．4a b + B ．9a b -- C ．2a b + D ．3a b -【变式1-2】（2022秋·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在平行四边形ABCD 中，12AC AB -=（）A ．BDB ．DBC ．12BD D ．12DB【变式1-3】（2022·高一）若向量34,54a i j b i j =-=+,则123(2)33a b a b b a ⎛⎫⎛⎫--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________.题型二向量的线性表示【例2】（2022秋·浙江金华·高一浙江省浦江中学校联考阶段练习）已知△ABC 的重心为O ，则向量BO =（）A ．2133AB AC + B ．1233AB AC + C ．2133AB AC -+ D ．1233AB AC -+【变式2-1】（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则DF =（）A ．1233AB AD -+ B ．1323AB AD - C ．1536AB AD - D ．1334AB AD -【变式2-2】（2022秋·辽宁·高一校联考阶段练习）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AF =（）A ．3455a b + B ．4355a b + C ．1233a b + D ．2133a b +【变式2-3】（2022·高一单元测试）如图所示，在ABC 中，1,,3AQ QC AR AB BQ ==与CR 相交于点I .（1）用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ；（2）若AI mAB nAC =+，求实数m 和n 的值.【变式2-4】（2022秋·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考阶段练习）如图所示，平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，23BM BC =，14AN AB =，试用向量a ，b 来表示DN ，AM ．题型三向量共线证明三点共线【例3】（2022秋·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）已知向量a 与向量b 不共线，2MN a b =+，56NP a b =-+，24PQ a b =-+，则一定共线的三点是（）A ．M ，P ，QB ．M ，N ，PC ．N ，P ，QD ．M ，N ，Q【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知5,28,210AB a b BC a b BD a b =+=-+=+，则共线的三点为（）A ．,,BCD B ．,,A B C C ．,,A C D D ．,,A B D【变式3-2】（2022·高一单元测试）如图，在OBC △中，A 是BC 的中点，D 是线段OB 上靠近点B 的三等分点，设AB a =，AO b =.（1）用向量a 与b 表示向量OC ，CD ；（2）若45OE OA =，求证：,,C D E 三点共线.【变式3-3】（2022·高一课时练习）如图所示，在ABC 中，D ，F 分别是边BC ，AC 的中点，且23AE AD =，AB a =，AC b =．求证：B ，E ，F 三点共线．题型四利用向量共线求参数【例4】（2022秋·广东广州·高一校考期中）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke BC e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值为__________．【变式4-1】（2022秋·浙江宁波·高一校考期末）设,a b 是两个不共线的向量，若向量m a kb =+(R k ∈)与向量2n a b =-共线，则( )A ．12k =-B ．0k =C ．12k = D ．1k =【变式4-2】（2022·全国·高一）已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+，()21b d a λ=+-，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为（）A ．1B ．12- C ．1或12- D ．1-或12-【变式4-3】（2022秋·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）设向量,a b 不共线，向量a b λ+与2a b λ+同方向，则实数λ的值为（）A B ．12 C ． D ．12-题型五向量共线定理推论应用【例5】（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）设,a b 均为实数，已知,OA OB 不共线，点P 满足OP aOA bOB =+.（1）若1a b +=，求证：,,A B P 三点共线；（2）若,,A B P 三点共线，求证：1a b +=.【变式5-1】（2022秋·广东深圳·高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，AC 与DM 交于点O ，则OM =（）A ．1163OM AB AD =- B ．1233OM AB AD =-C ．1122OM AB AD =- D ．1143OM AB AD =-【变式5-2】（2022·全国·高一假期作业）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．3【变式5-3】（2022秋·甘肃兰州·高一兰州五十一中校考期末）如图，在OAB 中，点C 满足2BC CA =，点P 为OC 的中点，过点P 的直线分别交线段OA ，OB 于点M ，N ，若OM OA λ=，ON OB μ=，则21λμ+的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式5-4】（2022秋·广东汕头·高一金山中学校考期中）如图，在ABC 中，,M N 分别是,AB AC 的中点，,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE x AM y AN +=+，则14x y +的最小值为（）A ．3B ．94C ．95D ．92。

(易错题精选)初中数学向量的线性运算专项训练答案

（易错题精选）初中数学向量的线性运算专项训练答案一、选择题1．下列各式不正确的是（）．A ．0a a -=r r rB ．a b b a +=+r r r rC ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行D ．如果a b =r r ，那么a b =r r【答案】D 【解析】【分析】根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可．【详解】A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r，所以选项B 正确；C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r方向不同，则a b ≠r r，所以D 选项错误.故选D. 【点睛】本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.2．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（）A ．2B ．4C 1D 1【答案】B 【解析】【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】|||1||22|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u ru u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.3．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B 【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大4．计算45a a -+r r的结果是（）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键5．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r rB ．如果a b =r r ，那么a b =r rC ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r rD ．对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r【答案】D 【解析】【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】A. -r ra a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r，故D 正确.故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.6．下列命题：①若a b r r=，b c =rr，则c a =r r； ②若a r ∥b r ，b r∥c r ，则a r ∥c r；③若|a r|=2|b r|，则2a b =rr或a r=﹣2b r； ④若a r与b r是互为相反向量，则a r +b r=0．其中真命题的个数是（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】①若a b =r r ，b c =r r ，则c a =r r ，正确； ②若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r ∥c r，正确；③若|a r |=2|b r |，则2a b =r r 或a r =﹣2b r ，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；④若a r与b r是互为相反向量，则a r +b r=0，正确．综上所述，真命题的个数是3个．故选C ．7．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可；【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确；故选C ．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A ．3a b =r rB ．3a b =-r rC ．3b a =r rD ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．【详解】∵1,3a b ==v v，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．9．下列各式中错误的是( )A ．()0a a r r+-= B ．|AB BA |0+=u u u r u u u rC ．()-=+-rrrra b a bD ．()()++=++r r r r r r a b c a b c【答案】A 【解析】【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】解：A. ()0a a vv v +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确，故选：A. 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.10．下面四个命题中正确的命题个数为（）．①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．11．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（） A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r＝（﹣3﹣1，1）B ．OE uuu r ﹣1，1），OF uuu r，1）C ．OG u u u r 12），OH u u u r ）2，8）D ．OM u u u u r ），ON u u u r2，2）【答案】A 【解析】【分析】根据向量互相垂直的定义作答．【详解】A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r互相垂直，故本选项符合题意．B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r不垂直，故本选项不符合题意．C ）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．D 2）×2＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.12．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（）A ．a r //c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =r rC ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断．详解：A ．∵a r ∥c b r r ，∥c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；B ．∵a r =2c b r r ，=3c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．13．下列说法正确的是（）A ．()0a a +-=r rB ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r rC ．如果||||a b =r r ，那么a b =r rD ．12a b =-r r （b r为非零向量），那么//a b r r【答案】D 【解析】【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】解：A 、()a a +-r r等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a r 和b r都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-r r （b r为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.14．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r，则||n v=（）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n v()222OA OB +=u u u v u u u v 故选B.15．已知5a b =r r，下列说法中，不正确的是（） A ．50a b -=rrB ．a r与b r方向相同C ．//a b r rD ．||5||a b =r r【答案】A 【解析】【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】A 、50a b -=r rr，故该选项说法错误B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r的方向相同，故该选项说法正确， C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r，故该选项说法正确，D 、因为5a b =r r ，所以||5||a b =r r ；故该选项说法正确，故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．16．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r 表示b r 向量为（） A ．35b a =r r B ．53b a =r r C ．35b a =-r r D ．53b a =-r r【答案】D 【解析】【分析】根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r表示b r 向量.【详解】a r=3，b r =5，b r =53a r ,b r 与a r的方向相反, ∴5.3b a =-r r故选：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.17．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r ；C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r ．【答案】C 【解析】【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r，∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u ru u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r rr rr， ∴DC a b =-+u u u rr r；故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．18．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A ．a r //b rB ．a r -2b r =0C ．b r =12a rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v vv -= 故错误.故选B.19．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（）A ．12CA AB =u u u r u u u rB ．12CB AB =u u u r u u u rC ．0AC BC u u u r u u u r+=D ．0AC CB +=u u u r u u u r r【答案】B 【解析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．解：A 、12CA BA =u u u r u u u r，故本选项错误；B 、12CB AB =u u u r u u u r，故本选项正确；C 、0AC BC +=u u u r u u u r r，故本选项错误；D 、AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r，故本选项错误．故选B ．20．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（）．A ．()12a b -r rB ．()12b a -r rC ．()12a b +r rD ．()12a b -+r r【答案】C 【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r rr ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解：∵AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.。

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向量的数乘及共线定理练习题
训练点：数乘向量的定义、几何意义、运算律；
两个向量共线的判定定理和性质定理及其应用。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1、设a
是非零向量，l 是非零实数，下列结论正确的是（）
A a 与a l 的方向相反、
B ｜-a l ｜³｜a
｜、 C a 与2
a l 的方向相反、 D ｜-a l ｜³｜l a ｜、
答案：C
2、已知,l m ÎR ，则在以下各命题中正确的命题的个数是（）
①l <0，0a ¹ 时，a l 与a 的方向相反；②l >0，0a ¹ 时，a l 与a
的方向相同；
③l ≠0，0a ¹ 时，a l 与a 是共线向量；④l m >0，0a ¹ 时，a l 与m a
的方向一定相同； ⑤l m >0，0a ¹ 时，a l 与m a
的方向一定相反
A 1、
B 2、
C 3、
D 4、答案：D
解析：①②③④正确
3、1
12[2(2 a +8b )-(4a -2 b ）］化简成最简式为（）
A 2a -b 、
B 2b a - 、
C a b - 、
D b a - 、
答案：B
4、已知向量1e ，2e
是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的是（）
①a =51e ，b =71e ；②a =121123
e e - ，b =1232e e - ；③a =12e e + ，b =1233e e -
A ①②、
B ①③、
C ②③、
D ①②③、
答案：A
5、设,a b
是两个非零且不共线向量，若8a kb - 与ka b -+ 共线，则k=（）
C
± D 8、
答案：C
解析：设8a kb - =x(ka b -+ )=-kx a
+bx
Þ
8kx k xb kb
ì-=ïï??íï=-ïî6、若12AB e e =+ ，1228BC e e =+ ,1233CD e e =-
，则下列说法正确的是（）
A A 、
B 、
C 三点共线、 B A 、B 、
D 三点共线、 C A 、C 、D 三点共线、 D B 、C 、D 三点共线答案：B
解析：12555BD BC CD e e AB =+=+= ,\AB 与BD
共线。

又它们有公共点B ，\A 、B 、D 共线。

7、四边形ABCD 中，2AB a b =+ ，BC =4a b -- ，53CD a b =--
,则四边形ABCD 是（）
A 平行四边形、
B 矩形、
C 梯形、
D 正方形、答案：C
解析：AD =82AB BC CD a b ++=--
Þ2AD BC =
\AD ∥BC 且AD=2BC,故四边形ABCD 是梯形。

8、已知向量,a b
不共线，c ka b =+ ，d a b =- 。

如果c ∥d ，那么（） A k=1且c 与d 同向、 B k=1且c 与d
反向、 C k=-1且c 与d 同向、 D k=-1且c 与d
反向、
答案：D
解析：c ∥d Þc = d l 。

即ka b + =l （a b - ），∴1
k l l ì=ïïí
ï=-ïî
9、已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 中点，且2OA OB OC ++ =0
,则（） A AO OD = 、 B 2AO OD = 、 C 3AO OD = 、 D 2AO OD = 、
答案：A
解析： OB OC + =2OD =-2OA =2AO ÞAO OD =
10、线段AB 的中点为C ，若AB =BC l
，则l =（）
A 2、
B -2、
C 2或-2、
D -2或12
、答案：B
解析：线段AB 的中点为C ÞAB =2CB
=-2BC
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上。

11、在 ABCD 中，AB a = ，AD b = ，3AN NC = ,M 为BC 中点，则MN
=___________
答案：1144
a b -+
解析：由3AN NC = ，得：43AN AC = =3（a b +
），12
AM a b =+
所以MN =31()()42a b a b +-+ =1144
a b -+。

12、O 为 ABCD 对角线交点，14AB e = ，26BC e =
，
则3212e e - =_________,2132e e +
=__________ 答案： ;OD OC
解析： 14AB e = ，26BC e = ，\
122
AB
e =
，2132BC e = ， \3212e e - =11()()22
BC AB BC BA BO OD -=+==
2132e e + =11()22BC AB AC OC +==
13、已知向量1e ，2e 是不共线向量，实数x,y 满足（3x-4y ）1e +(2x-3y)2e =1263e e +
,
则x-y=_________ 答案:3
解析：（3x-4y ）1e +(2x-3y)2e =1263e e + Þ346
3233
x y x y x y ì-=ïï?=í
ï-=ïî 14、已知向量,a b
反向，且｜a ｜=2，｜b ｜=7，则a =____b .
答案：-
27
15、已知A,B,C 为平面内三个点，且A 与B 不重合，O 是平面内任一点，若C 在AB 上，则R l $?，
使得OC =l OA +______OB
答案： 1-l
解析：BC ∥BA ÞBC = l BA .
即：OC -OB =l （OA OB - ）ÞOC =l OA OB + -l OB 故：OC =l OA +（1-l ）OB 。